2024年广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学中考三模数学试卷

2024年广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学中考三模数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．（3分）某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“斗”字所在的面相对的面上的字是（　　） A．青 B．来 C．春 D．用 2．（3分）2023年中国经济年报显示，全年GDP超过126万亿元，增速达到5.2%．按照可比价计算，2023年中国经济增量超过6万亿元．数据“126万亿”用科学记数法表示为（　　） A．0.126×1015 B．1.26×1014 C．12.6×1013 D．126×1012 3．（3分）实数P在数轴上对应的点如图所示，下列各数中比实数P小的是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．0 D． 4．（3分）为了迎战中考的第一站一体考，某班50名同学积极训练，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小刚有事没有参加本次集体测试，因此计算其他49人的平均分为49分，方差S2＝1.6．后来小刚进行了补测，成绩为49分，关于该班50人的测试成绩，下列说法正确的是（　　） A．平均分不变，方差变大 B．平均分不变，方差变小 C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变 5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为（　　） A．15° B．18° C．25° D．30° 7．（3分）下列说法是真命题的是（　　） A．若mn＞0，则点H（m，n）一定在第一象限内 B．对角线相等的四边形是矩形 C．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 D．立方根等于本身的数是0和1 8．（3分）若A（a，m），B（b，m），P（a+b，n）是抛物线y＝x2+2x+3上不同三点，则n的值为（　　） A．3 B．2 C．6 D．不确定 9．（3分）某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻R1＝10Ω，R2是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.01m2，压敏电阻R2的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式，F＝pS，1000Pa＝1kPa），则下列说法中不正确的是（　　） A．当水箱未装水（h＝0m）时，压强p为0kPa B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻R1的阻值为12Ω 10．（3分）如图，点C是⊙O的半径OB上一点，将扇形AOB沿AC折叠，使弧AB′恰好经过圆心O，其中B点的对应点是B′，若∠AOB＝105°，则的值是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）计算：＝　 　． 12．（3分）江豚素有“水中大熊猫”之称，为了解洞庭湖现有江豚数量，考察队先从湖中捕捞10头江豚并做上标记，然后放归湖内．经过一段时间与群体充分混合后，再从中多次捕捞，并算得平均每32头江豚中有2头有标记，则估计洞庭湖现有江豚数量约为 　 　头． 13．（3分）如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则tan∠BAD的值为 　 　． 14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数的图象和△ABC都在第一象限内，AB＝AC＝5，BC∥x轴，且BC＝8，点A的坐标为（8，12）．将△ABC向下平移m（m＞0）个单位长度，A，C两点的对应点恰好同时落在反比例函数图象上，则k＝　 　． 15．（3分）如图，点D是Rt△ABC的斜边AC上一点，且∠ABC＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BD为斜边作等腰Rt△BDE，使E，C在BD同侧，连接CE，则CE的最小值为 　 　． 三、解答题（本大题共7小题，共55分） 16．（7分）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它们的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题： （1）如图2，需要 　 　张边长为a的正方形，　 　张边长为b的正方形，　 　张边长为a、b的长方形． （2）类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式：　 　． （3）用多项式乘多项式的法则验证（2）中得到的等式． 