精品解析：2025年广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学中考数学三检试卷

2025年广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学中考数学三检试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，数轴上点A所表示的数的相反数为（ ） A. B. 3 C. D. 2. 某正方体每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，与“传”字所在面相对面上的汉字是（ ） A. 文 B. 统 C. 化 D. 弘 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是一款吸管杯的截面示意图，已知，吸管看作一条直线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 中国古人用十二根长短不同的竹子做成律管，用它们分别吹出十二个标准音，称为十二律．十二根竹管的管长和频率乘积为定值，设管长为x，频率为y，选取5组数对，在平面直角坐标系中进行描点，则下列描点正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在俄罗斯方块游戏中，若某行被小方格块填满，则该行中的所有小方格会自动消失.现在游戏机屏幕下面三行已拼成如图所示的图案，屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，你可以进行以下哪项操作（ ） A. 先逆时针旋转90°，再向左平移 B. 先顺时针旋转90°，再向左平移 C. 先逆时针旋转90°，再向右平移 D. 先顺时针旋转90°，再向右平移 7. 在物理学中，压强p等于物体所受压力F的大小与受力面积S之比，即．小明将底面积为、重100N的均匀长方体铁块A和底面积为、重150N的均匀长方体铁块B放置在水平桌面上，A、B两个铁块对桌面的压强之比为，求底面积S为多少？则可列方程（ ） A B. C. D. 8. 已知二次函数可以通过配方转化为的形式，定义如下：对于一个二次函数中存在一点，使得，称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 现有四个有理数3，4，－6，10，将这四个数（每个数用且只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其运算的结果是24，请你写出一个符合条件的算式___________． 10. 某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五方面按对学生学习过程进行课堂评价．某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学生的课堂评价成绩为________． 11. 一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号、、、的小球，这些小球除元素符号外，无其他差别．从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“（一氧化氮）”的概率是_______． 12. 如图，两扇相同的窗户从关闭状态（），向外推开相同的角度后，形成通风的缝隙，已知米，，则点之间的距离是______．（参考数据：） 13. 五巧板是一种类似七巧板的智力玩具，它是由一个正方形按如图1方式分割而成，其中图形①是正方形、小明发现可以将五巧板拼搭成如图2所示的“三角形”与“飞机”模型．在“飞机”模型中宽与高的比值______． 三、解答题：本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 先化简，再求值：，其中． 15. 某校从甲、乙两名学生中选一名参加市小数学家评比，该校将甲、乙两人的6次测试成绩绘制成如下统计图，并对数据统计如下表： 学生 平均分（分） 中位数（分） 方差 甲 95 ▲ 4 乙 ▲ 95 5 （1）这6次测试中，成绩更稳定的学生是_______（填“甲”或“乙”）；甲学生成绩的中位数为_______分； （2）求乙学生成绩的平均分； （3）学校为了在小数学家评比中尽可能取得好成绩，请你从相关统计量和统计图进行分析，并给出合理选择建议． 16. 【操作与探究】下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程，请认真阅读并完成相应任务： 已知：如图1，直线和直线外一点． 求作：直线，使直线． 作法：如图2， ①在直线上取一点，连接； ②作的垂直平分线，分别交直线、线段于点、； ③以为圆心，长为半径作弧，交直线于另一点； ④作直线，则直线为所求作的直线． 任务： （1）小明完成的作图如图2所示，写出作图过程中步骤③中确定两个三角形全等时所用的几何定理：①_____，步骤④中确定两直线平行所用的几何定理：②_____； （2）请你用不同于小明的方法，在图1中过点作出直线的平行线（要求：尺规作图．不写作法．不证明，但要保留作图痕迹）． 