专题03 有理数的混合运算的五类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版2024七年级上册

专题03 有理数的混合运算的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、有理数乘除混合运算 类型二、含乘方的有理数的混合运算 类型三、有理数的混合运算中的简便运算 类型四、有理数的混合运算中的新定义型问题 类型五、有理数的混合运算的实际应用 压轴专练 类型一、有理数乘除混合运算 1. 有理数的乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数同0相乘，都得0. （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 2.有理数除法法则 ◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 ◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 例1．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）计算：． 【变式1-1】（24-25七年级上·北京房山·期中）计算： (1)； (2)． 【变式1-2】（24-25七年级上·吉林通化·期中）阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程从第______步开始错误； (2)请你写出正确的解答过程． 【变式1-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 类型二、含乘方的有理数的混合运算 1.有理数的乘方运算 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 2.有理数的混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 例2．计算 (1) (2) 【变式2-1】计算： (1) (2) 【变式2-2】（24-25七年级上·四川资阳·期末）计算： (1) (2) 【变式2-3】计算： (1)； (2)． 类型三、有理数的混合运算中的简便运算 1. 巧用运算律：交换律调整数的位置（如凑整），结合律分组计算（同号、凑0或1），分配律去括号简化（尤其含分数/小数时）。 2. 拆分与合并：将复杂数拆成易算形式（如101=100+1），或合并相同因数，减少运算步骤，避免出错。 例3．（24-25七年级上·河南周口·期中）用简便方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3-1】怎样简便就怎样算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式3-2】（24-25七年级上·广东梅州·期中）（1）请你仔细阅读下列材料：计算： 解法1：按常规方法计算 原式 解法2：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故原式 根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法进行计算：． （2）阅读下题的计算方法： 计算． 解：原式 上面的这种解题方法叫拆项法，按此方法计算：． 【变式3-3】阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)； (3)． (4) 类型四、有理数的混合运算中的新定义型问题 1. 先明确新定义运算的规则，理解符号或表达式的含义，将新运算转化为熟悉的加减乘除运算，注意运算顺序和括号的作用。 2. 代入具体数值或代数式，按新规则逐步计算，结合有理数混合运算的法则，验证结果是否符合定义，避免混淆新规则与常规运算。 例4．对有理数a、b定义运算如下：． (1)计算______； (2)求的值． 【变式4-1】（24-25七年级下·辽宁盘锦·阶段练习）新定义运算：．例． 求 (1)的值为； (2)的值为． 【变式4-2】定义新运算：，，a，b是实数，如：，． (1)求的值； (2)求的值． 【变式4-3】（24-25七年级上·山西临汾·期中）对于任意有理数和，定义一种新运算“”：，例如： (1)求的值； (2)求的值； (3)计算和的值，并根据计算结果判断这种运算是否满足交换律． 类型五、有理数的混合运算的实际应用 1.先分析实际问题中的数量关系，用有理数表示相反意义的量（如收入为正、支出为负），再确定运算顺序，列出混合运算式子。 2.按“先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号”的法则计算，结合实际意义检验结果合理性，解决如利润、行程等问题。 例5．（24-25七年级上·重庆秀山·期末）2024年11月7日，恰逢立冬，又遇我县第一届运动会，更是我县41岁“生日”．为保证运动会顺利进行，全县人民高度重视并积极参与．某出租车驾驶员无偿为各能量补给站运送物资，他从物资配送站出发，在东西向的站前大道上连续接送6批物资，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：）： 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 第6批 (1)接送完第6批物资后，该驾驶员在物资配送站什么方向，距离物资配送站多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油升，那么在这个过程中共耗油多少升？ 【变式5-1】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）2024-2025 学年安徽省中小学开始实施“三个一”工程，即各中小学实现“一天一节体育课、一周一场体育比赛、一生一项体育特长”．某中学本周七年级各班级之间开展了一分钟跳绳对抗赛，下表为七年级（1）班42 人参加一分钟跳绳比赛的情况，若标准数量为每人每分钟100个．超过标准数量的记为正，不足标准数量的记为负． 跳绳个数与标准数量的差值 0 4 5 6 人数 6 12 2 7 10 5 (1)求这个班42人一分钟内平均每人跳绳多少个？ (2)规定跳绳达到标准数量记0分；规定跳绳超过标准数量，每多跳1个加2分；规定跳绳未达到标准数量，每少跳1个，扣1分，求这个班跳绳总共获得多少分？ 