专题02 绝对值的五类综合题型（压轴题专项训练）数学苏科版2024七年级上册

专题02 绝对值的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、绝对值的非负性 类型二、利用数轴化简绝对值 类型三、分类讨论化简绝对值 类型四、利用绝对值意义求解 类型五、几何意义化简绝对值 压轴专练 类型一、绝对值的非负性 1. 绝对值的非负性指任何实数的绝对值都是非负数，即|a|≥0，这是绝对值的核心性质，可用于判断式子取值范围。 2. 若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，如|a|+|b|=0时，a=0且b=0，此结论是解决含绝对值方程或求值问题的关键。 例1．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若，则 ， ． 【答案】 3 4 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性，求出x、y的值即可． 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，． 故答案为：3；4． 【变式1-1】（24-25七年级上·四川成都·期末）若有理数，满足：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性和平方的非负性、求代数式的值．根据可以求出、的值，再把、的值代入代数式求值即可． 【详解】解：， ， 解得：， ， 故答案为：． 【变式1-2】（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）若与互为相反数，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了代数式求值，熟练掌握相反数的定义和绝对值的非负性是解题的关键．先根据相反数的定义和绝对值的非负性，求出x、y的值，然后代入代数式求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：． 【变式1-3】（24-25七年级上·北京通州·期末）已知那么 ． 【答案】3 【分析】本题考查了绝对值的非负性，已知字母的值求代数式的值，因为，则，得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：3 类型二、利用数轴化简绝对值 1.先在数轴上确定绝对值内字母表示的数的位置，判断其正负性，正数绝对值是本身，负数是相反数，0的绝对值是0。 2.结合数轴上数的大小关系，化简含多个绝对值的式子，如|a - b|可由a与b的位置判断a - b的正负后化简。 例2．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）有理数在数轴上的位置如图所示， (1)用“”、“”或者“”填空： 0， 0， 0； (2)化简． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了有理数与数轴的关系，有理数的运算法则及绝对值的意义，熟练掌握有理数的运算法则及绝对值的意义是解答本题的关键． （1）根据有理数在数轴上的位置，结合加法和减法法则计算即可； （2）根据绝对值的意义，结合（1）的结论求解即可． 【详解】（1）解：∵从数轴可知：，， ∴，，， 故答案为： ，，； （2）解：∵从数轴可知：，， ∴，，， ∴． 【变式2-1】（24-25七年级下·江西赣州·期末）如图，、在数轴上的位置如图所示，请完成下列各题： (1)则______，______． (2)化简．（用含、的式子表示） 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了数轴和绝对值，整式的加减，根据数轴判断出式子的正负是解题关键． （1）由数轴可知，，，再根据绝对值的意义求解即可； （2）由数轴可知，，，从而判断和的正负，再化简绝对值即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，，， ，， 故答案为：，； （2）解：由数轴可知，，， ，， ． 【变式2-2】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知有理数，，在数轴上所对应的点的位置如图所示． (1)将，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接起来； (2)填空：______；______；______；（填“”或“”） (3)化简：． 【答案】(1) (2)，， (3) 【分析】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，化简绝对值和整式的加减； （1）根据数轴上，左边的数小于右边的数即可解答； （2）根据有理数的加法，减法，乘法法则判断符号，即可求解． （3）根据点在数轴上的位置和绝对值化简解答即可． 【详解】（1）解：根据数轴可得：； （2）解：由数轴可知，，，且， ∴，，； 故答案为：，，； （3）解：由数轴可知，，，且， ∴，， ∴ ． 【变式2-3】（24-25七年级上·江西南昌·期中）已知有理数，，，且．    (1)如图，在数轴上将a、b、c三个数填在相应的括号中： (2)化简： 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了数轴与绝对值，整式的加减运算，根据题意判断式子正负是解题关键． （1）由题意可知，，再填写数轴即可； （2）由题意可知，再取绝对值符号化简即可． 【详解】（1）解：有理数，，，且， 则，， 在数轴上表示如下：    （2）解：由题意，可知， 所以 ． 类型三、分类讨论化简绝对值 1. 确定绝对值内代数式的零点，即令其等于0的未知数的值，以此划分讨论区间，明确各区间内代数式的正负。 2. 按区间分类化简，正数取本身，负数取相反数，最后综合各区间结果，得到完整化简式，适用于字母取值不确定的情况。 例3．已知、、均为不等式0的有理数，则的值为 ． 【答案】3，-3，1，−1． 【分析】根据绝对值的性质，将绝对值符号去掉，然后计算．由于不知道a、b、c的符号，故需分类讨论． 【详解】解：(1)当a>0，b>0，c>0时，=1+1+1=3； (2)当a<0，b<0，c<0时，==−1−1−1=−3； (3)当a>0，b>0，c<0时，==1+1−1=1； 同理，a>0，b<0，c>0；a<0，b>0，c>0时原式的值均为1． (4)当a<0，b<0，c>0时，==−1−1+1=−1； 同理，当a<0，b>0，c<0；a>0，b<0，c<0时原式的值均为−1． 故答案为：3，-3，1，−1． 【点睛】本题考查了绝对值规律的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，解答时要注意分类讨论． 【变式3-1】若，则 ． 【答案】或0或2 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数的除法计算，讨论a、b的符号，然后化简绝对值即可得到答案． 【详解】解：当a、b同时为正时，， 当a、b同时为负时，， 当a、b一正一负时，不妨设a为负，， 综上所述，的值为或0或2． 故答案为：或0或2． 【变式3-2】已知、，那么＝ 【答案】±2或0 【分析】根据x+a，x+b的符号，结合绝对值的性质进行计算即可． 【详解】解：当x+a＞0，x+b＞0时，原式＝1+1＝2， 当x+a＞0，x+b＜0时，原式＝1﹣1＝0， 当x+a＜0，x+b＞0时，原式＝﹣1+1＝0， 当x+a＜0，x+b＜0时，原式＝﹣1﹣1＝﹣2， 故答案为：±2或0． 【点睛】本题考查绝对值，理解绝对值的性质是解答的关键． 【变式3-3】我们知道数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，利用数轴及绝对值知识结合数形结合．分类讨论思想可以解决一些问题.求解下列问题： (1)若时，的值为___________； (2)若成立，则___________； (3)若，则___________； (4)当式子取最小值时，相应的x的取值范围___________，最小值是___________． 【答案】(1) (2)2 (3)0或 (4)；7 【分析】（1）根据绝对值的性质代入化简即可； （2）根据题意得出表示数轴上数a的点到的距离与到9的距离相等，然后求出中点到的距离为7，即可求解； （3）根据题意，分情况讨论分析，然后代入求解即可； （4）表示数轴上数x的点到的距离与到4的距离和，得出当时，距离和即为到4的距离即可求解． 【详解】（1）解：时，， 故答案为：； （2）表示数轴上数a的点到的距离与到9的距离相等， ∵与9的距离为， ∴中点到的距离为7， ∴， ∴， 故答案为：2； （3）∵， ∴分情况讨论：当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 综上可得：值为0或， 故答案为：0或； （4）表示数轴上数x的点到的距离与到4的距离和， 当时，距离和即为到4的距离， 故答案为：；7． 【点睛】题目主要考查绝对值的意义及化简，理解绝对值在数轴上的意义上解题关键． 类型四、利用绝对值意义求解 1. 确定绝对值内代数式的零点，即令其等于0的未知数的值，以此划分讨论区间，明确各区间内代数式的正负。 2. 按区间分类化简，正数取本身，负数取相反数，最后综合各区间结果，得到完整化简式，适用于字母取值不确定的情况。 例4．（24-25七年级上·福建福州·期中）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)或10 【分析】此题考查了绝对值的性质，绝对值的化简，已知字母的值求式子的值，正确掌握绝对值的性质是解题的关键． （1）先代入，再根据绝对值的意义化简即可； （2）先得到，继而确定，或，，再代入求值即可． 【详解】（1）解：因为，， 所以， 所以； （2）解：因为， 所以， 所以，或，， 所以，或． 【变式4-1】（24-25八年级上·四川自贡·期中）已知，． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查绝对值、代数式求值等知识，熟练掌握绝对值的定义、有理数的加法法则、有有理数的减法法则是解决本题的关键． （1）先根据绝对值的意义得出x，y的值，然后根据题意取得x，y的确定的值，然后代入式子根据有理数加法运算法则计算即可． （2）根据绝对值的意义可得出，，或，．，然后代入式子根据有理数减法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 若，， 则，， ∴ （2）解：由（1）可知，， ∵， ∴， ∴，，或，． ∴或 【变式4-2】若． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或； (2)或． 【分析】本题考查了绝对值的性质，有理数的加减法，考查了分类讨论的思想． （1）根据题意，利用绝对值的代数意义，以及有理数的加法法则计算即可求出值． （2）根据题意，利用绝对值的代数意义，以及有理数的加法法则计算即可求出值． 【详解】（1）， ， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，； 综上所述，的值为或； （2）∵， ∴，即， ∴， ∴或． 【变式4-3】解答下列各题： (1)已知，求的值； (2)已知，，且，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查绝对值的意义、绝对值非负性及代数式求值，熟练掌握绝对值意义与性质是解决问题的关键． （1）由绝对值的非负性得到，代入代数式求值即可得到答案； （2）由题意得到，再由确定或，分类代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ，解得， ； （2）解：，， ， ， 或， 当时，； 当时，； 综上，的值为或． 类型五、几何意义化简绝对值 1.绝对值的几何意义是数轴上数对应的点到原点的距离，|a|表示a到原点的距离，非负，据此可直接判断简单绝对值的化简结果。 2.|a - b|表示数轴上a与b对应点的距离，利用此意义可化简含差的绝对值，如a在b右侧时，|a - b|=a - b，反之则为b - a。 例5．（24-25七年级上·河南南阳·期中）如图，数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和10两点之间的距离是 ，数轴上表示2和两点之间的距离是 ； (2)数轴上，x和两点之间的距离是 ； (3)若数轴上x与1满足，则 ； (4)若x表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值，若没有，写出理由． 【答案】(1)8，12 (2) (3)4或 (4)有，最小值为3 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的意义．理解题意，掌握数轴上两点间的距离的求法是解题关键． （1）根据在数轴上A、B两点之间的距离为直接代入求解即可； （2）根据在数轴上A、B两点之间的距离为直接代入求解即可； （3）根据表示：数轴上，表示x和1两点之间的距离是3，即可求解； （4）由当表示x的数位于1和两点之间时，距离的和最小解答即可． 【详解】（1）解：，， 所以数轴上表示2和10两点之间的距离是8，数轴上表示2和两点之间的距离是12； （2）解：数轴上，x和两点之间的距离是； （3）解：表示：数轴上，表示x和1两点之间的距离是3， 所以x为4或； （4）解：表示x和1两点之间的距离与x和两点之间的距离的和， 所以当表示x的数位于1和两点之间时，距离的和最小，即为1和两点之间的距离为． 【变式5-1】（24-25七年级上·四川泸州·期中）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是____________；式子的几何意义是__________． (2)根据绝对值的几何意义，当时，________； (3)当表示的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是________； (4)探究：的最小值是________； (5)时的值为________． 【答案】(1)，数轴上表示数的点与数的点之间的距离 (2)或5 (3)7 (4)最小值为8 (5)或9 【分析】本题主要考查了数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，绝对值的意义， 对于（1），根据两点之间的距离解答即可； 对于（2），由两点之间的距离，可知表示x的点与2的点之间的距离是3，可得答案； 对于（3），求表示x的点到和5的距离之和，且点x在和5之间； 对于（4），当表示x的点在和7之间时距离之和最小，并求出值； 对于（5），由题意可知表示x的点不在和7之间，分两种情况求出答案即可. 【详解】（1）解：数轴上表示2的点与表示的点之间的距离是，式子的几何意义是数轴上表示a的点与表示的点之间的距离． 故答案为：，数轴上表示a的点与表示的点之间的距离； （2）解：表示数轴上x的点与2的点之间的距离是3， ∴或． 故答案为：5或； （3）解：∵表示x的点在和5之间，且和5之间的距离是， ∴所以表示x的点到和5的距离之和是7． 故答案为：7； （4）解：表示的x的点到和7之间的距离， 当表示的x的点在和7之间时距离和最小，即， 所以的最小值为8． 故答案为：8； （5）解：∵， 当时，， 解得； 当，无解； 当时，， 解得． 故答案为：或9． 【变式5-2】（24-25七年级上·湖北十堰·期中）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：点、在数轴上分别表示有理数、，则A，B两点之间的距离示为，即．例如，在数轴上，表示和的点的距离为． 【问题解决】 （1）表示数轴上数与　　（填数字）之间的距离； （2）若点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，则　　（用含的代数式表示）； 【关联运用】 （3）运用一：若，则x的值为　　； （4）运用二：代数式的最小值为　　； （5）运用三：代数式的最大值为　　； （6）运用四：已知动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒．原点为点，线段的中点分别为，若，且的值为常数，求出和的值 【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）；（5）；（6），；或，； 【分析】本题为绝对值动点综合题，考查了数轴上绝对值的意义，绝对值的化简，数轴上点的距离运算，数轴上中点的表达，灵活根据动点的运动速度表达出点在数轴上的情况是解题的关键． （1）根据绝对值的意义作答即可； （2）根据绝对值的意义作答即可； （3）分类讨论的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可； （4）分类讨论的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可； （5）分类讨论的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可； （6）根据运动情况，用含的式子表达出各点的值，再根据各点的值表达出和的长度，套入分析出的值后即可求得的值． 【详解】（1）解：由题意可得：表示数轴上数与之间的距离； 故答案为：； （2）解：； 故答案为：； （3）解：根据题意可得：和表示与的距离和与的距离的和，， 当时， 则：， 解得：； 当时，则 ，不符合题意； 当时，则：， 解得：； 故答案为：或； （4）解：， 当时， 则：， 当时，则， 当时，则：， ∴时，的最小值为， 故答案为：； （5）解：∵表示与的距离和与的距离的差， ∴当时， 则：， 当时，则， ∴， 当时，则， ∴综上的最大值为：； 故答案为：7； （6）解：∵动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒，设时间为， ∴点可表示为：，点可表示为：，点可表示为：， ∴的中点为：，的中点为：，的中点为：， ∵在的左边，在的左边， ∴在的左边，在的左边， ∴，， ∴， ∴时，的值与无关，即， ∴， ∴，． 【变式5-3】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）【课本再现】 材料一：苏科版（）数学教材七年级上册这一节中，介绍了：一般地，数轴上表示一个数的点到原点的距离叫作这个数的绝对值，数的绝对值记为，读作“的绝对值”． （1）若数轴上的点，，表示的数分别为、、，则表示________之间的距离，表示________之间的距离． （2）若，，则________． 【迁移尝试】 材料二：在综合实践课上，王老师和鹿鸣学堂“数学趣味推理”社团的同学们一起进一步研究了绝对值，发现： ，，， （3）观察上面的数量关系，可以归纳得到：当，满足________时，；当，满足________时，． 【拓展应用】 （4）若，，则的值为多少？（友情提示：①无过程不得分；②用超出已学知识解答不得分） （5）当、、满足什么条件时，．（请直接写出结果，不需过程） 【答案】（1）、，、；（2）；（3）同号或者，中有一个为；异号；（4）的值为或；（5）、、满足两负一正或两正一负或其中一个数为，另外两个数为异号 【分析】本题考查了绝对值的性质，解题的关键是掌握绝对值的性质和读懂材料． （1）根据绝对值的定义求解即可； （2）分当，时，和当，时，两种情况求出，即可求解； （3）根据材料即可求解； （4）根据题意可得、异号，分情况讨论：当，时，当，时，结合绝对值的性质即可求解； （5）结合材料即可求解． 【详解】解：（1）表示、之间的距离，表示、之间的距离， 故答案为：、，、； （2），且， 当或时，，， 当或时，，， 当，时， ， ， ， ； 当，时， ， ， ， ， ； 综上所述，， 故答案为：； （3）根据题意可得：当，满足同号或者，中有一个为时，； 当，满足异号时，； 故答案为：同号或者，中有一个为；异号； （4），，即， 、异号， 当，时，，或， 或， 解得：或， 当，时，，或， 或， 解得：或， 综上所述，的值为或； （5）当、、满足两负一正或两正一负或其中一个数为，另外两个数为异号时，． 一、单选题 1．若，则a的值不可能是（   ） A．3 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：当时，； 当时，则，； 当时，则，； 所以当小于或等于0时，， 所以不满足条件． 故选：A． 2．已知，则（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的意义，求代数式的值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键； 根据绝对值的意义，求得和的值，代入求解即可； 【详解】解：， ，， 解得：，， ； 故选：C 3．（24-25七年级上·河南新乡·期中）若，且，则的值为（      ） A．或 B．2或 C．或2 D．或 【答案】B 【分析】本题主要查了绝对值的性质，有理数的除法．根据绝对值的性质可得，,根据，得出，，然后再代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，， 当，时，； 当，时，． 故选：B． 4．（24-25七年级上·四川德阳·期末）下列说法：①若，则为负数；②若不是负数，则为非正数；③；④若，，则．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，理解绝对值的性质是解题关键． 根据绝对值的性质逐个分析判断即可得解． 【详解】解：若， ， ． ①的说法错误； 若不是负数， ， ，即为非正数． ②的说法正确； ，， ． ③的说法正确； 若，， ， ． ④的说法正确． 综上所述，正确的结论有②③④，共3个正确结论． 故选：C． 二、填空题 5．若与互为相反数，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了相反数的定义，非负性，代数式的代入求值，掌握代数式的计算是解题的关键． 根据题意列式，由绝对值的非负数可得的值，代入计算即可． 【详解】解：若与互为相反数， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， 故答案为： ． 6．若，则 ；若，则 ． 【答案】 3或 3或 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，解一元一次方程等知识点，根据绝对值的性质化简即可得解，熟练掌握绝对值的意义并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∵， ∴或， ∴或， 故答案为： 3或，3或． 7．如果，那么的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了绝对值和偶次方的非负性、有理数的乘方运算，求解代数式的值，正确得出a，b的值，是解题关键．直接利用绝对值的性质以及偶次方的非负性得出a，b的值，再利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：． 8．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）下列说法：①，则；②数轴上到某点距离相等的两个点对应的数相等；③，则；④，则．正确的有 （填序号）． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了化简绝对值，绝对值的意义，结合绝对值的性质判断①④；根据绝对值的意义判断②，运用分类讨论思想逐个分析化简绝对值，即可判断③，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，，故①正确； ∵数轴上到原点距离相等的两个点； ∴这两个点对应的数的绝对值相等， ∴数轴上到某点距离相等的两个点对应的数不一定相等；故②错误； ③∵， ∴当时，则； 当时，则； 当时，则； ∴当时，则； 则或，故③正确； ∵， ∴数到数的距离等于数到数的距离， 则当时，．故④错误； 故答案为：①③． 三、解答题 9．（24-25七年级上·河南新乡·期中）若，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，非负数的性质，先根据，求出 ， ，然后代入求值即可． 【详解】解：由题意知 ，且 则 且 ， 所以 ，， 当，时， ． 10．（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知． (1)若，求的值： (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了绝对值的应用，代数式求值． （1）根据结合条件可确定的值，即可求解； （2）根据结合条件可确定的所有可能取值，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴； ∵， ∴，； 当时，， 当时，． 11．（1）已知和互为相反数，和互为倒数，的绝对值等于2，求式子：的值． （2）有理数，且． ①在数轴上将a，b，c三个数在数轴上表示出来如图所示； ②化简：． 【答案】（1）1或；（2）①见解析；② 【分析】（1）根据绝对值意义，相反数定义，倒数定义得出，，，然后分别代入求解即可． （2）①根据，且即可求解． ②先判断、、的正负号，即可化简． 【详解】解：（1）∵和互为相反数，和互为倒数，的绝对值等于2， ∴，，， ∴， 当时， ； 当时， ； ∴的值为1或； （2）①∵，且， ∴， 在数轴上将a，b，c三个数在数轴上表示出来如图所示： ②根据数轴位置关系可得：、、， ∴． 【点睛】本题考查了整式的加减，数轴以及绝对值，相反数和倒数的定义，解决本题的关键是熟练掌握相关的定义，以及绝对值的意义． 12．同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离．试探索： (1)求_________； (2)若，求的值； (3)同样道理表示数轴上有理数所对点到和所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数有__________个； (4)设，当______时的值最小． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）根据数轴上两点间的距离即可求解； （）由题意得，求出的值即可； （）由表示与两数在数轴上所对的两点之间的距离，表示与两数在数轴上所对的两点之间的距离，而与两数在数轴上所对的两点之间的距离为，则，从而得到即可； （）根据数轴上两点间的距离可得当时，最小； 本题考查了数轴，绝对值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得：； （3）解：∵表示与两数在数轴上所对的两点之间的距离，表示与两数在数轴上所对的两点之间的距离，而与两数在数轴上所对的两点之间的距离为，， ∴， ∴，，，，，，，，共个整数， 故答案为：； （4）解：根据题意得，当时，最小， ∴， 故答案为：． 13．阅读材料： 数轴上点A，B分别表示有理数a，b，表示A，B两点之间的距离，则．如：4与两数在数轴上对应的两点之间的距离为；又如：可以写成，它的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离． 解决问题： （1）若，则______，若，则______． （2）表示数轴上有理数x对应的点到和3对应的两点距离之和．请你利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使得： ①； ②． 猜想： （3）对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】（1）或；；（2）①；②；（3） 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离以及绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点的距离公式和绝对值的几何意义，运用数形结合的思想分析问题是解题的关键． （1）根据绝对值的意义即可求解； （2）①由绝对值的定义求解即可；②由绝对值的定义求解即可； （3）根据题意，表示到这三点的距离和最小值，则当时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴或， ∴或； ∵， 则表示到和的距离相等， ∴； （2）①表示数轴上有理数x对应的点到和3对应的两点距离之和为5， 如图， ∵， ∴的整数符合题意， ∴使得成立的所有符合条件的整数x为：； ②表示数轴上有理数x对应的点到和3对应的两点距离之和为7， 如图， ∵， ∴表示x的数在的左侧或在的右侧一个单位时成立， ∴或的整数符合题意， ∴使得成立的所有符合条件的整数x为：； （3）∵表示数的点到表示的点的距离之和， 当时，代数式的最小值为：． 14．（24-25七年级上·云南昆明·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】 【提出问题】 两个不为0的有理数满足同号，求的值． 【解决问题】 解：由同号且都不为0可知有两种可能：①都是正数：②都是负数． ①若都是正数，即，，有及，则； ②若都是负数，即，，及，则； 所以的值为2或． 【探究】 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知且，且，求的值． (2)两个不为0的有理数满足异号，求的值． 【答案】(1)10或4 (2) 【分析】本题主要考查了代数式求值，绝对值的意义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由且，且得到a和b的值，代入求解即可； （2）由a、b异号分2种情况讨论：①，；②，，分别求解即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， 当，时， 当，时， 综上，的值10或4； （2）解：由a、b异号，可知有两种可能：①，；②，， 当，时，； 当，时，， 综上，的值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 绝对值的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、绝对值的非负性 类型二、利用数轴化简绝对值 类型三、分类讨论化简绝对值 类型四、利用绝对值意义求解 类型五、几何意义化简绝对值 压轴专练 类型一、绝对值的非负性 1. 绝对值的非负性指任何实数的绝对值都是非负数，即|a|≥0，这是绝对值的核心性质，可用于判断式子取值范围。 2. 若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，如|a|+|b|=0时，a=0且b=0，此结论是解决含绝对值方程或求值问题的关键。 例1．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若，则 ， ． 【变式1-1】（24-25七年级上·四川成都·期末）若有理数，满足：，则 ． 【变式1-2】（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）若与互为相反数，则 ． 【变式1-3】（24-25七年级上·北京通州·期末）已知那么 ． 类型二、利用数轴化简绝对值 1.先在数轴上确定绝对值内字母表示的数的位置，判断其正负性，正数绝对值是本身，负数是相反数，0的绝对值是0。 2.结合数轴上数的大小关系，化简含多个绝对值的式子，如|a - b|可由a与b的位置判断a - b的正负后化简。 例2．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）有理数在数轴上的位置如图所示， (1)用“”、“”或者“”填空： 0， 0， 0； (2)化简． 【变式2-1】（24-25七年级下·江西赣州·期末）如图，、在数轴上的位置如图所示，请完成下列各题： (1)则______，______． (2)化简．（用含、的式子表示） 【变式2-2】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知有理数，，在数轴上所对应的点的位置如图所示． (1)将，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接起来； (2)填空：______；______；______；（填“”或“”） (3)化简：． 【变式2-3】（24-25七年级上·江西南昌·期中）已知有理数，，，且．    (1)如图，在数轴上将a、b、c三个数填在相应的括号中： (2)化简： 类型三、分类讨论化简绝对值 1. 确定绝对值内代数式的零点，即令其等于0的未知数的值，以此划分讨论区间，明确各区间内代数式的正负。 2. 按区间分类化简，正数取本身，负数取相反数，最后综合各区间结果，得到完整化简式，适用于字母取值不确定的情况。 例3．已知、、均为不等式0的有理数，则的值为 ． 【变式3-1】若，则 ． 【变式3-2】已知、，那么＝ 【变式3-3】我们知道数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，利用数轴及绝对值知识结合数形结合．分类讨论思想可以解决一些问题.求解下列问题： (1)若时，的值为___________； (2)若成立，则___________； (3)若，则___________； (4)当式子取最小值时，相应的x的取值范围___________，最小值是___________． 类型四、利用绝对值意义求解 1. 确定绝对值内代数式的零点，即令其等于0的未知数的值，以此划分讨论区间，明确各区间内代数式的正负。 2. 按区间分类化简，正数取本身，负数取相反数，最后综合各区间结果，得到完整化简式，适用于字母取值不确定的情况。 例4．（24-25七年级上·福建福州·期中）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【变式4-1】（24-25八年级上·四川自贡·期中）已知，． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 【变式4-2】若． (1)求的值； (2)若，求的值． 【变式4-3】解答下列各题： (1)已知，求的值； (2)已知，，且，求的值． 类型五、几何意义化简绝对值 1.绝对值的几何意义是数轴上数对应的点到原点的距离，|a|表示a到原点的距离，非负，据此可直接判断简单绝对值的化简结果。 2.|a - b|表示数轴上a与b对应点的距离，利用此意义可化简含差的绝对值，如a在b右侧时，|a - b|=a - b，反之则为b - a。 例5．（24-25七年级上·河南南阳·期中）如图，数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和10两点之间的距离是 ，数轴上表示2和两点之间的距离是 ； (2)数轴上，x和两点之间的距离是 ； (3)若数轴上x与1满足，则 ； (4)若x表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值，若没有，写出理由． 【变式5-1】（24-25七年级上·四川泸州·期中）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是____________；式子的几何意义是__________． (2)根据绝对值的几何意义，当时，________； (3)当表示的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是________； (4)探究：的最小值是________； (5)时的值为________． 【变式5-2】（24-25七年级上·湖北十堰·期中）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：点、在数轴上分别表示有理数、，则A，B两点之间的距离示为，即．例如，在数轴上，表示和的点的距离为． 【问题解决】 （1）表示数轴上数与　　（填数字）之间的距离； （2）若点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，则　　（用含的代数式表示）； 【关联运用】 （3）运用一：若，则x的值为　　； （4）运用二：代数式的最小值为　　； （5）运用三：代数式的最大值为　　； （6）运用四：已知动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒．原点为点，线段的中点分别为，若，且的值为常数，求出和的值 【变式5-3】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）【课本再现】 材料一：苏科版（）数学教材七年级上册这一节中，介绍了：一般地，数轴上表示一个数的点到原点的距离叫作这个数的绝对值，数的绝对值记为，读作“的绝对值”． （1）若数轴上的点，，表示的数分别为、、，则表示________之间的距离，表示________之间的距离． （2）若，，则________． 【迁移尝试】 材料二：在综合实践课上，王老师和鹿鸣学堂“数学趣味推理”社团的同学们一起进一步研究了绝对值，发现： ，，， （3）观察上面的数量关系，可以归纳得到：当，满足________时，；当，满足________时，． 【拓展应用】 （4）若，，则的值为多少？（友情提示：①无过程不得分；②用超出已学知识解答不得分） （5）当、、满足什么条件时，．（请直接写出结果，不需过程） 一、单选题 1．若，则a的值不可能是（   ） A．3 B．0 C． D． 2．已知，则（　　） A．或 B．或 C． D． 3．（24-25七年级上·河南新乡·期中）若，且，则的值为（      ） A．或 B．2或 C．或2 D．或 4．（24-25七年级上·四川德阳·期末）下列说法：①若，则为负数；②若不是负数，则为非正数；③；④若，，则．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 5．若与互为相反数，则 ． 6．若，则 ；若，则 ． 7．如果，那么的值是 ． 8．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）下列说法：①，则；②数轴上到某点距离相等的两个点对应的数相等；③，则；④，则．正确的有 （填序号）． 三、解答题 9．（24-25七年级上·河南新乡·期中）若，求的值． 10．（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知． (1)若，求的值： (2)若，求的值． 11．（1）已知和互为相反数，和互为倒数，的绝对值等于2，求式子：的值． （2）有理数，且． ①在数轴上将a，b，c三个数在数轴上表示出来如图所示； ②化简：． 12．同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离．试探索： (1)求_________； (2)若，求的值； (3)同样道理表示数轴上有理数所对点到和所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数有__________个； (4)设，当______时的值最小． 13．阅读材料： 数轴上点A，B分别表示有理数a，b，表示A，B两点之间的距离，则．如：4与两数在数轴上对应的两点之间的距离为；又如：可以写成，它的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离． 解决问题： （1）若，则______，若，则______． （2）表示数轴上有理数x对应的点到和3对应的两点距离之和．请你利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使得： ①； ②． 猜想： （3）对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 14．（24-25七年级上·云南昆明·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】 【提出问题】 两个不为0的有理数满足同号，求的值． 【解决问题】 解：由同号且都不为0可知有两种可能：①都是正数：②都是负数． ①若都是正数，即，，有及，则； ②若都是负数，即，，及，则； 所以的值为2或． 【探究】 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知且，且，求的值． (2)两个不为0的有理数满足异号，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$