期末专题02 整式及其加减的十二类综合题型（压轴题专项训练）数学苏科版2024七年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末专题02整式及其加减的十二类综合题型 目录 典例详解 类型一、单项式、多项式的系数和次数 类型二、多项式系数、指数中字母求值 类型三、已知同类项求指数中字母或代数式的值 类型四、整式的加减运算 类型五、整式的加减中的化简求值 类型六、整式加减中的无关型问题 类型七、整式的加减运算与应用 类型八、带有字母的绝对值化简问题 类型九、整式加减运算中的新定义型问题 类型十、已知式子的值，求代数式的值 类型十一、与图形有关的规律探究问题 类型十二、与数字有关的规律探究问题 压轴专练 典例详解 类型一、单项式、多项式的系数和次数 1. 判类型定系数：单项式系数是数字因数（含符号，π是常数）；多项式无系数，需先找各项再判每项 系数。 2. 数字母算次数：单项式次数是所有字母指数和（常数项次数为O)；多项式次数是次数最高项的次数 3.去括号合并项：遇带括号的多项式，先去括号再合并同类项，避免漏项、错判次数与系数。 例1.（24-25七年级上·云南红河·期末)下列说法正确的是() A.-3y是单项式 的系数是3 B.于 C.3πy的次数是3 D.m2+2mn是四次二项式 【变式1-1】(25-26七年级上全国期末)下列关于整式的说法中，正确的是() ①-3ab2的系数是-3 ②4rb的次数是3 ③x2-1是二次二项式 1/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ④2a+b-1的各项分别为2a,b,-1 A.①② B.②③ C.①②③ D.①③④ 【变式1-2】(25-26七年级上·全国·期末)下列叙述中，错误的是() A.-2y的系数是-2，次数是1 B.单项式ab2的系数是1，次数是2 C.2x-3是一次多项式 D.3x2+xy-4是二次多项式 【变式1-3】（24-25七年级上·四川成都期末)下列说法中，正确的有()个 ①1和是同类项，②两点之间的线段是两点之间的距离，③3x2+2x+6是五次三项式，④严和都是单项 Xπ 式，⑤倒数等于本身的数是0、山，回-号：的系数是一号，次数是4 A.1 B.2 C.3 D.4 类型二、多项式系数、指数中字母求值 1.抓次数列等式：根据多项式次数定义，找到最高次项，令其字母指数和等于已知次数，列出方程求解 字母值。 2.依同类项定条件：若涉及同类项，需保证所含字母相同且相同字母指数相等，结合系数条件建立等式 计算。 3.验结果去矛盾：求出字母值后，代入原式检验，排除使某项系数为0导致次数改变的情况。 例2.(23-24七年级上山东济宁期末)若多项式2x--(a-3)x+7是关于x的二次三项式，则a的值 为 【变式2-1】(23-24七年级上·湖北黄石·期末)已知多项式a2bm-2ab+b9-2m+3为5次多项式，则 m= 【变式2-2】(24-25七年级上·天津期末)已知关于x的多项式(m-4)x3-x"+x-mn为二次三项式，则当 x=-1时，这个二次三项式的值是一， 类型三、已知同类项求指数中字母或代数式的值 1.抓同类项核心条件：明确同类项需所含字母完全相同，且相同字母的指数分别相等，据此对每个字母 的指数列等式。 2.解方程求字母值：通过解一元一次方程算出指数中字母的具体数值，若所求为代数式，直接代入求值 3.代入原式验证：将结果代入原单项式，检查是否满足同类项定义，排除系数为0等特殊情况。 例3.（24-25七年级上·浙江杭州期末)若-2x"y4与3xy2"是同类项，则n-m= 2/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式3-1】(2425七年级上安徽合肥期末)已知单项式-”)与-2的和为单项式，则 m”= 【变式3-2】(24-25七年级上广东梅州期末)若单项式3x*3y与-5y是同类项，则(a+b225= 类型四、整式的加减运算 1. 去括号看符号：括号前是“+”，去括号后各项不变号；括号前是“-”，各项都要变号，括号前有系 数时，需用分配律乘括号内每一项。 2. 找同类项合并：合并时只把系数相加减，字母和字母的指数保持不变，防止漏项或错改指数。 3.验结果防出错：可反向代入原式计算，核对运算结果是否一致，避免符号和计算失误。 例4.(24-25七年级上江苏扬州·期末)化简： (1)-3x+2y-5x-7y; (2)4m2n+3mn2-m2n-5mn2-2m2n. 【变式4-1】(24-25七年级上湖北孝感期末)计算： (1)2x2-13x-7x2-4x, (2)3x2-xy-22x2-3xy) 【变式4-2】(24-25六年级上山东淄博期末)计算 ()2x-3x2+1-3(2x2-x-2 2)2x2- 3x- 4-21+6 【变式4-3】(24-25七年级上浙江·期末)化简： (1)3ab-4a+2ab-5a; (2)2(a2-ab)-3 2d-ab 类型五、整式的加减中的化简求值 1.