17. （1）【生活与应用】：为加强居民节水意识，决定对居民用水实行“阶梯价”，见价目表； 问题：若该居民2、3月份共用水30吨（3月份用水超过2月份），共交水费97元，则该居民2、3月份各用水多少吨？ 价目表 每月用水量 单价 不超出15吨的部分 3元/吨 超15吨的部分 4元/吨 注：水费按月结算 （2）【观察与思考】： ①根据图1流程图中的运算程序，当输入数据时，输出结果为_____； ②根据图2所示的计算程序，若输出的值，则输入的值_____． 该同学进行综合复习时，产生能否用流程图设计自动运算的想法，请你帮助该同学补全流程图 （3）问题：若该居民1月用水量为吨，请设计“计算框图”，使得输入数据为用水量，输出数为水费；补全“计算框图”则①_____②_____； 18. 如图，在中，以为直径与边、分别交于、两点，于． （1）①；；③；请从以上三个条件中选择一个：_____，求证：为的切线； （2）若为的切线，，求的长． 19. （1）特殊情况，探索结论： 在平面直角坐标系中，已知点，点关于坐标原点的中心对称点的坐标是_____ 在平面直角坐标系中已知点，点关于坐标点的中心对称点的坐标是_____ 在平面直角坐标系中，已知点，点关于坐标点的中心对称点的坐标是_____ （2）特例启发，引发思考： 点对称有一定规律，那么由点组成的图形是否有相似规律呢? 定义：对于抛物线，以点为中心，作该抛物线关于点中心对称的抛物线，则称抛物线为抛物线关于点的“中心镜像抛物线”，点为“镜像中心”．例如：如图1，抛物线关于点的“中心镜像抛物线”为，点为“镜像中心”． ①如图2，当时，直接写出抛物线关于点的“中心镜像抛物线”的函数表达式_____； ②已知抛物线，将其顶点先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，恰好落在抛物线关于点的“中心镜像抛物线”的图象上，求“镜像中心”点的坐标； （3）拓展结论，思维提升： 已知抛物线关于点的“中心镜像抛物线”为，当时，最大值与最小值的差为3，直接写出的值． 20. 项目式学习】 项目主题：四边形的对称性研究 项目背景：我们知道，一般的四边形不一定是轴对称图形；菱形和矩形是轴对称图形，而且它们至少都有两条对称轴．小明学习完相关知识后，针对四边形对称性展开项目式研究； 问题提出：是否有一条对称轴的四边形? 任务一：关于只有一条对称轴的四边形的深入研究． 【初步思考】 （1）如图1，在边长为1的正方形网格中，画出只有一条对称轴的凸四边形，要求点是格点； 【问题探究】 （2）如图2，在矩形中，，，点是的中点，请在图2、图3中分别设计只有一条对称轴且对角线互相垂直的凸四边形，顶点别在上，且，并求出对角线的长； 任务二：折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，它是中国非物质文化遗产之一，具有悠久的历史和丰富的文化内涵．在现代，折纸艺术得到了进一步的发展和创新，材料已不只限于使用纸张，而且它还与自然科学结合在一起，发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支，形成有趣的“折纸数学”．折纸也有不少关于对称的操作． （3）乐乐用一张长为的长方形纸片折纸飞机，折叠过程如图4所示，最后折成的纸飞机．为，则图中的值为_____． （4）如图5，在用“筝形”（一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形）纸折叠制作作品时，乐乐发现“筝形”中，，，是上的三等分点，记点关于的对称点为，射线与“筝形”的边交于点，请直接写出的长_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学中考数学三检试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，数轴上点A所表示的数的相反数为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数，求一个数的相反数；由数轴知点A表示数3，即可求得其相反数． 【详解】解：由数轴知点A表示数3，而3的相反数为； 故选：A． 2. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，与“传”字所在面相对面上的汉字是（ ） A. 文 B. 统 C. 化 D. 弘 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方体的展开图，熟练掌握解答的要点：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，建立空间观念是关键． 正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答即可． 【详解】解：在原正方体中，与“扬”字所在面相对面上的汉字是“统”， 与“传”字所在面相对面上的汉字是“化”， 与“弘”字所在面相对面上的汉字是“文”． 故选：C． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是乘方的含义，幂的乘方运算的含义，先计算括号内的运算，再利用幂的乘方运算法则可得答案． 