17．（6分）如图，小鑫同学作业本上的一道题被墨水污染了，但他知道化简结果为，那么： （1）求被墨水污染的部分； （2）从﹣4，﹣3，3，4中取一个合适的数作为x的值，并代入化简结果求值． 18．（8分）【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动． 【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 芒果树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0 荔枝树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 芒果树叶的长宽比 3.74 3.75 n 0.0424 荔枝树叶的长宽比 1.91 m 2.0 0.0669 【问题解决】 （1）上述表格中：m＝　 　，n＝　 　； （2）①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别小．” ②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”上面两位同学的说法中，合理的是 　 　（填序号）； （3）现有一片长25cm，宽6.5cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由． 19．（8分）如图，已知自行车与摩托车从甲地开往乙地，OA与BC分别表示它们与甲地距离，s（千米）与时间t（小时）的关系，则： （1）摩托车每小时走 　 　千米，自行车每小时走 　 　千米； （2）摩托车出发后多少小时，他们相距10千米？ 20．（8分）如图，四边形ABCD为菱形，DF⊥AB于点F，E是BC上一点，且BE＝BF，连接DE． （1）尺规作图：作△ADF的外接圆⊙O（保留作图痕迹）； （2）连接DB与⊙O交于点H，若BF＝4，，求菱形ABCD的面积． 21．（8分）在▱ABCD中，∠ADB＝90°，点E在CD上，点G在AB上，点F在BD的延长线上，连接EF，DG，∠FED＝∠ADG，． （1）如图1，当k＝1时，求证线段AG与线段DF的数量关系 小刚同学有如下想法： 解：（1）当k＝1时，AD＝BD，DG＝EF，在AD上截取DH＝DE，连接HG，如图： …… （请续写证明过程） （2）如图2，当时，请直接写出线段AD，DE和DF之间的数量关系． （3）在（2）的条件下，当点G是AB的中点时，连接BE，求tan∠EBF的值． 22．（10分）影子在我们生活中是常见的，那么利用影子能解决什么问题呢？某校以《影子的故事》展开项目式学习： （1）地球有多大？2000多年前，古希腊数学家埃拉托斯特尼（Eratosthenes）利用太阳光线测量出了地球子午线的周长． 项目任务（一） 如图1，太阳光线AB∥CD，CE是竖直插在球面上的木杆，AB、CE的延长线都经过圆心O，已知B、E间的劣弧长约为800千米，子午线周长约为40000千米，则∠DCE的度数为 　 　． （2）中国古代也有类似的记载，陈子测日法是由我国古代杰出的数学家陈子提出，用来测量太阳高度的．陈子测量太阳高度的方法可叙述为：当夏至太阳直射北回归线时，在北方立一八尺高的标竿，观其影长为六尺．然后测量者向南移动标竿，每移动一千里，标竿的影长就减少一寸．查阅资料后，进行如下项目式研究： 项目任务（二） 如图2，某日正午，小红和小明在同一子午线的B地、C地测得太阳光与木棍的夹角分别为α，β，则∠BOA＝ 　 　，若测得AB之间弧长为l，则地球子午线周长为 　 　.（用含α，β，Ⅰ的代数式表示） 项目任务（三） 如图3，日落时，身高为h的小亮趴在地上平视远方，在太阳完全从地平线上消失的一瞬间，按下秒表开始计时．同时马上站起来，当太阳再次完全消失在地平线的瞬间，停止计时，小亮利用这个时间差和地球自转的速度计算出了∠PQH＝θ，请据此计算出地球的半径R＝ 　 　.（用含h，θ的代数式表示） 项目任务（四） 如图，同学们发现校门旁边有一根电线杆AB和一块半圆形广告牌，在太阳光照射下，电线杆的顶端A的影子刚好落在半圆形广告牌的最高处G，而半圆形广告牌的影子刚好落在地面上一点E，通过测量得到BC＝5米，DE＝2米，并测得光线与水平面夹角∠DEF＝43°．请你利用同学们的测量数据求出电线杆AB的高度．（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93；结果保留整数） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．（3分）某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“斗”字所在的面相对的面上的字是（　　） A．青 B．来 C．