第一章 有理数（知识清单）数学人教版2024七年级上册

第一章 有理数 1.大于0的数叫 ，在正数的前面加上负号“-”的数叫 ． 2.数0既不是 ，又不是 ． 3.在同一问题中，分别用正数和负数表示具有 的意义． 4.人们常用正负数来表示一对具有 的量． 5.有理数的分类： 6.数轴：规定了 、 和 的 ． 7.相反数：只有 的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 8.绝对值：（1)代数意义：一个 的绝对值是它本身；一个 的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的 ． 9.有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1） ；（2） ：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) ．（4） ；（5) ． 易错点1 化简多重符号 1. 化简关键规则：核心是“奇负偶正”：数清负号个数，奇数个负号结果为负，偶数个则为正。正号可直接忽略，不影响结果。例如，-(-(-6))有3个负号（奇数），结果为-6；+(+(-2))实际只有1个负号，结果为-2。 2. 易错注意事项 别漏数负号：多层括号易漏算，可逐层拆解，如-[-(-4)]先算内层-(-4)=4，再算外层-4。 区分符号与数值：化简只变符号，数字大小不变，如-(-|-3|)，先得|-3|=3，再化简为3。 例题1．化简： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 易错点2 带“非”字的有理数的分类 1. 分类易错点总结 混淆“非正”“非负”与“正负”：非正数包括负数和0，非负数包括正数和0，不可漏掉0。如“非正有理数”≠负数，还含0。 误将“非整数”等同于分数：非整数是整数以外的有理数，即分数（包括正分数、负分数），注意不包含整数。 2. 注意事项总结 明确“非”的范围：“非”表示“不”，如非负数是“不是负数”，即正数和0，需包含边界值0。 分类不重不漏：按“非”字分类时，先确定对立面，再包含0，如非负整数=正整数+0，避免遗漏或重复。 例题2．把下面各数填在相应的大括号里（将各数用逗号分开）： ，，0，，，，，． 负整数集合{ } 正数集合{ } 非负整数集合{ } 易错点3 利用分类讨论数学思想化简绝对值 1. 易错点总结 临界点遗漏：化简|a - b|时，未明确a = b这一临界点，只讨论a > b和a < b，忽略此时绝对值为0。 分类条件错误：判断符号时逻辑颠倒，如|x + 3|中，误将x > -3写成x ≥ -3，导致分类重叠。 2. 注意事项总结 先找零点：令绝对值内表达式为0，求出所有临界点，以此划分区间，确保不重不漏。 按区间定符号：在每个区间内确定表达式正负，再去绝对值，如x < -2时，|x + 2| = -(x + 2)，避免符号错误。 例题3．请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则______；当时，则______． (2)已知，，是有理数，当时，的值为______． (3)已知，，是有理数，，，求的值． 易错点4 绝对值的几何意义 1. 易错点总结 混淆距离与正负：误将|a - b|理解为a - b的正负，实际它表示数轴上a与b两点的距离，恒非负。如|3 - 5|是2，而非-2。 忽略多解情况：|x|=3表示x到原点距离为3，解为±3，易漏写其中一个解。 2. 注意事项总结 紧扣“距离”本质：任何数的绝对值是它到原点的距离，多个数时是两点间距离，与方向无关。 明确解的完整性：绝对值方程或不等式需考虑所有满足距离条件的数，如|x - 2|=1，解为x=3和x=1，避免漏解。 例题4．（1）同学们知道，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，在这一学习过程中，主要体现的数学思想有________________ A． 数形结合思想 B． 转化思想 C． 方程思想 D． 分类讨论思想 回答下列问题： （2）若，求x的值． （3）若，求y的值． （4）当__________时，有最小值，最小值为__________． （5）当取最小值时，求x，y的值． 一、单选题 1．下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．下列各数：，，，，中一定是正数的（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．在，，，，0，，中，非负数有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 二、填空题 4．化简下列各数： ， ． 5．（1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 6．有理数中，非负整数有 个． 三、解答题 7．化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 8．把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，2024，，，． (1)非负有理数集合：{                        …}； (2)负数集合：{                        …}； (3)分数集合：{                        …}． 9．把下列各数填在相应的大括号里． ，，，，，，，，，． 正整数：{______________}； 非正数：{______________}； 负分数：{______________}； 有理数：{______________}． 10．同学们，我们在本期教材中曾经学习过绝对值的概念：在数轴上，表示一个数a的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作． 实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记作；数轴上表示数的点与表示数2的点的距离可记作，也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作． 