【详解】解：， 故选：D． 4. 如图，是一款吸管杯的截面示意图，已知，吸管看作一条直线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质及补角的计算，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．先根据平行线的性质得出的度数，再根据邻补角的定义得出的度数即可． 【详解】解：，， ， ， 故选：D． 5. 中国古人用十二根长短不同的竹子做成律管，用它们分别吹出十二个标准音，称为十二律．十二根竹管的管长和频率乘积为定值，设管长为x，频率为y，选取5组数对，在平面直角坐标系中进行描点，则下列描点正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的定义和图象，根据题意得到，即，根据反比例函数的图象即可得到答案． 【详解】解：∵十二根竹管的管长和频率乘积为定值，设管长为x，频率为y， ∴， 即， 根据反比例函数的图象可知，只有选项C符合题意， 故选：C 6. 在俄罗斯方块游戏中，若某行被小方格块填满，则该行中的所有小方格会自动消失.现在游戏机屏幕下面三行已拼成如图所示的图案，屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，你可以进行以下哪项操作（ ） A. 先逆时针旋转90°，再向左平移 B. 先顺时针旋转90°，再向左平移 C. 先逆时针旋转90°，再向右平移 D. 先顺时针旋转90°，再向右平移 【答案】A 【解析】 【详解】屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，可以先逆时针旋转90°，再向左平移． 故选A． 7. 在物理学中，压强p等于物体所受压力F的大小与受力面积S之比，即．小明将底面积为、重100N的均匀长方体铁块A和底面积为、重150N的均匀长方体铁块B放置在水平桌面上，A、B两个铁块对桌面的压强之比为，求底面积S为多少？则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程实际应用，根据，结合A、B两个铁块对桌面的压强之比为，列出方程即可． 【详解】解：由题意，得：， 整理，得：； 故选A． 8. 已知二次函数可以通过配方转化为的形式，定义如下：对于一个二次函数中存在一点，使得，称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解一元二次方程；根据二次函数的两种形式，可求得m与c的值，从而得到顶点坐标；再根据列方程即可求解． 【详解】解：， 则， 即； ∴抛物线的顶点坐标为； 由题意得：； 而， ∴， 解得：（舍去）， 则抛物线的开口大小为：； 故选：A． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 现有四个有理数3，4，－6，10，将这四个数（每个数用且只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其运算的结果是24，请你写出一个符合条件的算式___________． 【答案】3×（10-4）-（-6）=24． 【解析】 【分析】首先认真分析找出规律，然后根据有理数的运算法则列式． 【详解】3×[（-6）+4+10]=24；4-（-6）÷3×10=24；3×（10-4）-（-6）=24． 10. 某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五方面按对学生学习过程进行课堂评价．某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学生的课堂评价成绩为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数．根据加权平均数的计算方法即可解答本题． 【详解】解：依题意，该学生的课堂评价成绩为 故答案为：． 11. 一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号、、、的小球，这些小球除元素符号外，无其他差别．从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“（一氧化氮）”的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，掌握树状图法或列表法求概率是解题的关键．先根据题意列表，再由列表得出所有等可能的结果数以及符合题意的结果数，最后根据概率公式即可求解． 【详解】解：列表如下： 由表格可知，共有12种等可能的情况，其中所标元素能组成“（一氧化氮）”的情况有2种， 即所标元素能组成“（一氧化氮）”的概率是， 故答案为： 12. 如图，两扇相同的窗户从关闭状态（），向外推开相同的角度后，形成通风的缝隙，已知米，，则点之间的距离是______．