专题02 绝对值的五类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版2024七年级上册

专题02 绝对值的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、绝对值的非负性 类型二、利用数轴化简绝对值 类型三、分类讨论化简绝对值 类型四、利用绝对值意义求解 类型五、几何意义化简绝对值 压轴专练 类型一、绝对值的非负性 1.绝对值的非负性指任何实数的绝对值都是非负数，即|a|≥0，这是绝对值的核心性质，可用于判断式子取值范围。 2.若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，如|a|+|b|=0时，a=0且b=0，此结论是解决含绝对值方程或求值问题的关键。 例1．若满足，则 ． 【变式1-1】已知，则 ． 【变式1-2】（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）若，则 ． 【变式1-3】已知的相反数是它本身，且，则式子的值为 ． 类型二、利用数轴化简绝对值 1.先在数轴上确定绝对值内字母表示的数的位置，判断其正负性，正数绝对值是本身，负数是相反数，0的绝对值是0。 2.结合数轴上数的大小关系，化简含多个绝对值的式子，如|a - b|可由a与b的位置判断a - b的正负后化简。 例2．（24-25七年级上·北京·期中）有理数a，b，c在数轴上的点对应数轴上的位置如图所示， (1)用“>” “=” “<” a___________0， ___________0， ___________0， ___________0， (2)化简：． 【变式2-1】（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）根据数轴，解决下列问题． (1)判断正负，用“”或“”填空：_____0，_____0； (2)化简：． 【变式2-2】（24-25七年级上·重庆·期中）有理数，，在数轴上所对应的点的位置如图： (1)用“”或“”填空：　　0，　0，　　0； (2)化简：． 【变式2-3】（24-25七年级上·四川南充·期中）已知，有理数a、b、c在数轴上对应A、B、C的位置如图所示： (1) 0， 0， 0， 0（填“<”，“>”，“=”）； (2)化简：． 类型三、分类讨论化简绝对值 1. 确定绝对值内代数式的零点，即令其等于0的未知数的值，以此划分讨论区间，明确各区间内代数式的正负。 2. 按区间分类化简，正数取本身，负数取相反数，最后综合各区间结果，得到完整化简式，适用于字母取值不确定的情况。 例3．已知、、均为不等式0的有理数，则的值为 ． 【变式3-1】若，则 ． 【变式3-2】已知、，那么＝ 【变式3-3】我们知道数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，利用数轴及绝对值知识结合数形结合．分类讨论思想可以解决一些问题.求解下列问题： (1)若时，的值为___________； (2)若成立，则___________； (3)若，则___________； (4)当式子取最小值时，相应的x的取值范围___________，最小值是___________． 类型四、利用绝对值意义求解 1. 确定绝对值内代数式的零点，即令其等于0的未知数的值，以此划分讨论区间，明确各区间内代数式的正负。 2. 按区间分类化简，正数取本身，负数取相反数，最后综合各区间结果，得到完整化简式，适用于字母取值不确定的情况。 例4．（24-25七年级上·福建福州·期中）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【变式4-1】（24-25八年级上·四川自贡·期中）已知，． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 【变式4-2】若． (1)求的值； (2)若，求的值． 【变式4-3】解答下列各题： (1)已知，求的值； (2)已知，，且，求的值． 类型五、几何意义化简绝对值 1.绝对值的几何意义是数轴上数对应的点到原点的距离，|a|表示a到原点的距离，非负，据此可直接判断简单绝对值的化简结果。 2.|a - b|表示数轴上a与b对应点的距离，利用此意义可化简含差的绝对值，如a在b右侧时，|a - b|=a - b，反之则为b - a。 例5．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．如图，已知数轴上点、分别表示、，且与互为相反数，为原点． (1) ， ； (2)将数轴沿某个点折叠，使得点A与表示的点重合，则此时与点B重合的点所表示的数为　　　． (3)、两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，如5与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示5与两点之间的距离是7． ①若表示一个有理数，则的最小值　　　． ②若表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数的和是　　　． 【变式5-1】（24-25七年级上·湖北荆州·期中）阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离.一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么，两点之间的距离可以表示为． 