回答下列问题： (1)数轴上表示2和7的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示x与的两点A和B之间的距离可记作 ，如果这两点之间的距离为2，那么x为 ； (3)找出所有符合条件的整数x，使得|，这样的整数是 ． 11．“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的四个问题． 例：三个有理数，，满足，求的值． 解：由题意得：，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当，，都是正数，即，，时， 则：； ②当，，有一个为正数，另两个为负数时，设，，， 则：， 综上述：的值为或-． 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知，，且，求的值； (2)已知，是有理数，当时，求值． (3)已知，，是有理数，，，求的值． 12．综合与实践： 【背景知识】 有理数和分别对应数轴上的点和点，定义为数a、b的中点数，定义为点A、B之间的距离，其中表示数a、b的差的绝对值． 例如：如图1所示，有理数−1和3分别对应数轴上的点P和点，数−1和3的中点数是，点P，Q之间的距离是． 请阅读以上材料，完成下列问题： 【问题情境】 如图2所示，在数轴上原点表示数是0，点在原点的左侧，所表示的数是，点到原点距离为2；点在原点的右侧，所表示的数是，点到点距离为6，点为数轴上任意点，所表示的数是． 【解决问题】 (1)______，______； (2)______，______； (3)已知，求的值； (4)对于数轴上的三点，又给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．现在，点、点分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发秒后，点恰好是点A，B的“2倍点”．请直接写出此时的值是______． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 有理数 1.大于0的数叫 正数 ，在正数的前面加上负号“-”的数叫 负数 ． 2.数0既不是 正数 ，又不是 负数 ． 3.在同一问题中，分别用正数和负数表示具有 相反 的意义． 4.人们常用正负数来表示一对具有 相反意义 的量． 5.有理数的分类： 6.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 7.相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 8.绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 9.有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 易错点1 化简多重符号 1. 化简关键规则：核心是“奇负偶正”：数清负号个数，奇数个负号结果为负，偶数个则为正。正号可直接忽略，不影响结果。例如，-(-(-6))有3个负号（奇数），结果为-6；+(+(-2))实际只有1个负号，结果为-2。 2. 易错注意事项 别漏数负号：多层括号易漏算，可逐层拆解，如-[-(-4)]先算内层-(-4)=4，再算外层-4。 区分符号与数值：化简只变符号，数字大小不变，如-(-|-3|)，先得|-3|=3，再化简为3。 例题1．化简： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 【答案】 2024 【分析】本题考查了化简多重符号，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 根据化简多重符号的法则计算即可得解； 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 故答案为：；2024；；． 易错点2 带“非”字的有理数的分类 1. 分类易错点总结 混淆“非正”“非负”与“正负”：非正数包括负数和0，非负数包括正数和0，不可漏掉0。如“非正有理数”≠负数，还含0。 误将“非整数”等同于分数：非整数是整数以外的有理数，即分数（包括正分数、负分数），注意不包含整数。 2. 注意事项总结 明确“非”的范围：“非”表示“不”，如非负数是“不是负数”，即正数和0，需包含边界值0。 分类不重不漏：按“非”字分类时，先确定对立面，再包含0，如非负整数=正整数+0，避免遗漏或重复。 例题2．把下面各数填在相应的大括号里（将各数用逗号分开）： ，，0，，，，，． 负整数集合{ } 正数集合{ } 非负整数集合{ } 【答案】见解析 【分析】本题考查了正数，负数，整数，分数，有理数，以及无理数的概念．要注意的是本题中的是无限不循环小数，为无理数． 【详解】解：，， 负整数集合{，…} 正数集合{，，，…} 正分数集合{，…} 非负整数集合{，…}． 易错点3 利用分类讨论数学思想化简绝对值 1. 易错点总结 临界点遗漏：化简|a - b|时，未明确a = b这一临界点，只讨论a > b和a < b，忽略此时绝对值为0。 分类条件错误：判断符号时逻辑颠倒，如|x + 3|中，误将x > -3写成x ≥ -3，导致分类重叠。 2. 注意事项总结 先找零点：令绝对值内表达式为0，求出所有临界点，以此划分区间，确保不重不漏。 按区间定符号：在每个区间内确定表达式正负，再去绝对值，如x < -2时，|x + 2| = -(x + 2)，避免符号错误。 例题3．请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则______；当时，则______． (2)已知，，是有理数，当时，的值为______． (3)已知，，是有理数，，，求的值． 【答案】(1)， (2)3或或1或 (3)1 【分析】（1）直接根据绝对值的性质求解即可； （2）可知三个数中必需有两个正数，一个负数，可设，，解答； （3）分a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴． （2）解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数． ①当a，b，c都是正数，即时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设， 则：； ③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，设， 则： ； ④当a，b，c三个数都为负数时， 则： ； 综上所述：的值为3或或1或． （3）解：∵， ∴三个数中必需有两个正数，一个负数，可设 ∴，，， ∴ ． 