春 D．用 【解答】解：由“Z”字型对面，可知“用”字对应的面上的字是“斗”； 故选：D． 2．（3分）2023年中国经济年报显示，全年GDP超过126万亿元，增速达到5.2%．按照可比价计算，2023年中国经济增量超过6万亿元．数据“126万亿”用科学记数法表示为（　　） A．0.126×1015 B．1.26×1014 C．12.6×1013 D．126×1012 【解答】解：126万亿＝126000000000000＝1.26×1014． 故选：B． 3．（3分）实数P在数轴上对应的点如图所示，下列各数中比实数P小的是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．0 D． 【解答】解：观察数轴可知：﹣2＜P＜﹣1， ∵正数＞负数，负数＜0， ∴﹣3＜﹣2＜﹣1＜0＜， ∴这几个实数比P小的数是﹣3， 故选：A． 4．（3分）为了迎战中考的第一站一体考，某班50名同学积极训练，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小刚有事没有参加本次集体测试，因此计算其他49人的平均分为49分，方差S2＝1.6．后来小刚进行了补测，成绩为49分，关于该班50人的测试成绩，下列说法正确的是（　　） A．平均分不变，方差变大 B．平均分不变，方差变小 C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变 【解答】解：∵小刚的成绩和其他49人的平均数相同，都是49分， ∴该班50人的测试成绩的平均分为49分， ∴新数据的每个数据与平均数差的平方和保持不变，而总人数在原数据的基础上增加1， ∴新数据方差变小， 故选：B． 5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：解不等式3x﹣1≤2，得：x≤1， 解不等式x+2＞0，得：x＞﹣2， 则不等式组的解集为﹣2＜x≤1， 故选：A． 6．（3分）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为（　　） A．15° B．18° C．25° D．30° 【解答】解：∵AB∥CD，∠ABC＝30°， ∴∠ABC＝∠BCD， ∵∠EDF＝45°，∠EDF＝∠BCD+∠DBC， ∴∠DBC＝∠EDF﹣∠BCD＝45°﹣30°＝15°， 故选：A． 7．（3分）下列说法是真命题的是（　　） A．若mn＞0，则点H（m，n）一定在第一象限内 B．对角线相等的四边形是矩形 C．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 D．立方根等于本身的数是0和1 【解答】解：A、若mn＞0，则点H（m，n）一定在第一或第三象限内，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，正确，是真命题，符合题意； D、立方根等于本身的数是0和±1，故原命题错误，是假命题，不符合题意． 故选：C． 8．（3分）若A（a，m），B（b，m），P（a+b，n）是抛物线y＝x2+2x+3上不同三点，则n的值为（　　） A．3 B．2 C．6 D．不确定 【解答】解：由抛物线y＝x2+2x+3的对称轴为x＝﹣1， 得A（a，m），B（b，m）关于x＝﹣1对称， 故a+b＝﹣1×2＝﹣2， 由P（a+b，n）是抛物线y＝x2+2x+3上的点， 得n＝（﹣2）2+2×（﹣2）+3＝3． 故选：A． 9．（3分）某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻R1＝10Ω，R2是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.01m2，压敏电阻R2的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式，F＝pS，1000Pa＝1kPa），则下列说法中不正确的是（　　） A．当水箱未装水（h＝0m）时，压强p为0kPa B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻R1的阻值为12Ω 【解答】解：A、由图3可知，水箱未装水（h＝0m）时，压强p为0kPa， 故A正确，不符合题意； B、当报警器刚好开始报警时，根据欧姆定律可知此时电路的电阻：R＝＝＝20（Ω）， 比时压敏电阻的阻值：R2＝R﹣R1＝20Q﹣10Q＝10Ω，由乙图可知此时压敏电阻受到压力为80N， 故B不正确，符合题意； C、当报警器刚好开始报警时，则水箱受到的压强为P＝＝＝8000（Pa）， 则水箱的深度为h＝＝＝0.8（m）， 故C正确，不符合题意； D、水深为lm时，压敏电阻受到的压强：P＝ρgh＝1.0×103×10×l＝10000（Pa）， 此时压敏电阻受到的压力：F＝PS＝10000×0.01＝100（N）， 由图2可知此时压敏电阻的阻值为8Ω， 由B知当报警器刚好开始报警时，电路总电阻为20Q， 根据串联电路电阻规律可知选用的定值电阻的阻值：R1＝R﹣R2＝20﹣8＝12． 