【变式5-2】（24-25七年级上·广东佛山·期中）一原料仓库某天的原料进出记录如下表所示（运进用正数表示，运出用负数表示）： 进出数量（单位：吨） 1 4 进出次数 1 4 3 2 5 (1)这天仓库的原料比原来增加或减少了多少？ (2)该仓库的原料配送提供以下两种方案： 方案一：运进每吨原料费用5元，运出每吨原料费用8元； 方案二：不管运进还是运出，每吨原料费用都是6元；从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适？请说明理由． 【变式5-3】有20袋大米，以每袋15千克为标准．超过或不足的千克数分别用正负数来表示．记录如下表： 与标准质量的差值（单位：千克） 1 0 2.5 袋数 1 2 3 8 4 2 (1)20袋大米中，最重的一袋比最轻的一袋重多少千克? (2)与标准重量比较，20袋大米总计超过多少千克或不足多少千克? (3)若大米每千克售价3.5元，出售这20袋大米可多少元? 一、单选题 1．计算的结果为（    ） A． B．1 C． D．4 2．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 3．下列各式计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·四川成都·期中）根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出值为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·四川·模拟预测）定义一种新运算：  ． 如：  ，则  的值为(   ) A． B． C． D． 二、填空题 6．计算： ． 7．（23-24七年级上·四川达州·期中）已知有理数a，b，c满足，则 ． 8．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）对于有理数a，b，定义一种新运算“※”，规定：，例如：．则的值是 ． 9．（2025·广东广州·二模）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，如图1，孩子出生后的天数（天），请根据图2，计算孩子自出生后的天数是 天． 10．（24-25七年级上·广东广州·期末）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替重复进行，例如：取，则，其中第1次，第2次，．若，则第2025次“”运算的结果是 ． 三、解答题 11．计算： (1) (2) 12．计算： (1)； (2)； (3)． 13．运用运算律进行简便运算： (1)； (2)； (3)． 14．（24-25七年级上·山东聊城·期末）计算： (1) (2)； (3) 15．若定义一种新的运算“”，规定有理数：，如． (1)求的值； (2)求的值． 16．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ① 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 17．观察下列各式的计算结果： ；； ； (1)用你发现的规律填写下列式子的结果： ____________________；____________________． (2)用你发现的规律计算：． 18．砀山酥梨是一种驰名中外的特色水果，它是梨的一种，因为出产于砀山县而得名．现有20筐砀山酥梨，以每筐25千克的质量为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 1 2.5 筐数 1 4 2 3 2 8 (1)这20筐砀山酥梨中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)若砀山酥梨每千克售价4元，则这20筐砀山酥梨可卖多少元？ 19．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）【阅读材料】： 求的值． 解：设，① 则，② 由，得． 【解决问题】： （1）请运用上面的方法求的值． 【迁移应用】： （2）求的值． 20．（24-25八年级上·四川眉山·期中）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是_____ （请填序号）． ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．计算：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 有理数的混合运算的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、有理数乘除混合运算 类型二、含乘方的有理数的混合运算 类型三、有理数的混合运算中的简便运算 类型四、有理数的混合运算中的新定义型问题 类型五、有理数的混合运算的实际应用 压轴专练 类型一、有理数乘除混合运算 1. 有理数的乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数同0相乘，都得0. （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 2.有理数除法法则 ◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 ◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 例1．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘除法运算，先将除法变为乘法，再约分计算可得答案． 【详解】解：原式 . 【变式1-1】（24-25七年级上·北京房山·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算． （1）把除法转化成乘法依次计算即可． （2）从左到右依次计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式1-2】（24-25七年级上·吉林通化·期中）阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程从第______步开始错误； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)二； (2)见解析． 