先化简再求值：先去括号（注意符号变化），再合并同类项，将整式化为最简形式，避免直接代入数 值计算带来的繁琐运算。 2.代入数值细计算：代入时，负数或分数要加括号，乘方运算需遵循运算法则，分步计算减少符号和计 算错误。 3.特殊值巧检验：化简后可代入简单值检验化简是否正确，再代入目标值计算，确保结果准确。 3/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 例5.(24-25七年级上·云南红河·期末)先化简，再求值：2(ab-3a2)+[a2-5(ab-a2)】,其中a=1,b=-2 【变式5-1】(24-25七年级上·云南红河期末)先化简，再求值：（4xy2-3x2y)-3xy2-x2y),其中 x=-4,y=2 【变式5-2】(25-26七年级上全国期末)先化简，再求值.2(a2-2ab)+[2b2-3a2-2ab+b2）+a2,其 中a=3,b=-2」 【变式5-3】(25-26七年级上江苏无锡期末)先化简，再求值：（3x2y-xy2）-2(y2-3x2y-5x2y,其中 x=-1,y=2 类型六、整式加减中的无关型问题 1. 化简整式：先去括号、合并同类项，将整式整理成关于某个字母的降幂或升幂形式，清晰分离含该字 母的项与不含该字母的项。 2.令系数为0：“与某字母无关”即含该字母项的系数为0，据此列方程求解字母参数的值，注意符号 不要出错。 3.代入验证：将求出的参数值代回原式，检验含无关字母的项是否确实消去，确保结果无误。 例6.（24-25七年级上四川宜宾期末)已知A=3x2-6xy+2x-1,B=x2-xy-y,请按要求解决以下问题： (1)求A-3B; (②)若A-3B的值与y的取值无关，求x的值. 【变式6-1】(24-25七年级上·重庆巴南期末)已知多项式A=4x2-bx+8,B=2ax2-6x+2、 (I)若a-4+(3-b)=0,求代数式2A-B的值： (2)若代数式A+2B的值与x的取值无关，求a2025+(6a-b的值. 【变式6-2】(24-25七年级上河南驻马店·期末)对于题目：整式ax-y+6+3x-5y-1的值与x的取值无 关，求a的值.通常的解题方法是把x,y看作字母，把a看作系数合并同类项.因为整式的值与x的取值无 关，所以含x项的系数为0，即原式=(a+3)x-6y+5,其中，则a=-3. 【理解应用】 (1)若关于x的多项式2mx-m+2m2-5x的值与x的取值无关，求m的值； 【拓展提升】 4/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)用6张长为b,宽为a的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形 中未被覆盖的两个部分，设AD=x,则左上角部分的面积为S,=bx-4ab,右下角部分的面积为 S,=2ax-2ab,当AD的长度发生变化时，5S2-2S的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系. S S2 类型七、整式的加减运算与应用 1.实际问题转整式：根据题意提炼数量关系，用字母表示未知量，将文字描述转化为整式表达式，注意 单位统一和符号规范。 2.按法则化简计算：先去括号（括号前是负号要变号），再合并同类项，化简过程中分步核对，避免符 号和系数错误。 3.代入验证写结果：将已知数值代入化简后的整式求值，结合实际意义检验结果合理性，确保符合题意。 例7.(24-25七年级上·河南平顶山期末)某小区的一块长方形绿地的造型如图所示（单位：m),其中 两个扇形表示绿地，两块绿地用五彩石隔开 a b 五彩石 b (1)绿地的面积为 平方米；（用含有a,b,π的式子表示） 2)若6= 4,铺设五彩石费用为每平方米160元，种草的费用为每平方米80元，则美化这块长方形区域共 需多少元？（用含有a,π的式子表示） 【变式7-1】(24-25七年级上·山东济南期末)如图，有两个长宽高分别都是Q、b、C的箱子，现在要用 如图所示的两种不同的打包方式进行打包 5/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6 ① (1)图①中打包带的总长= (用含a、b、C的代数式表示，并化简) 图②中打包带的总长= (用含a、b、C的代数式表示，并化简) (2)已知一个箱子的长a=60cm,宽b=35cm,高c=25cm,若按照图②的方式打包，请计算打包带的总长. (3)根据你的分析，试判断打包方式 所用打包带更短， 【变式7-2】(24-25七年级上贵州遵义期末)建一个长方形的苗圃，其中一边靠墙，另外三边用竹篱笆 围成.已知长方形的长为6a-2b+24)米，宽为b-3a+3)米. 宽 长 ()这个苗圃的长比宽多多少米？ (②)若竹篱笆的单价为每米8元，请你通过计算，说明该苗圃的建造总价是否随Q,b的取值而变化，如变化， 请说明理由；如不变化，请求出该苗圃的建造总价 【变式7-3】(24-25七年级上山东临沂·期末)某居民社区为了改善业主的居住环境，计划在社区空地上 修建一个广场（图中阴影部分，单位：米）· 0.5n m 2n 2m (1)用含m,n的代数式表示该广场的周长C,面积S: (2)若m,n满足(m-20)+n-30=0,请求出该广场面积S;若每平方米的修建费用为200元，求修建广场 所需的总费用。 6/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型八、带有字母的绝对值化简问题 1.判符号定正负：根据已知条件（如数轴位置、不等式），确定绝对值内字母或代数式的正负性，这是 化简的关键。 2.去绝对值用法则：正数的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数，0的绝对值是0，据此去掉绝对值 符号并加括号。 3.去括号合并化简：去掉绝对值后，按整式加减法则去括号、合并同类项，注意符号变化，避免漏变号。 例8.(24-25七年级上四川泸州期末)己知有理数a,b,c在数轴上的对应点如图所示： b -5-4-3-2-102 (1)b 0,a+c0;b-a0.(填>或<或=) (2)化简：lb+a+c-b-a. 【变式8-1】(24-25七年级上山东日照·期末)观察数轴并回答下列问题 a 0b (1)用“>”或“<”填空： Q0;a+b 0c-b0 (2)化简：a+b+2c-b-lal. 【变式8-2】(24-25七年级上湖北十堰期末)有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，且a>. 0 b 化简代数式c-a-2a+b+c-b 类型九、整式加减运算中的新定义型问题 1.读懂新定义规则：认真分析题目给出的新运算符号、公式或法则，明确运算对象、顺序和对应关系， 不混淆新定义与常规整式运算。 2.转化为常规运算：将新定义的式子，按规则转化为整式的加减运算，去括号、合并同类项时注意符号 和指数，保证步骤准确。 3.代入验证保正确：计算后代入简单数值检验，看是否符合新定义要求，避免因误解规则导致解题错误。 例9.(24-25七年级上河南鹤壁期末)定义：若a+b=2,则称a与b是关于2的平衡数” (1)5与 是关于2的“平衡数”，3-x与 是关于2的“平衡数”；（用含x的代数式表示） (2)若a=2x2-3x2+x+4,b=2x-3x-(4x+x2)+2],判断a与b是否是关于2的平衡数”，并说明理由. 7/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式9-1】(24-25七年级上·北京平谷期末)我们定义了一种新的运算“⊕”，这种运算对于任意两个有理 数a和b,满足以下规则：a⊕b=3a-b. 例如：3⊕2=3×3-2=7 请根据这个新定义的运算，回答以下问题： (1)2©(-4)= (2)若a©(-b)=-4,求(a+2b)©(3b-6a)的值. 【变式9-2】(24-25七年级上·江苏盐城期末)定义：对于两个含字母x的一元多项式，当x任取一个数时， 如果这两个多项式的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式是恒等的.如果两个多项式恒等，那么将 这两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等. 己知关于x的多项式ax3+2x2-cx+d与多项式3x3-dx2+bx-2是恒等的. (1)a=_;d=_ (2)若数m=3(2a+b+,数n=-2(3a-c+c-3,则数m与数n是互为相反数吗？为什么？ 类型十、已知式子的值，求代数式的值 1.整体代入巧转化：观察已知与所求代数式的结构，提取公共部分，将已知式子视为整体代入，避免求 单个字母值的繁琐。 2.变形构造求关联：对已知或所求式进行恒等变形，如添括号、拆项、系数配凑，构造出可直接代入的 形式，注意变形前后等价。 3.代入计算细检验：代入后按运算顺序计算，符号和系数是易错点，算完后反向验证，确保结果准确。 例10.(24-25七年级上黑龙江大庆期末)己知a,b互为倒数，c,d互为相反数，m=3,n是最大的 负整数.根据已知条件请回答： (1)ab=,c+d= ； ②求n+-ab0,c+的信 3 【变式10-1】(24-25六年级上·山东威海·期末)在数学学习中，运用整体思想方法在求代数式值的过程中 非常重要.例如：已知2a2+4a=2,则代数式4-2a2-4a=4-2a2+4a=4-2=2. 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若x2-3x=2,求1-x2+3x的值； (2)当x=-1,y=2时，代数值ax2y-bxy2的值是6，则当x=1,y=-2时，求代数式y-ax2y+bxy2的值. 【变式10-2】(24-25七年级上四川成都期末)有这样一道题“代数式x2+x+3的值为7，则代数式 8/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2x2+2x-3的值是多少？”