故D正确，不符合题意． 故选：B． 10．（3分）如图，点C是⊙O的半径OB上一点，将扇形AOB沿AC折叠，使弧AB′恰好经过圆心O，其中B点的对应点是B′，若∠AOB＝105°，则的值是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，过点D作OD⊥AC并延长交于点O′， 设扇形AOB的半径为r， 由折叠的性质可得，AC⊥OO'，OD＝O'D，AO＝AO'＝OO'＝r， ∴△AOO'是等边三角形， ∴∠AOO'＝60°， ∵∠AOB＝105°， ∴∠COD＝45°， ∵AC⊥OO'，OD＝O'D， ∴OD＝OO′＝r，∠DCO＝45°＝∠COD， ∴CD＝OD＝OO'＝r， ∴OC＝CD＝r， ∴BC＝OB﹣OC＝r﹣r＝r， ∴＝＝﹣1， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）计算：＝　3　． 【解答】解： ＝+1+ ＝3． 故答案为：3． 12．（3分）江豚素有“水中大熊猫”之称，为了解洞庭湖现有江豚数量，考察队先从湖中捕捞10头江豚并做上标记，然后放归湖内．经过一段时间与群体充分混合后，再从中多次捕捞，并算得平均每32头江豚中有2头有标记，则估计洞庭湖现有江豚数量约为 　160　头． 【解答】解：根据题意得： 10÷＝160（头）， 答：估计洞庭湖现有江豚数量约为160头． 13．（3分）如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则tan∠BAD的值为 　　． 【解答】解：如图，连接AC， 在Rt△BEC中，BC＝＝5， ∵AD⊥BC， ∴BC×AD＝4×4﹣×4×3﹣×4×1， 即×5×AD＝8， 解得AD＝， 在Rt△ADB中，BD＝＝， ∴tan∠BAD＝＝＝， 故答案为：． 14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数的图象和△ABC都在第一象限内，AB＝AC＝5，BC∥x轴，且BC＝8，点A的坐标为（8，12）．将△ABC向下平移m（m＞0）个单位长度，A，C两点的对应点恰好同时落在反比例函数图象上，则k＝　72　． 【解答】解：如图，作AD⊥BC，垂足为D， ∵AB＝AC＝5，BC∥x轴，且BC＝8，点A的坐标为（8，12）， ∴由勾股定理得：AD＝3，BD＝CD＝4， ∴B（4，9），C（12，9）， 点AC向下平移m个单位后，A坐标变为（8，12﹣m），C点坐标变为（12，9﹣m）， ∵平移后点A、C在反比例函数图象上， ∴8（12﹣m）＝12（9﹣m）， 解得：m＝3， ∴平移后点A坐标为（8，9）， ∴k＝8×9＝72． 15．（3分）如图，点D是Rt△ABC的斜边AC上一点，且∠ABC＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BD为斜边作等腰Rt△BDE，使E，C在BD同侧，连接CE，则CE的最小值为 　2　． 【解答】解：如图，过点C作CH⊥BC，使CH＝CB＝4，连接BH，HD， 则△HCB为等腰直角三角形， ∴∠HBC＝45°． ∵△BDE为等腰直角三角形， ∴∠DBE＝∠BDE＝45°，BE＝DE， ∴∠DBE＝∠HBC， ∴∠DBH＝∠EBC． ∵＝＝， ∴△BDH∽△BEC， ∴CE＝DH， ∴当DH取最小值时，CE最小． ∴当HD⊥AC时，此时DH最小． ∵CH⊥BC，AB⊥BC， ∴CH∥AB， ∴∠HCD＝∠A＝30°， ∴HD＝HC＝2， ∴CE＝DH＝2， ∴CE的最小值为2． 故答案为：2． 三、解答题（本大题共7小题，共55分） 16．（7分）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它们的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题： （1）如图2，需要 　1　张边长为a的正方形，　16　张边长为b的正方形，　8　张边长为a、b的长方形． （2）类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式：　（a+4b）2＝a2+8ab+16b2　． （3）用多项式乘多项式的法则验证（2）中得到的等式． 【解答】解：（1）由图形可得，要1张边长为a的正方形，16张边长为b的正方形，8张边长为a、b的长方形． 故答案为：1，16，8； （2）图2表示的数学等式是（a+4b）2＝a2+8ab+16b2； 故答案为：（a+4b）2＝a2+8ab+16b2； （3）（a+4b）2 ＝（a+4b）（a+4b） ＝a2+4ab+4ab+16b2 ＝a2+8ab+16b2． 17．（6分）如图，小鑫同学作业本上的一道题被墨水污染了，但他知道化简结果为，那么： （1）求被墨水污染的部分； （2）从﹣4，﹣3，3，4中取一个合适的数作为x的值，并代入化简结果求值． 