（参考数据：） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作于点，于点，可得四边形是矩形，即得，解直角三角形得米，进而根据求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，作于点，于点， 则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵米，， ∴米， ∵， ∴， ∴米， ∴米， 故答案为：米． 13. 五巧板是一种类似七巧板的智力玩具，它是由一个正方形按如图1方式分割而成，其中图形①是正方形、小明发现可以将五巧板拼搭成如图2所示的“三角形”与“飞机”模型．在“飞机”模型中宽与高的比值______． 【答案】 【解析】 【分析】设图形1中小正方形①的边长为，根据图中的图形找到与的关系即可求解． 【详解】解：设图形1中小正方形①的边长为， 根据题中图形拼凑的方式可知，， ， 故答案是：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，图形面积、解题的关键是观察图象，利用图形1中小正方形①的边长来表示“飞机”模型的宽和高． 三、解答题：本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，完全平方公式，分母有理化等知识点，熟练掌握分式的化简求值是解题的关键． 先通分计算括号内的部分，然后将除法运算转化为乘法运算，约分化简得出结果后，再代入的值求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 15. 某校从甲、乙两名学生中选一名参加市小数学家评比，该校将甲、乙两人的6次测试成绩绘制成如下统计图，并对数据统计如下表： 学生 平均分（分） 中位数（分） 方差 甲 95 ▲ 4 乙 ▲ 95 5 （1）这6次测试中，成绩更稳定学生是_______（填“甲”或“乙”）；甲学生成绩的中位数为_______分； （2）求乙学生成绩的平均分； （3）学校为了在小数学家评比中尽可能取得好成绩，请你从相关统计量和统计图进行分析，并给出合理的选择建议． 【答案】（1）甲，95.5 （2）95分 （3）建议选甲参加市小数学家评比，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查统计图（表），求平均数，中位数，根据平均数、中位数和方差做决策． （1）根据折线的波动程度可判断成绩更稳定的学生，运用中位数定义即可求出平均数； （2）运用平均数的定义求解即可； （3）根据平均数、中位数、方差和统计图的走势进行分析可得出结论，提出合理建议． 【小问1详解】 解：由统计图可知，甲的成绩比乙的成绩波动幅度小， 成绩更稳定的学生是甲． 将甲的6次成绩从小到大进行排序，排在第3位和第4位分别是95和96， 甲的中位数为：（分）； 故答案为：甲；95.5； 【小问2详解】 解：乙成绩的平均分为：（分）； 【小问3详解】 解：建议选甲参加市小数学家评比，理由如下： 两人是平均数相同，但甲6次测试成绩的方差比乙小，且甲每次的成绩稳中有进，所以建议选甲参加市小数学家评比．（答案不唯一） 16. 【操作与探究】下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程，请认真阅读并完成相应任务： 已知：如图1，直线和直线外一点． 求作：直线，使直线． 作法：如图2， ①在直线上取一点，连接； ②作的垂直平分线，分别交直线、线段于点、； ③以为圆心，长为半径作弧，交直线于另一点； ④作直线，则直线为所求作的直线． 任务： （1）小明完成的作图如图2所示，写出作图过程中步骤③中确定两个三角形全等时所用的几何定理：①_____，步骤④中确定两直线平行所用的几何定理：②_____； （2）请你用不同于小明的方法，在图1中过点作出直线的平行线（要求：尺规作图．不写作法．不证明，但要保留作图痕迹）． 【答案】（1）①或边角边；②内错角相等，两直线平行； （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由作图知，，且，则由可证明，从而有，则可得两直线平行，从而确定步骤③与步骤④中所用的几何定理； （2）在直线l上取点A，连接，以A为圆心，长为半径画弧交直线l于点B，分别以P，B为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C，连接即可． 【小问1详解】 解：由作图知，，且， ∴， ∴， ∴； 故第③步骤所用的几何定理是：或边角边，第④步骤所用的几何定理是：内错角相等，两直线平行； 故答案为：①或边角边；②内错角相等，两直线平行； 【小问2详解】 解：在直线l上取点A，连接，以A为圆心，长为半径画弧交直线l于点B，分别以P，B为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C，连接，则直线为所作的平行线； 由作法知，，则四边形是菱形， ∴， 则直线为所作的平行线． 【点睛】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行线的判定等知识． 17. （1）【生活与应用】：为加强居民节水意识，决定对居民用水实行“阶梯价”，见价目表； 问题：若该居民2、3月份共用水30吨（3月份用水超过2月份），共交水费97元，则该居民2、3月份各用水多少吨？ 