我们可以这样来解：设x2+x=m,x2+x+3=7,即m+3=7,m=4, .2x2+2x-3=2x2+x-3=2m-3=2×4-3=5. 利用字母进行一些转化，可以让思路更清晰，让表达更简洁，让运算更简便.仿照以上的解题方法，完成 下面问题： (1)若代数式x2+x+1的值为15，求代数式-2x2-2x+3的值； (2)已知ad2+2ab=-2,ab-b=-4,求2a2+7ab+b-2的值. 7 2 类型十一、与图形有关的规律探究问题 1. 列数据找规律：按图形序号，依次列出对应数量（如小正方形个数、线段条数），将图形问题转化为 数字序列问题。 2.析变化建模型：分析相邻数据的差值或倍数关系，判断规律类型（等差、等比等），用含序号() 的代数式表示规律。 3.验规律保准确：将序号代入代数式，验证是否与图形对应数量一致，确保规律通用。 例11.(24-25七年级上·江西吉安期末)按如右图所示的规律摆放三角形 △ A会 △△△公△△△ (1)第4个图形中三角形的个数为 第n个图形中三角形的个数为 (2)求第2024个图形中三角形的个数. 【变式11-1】（24-25七年级上·安微合肥期末)如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角 形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，照此 规律摆下去 又又又XX又X入X又 第1个 第2个 第3个 第4个 (1)第5个图案有_个三角形； (2)第n个图案有_个三角形；（用含n的式子表示） (3)第2024个图案有几个三角形？ 【变式11-2】(24-25七年级上河南商丘期末)【观察思考】 如图，这是由基本图形组成的一系列图案，其中第1个图案由4个基本图形组成；第2个图案由7个基本图 9/16 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 形组成；第3个图案由10个基本图形组成；按此规律排列下去. 彩 第1个图案 2个图 第3个图案 【规律发现】 (1)第4个图案有_个基本图形；第n(n是正整数)个图案有_（用含的式子表示）个基本图形. 【规律应用】 (2)摆第33个图案需要多少个基本图形？ 类型十二、与数字有关的规律探究问题 1.标序号列数列：给数字序列标上序号n(n从1开始)，列出序号与对应数字的表格，直观呈现两者 关联。 2.析变化找关系：分析相邻数字的差、商或奇偶性，判断是等差、等比还是周期规律，用含的代数式 表达规律。 3. 代数值验规律：代入不同的值验证代数式是否成立，排除特殊项干扰，确保规律具有普适性。 例12.(24-25七年级上江苏南通期末)如图是某月的月历，请仔细观察，回答下列问题： 星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)“工”形框中7个数的和与最中间的数之间有什么关系？ (②)若把这个“工形放到其他月份的月历中，请判断(1)中的关系是否还存在，并说明理由. 【变式12-1】(24-25七年级上山东日照期末)观察下面三行数： 2、-4、8、-16、32、-64.① 1、-2、4、-8、16、-32.② 0、6、-6、18、-30、66.③ 取每一行的第n个数，依次记为a,b,c.例如图中，当n=2时，a=-4,b=-2,c=6. (1)当n=8时，a= ,b=; (2)是否存在某一列的三个数a,b,c使得a+b+c=1026？若存在，求出a和n的值；若不存在，请说明理 由. 10/16 期末专题02 整式及其加减的十二类综合题型 目录 典例详解 类型一、单项式、多项式的系数和次数 类型二、多项式系数、指数中字母求值 类型三、已知同类项求指数中字母或代数式的值 类型四、整式的加减运算 类型五、整式的加减中的化简求值 类型六、整式加减中的无关型问题 类型七、整式的加减运算与应用 类型八、带有字母的绝对值化简问题 类型九、整式加减运算中的新定义型问题 类型十、已知式子的值，求代数式的值 类型十一、与图形有关的规律探究问题 类型十二、与数字有关的规律探究问题 压轴专练 类型一、单项式、多项式的系数和次数 1. 判类型定系数：单项式系数是数字因数（含符号，π是常数）；多项式无系数，需先找各项再判每项系数。 2. 数字母算次数：单项式次数是所有字母指数和（常数项次数为0）；多项式次数是次数最高项的次数。 3. 去括号合并项：遇带括号的多项式，先去括号再合并同类项，避免漏项、错判次数与系数。 例1．（24-25七年级上·云南红河·期末）下列说法正确的是（   ） A．是单项式 B．的系数是3 C．的次数是3 D．是四次二项式 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式和多项式的定义，根据单项式和多项式的基本概念逐一判断各选项． 【详解】解：∵单项式是数字与字母的乘积，符合定义，∴ A正确． ∵不是单项式，∴ B错误． ∵中，π是常数，x和y的指数均为1，次数为2，∴ C错误． ∵中，各项次数均为2，最高次为2，不是四次，∴ D错误． 故选A 【变式1-1】（25-26七年级上·全国·期末）下列关于整式的说法中，正确的是（   ） ①的系数是 ②的次数是3 ③是二次二项式 ④的各项分别为2a，b， A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查整式的相关概念（单项式的系数、次数，多项式的次数、项数），解题的关键是准确掌握单项式和多项式的系数、次数、项的定义． 根据单项式的系数、次数，多项式的次数、项的概念，逐一判断四个说法的正误，进而确定正确选项． 【详解】解：∵单项式的系数是数字因数， ∴的系数是，故①正确； ∵单项式的次数是所有字母的指数和， ∴的次数是，不是，故②错误； ∵多项式的次数是最高次项的次数，项数是项的个数， ∴的最高次项是，次数为，且有两项，是二次二项式，故③正确； ∵多项式的项包括符号， ∴的各项分别为、、，故④正确； 综上，正确的有①③④． 故选：D． 【变式1-2】（25-26七年级上·全国·期末）下列叙述中，错误的是（    ） A．的系数是，次数是1 B．单项式的系数是1，次数是2 C．是一次多项式 D．是二次多项式 【答案】B 【分析】本题考查单项式的系数和次数、多项式的次数定义．根据单项式次数的定义，次数是所有字母指数的和；多项式次数是最高次项的次数．逐项判断即可． 【详解】A：∵单项式的数字因数是，字母的指数是，∴系数是，次数是，正确，Ａ不符合题意； B：∵单项式中，字母的指数是，的指数是，∴次数是，但选项说次数是，错误，Ｂ符合题意； C：∵多项式中，最高次项的次数是，∴是一次多项式，正确，C不符合题意； D：∵多项式中，和的次数都是，∴是二次多项式，正确，D不符合题意． 故选B． 【变式1-3】（24-25七年级上·四川成都·期末）下列说法中，正确的有（    ）个 ①1和π是同类项，②两点之间的线段是两点之间的距离，③是五次三项式，④和都是单项式，⑤倒数等于本身的数是0、，⑥的系数是，次数是4 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查同类型的定义，线段的性质，多项式的次数与项数，倒数的定义，单项式的定义与性质，掌握知识点是解题的关键．逐一分析判断，即可解答． 【详解】解：①1和π是是同类项，故该项正确； ②两点之间的线段的长度是两点之间的距离，故该项错误； ③是二次三项式，不是五次三项式，故该项错误； ④不是单项式，是单项式，故该项错误； ⑤倒数等于本身的数是，0没有倒数，故该项错误； ⑥的系数是，次数是4，故该项正确． 故选B． 类型二、多项式系数、指数中字母求值 1. 抓次数列等式：根据多项式次数定义，找到最高次项，令其字母指数和等于已知次数，列出方程求解字母值。 2. 依同类项定条件：若涉及同类项，需保证所含字母相同且相同字母指数相等，结合系数条件建立等式计算。 3. 验结果去矛盾：求出字母值后，代入原式检验，排除使某项系数为0导致次数改变的情况。 例2．（23-24七年级上·山东济宁·期末）若多项式是关于的二次三项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式，解题关键是熟练掌握多项式的次数和项数的定义．由题意可知，解方程和不等式即可． 【详解】解：∵多项式是关于的二次三项式， ， 解得：， 故答案为：． 【变式2-1】（23-24七年级上·湖北黄石·期末）已知多项式为5次多项式，则 ． 【答案】2或3/或 【分析】本题考查多项式，解题的关键是掌握多项式的命名，b次a项式：一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式． 根据多项式为五次式可得方程或，求出m的值即可． 【详解】∵多项式为5次多项式， ∴或 解得，或． 当时，，不符合题意，舍去， ∴或3， 故答案为：2或3． 【变式2-2】（24-25七年级上·天津·期末）已知关于的多项式为二次三项式，则当时，这个二次三项式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，理解多项式次数和项数的概念，掌握有理数混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．根据多项式的项数和次数的概念列方程求得m和n的值，从而代入求值． 【详解】解：∵多项式为二次三项式， ∴，， ∴， ∴ ∴这个多项式为， ∴当时，原式， 故答案为：． 类型三、已知同类项求指数中字母或代数式的值 1. 抓同类项核心条件：明确同类项需所含字母完全相同，且相同字母的指数分别相等，据此对每个字母的指数列等式。 2. 解方程求字母值：通过解一元一次方程算出指数中字母的具体数值，若所求为代数式，直接代入求值。 3. 代入原式验证：将结果代入原单项式，检查是否满足同类项定义，排除系数为0等特殊情况。 例3．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）若与是同类项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的定义，根据同类项的定义得出，，再求解即可． 【详解】解：由同类项定义可知：，， 解得，， ∴． 故答案为：． 【变式3-1】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知单项式与的和为单项式，则 ． 【答案】81 【分析】本题考查了同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【详解】解：∵单项式与的和为单项式， ∴与为同类项， ∴，， ∴，， ∴； 故答案为：81． 【变式3-2】（24-25七年级上·广东梅州·期末）若单项式与是同类项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项，代数式求值，有理数的乘方，掌握相关知识是解题的关键．根据同类项求、的值，再代入中计算即可． 【详解】解：单项式与是同类项， ，， ， ， 故答案为：． 类型四、整式的加减运算 1. 去括号看符号：括号前是“+”，去括号后各项不变号；括号前是“-”，各项都要变号，括号前有系数时，需用分配律乘括号内每一项。 2. 找同类项合并：合并时只把系数相加减，字母和字母的指数保持不变，防止漏项或错改指数。 3. 验结果防出错：可反向代入原式计算，核对运算结果是否一致，避免符号和计算失误。 例4．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算． （1）直接合并同类项即可． （2）先去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4-1】（24-25七年级上·湖北孝感·期末）计算： (1)， (2)   ． 【答案】(1) (2) 【分析】（）合并同类项即可； （）先去括号，再合并同类项即可；     本题考查了整式的加减，掌握去括号和合并同类项法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【变式4-2】（24-25六年级上·山东淄博·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键．利用相应的运算法则计算即可． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去小括号，再去中括号，再合并同类项即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【变式4-3】（24-25七年级上·浙江·期末）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，合并同类项： （1）合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型五、整式的加减中的化简求值 1. 先化简再求值：先去括号（注意符号变化），再合并同类项，将整式化为最简形式，避免直接代入数值计算带来的繁琐运算。 2. 代入数值细计算：代入时，负数或分数要加括号，乘方运算需遵循运算法则，分步计算减少符号和计算错误。 3. 特殊值巧检验：化简后可代入简单值检验化简是否正确，再代入目标值计算，确保结果准确。 例5．（24-25七年级上·云南红河·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】；6 【分析】本题考查了整式的加减与化简求值，熟练掌握去括号法则以及合并同类项是解题的关键． 先去括号，然后合并同类项，最后将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】解： ； 当，时， 原式． 【变式5-1】（24-25七年级上·云南红河·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式加减中的化简与求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键．根据整式的加减运算法则化简式子，再代入的值计算即可得出答案． 【详解】解： ， 代入，，原式． 【变式5-2】（25-26七年级上·全国·期末）先化简，再求值．，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的化简求值，解题的关键是正确去括号、合并同类项，再代入数值计算． 先对原式去括号，再合并同类项得到最简形式，最后将代入求值． 【详解】解： ； 将代入最简式： 原式 ． 