回答问题： (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______；数轴上表示与的两点之间的距离是______； (2)若，求的值； (3)若，写出整数的值； (4)若代数式的最小值是，请直接写出的值． 【变式5-2】我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是_________，数轴上表示数－1的点和表示数的点之间的距离是_________． (2)数轴上点A用数a表示，则 ①若，那么a的值是_________． ②当_________时，有最小值，最小值是_________； ③有最小值，最小值是_________； 【变式5-3】（24-25七年级上·重庆·期中）数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作．数轴上表示数a的点与表示数b的点距离记作． 根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在相应位置，不写过程） (1)若，则_________；若，则_________． (2)若，则_________； (3)当取最小值时，则x的值为_________． (4)当取最小值时，则x的值为_________． (5)当取最小值时，则x的范围为________，其最小值为_________． (6)若，则所有符合条件的整数x的和为_________． 一、单选题 1．（24-25七年级上·福建福州·期中）如果，那么x一定是（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 2．（24-25七年级上·浙江温州·期中）代数式的最小值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．若，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 4．（24-25七年级上·四川巴中·期末）若， ，且，则的值为（   ） A． B．或 C． D． 5．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）已知实数，在数轴上的对应点如图所示，下列式子：；；；．其中正确的序号为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如果，那么 ． 7．若与互为相反数，则的值为 ． 8．（24-25七年级上·全国·期中）若x为有理数，则式子的最小值为 ． 9．学科素养·分类讨论  已知，，若，则 ． 10．下列说法：①若，则x为负数；②若不是负数，则a为非正数；③；④若，，则．其中正确的结论有 ．（填序号） 三、解答题 11．已知与互为相反数． (1)求的值． (2)求的值． 12．已知若为一个有理数，则． (1)填空：当时，________；当时，________； (2)当等于多少时，的值最小，最小值是多少？ 13．已知，，回答下列问题． (1)由已知可得__________，__________． (2)若，求的值． 14．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）有理数在数轴上的位置如图所示． (1)根据数轴化简：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ； (2)若，求的值． 15．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）如图，数轴上的M、N两点所表示的数分别为m、n，，． (1)原点O的位置在________； A．点M的右边     B．点N的左边 C．点M与点N之间，且靠近点N    D．点M与点N之间，且靠近点M (2)若． ①利用数轴比较大小：m________（填“”、“”或“”）； ②化简． 16．已知：都是不等于0的有理数，请你探究以下问题： (1)①若，则______； ②若，则______； (2)若，求的值； (3)由以上探究可知，，则共有______个不同的值；在这些不同的值中，最大的值和最小的值的差等于______，的这些所有的不同的值的绝对值的和等于______． 17．课本再现 课堂上，通过探究我们发现：在数轴上，若点A，B分别表示数a，b，则点A，B之间的距离等于． （1）的意义可理解为数轴上表示数x和_________这两点的距离． 继续探究 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （2）数轴上表示x的点位于与2之间，则__________； （3）若数x满足，则__________； （4），则x的取值范围是__________； 结论：的最小值是__________，此时x的范围是__________． 拓展应用 （5）当__________时，的值最小，最小值是__________； （6）当x满足什么条件时，（其中且n为正整数）取得最小值？ 18．（24-25七年级上·福建漳州·期中）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．举例：数轴上表示数和的两点和之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______； (2)若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______； (3)当取最小值时，相应的数的取值范围是______； (4)求的最小值是______． 实际应用： (5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在______，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升： (6)若数满足，求的最小值为______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 绝对值的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、绝对值的非负性 类型二、利用数轴化简绝对值 类型三、分类讨论化简绝对值 类型四、利用绝对值意义求解 类型五、几何意义化简绝对值 压轴专练 类型一、绝对值的非负性 1.绝对值的非负性指任何实数的绝对值都是非负数，即|a|≥0，这是绝对值的核心性质，可用于判断式子取值范围。 2.若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，如|a|+|b|=0时，a=0且b=0，此结论是解决含绝对值方程或求值问题的关键。 例1．若满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，有理数乘法，首先依据绝对值的非负性求出、，然后代入求解计算即可，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性和有理数乘法运算法则． 【详解】解：因为， 所以，， 所以，， 所以， 故答案为：． 【变式1-1】已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性和代数式求值，解题的关键是熟知绝对值的非负性． 由绝对值的非负性，求出a、b的值，然后代值计算即可得到答案． 【详解】解：由题可得，， 解得：，， ∴． 故答案为：． 【变式1-2】（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是绝对值的性质、平方的非负性，根据绝对值和平方的非负性，求出x、y的值，代入计算，即可求解；理解绝对值与平方的和为0时，各个非负数都为0是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得：，， 故答案为：． 【变式1-3】已知的相反数是它本身，且，则式子的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的非负性，代数式求值，解题的关键是掌握相关知识．先根据相反数的定义和绝对值的非负性求出、、，再代入代数式求解即可． 【详解】解：的相反数是它本身，且， ，，， ，， ， 故答案为：． 类型二、利用数轴化简绝对值 1.先在数轴上确定绝对值内字母表示的数的位置，判断其正负性，正数绝对值是本身，负数是相反数，0的绝对值是0。 2.结合数轴上数的大小关系，化简含多个绝对值的式子，如|a - b|可由a与b的位置判断a - b的正负后化简。 例2．（24-25七年级上·北京·期中）有理数a，b，c在数轴上的点对应数轴上的位置如图所示， (1)用“>” “=” “<” a___________0， ___________0， ___________0， ___________0， (2)化简：． 【答案】(1)<，<，>，< (2) 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负，化简绝对值，整式的加减． （1）根据a，b，c在数轴上的点对应数轴上的位置，结合有理数的加减法法则判断即可； （2）先化简绝对值，再去括号合并同类项． 【详解】（1）∵ ∴，， 故答案为：<，<，>，< （2） 【变式2-1】（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）根据数轴，解决下列问题． (1)判断正负，用“”或“”填空：_____0，_____0； (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了数轴． （1）根据数轴可得出“，”，结合有理数的加减法法则可得答案； （2）结合（1）的结论去绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：由数轴知：，， ∴，， ∴， 故答案为：，； （2）解：由（1）知：，，， ∴ ． 【变式2-2】（24-25七年级上·重庆·期中）有理数，，在数轴上所对应的点的位置如图： (1)用“”或“”填空：　　0，　0，　　0； (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了有理数大小比较、数轴以及绝对值，牢记有理数大小比较的法则是解题的关键． （1）观察数轴可知，由此即可得出结论； （2）由、、结合绝对值的定义，即可得出的值． 【详解】（1）解：观察数轴可知：， ，，． 故答案为：；；． （2），，， ． 【变式2-3】（24-25七年级上·四川南充·期中）已知，有理数a、b、c在数轴上对应A、B、C的位置如图所示： (1) 0， 0， 0， 0（填“<”，“>”，“=”）； (2)化简：． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题考查了由点在数轴上的位置判断式子的符号，绝对值化简，整式加减等； （1）由数轴得，，，逐一进行判断，即可求解； （2）由（1）得去绝对值，再进行整式加减运算，即可求解； 能根据点在数轴上的位置判断式子的符号，并能熟练进行绝对值化简是解题的关键． 【详解】（1）解：由数轴得 ，，， ， ， ， ， 故答案为：，，，； （2）解：由（1）得 原式 ． 类型三、分类讨论化简绝对值 1. 确定绝对值内代数式的零点，即令其等于0的未知数的值，以此划分讨论区间，明确各区间内代数式的正负。 2. 按区间分类化简，正数取本身，负数取相反数，最后综合各区间结果，得到完整化简式，适用于字母取值不确定的情况。 例3．已知、、均为不等式0的有理数，则的值为 ． 【答案】3，-3，1，−1． 【分析】根据绝对值的性质，将绝对值符号去掉，然后计算．由于不知道a、b、c的符号，故需分类讨论． 【详解】解：(1)当a>0，b>0，c>0时，=1+1+1=3； (2)当a<0，b<0，c<0时，==−1−1−1=−3； (3)当a>0，b>0，c<0时，==1+1−1=1； 同理，a>0，b<0，c>0；a<0，b>0，c>0时原式的值均为1． (4)当a<0，b<0，c>0时，==−1−1+1=−1； 同理，当a<0，b>0，c<0；a>0，b<0，c<0时原式的值均为−1． 故答案为：3，-3，1，−1． 【点睛】本题考查了绝对值规律的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，解答时要注意分类讨论． 【变式3-1】若，则 ． 【答案】或0或2 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数的除法计算，讨论a、b的符号，然后化简绝对值即可得到答案． 【详解】解：当a、b同时为正时，， 当a、b同时为负时，， 当a、b一正一负时，不妨设a为负，， 综上所述，的值为或0或2． 故答案为：或0或2． 【变式3-2】已知、，那么＝ 【答案】±2或0 【分析】根据x+a，x+b的符号，结合绝对值的性质进行计算即可． 【详解】解：当x+a＞0，x+b＞0时，原式＝1+1＝2， 当x+a＞0，x+b＜0时，原式＝1﹣1＝0， 当x+a＜0，x+b＞0时，原式＝﹣1+1＝0， 当x+a＜0，x+b＜0时，原式＝﹣1﹣1＝﹣2， 故答案为：±2或0． 【点睛】本题考查绝对值，理解绝对值的性质是解答的关键． 【变式3-3】我们知道数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，利用数轴及绝对值知识结合数形结合．分类讨论思想可以解决一些问题.求解下列问题： (1)若时，的值为___________； (2)若成立，则___________； (3)若，则___________； (4)当式子取最小值时，相应的x的取值范围___________，最小值是___________． 【答案】(1) (2)2 (3)0或 (4)；7 【分析】（1）根据绝对值的性质代入化简即可； （2）根据题意得出表示数轴上数a的点到的距离与到9的距离相等，然后求出中点到的距离为7，即可求解； （3）根据题意，分情况讨论分析，然后代入求解即可； （4）表示数轴上数x的点到的距离与到4的距离和，得出当时，距离和即为到4的距离即可求解． 【详解】（1）解：时，， 故答案为：； （2）表示数轴上数a的点到的距离与到9的距离相等， ∵与9的距离为， ∴中点到的距离为7， ∴， ∴， 故答案为：2； （3）∵， ∴分情况讨论：当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 综上可得：值为0或， 故答案为：0或； （4）表示数轴上数x的点到的距离与到4的距离和， 当时，距离和即为到4的距离， 故答案为：；7． 【点睛】题目主要考查绝对值的意义及化简，理解绝对值在数轴上的意义上解题关键． 类型四、利用绝对值意义求解 1. 确定绝对值内代数式的零点，即令其等于0的未知数的值，以此划分讨论区间，明确各区间内代数式的正负。 2. 按区间分类化简，正数取本身，负数取相反数，最后综合各区间结果，得到完整化简式，适用于字母取值不确定的情况。 例4．（24-25七年级上·福建福州·期中）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)或10 【分析】此题考查了绝对值的性质，绝对值的化简，已知字母的值求式子的值，正确掌握绝对值的性质是解题的关键． （1）先代入，再根据绝对值的意义化简即可； （2）先得到，继而确定，或，，再代入求值即可． 【详解】（1）解：因为，， 所以， 所以； （2）解：因为， 所以， 所以，或，， 所以，或． 【变式4-1】（24-25八年级上·四川自贡·期中）已知，． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查绝对值、代数式求值等知识，熟练掌握绝对值的定义、有理数的加法法则、有有理数的减法法则是解决本题的关键． （1）先根据绝对值的意义得出x，y的值，然后根据题意取得x，y的确定的值，然后代入式子根据有理数加法运算法则计算即可． （2）根据绝对值的意义可得出，，或，．，然后代入式子根据有理数减法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 若，， 则，， ∴ （2）解：由（1）可知，， ∵， ∴， ∴，，或，． ∴或 【变式4-2】若． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或； (2)或． 【分析】本题考查了绝对值的性质，有理数的加减法，考查了分类讨论的思想． （1）根据题意，利用绝对值的代数意义，以及有理数的加法法则计算即可求出值． （2）根据题意，利用绝对值的代数意义，以及有理数的加法法则计算即可求出值． 【详解】（1）， ， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，； 综上所述，的值为或； （2）∵， ∴，即， ∴， ∴或． 【变式4-3】解答下列各题： (1)已知，求的值； (2)已知，，且，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查绝对值的意义、绝对值非负性及代数式求值，熟练掌握绝对值意义与性质是解决问题的关键． （1）由绝对值的非负性得到，代入代数式求值即可得到答案； （2）由题意得到，再由确定或，分类代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ，解得， ； （2）解：，， ， ， 或， 当时，； 当时，； 综上，的值为或． 类型五、几何意义化简绝对值 1.绝对值的几何意义是数轴上数对应的点到原点的距离，|a|表示a到原点的距离，非负，据此可直接判断简单绝对值的化简结果。 2.|a - b|表示数轴上a与b对应点的距离，利用此意义可化简含差的绝对值，如a在b右侧时，|a - b|=a - b，反之则为b - a。 例5．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．如图，已知数轴上点、分别表示、，且与互为相反数，为原点． (1) ， ； (2)将数轴沿某个点折叠，使得点A与表示的点重合，则此时与点B重合的点所表示的数为　　　． (3)、两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，如5与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示5与两点之间的距离是7． ①若表示一个有理数，则的最小值　　　． ②若表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数的和是　　　． 【答案】(1)， (2) (3)①；② 【分析】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义，探索出最小值存在时的取值的一般规律是解题的关键． （1）根据相反数和非负数的性质，求解即可； （2）由折叠可知，折痕点对应的数是，再由对称性可知点B与数字5重合； （3）①当时，有值最小； ②当时，的值最小，最小值为7，再求出符合条件的整数即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ∴，，解得，， 故答案为：，； （2）解：∵点A与表示的点重合， ∴折痕点对应的数是， ∴与点B重合的点所表示的数为， 故答案为：5； （3）解：①表示数轴上表示的点到表示3的点和6的点的距离之和， 当时，的值最小， 的最小值为3， 故答案为：3； ②表示数轴上表示的点到表示的点和4的点的距离之和， 当时，的值最小，最小值为7， ， 的整数值为，，，0，1，2，3，4， 满足条件的所有整数的和是4， 故答案为：4． 【变式5-1】（24-25七年级上·湖北荆州·期中）阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离.一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么，两点之间的距离可以表示为． 回答问题： (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______；数轴上表示与的两点之间的距离是______； (2)若，求的值； (3)若，写出整数的值； (4)若代数式的最小值是，请直接写出的值． 【答案】(1)，（写成也可） (2)或 (3)，，，，， (4)或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的意义． 根据题干中提供的两点之间的距离公式计算即可； 根据绝对值的定义可得，解方程即可得到的值； 根据绝对值表示的意义分当、、时三段分别求解； 根据绝对值表示的意义可知数式表示到和的距离之和，所以可知当代数式取最小值时，表示的点一定在和之间且和的距离是，可得，根据绝对值的意义解方程求出． 【详解】（1）解：数轴上表示与的两点之间的距离是； 数轴上表示与的两点之间的距离是； 故答案为：，； （2）解：， ， 或， 或； （3）解：当时， ， ， 整理得：， 解得：， ， 不在取值范围之内，故不符合题意； 当时， 可得：， 整理得：， 即当时，恒成立， 在之间的整数有、、、、、； 当时，， 解得：，不在取值范围之内，故不符合题意； （4）解：代数式表示到和的距离之和， 当代数式取最小值时，表示的点一定在和之间，且和的距离是， 即， ， 解得：或． 【变式5-2】我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是_________，数轴上表示数－1的点和表示数的点之间的距离是_________． (2)数轴上点A用数a表示，则 ①若，那么a的值是_________． ②当_________时，有最小值，最小值是_________； ③有最小值，最小值是_________； 【答案】(1)5，2 (2)①或；②，0；③；④ 【分析】本题考查绝对值的性质、数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步探索变化规律是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式求解可得； （2）①利用绝对值定义知或，分别求解可得； ②根据绝对值的意义可得； ③的意义是表示数轴上到表示和表示的点的距离之和，由两点之间线段最短即可求得答案． 【详解】（1）数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是， 数轴上表示数-1的点和表示数的点之间的距离是． （2）数轴上点A用数a表示， ①若，则或， ∴或． ②∵表示数轴上到表示点a的数的点和表示的点的距离， ∴当时，有最小值，最小值是0． ③∵的意义是表示数轴上到表示和表示的点的距离之和， 由两点之间线段最短可知：当时， 有最小值，最小值为． 【变式5-3】（24-25七年级上·重庆·期中）数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作．数轴上表示数a的点与表示数b的点距离记作． 根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在相应位置，不写过程） (1)若，则_________；若，则_________． (2)若，则_________； (3)当取最小值时，则x的值为_________． (4)当取最小值时，则x的值为_________． (5)当取最小值时，则x的范围为________，其最小值为_________． (6)若，则所有符合条件的整数x的和为_________． 【答案】(1)1， (2)4或 (3)5 (4)6 (5)，4 (6) 【分析】本题考查了数轴，绝对值，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）根据绝对值表示的意义和中点计算方法得出答案； （2）表示数轴上表示x的点到表示3和的点的距离之和为6，根据数轴即可解答； （3）根据绝对值表示的意义即可解答； （4）根据绝对值表示的意义即可解答； （5）根据绝对值表示的意义即可解答； （6）根据绝对值表示的意义即可解答． 【详解】（1）解：表示数轴上表示x的点到表示3和的点的距离相等，因此表示x的点在表示3和的点的中间，即； 表示数轴上表示x的点到表示和的点的距离相等，因此表示x的点在表示和的点的中间，即； 故答案为：1， （2）解：表示数轴上表示x的点到表示3和的点的距离之和为6， 根据数轴可得或； 故答案为：4或 （3）解：表示数轴上表示x的点到表示5的点的距离，当这两点重合时，距离为0，为最小，此时； 故答案为：5 （4）解：表示数轴上表示x的点到表示5，6，7这三点的距离之和， 当取最小值时，； 故答案为：6 （5）解：当取最小值时，，此时最小值为； 故答案为：，4 （6）解：表示数轴上表示x的点到表示和2的点的距离之和为7， ∵数轴上表示和2的点的距离之和为7， ∴表示x的点在表示和2的点之间（包括表示和2的点）， ∴整数， 它们的和为． 故答案为： 一、单选题 1．（24-25七年级上·福建福州·期中）如果，那么x一定是（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的性质即可求解，如果用字母表示有理数，则数绝对值要由字母本身的取值来确定：①当是正有理数时，的绝对值是它本身；②当是负有理数时，的绝对值是它的相反数；③当是零时，的绝对值是零． 【详解】解：如果，那么一定是负数或0即非正数． 故选：C． 2．（24-25七年级上·浙江温州·期中）代数式的最小值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，利用非负数最小时和最小． 根据绝对值都是非负数，可得答案． 【详解】解∶， 当时，的最小值是1， 故答案为∶B． 3．若，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查绝对值的非负性及求代数式的值，熟练掌握绝对值的非负性及加减运算是解题的关键；由题意易得，然后代入进行求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴； 故选D． 4．（24-25七年级上·四川巴中·期末）若， ，且，则的值为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的性质，代数式求值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 根据绝对值的性质得出，，代入计算即可得到答案。 【详解】解：∵， ，且， ， 当时，， 当时，， 故选：B ． 5．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）已知实数，在数轴上的对应点如图所示，下列式子：；；；．其中正确的序号为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，绝对值，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据数轴判断出、的正负情况以及绝对值的大小，再根据有理数的运算法则对各选项进行判断即可． 【详解】解：由数轴知：，且， ，，， 正确， 故选：D． 二、填空题 6．如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查的是绝对值的含义，根据，可得，可得，从而可得答案． 【详解】解：， ， ； 故答案为：． 7．若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查绝对值的非负性，相反数的意义，求代数式的值，根据非负数性质可得：，，从而可求得，的值，代入所求即可． 【详解】解：与互为相反数， ∴， ，， 解得：，， ∴． 故答案为：2． 8．（24-25七年级上·全国·期中）若x为有理数，则式子的最小值为 ． 【答案】2024 【分析】此题主要考查了非负数的性质，正确利用绝对值的性质是解题关键．直接利用绝对值的性质得出的最小值为0．