价目表 每月用水量 单价 不超出15吨的部分 3元/吨 超15吨的部分 4元/吨 注：水费按月结算 （2）【观察与思考】： ①根据图1流程图中的运算程序，当输入数据时，输出结果为_____； ②根据图2所示的计算程序，若输出的值，则输入的值_____． 该同学进行综合复习时，产生能否用流程图设计自动运算的想法，请你帮助该同学补全流程图 （3）问题：若该居民1月用水量为吨，请设计“计算框图”，使得输入数据为用水量，输出数为水费；补全“计算框图”则①_____②_____； 【答案】（1）2月份用水吨，则3月份用水吨；（2）9；或；（3）， 【解析】 【分析】本题考查了电费和水费问题的一元一次方程的应用，程序流程图与有理数计算，解一元二次方程，解题关键是根据等量关系列出方程求解． （1）设2月份用水吨，则3月份用水吨，列出关于的不等式，求出的取值范围，再列出一元一次方程求解，然后求出3月份用水量； （2）当时，代入求出； 根据输出的值，得到关于的方程求解； （3）根据（1）分别列出当与时的代数式，再结合流程图求解． 【详解】（1）解：设2月份用水吨，则3月份用水吨， ∵3月份用水超过2月份， ∴，解得：， 根据题意得：， 解得：， ∴3月份用水吨， 答：2月份用水吨，则3月份用水吨； （2）当时，，即输出结果为9， 故答案为：9． 当时，输出的值，则，解得：； 当时，输出值，则，解得：，（舍去）， 综上所述，的值为或； （3）当时，水费为；当时，水费为，由此可得①入填，②处填． 故答案为：，． 18. 如图，在中，以为直径的与边、分别交于、两点，于． （1）①；；③；请从以上三个条件中选择一个：_____，求证：为的切线； （2）若为的切线，，求的长． 【答案】（1）任选一个即可；证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）选①，由为直径得点D是边的中点，则是中位线，结合得，从而证得结论；选②，则是中位线，结合得，从而证得结论；选③，则，得，则有，从而由①的证明即可完成； （2）连接；在中由余弦函数关系求得，证明求得；由辅助线作法知，则，则可求得的长． 【小问1详解】 证明：选①，即； ∵为直径， ∴， ∴点D是边的中点； ∵， ∴是的中位线， ∴； ∵， ∴； ∵是圆的半径， ∴为的切线； 选②，即； ∵， ∴是的中位线， ∴； ∵， ∴； ∵是圆的半径， ∴为的切线； 选③，即； ∵为直径， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， 从而由①的证明知，为的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接； ∵， ∴在中，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵为直径， ∴， ∴； ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了直径对的圆周角是直角，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，三角形中位线的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，灵活运用这些知识是解题的关键． 19. （1）特殊情况，探索结论： 在平面直角坐标系中，已知点，点关于坐标原点的中心对称点的坐标是_____ 在平面直角坐标系中已知点，点关于坐标点的中心对称点的坐标是_____ 在平面直角坐标系中，已知点，点关于坐标点的中心对称点的坐标是_____ （2）特例启发，引发思考： 点对称有一定规律，那么由点组成的图形是否有相似规律呢? 定义：对于抛物线，以点为中心，作该抛物线关于点中心对称的抛物线，则称抛物线为抛物线关于点的“中心镜像抛物线”，点为“镜像中心”．例如：如图1，抛物线关于点的“中心镜像抛物线”为，点为“镜像中心”． ①如图2，当时，直接写出抛物线关于点的“中心镜像抛物线”的函数表达式_____； ②已知抛物线，将其顶点先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，恰好落在抛物线关于点的“中心镜像抛物线”的图象上，求“镜像中心”点的坐标； （3）拓展结论，思维提升： 已知抛物线关于点的“中心镜像抛物线”为，当时，最大值与最小值的差为3，直接写出的值． 【答案】（1），；（2）①；②；（3）t的取值为2或． 【解析】 【分析】（1）由关于中心对称的两点：横坐标与纵坐标均互为相反数，即可求得点A的坐标；利用中点坐标公式可分别求出点B、点C的坐标； （2）①求出抛物线的顶点坐标，求出顶点坐标关于点M的坐标，即可求出对称的抛物线解析式； ②先求出的顶点坐标及平移后的顶点坐标，则可求得关于M对称的点的坐标，并把它代入，求得b的值，即可求解； （3）求出的解析式，分，及三种情况考虑，结合二次函数的增减性质即可求解． 