【分析】本题考查了有理数乘除混合运算．熟练掌握有理数乘除混合运算的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数乘除混合运算的运算法则判断作答即可； （2）先计算括号，然后将除法变乘法，最后进行乘法运算即可． 【详解】（1）解：由题意知，上面解题过程从第二步开始错误， 错误原因是没有按同级运算从左至右运算； （2）解：原式 ． 【变式1-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）根据有理数的乘除运算法则进行计算即可； （）根据有理数的乘除运算法则进行计算即可； （）根据有理数的乘除运算法则进行计算即可； （）根据有理数的乘除运算法则进行计算即可； 本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握有理数的乘除运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 类型二、含乘方的有理数的混合运算 1.有理数的乘方运算 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 2.有理数的混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 例2．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，再计算乘除，最后进行加减计算； （2）先计算乘方，和化简绝对值，再计算括号内减法，然后计算乘除，最后进行加法计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-1】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算； （1）先算乘方，再算乘除，最后算减法即可； （2）先算乘方，再算乘除，最后算减法，有括号先算括号即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-2】（24-25七年级上·四川资阳·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先乘方，化简绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先乘方再乘除，最后计算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是严格按照先乘方，再乘除，最后加减的运算顺序进行计算，有括号先算括号内的． （1）先计算乘方，再依次进行乘除运算，最后进行减法运算； （2）先算乘方与括号内的式子，再依次进行乘除运算，最后进行减法运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 类型三、有理数的混合运算中的简便运算 1. 巧用运算律：交换律调整数的位置（如凑整），结合律分组计算（同号、凑0或1），分配律去括号简化（尤其含分数/小数时）。 2. 拆分与合并：将复杂数拆成易算形式（如101=100+1），或合并相同因数，减少运算步骤，避免出错。 例3．（24-25七年级上·河南周口·期中）用简便方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）根据有理数加减运算和加法运算律即可求解； （）先把除法转化为乘法，然后根据有理数乘法分配律即可求解； （）根据有理数乘法运算律即可求解； （）利用加法分配律逆运算即可求解； 本题考查了有理数的混合运算，有理数的运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式3-1】怎样简便就怎样算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【分析】本题考查了有理数的运算，运算律，掌握运算法则是解题的关键． （）先算乘法，然后根据加法结合律进行同分母运算，最后算加法即可； （）先算括号内的除法，再算加法，最后算减法即可； （）根据加法结合律进行同分母运算，最后算减法即可； （）分别算括号内的加法，乘法和减法，最后算除法即可； （）先算乘法，然后通过乘法分配律进行简便计算即可； （）先算括号内的加法，最后算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【变式3-2】（24-25七年级上·广东梅州·期中）（1）请你仔细阅读下列材料：计算： 解法1：按常规方法计算 原式 解法2：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故原式 根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法进行计算：． （2）阅读下题的计算方法： 计算． 解：原式 上面的这种解题方法叫拆项法，按此方法计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数运算四则混合运算相关考点，解题关键在于掌握特定运算方法并灵活运用，具体解题思路围绕材料所给方法展开． （1）有理数除法计算以及乘法分配律的运用．通过将除法转化为乘法，再利用乘法分配律简化计算过程，最终求出原式的值； （2）有理数的加减混合运算中的拆项法．考查学生对拆项法这种特殊运算方法的理解和运用能力，利用该方法将复杂的有理数加减运算简化． 【详解】（1）解：原式的倒数为： ， ∴； （2）解： ． 【变式3-3】阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)； (3)． (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，逆用分配律简便计算是关键； （1）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （2）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （3）逆用乘法分配律计算即可； （4）先计算乘方，再计算乘除，最后进行加减计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： = = =． 