进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴时，取最小值，最小值为2024． 故答案为：2024． 9．学科素养·分类讨论  已知，，若，则 ． 【答案】7或1/1或7 【分析】本题考查有理数的加法，熟练掌握绝对值的性质和分类讨论的思想是解题的关键． 根据题意分别得到的值，，再根据，结合分类讨论，代入即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵， ∴，， 当，时，； 当，时，； 故答案为：7或1． 10．下列说法：①若，则x为负数；②若不是负数，则a为非正数；③；④若，，则．其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查绝对值的性质；理解绝对值的性质是解题的关键． 依据题意，根据绝对值的性质逐个分析判断可以得解． 【详解】解：若， ∴， ∴， ∴①的说法错误； 若不是负数， ∴． ∴，即a为非正数； ∴②的说法正确； ∵，， ∴， ∴③的说法正确； 若，， ∴． ∴． ∴④的说法正确． 综上所述：正确的结论有②③④． 三、解答题 11．已知与互为相反数． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零． （1）根据非负数的性质可求出、的值，再将它们代入中求解即可； （2）根据非负数的性质可求出、的值，再将它们代入中求解即可． 【详解】（1）解：与互为相反数， ， 由绝对值非负性可知，，， 解得，，则； （2）解：与互为相反数， ， 由绝对值非负性可知，，， 解得，，则． 12．已知若为一个有理数，则． (1)填空：当时，________；当时，________； (2)当等于多少时，的值最小，最小值是多少？ 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了求绝对值及绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． （1）分别把和代入求解即可； （2）根据绝对值的非负性得，进而得当时，的值最小，最小值为． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 故答案为：，； （2）解：∵若为一个有理数，则， ∴， ∴当时，有最小值， ∴当时，的值最小，的最小值为． 13．已知，，回答下列问题． (1)由已知可得__________，__________． (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了绝对值的意义、代数式求值等知识，熟练掌握绝对值的性质是解题关键． （1）根据绝对值的意义即可得解； （2）根据绝对值非负数的性质以及有理数加法法则确定，或，，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，． 故答案为：，； （2）由（1）可知，， 又∵， ∴ ∴，或，， 当，时，； 当，时，． 综上所述，的值为或． 14．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）有理数在数轴上的位置如图所示． (1)根据数轴化简：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题主要考查了数轴及绝对值，解题的关键是熟记数轴及绝对值的定义． （1）由绝对值的几何意义，参考数轴信息判定的正负，数形结合，去绝对值即可得到答案； （2）根据的正负性，由绝对值的代数意义求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： ， 则①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； 故答案为：； （2）解：由（1）知，， ， ，，． 15．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）如图，数轴上的M、N两点所表示的数分别为m、n，，． (1)原点O的位置在________； A．点M的右边     B．点N的左边 C．点M与点N之间，且靠近点N    D．点M与点N之间，且靠近点M (2)若． ①利用数轴比较大小：m________（填“”、“”或“”）； ②化简． 【答案】(1)D (2)①；② 【分析】本题主要考查数轴和绝对值，整式的加减运算，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键． （1）由，，可知m，n异号，故原点O的位置在点M与点N之间，且靠近点M； （2）①由结合（1）的结论，可知，，②根据绝对值的定义化简即可． 【详解】（1）解：∵m、n，，， ∴，，且， ∴原点O的位置在点M与点N之间，且靠近点M， 故选：D （2）解：①∵，原点O的位置在点M与点N之间，且靠近点M， ∴，， 故答案为：； ②∵，， ∴． 16．已知：都是不等于0的有理数，请你探究以下问题： (1)①若，则______； ②若，则______； (2)若，求的值； (3)由以上探究可知，，则共有______个不同的值；在这些不同的值中，最大的值和最小的值的差等于______，的这些所有的不同的值的绝对值的和等于______． 【答案】(1)①；②0， (2)或 (3) 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数混合运算，熟练掌握绝对值的意义，注意进行分类讨论，发现规律是解题关键． （1）根据绝对值的意义，分类讨论，可得答案； （2）根据绝对值的意义，分类讨论，可得答案； （3）根据观察，归纳，发现规律，可得答案． 