【详解】解：（1）点A关于原点O对称的坐标为； 设点B关于对称的点的坐标为，则有， 则，即点B关于对称的点的坐标为； 同理可求得点C关于点对称的点的坐标为； 故答案为：，； （2）①，顶点坐标为，它关于点M对称的点的坐标为，则此时关于点M对称的抛物线解析式为：， 化为一般式为：； 故答案为：； ②，其顶点坐标为， 此点平移后的坐标为， 把代入中，得：， 解得：，即， ∴的顶点坐标为， 由中点公式得：， ∴； （3），其顶点坐标为， 它关于M的对称点的坐标为， ∴解析式为：；其最大值为； 当时，；当时，； 当时，在时，函数值随自变量的增大而减小， 最大值为，最小值为， 由题意得：，解得； 当时，函数在顶点取得最大值，最小值为或， 由题意得：或， 解得：或， 它们均不符合题意； 当时，在时，函数值随自变量的增大而增大， 最小值为，最大值为， 由题意得：，解得：； 综上，t的取值为2或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，关于点的对称性质，点的平移，中点坐标公式，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 20. 【项目式学习】 项目主题：四边形的对称性研究 项目背景：我们知道，一般的四边形不一定是轴对称图形；菱形和矩形是轴对称图形，而且它们至少都有两条对称轴．小明学习完相关知识后，针对四边形对称性展开项目式研究； 问题提出：是否有一条对称轴的四边形? 任务一：关于只有一条对称轴的四边形的深入研究． 【初步思考】 （1）如图1，在边长为1的正方形网格中，画出只有一条对称轴的凸四边形，要求点是格点； 【问题探究】 （2）如图2，在矩形中，，，点是的中点，请在图2、图3中分别设计只有一条对称轴且对角线互相垂直的凸四边形，顶点别在上，且，并求出对角线的长； 任务二：折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，它是中国非物质文化遗产之一，具有悠久的历史和丰富的文化内涵．在现代，折纸艺术得到了进一步的发展和创新，材料已不只限于使用纸张，而且它还与自然科学结合在一起，发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支，形成有趣的“折纸数学”．折纸也有不少关于对称的操作． （3）乐乐用一张长为的长方形纸片折纸飞机，折叠过程如图4所示，最后折成的纸飞机．为，则图中的值为_____． （4）如图5，在用“筝形”（一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形）纸折叠制作作品时，乐乐发现“筝形”中，，，是上的三等分点，记点关于的对称点为，射线与“筝形”的边交于点，请直接写出的长_____． 【答案】（1）见解析；（2）作图见解析；的长为12或；（3）；（4）的长为或． 【解析】 【分析】（1）取格点D，连接，直线是凸四边形的对称轴； （2）如图2，分别在边上取点F，H，使，取的中点G，连接，则凸四边形是满足条件的四边形，判定四边形是矩形，即可求得的长；如图3，在边上取点F，使，在上取点，分别连接，作的垂直平分线交边于点H，连接即可得到所求作的四边形；过G作于点M，在中即可求得的长； （3）由折叠知，，即可求得a的值； （4）分两种情况：当点是线段上靠近点B的三等分点，当点是线段上靠近点D的三等分点，利用相似三角形的判定与性质及三角函数求解即可． 【详解】解：（1）如图，取格点D，连接， ∵，， ∴点A，C在线段的垂直平分线上， ∴直线是凸四边形的对称轴． （2）如图2，取，取的中点G，连接，，，则凸四边形是满足条件的四边形； ∵四边形是矩形， ∴，； ∵点E、点G分别是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， 由勾股定理得：； ∴直线是的垂直平分线， 即凸四边形是满足条件的四边形； ∵， ∴四边形是矩形， ∴，； 如图3，在边上取点F，使，在上取点，分别连接、，作的垂直平分线交边于点H，连接； ∵， ∴， ∴由勾股定理得：； ∵是线段的垂直平分线， ∴， 则凸四边形是满足条件的四边形； 过G作于点M，则四边形是矩形， ∴； ∴； 在中，由勾股定理得：； 综上，的长为12或； （3）如图，由折叠， 即， 故答案为：； （4）如图，当点是线段上靠近点B的三等分点，则， ∴； 由对称知，，，； 设交于点O； ∵四边形为筝形， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 由勾股定理得， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 设，则，， ∴； ∵， ∴， 解得：， ∴； 如图，当点是线段上靠近点D的三等分点时； 设交于点G； 与前一种情况相同，可以证明， ∴； 设，则，， ∴，； ∵，， ∴， 解得：； 即，； 如图，过点F作于N，过点G作于点Q； ∵，， ∴，； ∴； ∵， ∴， ∴， 即； ∵，， ∴， ∴， ∴， 即； ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了折叠与对称，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形及作图等知识，属于四边形的综合问题，有一定的难度，熟练掌握上述知识，构造适当辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $