精品解析：湖南省长沙市雅礼教育集团2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

雅礼教育集团2024年下学期期末考试试卷 高一数学 时量：120分钟 分值：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用诱导公式求解即可. 【详解】. 故选：. 2 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求，再结合交集的定义求结论. 【详解】因为集合， 所以， 所以. 故选：A. 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先判断函数单调性，再根据零点存在性定理判断即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 又，，， 所以， 所以函数有唯一零点，且在内. 故选：C 4. 已知，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由指对函数的单调性得到、、与0和1的大小关系即可得结论. 【详解】∵，即在定义域上单调递增，且，∴， ∵，即在定义域上单调递增，且，∴， ∵，即在定义域上单调递减，且，∴ ∴. 故选：B. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的零点个数可排除A；求出的定义域可排除C；根据时函数值的正负可排除D. 【详解】令，得，所以只有1个零点， 即函数的图象与轴只有1个交点，故A错误； 由，得， 所以的定义域为，故C错误； 当时，，故D错误. 故选：B. 6. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由偶函数的单调性可得在上单调递增，然后将不等式化简，结合对数函数的单调性求解，即可得到结果. 【详解】因为定义在R上的偶函数在上单调递减，则在上单调递增， 所以不等式即，即，解得， 所以实数的取值范围为． 故选：C 7. 猪血木又名阳春红檀，是中国特有的单种属濒危植物，属于国家一级保护植物和极小种群野生植物．某地引种猪血木1000株，假设该地的猪血木数量以每年的比例增加，且该地的猪血木数量超过2000株至少需要经过年，则（ ）（参考数据：） A. 8 B. 9 C. 7 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列出不等式，然后通过对数运算求解不等式得到取值. 【详解】已知最初引种猪血木1000株，每年以的比例增加， 那么经过年后，猪血木的数列为， 该地的猪血木数量超过2000株至少需要经过年， 所以可列出不等式， 即，两边同时取对数，则， 因为， 所以，即， 又，所以. 故选：A. 8. 已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合函数的对称性，及在区间上的单调性，可知，又函数与直线交点的横坐标为，从而得，进而可求出的取值范围. 【详解】因为函数的图象关于原点对称，并且在区间上是增函数，所以，所以， 又，得， 令，得， 所以在上的图象与直线的第一个交点的横坐标为，第二个交点的横坐标为， 所以，解得， 综上所述，. 故选：. 【点睛】关键点点睛：关于三角函数中的取值范围问题，结合三角函数的单调性与最大（小）值列关于的不等式，从而求解即可. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法错误有（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 是的必要不充分条件 C. 的单调递减区间为 D. 函数且的图象恒过定点． 【答案】CD 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定求法求所给命题的否定判断A，根据充分条件和必要条件的定义判断B，根据反比例函数的单调性判断C，根据指数函数的性质判断D. 【详解】对于A，易知命题“”的否定是“”，故A正确； 对于B，不能推出，充分性不成立，能推出，必要性成立， 故是的必要不充分条件，故B正确； 对于C，的单调减区间为，不能用并集符号，故C错误； 对于D，由且可令，解得， 又，故函数的图象恒过定点，故D不正确． 故选：CD. 10. 函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（ ）． A. 的最小正周期为 B. 是的最小值 C. 在区间上的值域为 D. 把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】由图象可推出；然后求出，根据，可推得.取，则，代入，可得出B项；求出，即可根据正弦函数的图象，得出值域；利用图象平移，即可得出D项. 【详解】对于A项，由图象可知，，所以，故A项正确； 对于B项，因为，所以，所以. 因为，所以， 所以. 取，则， 所以，是的最小值，故B项正确； 对于C项，因为，所以， 根据正弦函数的图象可知， 当，即时，函数有最小值为； 当，即时，函数有最大值为，故C项错误； 对于D项，把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，得到的函数解析式为，故D项正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则（ ） A. 定义域为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域判断A，根据对数型复合函数的单调性判断B，根据判断C，根据函数的对称性及单调性判断D. 【详解】对于函数，则，解得且， 所以函数的定义域为，故A错误； 当时，， 因为在上单调递增，且， 又在定义域上单调递增， 所以在区间上单调递增，故B正确； 因为 ， 所以的图象关于点对称，故C正确； 因为，所以， 又， 所以，即， 所以，所以，即，故D正确. 故选：BCD 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. _________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据诱导公式得，进而得答案. 【详解】解：解法一：． 解法二：. 故答案为： 13. 已知函数，若关于的方程恰有三个实数根，则的取值范围为___________________________． 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得函数与的图象的交点个数为，作函数的图象，观察图象可得结论. 【详解】关于的方程恰有三个实数根等价于函数与的图象的交点个数为， 作出的图象，由图可知两个函数图象有个交点时，的取值范围为 故答案为：. 14. 已知函数，当时恒成立，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】通过分析的零点及在零点两侧函数值的正负，得出在时的零点及在零点两侧函数值的正负，因为，研究二次函数的零点分布情况即可求解. 【详解】设，，则，且在单调递增， 当时，；当时，； 因为当时恒成立，函数为上的连续函数， 所以有一个零点为1，且当时，；当时，，所以. 令，因为，所以有一个零点，且当时，；当时，， 所以，且，所以. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，集合． （1）命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． （2）若；求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）由充分条件定义可得，根据集合的包含关系列不等式可求结论； （2）先说明，由条件结合交集的定义列不等式求的范围. 【小问1详解】 命题​，命题​，若是的充分条件，则有​． 所以​解得：​． 所以实数的取值范围​． 【小问2详解】 因为​，要使​，只需​或​， 解得：​或​． 所以实数的取值范围​． 16. 已知函数． （1）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （2）利用函数的单调性和奇偶性，解不等式． 【答案】（1）在上的单调递增，证明见解析 （2）所求不等式的解集为 【解析】 【分析】（1）判断函数的单调性，再证明对，且，都有，结合定义可得结论； （2）先证明函数为奇函数，再结合函数性质化简不等式，解不等式可得结论. 【小问1详解】 （1）因为函数在上单调递增，故在上的单调递增． 证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以在上的单调递增． 【小问2详解】 因为，定义域为，定义域关于原点对称， 又， 所以为奇函数． 由， 得，即， 又，， 由（1）知在上的单调递增， 所以，所以， 所以不等式的解集为． 17. 设函数 （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，函数的最大值为，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式，辅助角公式化简函数解析式，结合正弦函数性质求的单调区间； （2）先求的范围，令​，结合正弦函数单调性求的最值，由此可得结论. 【小问1详解】 ​​ 令​，解得​， 所以​的递增区间为​； 【小问2详解】 由（1）知​，其中​， 所以​，令​， 则​在​上单调递增，在​单调递减， 所以​， 所以​​， 所以. 18. 已知函数 （1）当时，解不等式：； （2）当时，存在使不等式成立，求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得函数在上的最大值为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不存在，使得结论成立，理由见解析 【解析】 【分析】（1）结合对数函数性质化简不等式，再求其解； （2）令​，条件可转化为即​在​上有解，进一步转化为，根据基本不等式求的最小值可得结论； （3）结合对数函数性质可得，结合条件列不等式，解不等式确定满足条件的不存在. 【小问1详解】 （1）因为，， 所以不等式可化为​， 又​是增函数， 所以​，解得​， 所以原不等式的解集为​； 【小问2详解】 由题意令​，因为​，所以​， 所以不等式​在​上有解， 即​在​上有解， 分离参数得​， 所以在​上有解， 所以， 因为​，当且仅当​时取等号， 所以​， 所以实数​的取值范围为​； 【小问3详解】 首先要使函数在​上有意义，需​，所以​， 易知函数​在​上的最大值必在端点处产生， 故只需​，或​， 由①得​或，由②得​，又，故无解，舍去； 由④得​或​，由③得​，又，故无解，舍去； 综上可知，不存在使结论成立． 19. 设次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式.例如：由可得切比雪夫多项式，由可得切比雪夫多项式． （1）若切比雪夫多项式，结合，求实数，，，的值； （2）利用，结合（1）的结论，求的值； （3）已知函数在区间上有个不同的零点，分别记为，求的值． 【答案】（1） （2） （3）0 【解析】 【分析】（1）结合定义可得，利用两角和余弦公式和二倍角余弦公式，平方关系将右侧化为的表达式，对比可求结论； （2）由（1），再结合二倍角正弦公式，平方关系化简方程可求结论； （3）令​，由条件结合（1）可得，由此可求，再结合诱导公式、两角和余弦公式求结论. 【小问1详解】 依题意，​ ​， 因此​，即​，则​． 【小问2详解】 因为​， 因为​，​， 即​， 因为​，解得​（​舍）． 【小问3详解】 函数​在区间​上有个不同的零点​， 即方程​在区间​上有个不同的实根， 令​，由​知​，而​，则​或​或​， 于是​， 则​， 而​， 所以​． 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 雅礼教育集团2024年下学期期末考试试卷 高一数学 时量：120分钟 分值：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的值是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A B. C. D. 4. 已知，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是定义在上偶函数，且在上单调递减，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 猪血木又名阳春红檀，是中国特有的单种属濒危植物，属于国家一级保护植物和极小种群野生植物．某地引种猪血木1000株，假设该地的猪血木数量以每年的比例增加，且该地的猪血木数量超过2000株至少需要经过年，则（ ）（参考数据：） A. 8 B. 9 C. 7 D. 6 8. 已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法错误的有（ ） A. 命题“”否定是“” B. 是的必要不充分条件 C. 的单调递减区间为 D. 函数且的图象恒过定点． 10. 函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（ ）． A. 的最小正周期为 B. 是的最小值 C. 在区间上的值域为 D. 把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象 11. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. _________. 13. 已知函数，若关于的方程恰有三个实数根，则的取值范围为___________________________． 14. 已知函数，当时恒成立，则的最小值为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，集合． （1）命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． （2）若；求实数的取值范围． 16. 已知函数． （1）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （2）利用函数单调性和奇偶性，解不等式． 17. 设函数 （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，函数的最大值为，求实数的值． 18. 已知函数 （1）当时，解不等式：； （2）当时，存在使不等式成立，求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得函数在上最大值为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 设次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式.例如：由可得切比雪夫多项式，由可得切比雪夫多项式． （1）若切比雪夫多项式，结合，求实数，，，的值； （2）利用，结合（1）的结论，求的值； （3）已知函数在区间上有个不同的零点，分别记为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$