【详解】（1）解：①解：Ⅰ．当时，，则， Ⅱ．当时，，则， 综上所述：； ②解：Ⅰ．当，时，则，，， Ⅱ．当，时，则，，， Ⅲ．当，时，则，，． 综上所述：，． （2）解：有理数，，均不为0，大致可分为下面几种不同的类型： Ⅰ．，，均为正数，即，，， ∴，，，则． Ⅱ．，，中有两个为正数，一个为负数，不失一般性，，，， ∴，，，则． Ⅲ．，，中有一个为正数，两个为负数，不失一般性，，，， ∴，，，则． Ⅳ．，，均为负数，即，，， ∴，，，则． 综上所述，，． （3）解：当时，，当时，； 的值取决于、……中的正负数个数， 设、……中的正数个数为a，则负数个数为， ∵而且为自然数，故共有101个不同的值；当时，； 当时，； ∴最大的值与最小的值的差为， ∴的这些所有值的绝对值之和为： ． 故答案为：101，200，5100． 17．课本再现 课堂上，通过探究我们发现：在数轴上，若点A，B分别表示数a，b，则点A，B之间的距离等于． （1）的意义可理解为数轴上表示数x和_________这两点的距离． 继续探究 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （2）数轴上表示x的点位于与2之间，则__________； （3）若数x满足，则__________； （4），则x的取值范围是__________； 结论：的最小值是__________，此时x的范围是__________． 拓展应用 （5）当__________时，的值最小，最小值是__________； （6）当x满足什么条件时，（其中且n为正整数）取得最小值？ 【答案】（1）；（2）7；（3）或3；（4）或；结论：7，；（5）1，7；（6）若n为偶数，当时，取得最小值；若n为奇数，当时，取得最小值． 【分析】本题考查了绝对值的性质，数轴的性质，理解绝对值的几何意义是解答关键． （1）根据数轴上两点间的几何意义来求解． （2）根据题意得到，进而求得，，再利用绝对值的非负性求解． （3）分分三种情况：当时， 当， 当时来求解． （4）根据表示数轴上-5与2的点的距离和大于7的数来求解，再结合数轴上两点间距离的几何意义求解． （5）根据绝对值的几何意义，求出当为何值时，有最小值，然后求出最小值即可． （6）根据绝对值的几何意义，求出当为何值时 有最小值即可． 【详解】解：（1），即、两点的距离等于，两数之差的绝对值， 的意义可理解为数轴上有理数和-5这两点的距离． 故答案为：-5． （2）数轴上表示的点位于与2之间， ， ，， ． 故答案为：7． （3）若， 分三种情况： ①当时， ， ； ②当，， 此时方程无解； ③当时，， ． 故答案为：或3． （4）表示数轴上-5与2的点的距离和大于7的数， 或． 表示数轴上有理数和-5这两点的距离，表示数轴上有理数和2这两点的距离， 表示数轴上有理数的到-5及与2的距离之和， 当时，最小值为7． 故答案为：或；结论：7，． （5）表示数轴上表示的点到-5，-2，1三点的距离之和， 当时， 有最小值，最小值为7． 故答案为：1，7． （6）当为奇数时，中间的点为， 则当时，有最小值； 当为偶数时，中间的点为和， 则当或时，有最小值． 18．（24-25七年级上·福建漳州·期中）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．举例：数轴上表示数和的两点和之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______； (2)若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______； (3)当取最小值时，相应的数的取值范围是______； (4)求的最小值是______． 实际应用： (5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在______，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升： (6)若数满足，求的最小值为______． 【答案】(1)3 (2)8 (3) (4)2 (5) (6) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的几何意义、有理数的加减，熟练掌握和运用绝对值的几何意义是运算解决本题的关键． （1）根据题意即可解答； （2）根据a的取值范围，去绝对值符号，即可求得； （3）根据绝对值的意义即可求得； （4）根据绝对值的意义即可求得； （5）根据两点间的距离即可求得； （6）由题意可得：，，据此即可求得a、b的范围，即可求得． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离为：， 故答案为：3； （2）解：数轴上表示数a的点位于与5之间， ， ， 故答案为：8； （3）解：表示数a到点1与2的距离之和， 当时，取最小值， 故答案为：； （4）解：表示数a到点1、2、3的距离之和， 当时，取得最小值，最小值为：， 故答案为：2； （5）解：点，，，，，…，中，最中间的点是， 故点P选在紧靠居民家，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小， 故答案为：； （6）解：表示数a到点1与3的距离之和， 当时，取得最小值； 表示数b到点4与的距离之和， 当时，取得最小值， 此时， ∵a的最小值为1，b的最小值为， 的最小值为：， 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$