易错点4 绝对值的几何意义 1. 易错点总结 混淆距离与正负：误将|a - b|理解为a - b的正负，实际它表示数轴上a与b两点的距离，恒非负。如|3 - 5|是2，而非-2。 忽略多解情况：|x|=3表示x到原点距离为3，解为±3，易漏写其中一个解。 2. 注意事项总结 紧扣“距离”本质：任何数的绝对值是它到原点的距离，多个数时是两点间距离，与方向无关。 明确解的完整性：绝对值方程或不等式需考虑所有满足距离条件的数，如|x - 2|=1，解为x=3和x=1，避免漏解。 例题4．（1）同学们知道，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，在这一学习过程中，主要体现的数学思想有________________ A． 数形结合思想 B． 转化思想 C． 方程思想 D． 分类讨论思想 回答下列问题： （2）若，求x的值． （3）若，求y的值． （4）当__________时，有最小值，最小值为__________． （5）当取最小值时，求x，y的值． 【答案】（1）D （2）（3）1（4）1，0 （5） 【分析】（1）按照正数，负数，零三种情形解答，体现了分类的思想，解答即可． （2）根据题意，分类解答即可． （3）根据，解答即可． （4）根据，得到最小值为0，此时解答即可． （5）根据，得到，得到时，取得最小值，解答即可． 本题考查了分类思想，绝对值的非负性，应用非负性求最小值，一元一次方程的应用，熟练掌握非负性是解题的关键． 【详解】（1）解：按照正数，负数，零三种情形解答，体现了分类的思想， 故选：D． （2）解：∵， ∴时，； 时，，解得； 故x的值为． （3）解：根据，得，， 解得， 故y的值为1． （4）解：根据，得到时，取得最小值，且最小值为0， 故， 解得； 故当x的值为1,取得最小值，且最小值为0． （5）解：根据题意，得， 故， 故时，取得最小值， 此时， 解得， 故． 一、单选题 1．下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了化简多重符号，相反数的定义，根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，，两数相等，不是相反数； B、，，两数相等，不是相反数； C、与不满足相反数的定义，不是相反数； D、，，满足相反数的定义，与互为相反数； 故选：D 2．下列各数：，，，，中一定是正数的（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了负数的识别，化简多重符号，先根据化简多重符号的法则求出对应的数的结果，再根据负数是小于0的数即可得到答案． 【详解】解：，，，，， ∴一定是正数的有，，由于m的符号未知，故的符号未知， 故选：B． 3．在，，，，0，，中，非负数有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的分类．解题的关键是熟练掌握绝对值的化简，符号化简，乘方运算法则，有理数的分类．化简符号，根据有理数的分类进行解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴这八个数中，非负数有：，，，0，共5个． 故选：C． 二、填空题 4．化简下列各数： ， ． 【答案】 7 / 【分析】本题考查了多重符号的化简方法． 应该注意：在一个数前面添加一个“”，所得的数与原数相同；在一个数前面添加一个“”，所得的数就成为原数的相反数． 对于一个数前面有多个符号的情况，可以先将该数前面的所有“”去掉，再根据“”的数量进行判断：若“”的个数为偶数时，则结果取“”； 若“”的个数为奇数时，则结果取“”． 【详解】解：，， 故答案为：7，． 5．（1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了化简多重符号，熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，进行解答即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：3； （2）； 故答案为：； （3）； 故答案为：； （4）． 故答案为：． 6．有理数中，非负整数有 个． 【答案】4 【分析】本题主要考查了非负整数的判定，根据非负整数是大于或等于0的整数解题即可． 【详解】解：，， ∴非负整数的有2，，0，8． 一共4个． 故答案为：4． 三、解答题 7．化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了相反数中多重符号的化简，多重符号的化简：与“”个数无关，有奇数个“”负，有偶数个“”号结果为正． （1）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （2）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （3）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （4）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （5）根据多重符号的化简法则求解，即可解题． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 8．把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，2024，，，． (1)非负有理数集合：{                        …}； (2)负数集合：{                        …}； (3)分数集合：{                        …}． 【答案】(1)0，，2024， (2)，，， (3)，，， 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的两种分类方式是解答本题的关键． 有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数．根据有理数的分类求解即可． 【详解】（1）解：非负有理数集合：{0，，2024，…}； （2）解：负数集合：{，，，…} （3）解：分数集合：{，，，…} 9．