类型四、有理数的混合运算中的新定义型问题 1. 先明确新定义运算的规则，理解符号或表达式的含义，将新运算转化为熟悉的加减乘除运算，注意运算顺序和括号的作用。 2. 代入具体数值或代数式，按新规则逐步计算，结合有理数混合运算的法则，验证结果是否符合定义，避免混淆新规则与常规运算。 例4．对有理数a、b定义运算如下：． (1)计算______； (2)求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）根据定义的运算代入求解即可得出答案； （2）先计算中括号里面的，再计算括号外面的即可得出答案． 本题考查的是有理数的混合运算，解题关键在于根据新定义列出代数式． 【详解】（1）根据题意得， ； （2） ． 【变式4-1】（24-25七年级下·辽宁盘锦·阶段练习）新定义运算：．例． 求 (1)的值为； (2)的值为． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据新定义运算求解即可； （2）根据新定义，先计算得到，再计算即可， 【详解】（1）解：根据题意可得：； （2）解：根据题意可得： ． 【变式4-2】定义新运算：，，a，b是实数，如：，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】此题是定义新运算题，主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解答此题的关键． （1）根据已知条件，把所求算式中的数代入进行计算即可； （2）先根据，把a，b表示的数代入求出，再根据，求出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ， ∵， ∴ ． 【变式4-3】（24-25七年级上·山西临汾·期中）对于任意有理数和，定义一种新运算“”：，例如： (1)求的值； (2)求的值； (3)计算和的值，并根据计算结果判断这种运算是否满足交换律． 【答案】(1)3 (2) (3)，，不满足 【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数的乘法运算，乘法运算律．理解运算规则是解题的关键． （1）由题意知，，计算求解即可； （2）根据，计算求解即可； （3）由题意知，，，由，作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，； ∴的值为3； （2）解： ， ∴的值为； （3）解：由题意知，， ， ∵， 不满足交换律． 类型五、有理数的混合运算的实际应用 1.先分析实际问题中的数量关系，用有理数表示相反意义的量（如收入为正、支出为负），再确定运算顺序，列出混合运算式子。 2.按“先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号”的法则计算，结合实际意义检验结果合理性，解决如利润、行程等问题。 例5．（24-25七年级上·重庆秀山·期末）2024年11月7日，恰逢立冬，又遇我县第一届运动会，更是我县41岁“生日”．为保证运动会顺利进行，全县人民高度重视并积极参与．某出租车驾驶员无偿为各能量补给站运送物资，他从物资配送站出发，在东西向的站前大道上连续接送6批物资，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：）： 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 第6批 (1)接送完第6批物资后，该驾驶员在物资配送站什么方向，距离物资配送站多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油升，那么在这个过程中共耗油多少升？ 【答案】(1)该驾驶员在物资配送站西边，距离物资配送站4千米 (2)20.4升 【分析】(1)计算各里程的和，正表示在东，负表示在西，绝对值表示距离． (2) 计算各里程的绝对值的和，计算出耗油量较即可． 本题考查了正负数的实际应用，有理数的加减混合运算，有理数的乘法，熟练掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵(千米)， ∴该驾驶员在物资配送站西边，距离物资配送站4千米． （2）解：∵千米， ∴耗油量为：（升）， 答：这个过程中共耗油20.4升． 【变式5-1】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）2024-2025 学年安徽省中小学开始实施“三个一”工程，即各中小学实现“一天一节体育课、一周一场体育比赛、一生一项体育特长”．某中学本周七年级各班级之间开展了一分钟跳绳对抗赛，下表为七年级（1）班42 人参加一分钟跳绳比赛的情况，若标准数量为每人每分钟100个．超过标准数量的记为正，不足标准数量的记为负． 跳绳个数与标准数量的差值 0 4 5 6 人数 6 12 2 7 10 5 (1)求这个班42人一分钟内平均每人跳绳多少个？ (2)规定跳绳达到标准数量记0分；规定跳绳超过标准数量，每多跳1个加2分；规定跳绳未达到标准数量，每少跳1个，扣1分，求这个班跳绳总共获得多少分？ 【答案】(1)这个班42人一分钟内平均每人跳绳102个 (2)这个班跳绳总共获得192分 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数混合运算的应用，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键； （1）根据表格可直接进行求解； （2）根据每多跳1个加2分，每少跳1个，扣1分，然后相加即可求出该班的总积分． 【详解】（1）解：（1）由题意得：（个）， 答：这个班42人一分钟内平均每人跳绳102个； （2）解：由题意得：（分）． 答：这个班跳绳总共获得192分． 【变式5-2】（24-25七年级上·广东佛山·期中）一原料仓库某天的原料进出记录如下表所示（运进用正数表示，运出用负数表示）： 进出数量（单位：吨） 1 4 进出次数 1 4 3 2 5 (1)这天仓库的原料比原来增加或减少了多少？ (2)该仓库的原料配送提供以下两种方案： 方案一：运进每吨原料费用5元，运出每吨原料费用8元； 方案二：不管运进还是运出，每吨原料费用都是6元；从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适？请说明理由． 【答案】(1)减少了13吨； (2)方案二比较合适，理由见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，以及正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． （1）先分别将运进数量×运进次数，运出数量运出次数，再把它们相加即可求解； （2）分别求出两种方案的运费，再进行比较，即可求解． 【详解】（1）解： 答：这天仓库的原料比原来减少了13吨； （2）解：方案一： （元）， 方案二 （元） ， ∴方案二运费少，选择方案二比较合适． 【变式5-3】有20袋大米，以每袋15千克为标准．超过或不足的千克数分别用正负数来表示．记录如下表： 与标准质量的差值（单位：千克） 1 0 2.5 袋数 1 2 3 8 4 2 (1)20袋大米中，最重的一袋比最轻的一袋重多少千克? (2)与标准重量比较，20袋大米总计超过多少千克或不足多少千克? (3)若大米每千克售价3.5元，出售这20袋大米可多少元? 【答案】(1)5.5千克 (2)超过8千克 (3)1078元 【分析】本题考查了正负数在实际生活中的应用、有理数乘法与加减法的应用. （1）利用记录表的第一行数字中的最大数减去最小数即可得； （2）根据记录表列出运算式子，再计算有理数的乘法与加减法即可得； （3）在（2）的基础上，加上标准总重量，然后再乘以即可得． 【详解】（1）（千克）， 答：20袋大米中，最重的一袋比最轻的一袋重千克； （2）， ， （千克）， 答：与标准重量比较，20袋大米总计超过8千克； （3）， ， （元）， 答：出售这20袋大米可卖1078元． 一、单选题 1．计算的结果为（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】D 【分析】根据乘除混合运算的规则进行计算求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算．解题的关键是掌握有理数的乘除运算法则． 2．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合计算，有理数的四则混合计算，根据有理数的四则运算法则求出每个选项中对应式子的值即可得到答案． 【详解】解：A、 ，原式计算错误，不符合题意； B、 ，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、 ，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 3．下列各式计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的混合运算法则解答即可． 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A. ,本选项错误，不符合题意； B. ，本选项错误，不符合题意； C. ，本选项错误，不符合题意；     D. ，本选项正确，符合题意； 故选：D． 4．（24-25七年级上·四川成都·期中）根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据流程图进行计算即可求解． 【详解】解： ， ∴输出值为 故选：B． 5．（2025·四川·模拟预测）定义一种新运算：  ． 如：  ，则  的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新运算的运算法则以及有理数的四则混合运算，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 依题意，根据该新运算的运算法则，代入数值即可列式作答． 【详解】解：依题意， 那么  ， 故选：C． 二、填空题 6．计算： ． 【答案】 【分析】根据有理数的运算法则即可求出答案． 【详解】 ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了学生的计算能力，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 7．（23-24七年级上·四川达州·期中）已知有理数a，b，c满足，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值，有理数的乘除法，根据可以看出，a，b，c中必有两负一正，从而可得出的值．解题的关键是得到a，b，c中必有两负一正． 【详解】∵， ∴a，b，c中必有两负一正，即之积为正， ∴． 故答案为：1． 8．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）对于有理数a，b，定义一种新运算“※”，规定：，例如：．则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算．根据新定义得到，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 9．（2025·广东广州·二模）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，如图1，孩子出生后的天数（天），请根据图2，计算孩子自出生后的天数是 天． 【答案】123 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的混合运算，根据题意中的计算方法，列式计算，即可． 【详解】解：由题意得，图2，计算孩子自出生后的天数， 故答案为：123． 10．（24-25七年级上·广东广州·期末）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替重复进行，例如：取，则，其中第1次，第2次，．若，则第2025次“”运算的结果是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的混合运算和数字的规律探究．解题的关键在于理解新定义中的运算法则，掌握有理数混合运算的计算方法． 根据题意，写出前几次的运算结果，可推导规律，通过计算得出从第2次开始，结果就只有1、4两个数循环出现，进而观察规律即可得结论． 【详解】解：由题意知，当时，第1次，， 第2次，， 第3次，， 第4次，， 第5次，， …… ∴从第2次开始，每两次运算为一个循环，结果分别为1，4， ∴， ∴第次“”运算的结果是4， 故答案为：4． 三、解答题 11．