【解答】解：（1）∵ ＝ ＝， ＝ ＝（x+4）（x﹣3） ＝x2﹣3x+4x﹣12 ＝x2+x﹣12， ∴被墨水污染的部分是：x2+x﹣12； （2）∵分式中的分母含有x+3，x﹣3和x+4， ∴x≠±3和﹣4， ∴x只能取4， 当x＝4时，原式＝． 18．（8分）【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动． 【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 芒果树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0 荔枝树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 芒果树叶的长宽比 3.74 3.75 n 0.0424 荔枝树叶的长宽比 1.91 m 2.0 0.0669 【问题解决】 （1）上述表格中：m＝　1.95　，n＝　4.0　； （2）①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别小．” ②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”上面两位同学的说法中，合理的是 　AB　（填序号）； （3）现有一片长25cm，宽6.5cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由． 【解答】解：（1）把10片荔枝树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为1.9、2.0，故中位数m＝＝1.95； 10片芒果树叶的长宽比中出现次数最多的是4.0，故众数n＝4.0； 故答案为：1.95；4.0； （2）∵0.0424＜0.0669， ∴芒果树叶的形状差别小，故A同学说法合理； ∵荔枝树叶的长宽比的平均数1.91，中位数是1.95，众数是2.0， ∴“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍”，故B同学说法合理． 故答案为：AB； （3）这片树叶更可能来自芒果，理由如下： ∵一片长长25cm，宽6.5cm的树叶，长宽比约3.8， ∴这片树叶更可能来自芒果． 19．（8分）如图，已知自行车与摩托车从甲地开往乙地，OA与BC分别表示它们与甲地距离，s（千米）与时间t（小时）的关系，则： （1）摩托车每小时走 　40　千米，自行车每小时走 　10　千米； （2）摩托车出发后多少小时，他们相距10千米？ 【解答】解：（1）由图象可得， 摩托车的速度为：80÷（5﹣3）＝40（km/h）， 自行车的速度为：80÷8＝10（km/h）， 故答案为：40，10； （2）设摩托车出发后x小时，他们相距10千米， 由题意可得：10（3+x）﹣40x＝10或40x﹣10（3+x）＝10， 解得x＝或x＝， 答：摩托车出发后小时或小时，他们相距10千米． 20．（8分）如图，四边形ABCD为菱形，DF⊥AB于点F，E是BC上一点，且BE＝BF，连接DE． （1）尺规作图：作△ADF的外接圆⊙O（保留作图痕迹）； （2）连接DB与⊙O交于点H，若BF＝4，，求菱形ABCD的面积． 【解答】解：（1）如图，⊙O为所作； （2）连接AH，如图， ∵DF⊥AB， ∴∠AFD＝90°， ∴AD为⊙O的直径， ∴∠AHD＝90°， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝AC， ∴BH＝DH＝2， ∴BD＝4， 在Rt△BDF中，DF＝＝＝8， 设AD＝x，则AB＝x， ∴AF＝x﹣4， 在△ADF中，（x﹣4）2+82＝x2， 解得x＝10， 即AB＝10， ∴菱形ABCD的面积＝DF×AB＝8×10＝80． 21．（8分）在▱ABCD中，∠ADB＝90°，点E在CD上，点G在AB上，点F在BD的延长线上，连接EF，DG，∠FED＝∠ADG，． （1）如图1，当k＝1时，求证线段AG与线段DF的数量关系 小刚同学有如下想法： 解：（1）当k＝1时，AD＝BD，DG＝EF，在AD上截取DH＝DE，连接HG，如图： …… （请续写证明过程） （2）如图2，当时，请直接写出线段AD，DE和DF之间的数量关系． （3）在（2）的条件下，当点G是AB的中点时，连接BE，求tan∠EBF的值． 【解答】解：（1）当k＝1时，AD＝BD，DG＝EF， ∵在▱ABCD中，∠ADB＝90°， ∴∠A＝∠ABD＝45°，AB∥CD， ∴∠CDB＝45°， ∴∠CDF＝135°， 在AD上截取DH＝DE，连接HG， ∵∠FED＝∠ADG， ∴△DHG≌△EDF（SAS）， ∴∠DHG＝∠EDF＝135°，DF＝HG， ∴∠AHG＝45°，∠AGH＝90°， ∴AG＝GH＝DF； （2）过点G作GM⊥AB交AD于点M， 当时，＝， 设∠A＝x，则∠DMG＝90°+x，∠BDC＝∠ABD＝90°﹣x， ∴∠EDF＝180°﹣（90°﹣x）＝90°+x＝∠DMG， ∵∠FED＝∠ADG， ∴△DMG∽△EDF， ∴＝， ∴，， ∵△AMG∽△ABD， ∴AM＝， ∵AD＝AM+DM， ∴， ∴9AD＝20DF+12DE； （3）过点E作EN⊥BD于N， 设AG＝BG＝DG＝4x，则BD＝，AD＝， ∴MG＝3x，AM＝5x，DM＝AD﹣AM＝， ∵△DMG∽△EDF， ∴＝， ∴EF＝3x，DE＝，DF＝， 设DN＝y， ∵EN2＝EF2﹣FN2，EN2＝DE2﹣DN2， ∴EF2﹣FN2＝DE2﹣DN2， ∴， ∴y＝， ∴EN＝，BN＝BD﹣DN＝， ∴tan∠EBF＝． 22．（10分）影子在我们生活中是常见的，那么利用影子能解决什么问题呢？某校以《影子的故事》展开项目式学习： （1）地球有多大？2000多年前，古希腊数学家埃拉托斯特尼（Eratosthenes）利用太阳光线测量出了地球子午线的周长． 项目任务（一） 如图1，太阳光线AB∥CD，CE是竖直插在球面上的木杆，AB、CE的延长线都经过圆心O，已知B、E间的劣弧长约为800千米，子午线周长约为40000千米，则∠DCE的度数为 　7.2°　． （2）中国古代也有类似的记载，陈子测日法是由我国古代杰出的数学家陈子提出，用来测量太阳高度的．陈子测量太阳高度的方法可叙述为：当夏至太阳直射北回归线时，在北方立一八尺高的标竿，观其影长为六尺．然后测量者向南移动标竿，每移动一千里，标竿的影长就减少一寸．查阅资料后，进行如下项目式研究： 项目任务（二） 如图2，某日正午，小红和小明在同一子午线的B地、C地测得太阳光与木棍的夹角分别为α，β，则∠BOA＝ 　a﹣β　，若测得AB之间弧长为l，则地球子午线周长为 　　.（用含α，β，Ⅰ的代数式表示） 项目任务（三） 如图3，日落时，身高为h的小亮趴在地上平视远方，在太阳完全从地平线上消失的一瞬间，按下秒表开始计时．同时马上站起来，当太阳再次完全消失在地平线的瞬间，停止计时，小亮利用这个时间差和地球自转的速度计算出了∠PQH＝θ，请据此计算出地球的半径R＝ 　　.（用含h，θ的代数式表示） 项目任务（四） 如图，同学们发现校门旁边有一根电线杆AB和一块半圆形广告牌，在太阳光照射下，电线杆的顶端A的影子刚好落在半圆形广告牌的最高处G，而半圆形广告牌的影子刚好落在地面上一点E，通过测量得到BC＝5米，DE＝2米，并测得光线与水平面夹角∠DEF＝43°．请你利用同学们的测量数据求出电线杆AB的高度．（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93；结果保留整数） 【解答】解：（1）设⊙O的半径为r千米，∠AOE＝x°， 由题意可得：2πr＝40000， ∴r＝， ∵劣弧BE的弧长为800千米，l＝， ∴＝800， 解得x＝7.2， 即∠AOE＝7.2°， ∵AB∥CD， ∴∠DCE＝∠AOE＝7.2°． 故答案为：7.2°； （2）项目任务（二），如图所示，延长EF交OB于P， ∵太阳光线是平行线， ∴MN∥EF， ∵∠OMN＝α， ∴∠EPM＝∠OMN＝α， ∵∠OEP＝β， ∴∠AOB＝∠EPM﹣∠OEP＝α﹣β， 设地球的半径为r1， ∵AB之间弧长为l， ∴＝1， ∴r1＝， ∴地球子午线周长为2πr＝2π•＝， 故答案为：a﹣β，； 任务（三）：由题意得，当小亮趴在地上平视远方，在太阳完全从地平线上消失的一瞬间，此时小亮视线所在的直线HQ与⊙O相切于点H，同理当小亮站起来，太阳再次完全消失在地平线的瞬间，小亮的视线所在的直线也与⊙O相切，设这个切点为T，连接OT，OH， ∴OP＝PH+OH＝h+r2， 由切线的性质可得∠PHQ＝∠PTO＝90°， ∴∠HQP+∠HPQ＝90°＝∠TPO+∠TOP， ∴∠TOP＝∠PQH＝θ， 在Rt△TPO中，cos∠TOP＝， ∴cosθ＝， ∴R＝， ∴地球的半径R为， ∴地球的周长＝2Rπ＝． 故答案为：； 项目任务（四）：解：如图，连接OF，过点G作GH⊥AB于H，则BOGH是矩形． ∵FE是⊙O的切线， ∴∠OFE＝90°， ∵∠DEF＝43°，DE＝2米， ∴sin∠DEF＝， 即sin43°＝， ∵sin43°≈0.68， ∴≈0.68， 解得OD＝4.25（米）， ∴BH＝OG＝OF＝4.25米， HG＝BO＝BC+CO＝5+4.25＝9.25（米）， OE＝OD+DE＝4.25+2＝6.25（米）， ∴EF＝＝＝（米）． ∵太阳光线是平行光线， ∴AG∥EF， 又∵GH∥OE， ∴∠E＝∠AGH． 又∵∠OFE＝∠AHG＝90°， ∴△AGH∽△OEF， ∴，即＝， 解得：AH≈8.58（米）． 即AB＝AH+BH＝8.58+4.25≈13（米）． 答：电线杆AB的高度约为13米． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/13 6:32:49；用户：19944531502；邮箱：19944531502；学号：54883509 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$