把下列各数填在相应的大括号里． ，，，，，，，，，． 正整数：{______________}； 非正数：{______________}； 负分数：{______________}； 有理数：{______________}． 【答案】，；，，，；，；，，，，，，，． 【分析】本题考查了正整数、非正数、负分数、有理数的定义，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉正整数、非正数、负分数、有理数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用． 【详解】解：，， 正整数：{，}； 非正数：{，，，}； 负分数：{，}； 有理数：{，，，，，，，}； 故答案为：，；，，，；，；，，，，，，，． 10．同学们，我们在本期教材中曾经学习过绝对值的概念：在数轴上，表示一个数a的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作． 实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记作；数轴上表示数的点与表示数2的点的距离可记作，也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作． 回答下列问题： (1)数轴上表示2和7的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示x与的两点A和B之间的距离可记作 ，如果这两点之间的距离为2，那么x为 ； (3)找出所有符合条件的整数x，使得|，这样的整数是 ． 【答案】(1)5，4； (2)，1或； (3) 【分析】此题考查了绝对值函数的最值，数轴，两点间的距离及相反数的知识，综合的知识点较多，难度一般，注意理解绝对值的几何意义是关键． （1）根据题意所述，运用类比的方法即可得出答案． （2）根据两点之间的距离为2，得到，继而可求出答案． （3）表示点到点与1的距离和为3，即数轴上点到1之间的整数解都满足，可得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：5，4； （2）， ∵这两点之间的距离为2， ， ， 故答案为：，1或； （3）所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是， 故答案为：． 11．“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的四个问题． 例：三个有理数，，满足，求的值． 解：由题意得：，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当，，都是正数，即，，时， 则：； ②当，，有一个为正数，另两个为负数时，设，，， 则：， 综上述：的值为或-． 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知，，且，求的值； (2)已知，是有理数，当时，求值． (3)已知，，是有理数，，，求的值． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法，有理数的乘法法则； （1）根据绝对值的意义和，确定、的值，再计算； （2）对、进行讨论，即、同正，、同负，、异号，根据绝对值的意义计算得到结果； （3）根据，，是有理数，，把求转化为求的值，根据得结果． 【详解】（1）解：因为，，且， 所以，或，． 则或， 即的值为或； （2）已知，是有理数，当时，可分为四种情况： ①若，，； ②若，，； ③若，，； ④若，，． 故的值为或0； （3）因为，，是有理数，，， 所以，，，且，，有两个正数一个负数， 设，，， 则． 12．综合与实践： 【背景知识】 有理数和分别对应数轴上的点和点，定义为数a、b的中点数，定义为点A、B之间的距离，其中表示数a、b的差的绝对值． 例如：如图1所示，有理数−1和3分别对应数轴上的点P和点，数−1和3的中点数是，点P，Q之间的距离是． 请阅读以上材料，完成下列问题： 【问题情境】 如图2所示，在数轴上原点表示数是0，点在原点的左侧，所表示的数是，点到原点距离为2；点在原点的右侧，所表示的数是，点到点距离为6，点为数轴上任意点，所表示的数是． 【解决问题】 (1)______，______； (2)______，______； (3)已知，求的值； (4)对于数轴上的三点，又给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．现在，点、点分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发秒后，点恰好是点A，B的“2倍点”．请直接写出此时的值是______． 【答案】(1)−2，4 (2)1，6 (3) (4)或 【分析】（1）依题意，结合两点距离公式直接求解； （2）依题意，结合数轴上两点之间的距离公式和中点公式直接求解即可； （3）依题意，由，先求得，进一步求解即可； （4）根据各点运动可以得到运动后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，由此得到，，然后根据或得到方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 故答案为：，4； （2）解：依题意得：，， 故答案为：1，6； （3）解：依题意得：， ，解得：， ， 故答案为：3； （4）解：点以每秒4个单位长度向右运动，则运动后，点表示的数为：， 点以每秒1个单位长度向右运动，则运动后，点表示的数为：， 点以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，则运动后，点表示的数为， ，， 点恰好是点的 “2倍点”， 或， 当时，，解得或（舍去）； 当时，，解得或， 综上，点恰好是点的 “2倍点”时，此时的值为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了数轴，涉及数轴表示有理数、数轴上两点之间的距离公式、数轴上中点坐标公式以、绝对值方程求解及动点问题，读懂题意，数形结合由题意列出方程求解是解决问题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$