精品解析：2025年广东省深圳市南山区第二外国语（集团）三模联考数学试题

南山区第二外国语学校（集团）2024-2025学年度 九年级三模数学学科试卷 2025年06月10日 说明：1．全卷共4页． 2．考试时间为90分钟，满分100分． 3．答题时，考生务必将姓名、班级、考号、考试科目、试卷类型用2B铅笔填涂在答题卡上，并用黑色签字笔填写相应信息．请考生按要求在答题卷规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 第Ⅰ卷（选择题共24分） 一．选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 的绝对值为（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，掌握绝对值的意义是关键．因此此题根据绝对值的意义进行求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 2. 如图所示几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三视图，掌握三视图的特点是关键，根据立体图形的特点，结合选项分析即可． 【详解】解：从左边看，可得选项C的图形． 故选：C． 3. 澳门官方公布的最新数据显示，截至12月7日，2024年澳门累计入境旅客达3254.5万人次．澳门旅游业相关人士预测，全年入境旅客量有望突破3300万人次．3254.5万用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：3254.5万用科学记数法表示， 故选：D． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的运算，乘法公式，合并同类项，先根据“同底数幂相除，底数不变，指数相减”判断A，再根据单项式乘以单项式计算判断B，然后根据平方差公式计算判断C，最后根据“合并同类项法则”计算判断D． 【详解】因为，所以A不正确； 因为，所以B正确； 因为，所以C不正确； 因为，所以D不正确． 故选：B． 5. 某班24名学生参加一分钟跳绳测试，成绩 (单位：次) 如表： 成绩 171 及以下 172 173 174 175及以上 人数 3 8 6 5 2 则本次测试成绩的中位数和众数分别是（ ） A. 172和172 B. 172和173 C. 173和172 D. 173和173 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查统计知识中的中位数和众数的概念．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．据此求解即可． 【详解】解：在这一组数据中172是出现次数最多的， 故众数是172； 而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那两个数的是173和173，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是． 故选：C． 6. 如图，直线，直线分别与直线、交于点E、F，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．先根据平行线的性质得出，再根据邻补角求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：C． 7. 我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程组的实际应用，利用井的深度不变建立方程是解题的关键． 【详解】解：设绳长为x尺，列方程为， 故选A． 8. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的深度，则截面圆中弦的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂经定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握知识点．由垂径定理和勾股定理求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接，由题意知三点共线， 由题意得：， 在中，根据勾股定理得， 即截面圆中弦的长为， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题共76分） 二．填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 分解因式：________________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 详解】解： ， 故答案为：． 10. 公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）关于动力臂（单位：）的函数解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而将已知量据代入得出函数关系式． 【详解】∵阻力×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m， ∴动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式为：1200×0.5=Fl， 则． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解题关键． 11. 如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即：，已知为2米，则线段的长为_______米． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．根据点E是的黄金分割点，可得，代入数值得出答案． 【详解】解：∵点E是的黄金分割点，， ∴． ∵米， ∴米． 故答案：． 12. 如图①是一个秋千简易图，将其抽象成如图②所示的示意图，已知两根完全相等的支柱，垂直于地面，、是两根等长且紧绷的绳子．所在的直线为地面，已知，，，．当秋千处于静止状态时，木板到地面的距离约为_____m．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定及性质，过作交于，延长交于，由矩形的判定方法得四边形是矩形，由矩形的性质得，由正弦函数得，即可求解；能熟练利用矩形的判定及性质，正弦函数进行求解是解题的关键． 【详解】解：过作交于，延长交于， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， （）， 故答案为：． 13. 如图，已知中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交边，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；③作射线交于点；④分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，；⑤作直线，分别交，于点，，若，，则的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂线和角平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握尺规作图的方法和步骤是解题的关键． 由作图方法得平分，垂直平分，先证明，得到，再由线段垂直平分线的性质得到，根据勾股定理可得的长，证明，可得，求出，进而可以解决问题． 【详解】解：连接，设交于O，如图所示， 由作图方法得平分，垂直平分， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三．解答题（本题共7小题，共61分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，负整数指数幂，二次根式的性质，二次根式的加减，绝对值．先化简负整数指数幂，特殊角的三角函数，绝对值，以及运用二次根式的性质进行化简，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】先利用分式的运算规则将分式进行化简，然后将x值带入即可． 【详解】解：原式 代入 原式 【点睛】本题考查分式的基础运算，掌握运算规则且细心是本题关键． 