计算： (1) (2) 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先计算乘除运算，再计算加法运算即可； （2）先确定符号，再把除法化为乘法，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 12．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数除法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）首先确定结果的符号，再根据把除法变为乘法，再约分，后相乘进行计算即可； （2）首先计算括号里面的除法，再计算括号外面的除法即可； （3）首先确定结果的符号，再根据把除法变为乘法，再约分，后相乘进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 13．运用运算律进行简便运算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用乘法分配律进行简便运算，即可作答． （2）先整理原式，再运算括号内，即可作答． （3）先整理原式，再运用乘法运算律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 14．（24-25七年级上·山东聊城·期末）计算： (1) (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，有理数的乘除混合计算； （1）先把除法变成乘法，再计算乘法即可得到答案； （2）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加法的运算顺序求解即可； （3）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 15．若定义一种新的运算“”，规定有理数：，如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，读懂题意，根据新定义的法则计算即可． （1）根据新定义的法则计算即可； （2）根据新定义的法则计算，再计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：， 故原式． 16．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ① 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法交换律及结合律，熟练掌握有理数的加法交换律及结合律是解题的关键，把变形为，再利用有理数的加法法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 17．观察下列各式的计算结果： ；； ； (1)用你发现的规律填写下列式子的结果： ____________________；____________________． (2)用你发现的规律计算：． 【答案】(1)；；； (2) 【分析】此题考查数字的变化规律，含乘方的有理数混合运算，找出数字之间的运算规律与变换方法，得出规律解决问题． （1）根据题目中的规律解答即可； （2）根据题目中的规律解答即可； 【详解】（1）解：∵； ； ； ∴， …… 则， ∴； （2）解： ． 18．砀山酥梨是一种驰名中外的特色水果，它是梨的一种，因为出产于砀山县而得名．现有20筐砀山酥梨，以每筐25千克的质量为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 1 2.5 筐数 1 4 2 3 2 8 (1)这20筐砀山酥梨中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)若砀山酥梨每千克售价4元，则这20筐砀山酥梨可卖多少元？ 【答案】(1)最重的一筐比最轻的一筐重千克 (2)这20筐砀山酥梨可卖元 【分析】本题考查有理数的应用，解题的关键是根据题意分别列出算式，再根据有理数的加减乘除运算的顺序计算即可． （1）利用超出最多的重量减去不足最多的重量，即可解题； （2）用总质量成单价即可． 【详解】（1）解：由题知，（千克）， 答：最重的一筐比最轻的一筐重千克； （2）解：由题知， 总质量为 （千克）， （元）， 答：这20筐砀山酥梨可卖元． 19．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）【阅读材料】： 求的值． 解：设，① 则，② 由，得． 【解决问题】： （1）请运用上面的方法求的值． 【迁移应用】： （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查数字规律及有理数的混合运算，理解并掌握“错位相减法”，是解题的关键． （1）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以2，再错位相减求解； （2）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以，再错位相减求解； 【详解】解：（1）设，① 则，② 由，得． 即． （2）设，① 则，② 由，得． 所以． 即． 20．（24-25八年级上·四川眉山·期中）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是_____ （请填序号）． ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．计算：． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查有理数的定义新运算，仔细审题，理解题干中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题关键． （1）按照题干定义进行计算，判断是否满足条件即可； （2）直接根据题目定义分别计算各项，然后再合并求解即可； （3）根据定义进行变形和拆项，然后根据规律求解即可． 【详解】（1）解：①； ∵，， ∴，则①是“隔一数对”； ②； ∵，， ∴，则②是“隔一数对”； ③； ∵，， ∴，则③不是“隔一数对”； 故答案为：①②； （2）解： ； （3）解： ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$