16. 铜川市耀州区特产——耀州瓷是北方青瓷的代表，其中的倒流壶、良心壶、凤鸣壶、公道杯被称为“耀瓷四绝”，有“巧如范金，精比琢玉”的美誉．小新一家去铜川市旅游，想购买“耀瓷四绝”作为纪念，但由于预算有限，只能从这4种瓷器中购买2种，一时间不知道如何购买，于是小新制作了如图所示的4张卡片（卡片除正面内容不同外其余完全相同），将卡片背面朝上洗匀后，让妈妈先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，爸爸再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，最终以爸爸和妈妈所抽取的卡片正面内容为准进行购买． （1）妈妈抽取的是B．良心壶的概率为______； （2）请用列表法或画树状图法求爸爸和妈妈都没有抽中．凤鸣壶的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到爸爸和妈妈都没有抽中．凤鸣壶的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解；∵一共有4张卡片，且每张卡片被抽取的概率相同， ∴妈妈从中抽取一张卡片，抽取的是B．良心壶的概率为； 【小问2详解】 解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中爸爸和妈妈都没有抽中．凤鸣壶的结果有6种， ∴P（爸爸和妈妈都没有抽中C．凤鸣壶）． 17. 如图，直线l与相切于点D，AB为的直径，延长交直线l于点C． （1）尺规作图：过点A作：于点E；（保留作图痕迹，不要求写出具体作法） （2）在（1）的条件下，求证：平分； （3）如果，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）3 【解析】 【分析】本题主要考查了作垂线、切线的性质、等边对等角、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）直接运用尺规作图作垂线即可； （2）由切线的性质以及（1）的作图可得即，再根据等边对等角以及等量代换可得即可证明结论； （3）设的半径为r，则，然后运用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图1所示，即为所作． 【小问2详解】 证明：如图2，连接． ∵直线l与相切于点D， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平分； 【小问3详解】 解：设的半径为r，则， 在中，，，， ∴，解得：， ∴的半径为3． 18. 为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊，预算资金为2700元，其中1200元购买甲种花卉，其余资金购买乙种花卉．已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株． （1）求甲、乙两种花卉每株的价格； （2）购买当日正逢花卉促销，甲、乙两种花卉均按原价八折销售．已知该部门需购买甲、乙两种花卉共120株，总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元．求购买这两种花卉有几种方案？并计算所需费用的最小值． 【答案】（1）甲种花卉每株的价格为25元，乙种花卉每株的价格为30元． （2）购买这两种花卉有6种方案，所需费用的最小值为2680元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，找准等量关系，正确列出分式方程、一元一次不等式组、一次函数关系式成为解题的关键． （1）设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为元，根据购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株，列出分式方程求解即可； （2）设该部门需购买甲种花卉m株，则需购买乙种花卉株，根据总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元，列出一元一次不等式组，解得，得出购买这两种花卉有6种方案，再设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元，由题意列出一次函数关系式，然后由一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为1.2x元， 由题意得：，解得：， 经检验，是原方程解，且符合题意， 所以． 答：甲种花卉每株的价格为25元，乙种花卉每株的价格为30元． 【小问2详解】 解：设该部门需购买甲种花卉m株，则需购买乙种花卉株， 由题意得：，解得：， ∵m为正整数， ∴， ∴购买这两种花卉有6种方案， 设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元， 由题意得：， ∵， ∴y随m增大而减小， ∴当时，y有最小值． 答：购买这两种花卉有6种方案，所需费用的最小值为2680元． 19. 项目式学习 问题情境 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，是一个新能源超级充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究． 研究步骤 如图2是该超级充电站的截面图，是安装充电桩的墙面，是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看作抛物线的一部分．以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知，点B为所在抛物线的最高点，其坐标为． （1）求所在抛物线的函数解析式． 问题解决 如图2，点C是上干粉灭火器的安装点，是长度为的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点．已知干粉喷射点D距离地面时，对地面的保护半径为．对空间的保护截面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域．安装点C可根据需要在所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形成的抛物线形状相同． （2）若干粉喷射点D距地面的高度恰好为时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点？请说明理由． （3）若灭火器喷射时，对空间的保护截面与墙的交点为，请直接写出点D的横坐标． 【答案】（1）；（2）不能覆盖着火点，理由见解析；（3）点D的横坐标为． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，并会利用数形结合思想解答． （1）根据题意设所在抛物线的解析式为，将点代入求解即可； （2）由题意得，，，求得点，点，设此时抛物线的解析式为，利用待定系数法求得抛物线的解析式为，据此求解即可； （3）设点，则点，设此时抛物线的解析式为，将代入即可求得，据此求解即可． 【详解】解：（1）由题意，所在抛物线的顶点坐标为， ∴设所在抛物线的解析式为， 将点代入得， 解得， ∴所在抛物线的解析式为，即； （2）不能覆盖着火点，理由如下， 由题意得，，， 对于， 令，则， 解得（舍去）或， ∴点， ∴点， 设此时抛物线的解析式为， ∵对地面保护半径为， ∴此抛物线与轴的两个交点为和，即和， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则， ∴点在抛物线与轴形成的区域的外侧，∴不能覆盖着火点； （3）∵点C在所在抛物线上滑动， ∴设点， ∴点，即， ∵点D的移动中，点D的喷出的干粉形成的抛物线形状与点C的喷出的干粉形成的抛物线形状相同， ∴设此时抛物线的解析式为， 将代入得， 整理得， ∵， ∴（舍去负值）， ∴， ∴点D的横坐标为． 20. 【综合与实践】 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． 【初步探究】 （1）如图①，在“双垂四边形”中，若，则________，的值为________； （2）如图②，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一点，且，求的值； 【拓展应用】 （3）如图③，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到（点F在的下方）．连接，若，请直接写出的面积． 【答案】（1）；；（2）；（3）12 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，正确画出图形，添加辅助线解答是解题的关键． （1）由直角三角形两锐角互余可得，，进而可得，即可求解； （2）根据等腰直角三角形的性质可证，得到，即可求解； （3）如图，过点作于点，由（2）知，，，即得，，进而由折叠可得四边形为正方形，连接，则，，证明，可求得，即可求解． 【详解】解：（1），， ， ， ，， ， 故答案为：，； （2），， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图，过点作于点， 由（2）知，， ， ， ， 同理（2）可得，， ， 由折叠的性质可知， 四边形为正方形， 如图，连接，则，， ，即， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南山区第二外国语学校（集团）2024-2025学年度 九年级三模数学学科试卷 2025年06月10日 说明：1．全卷共4页． 2．考试时间为90分钟，满分100分． 3．答题时，考生务必将姓名、班级、考号、考试科目、试卷类型用2B铅笔填涂在答题卡上，并用黑色签字笔填写相应信息．请考生按要求在答题卷规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 第Ⅰ卷（选择题共24分） 一．选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 绝对值为（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 如图所示几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 澳门官方公布最新数据显示，截至12月7日，2024年澳门累计入境旅客达3254.5万人次．澳门旅游业相关人士预测，全年入境旅客量有望突破3300万人次．3254.5万用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 某班24名学生参加一分钟跳绳测试，成绩 (单位：次) 如表： 成绩 171 及以下 172 173 174 175及以上 人数 3 8 6 5 2 则本次测试成绩的中位数和众数分别是（ ） A. 172和172 B. 172和173 C. 173和172 D. 173和173 6. 如图，直线，直线分别与直线、交于点E、F，且，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的深度，则截面圆中弦的长为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共76分） 二．填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 分解因式：________________ 10. 公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）关于动力臂（单位：）的函数解析式为______． 11. 如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即：，已知为2米，则线段的长为_______米． 12. 如图①是一个秋千简易图，将其抽象成如图②所示的示意图，已知两根完全相等的支柱，垂直于地面，、是两根等长且紧绷的绳子．所在的直线为地面，已知，，，．当秋千处于静止状态时，木板到地面的距离约为_____m．（结果精确到，参考数据：，，） 13. 如图，已知中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交边，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；③作射线交于点；④分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，；⑤作直线，分别交，于点，，若，，则的面积是________． 三．解答题（本题共7小题，共61分） 14. 计算：． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 铜川市耀州区特产——耀州瓷是北方青瓷的代表，其中的倒流壶、良心壶、凤鸣壶、公道杯被称为“耀瓷四绝”，有“巧如范金，精比琢玉”的美誉．小新一家去铜川市旅游，想购买“耀瓷四绝”作为纪念，但由于预算有限，只能从这4种瓷器中购买2种，一时间不知道如何购买，于是小新制作了如图所示的4张卡片（卡片除正面内容不同外其余完全相同），将卡片背面朝上洗匀后，让妈妈先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，爸爸再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，最终以爸爸和妈妈所抽取的卡片正面内容为准进行购买． （1）妈妈抽取的是B．良心壶的概率为______； （2）请用列表法或画树状图法求爸爸和妈妈都没有抽中．凤鸣壶的概率． 17. 如图，直线l与相切于点D，AB为的直径，延长交直线l于点C． （1）尺规作图：过点A作：于点E；（保留作图痕迹，不要求写出具体作法） （2）在（1）的条件下，求证：平分； （3）如果，求的半径． 18. 为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊，预算资金为2700元，其中1200元购买甲种花卉，其余资金购买乙种花卉．已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株． （1）求甲、乙两种花卉每株的价格； （2）购买当日正逢花卉促销，甲、乙两种花卉均按原价八折销售．已知该部门需购买甲、乙两种花卉共120株，总费用不超预算，其中甲花卉资金不超过1000元．求购买这两种花卉有几种方案？并计算所需费用的最小值． 19. 项目式学习 问题情境 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，是一个新能源超级充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究． 研究步骤 如图2是该超级充电站的截面图，是安装充电桩的墙面，是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看作抛物线的一部分．以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知，点B为所在抛物线的最高点，其坐标为． （1）求所在抛物线函数解析式． 问题解决 如图2，点C是上干粉灭火器的安装点，是长度为的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点．已知干粉喷射点D距离地面时，对地面的保护半径为．对空间的保护截面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域．安装点C可根据需要在所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形成的抛物线形状相同． （2）若干粉喷射点D距地面的高度恰好为时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点？请说明理由． （3）若灭火器喷射时，对空间的保护截面与墙的交点为，请直接写出点D的横坐标． 20. 【综合与实践】 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． 【初步探究】 （1）如图①，在“双垂四边形”中，若，则________，的值为________； （2）如图②，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一点，且，求的值； 【拓展应用】 （3）如图③，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到（点F在的下方）．连接，若，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$