【变式5-3】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）先化简，再求值：，其中 【答案】；20 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，正确进行运算是解题的关键；先去括号、合并同类项，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 类型六、整式加减中的无关型问题 1. 化简整式：先去括号、合并同类项，将整式整理成关于某个字母的降幂或升幂形式，清晰分离含该字母的项与不含该字母的项。 2. 令系数为0：“与某字母无关”即含该字母项的系数为0，据此列方程求解字母参数的值，注意符号不要出错。 3. 代入验证：将求出的参数值代回原式，检验含无关字母的项是否确实消去，确保结果无误。 例6．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）已知，请按要求解决以下问题： (1)求； (2)若的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了整式的加减运算以及无关型问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合，则，即可作答． （2）先整理得，因为的值与y的取值无关，所以，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：依题意，， ∵的值与y的取值无关， ∴， ∴． 【变式6-1】（24-25七年级上·重庆巴南·期末）已知多项式，． (1)若，求代数式的值； (2)若代数式的值与x的取值无关，求的值． 【答案】(1)14 (2)5 【分析】本题考查的是整式的加减运算，非负数的性质； （1）先计算，再结合非负数的性质可得，，再代入求解即可； （2）先计算，再根据代数式的值与x的取值无关，求解的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴，， ∴上式； （2）解： ∵该代数式的值与x的取值无关， ∴， ∴，， ∴； 【变式6-2】（24-25七年级上·河南驻马店·期末）对于题目：整式的值与的取值无关，求的值．通常的解题方法是把x，y看作字母，把看作系数合并同类项．因为整式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，其中，则． 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； 【拓展提升】 （2）用6张长为，宽为的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分，设，则左上角部分的面积为，右下角部分的面积为，当的长度发生变化时，的值始终保持不变，求与之间的数量关系．    【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了整式加减运算、解一元一次方程等知识点，熟练掌握知识的加减运算法则是解题的关键． （1）先通过合并同类项化简，然后根据多项式的值与的取值无关，列关于m的方程求解即可； （2）观察图形，将和代入进行运算即可解答． 【详解】（1）解：， ， ∵关于的多项式的值与的取值无关， ∴，解得：． （2）解：∵，， ∴， ∵当的长度发生变化时，的值始终保持不变， ∴，即． 类型七、整式的加减运算与应用 1. 实际问题转整式：根据题意提炼数量关系，用字母表示未知量，将文字描述转化为整式表达式，注意单位统一和符号规范。 2. 按法则化简计算：先去括号（括号前是负号要变号），再合并同类项，化简过程中分步核对，避免符号和系数错误。 3. 代入验证写结果：将已知数值代入化简后的整式求值，结合实际意义检验结果合理性，确保符合题意。 例7．（24-25七年级上·河南平顶山·期末）某小区的一块长方形绿地的造型如图所示（单位：），其中两个扇形表示绿地，两块绿地用五彩石隔开． (1)绿地的面积为____________平方米；（用含有的式子表示） (2)若，铺设五彩石费用为每平方米160元，种草的费用为每平方米80元，则美化这块长方形区域共需多少元？（用含有的式子表示） 【答案】(1) (2) 元 【分析】此题考查列代数式，整式的化简计算： （1）利用圆的面积公式计算即可； （2）列式计算即可． 【详解】（1）解：绿地的面积为：平方米， 故答案为； （2）解：当时， ． 根据题意得： 答： 美化这块长方形区域共需 元． 【变式7-1】（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，有两个长宽高分别都是、、的箱子，现在要用如图所示的两种不同的打包方式进行打包． (1)图①中打包带的总长_______________；（用含、、的代数式表示，并化简） 图②中打包带的总长__________________；（用含、、的代数式表示，并化简） (2)已知一个箱子的长，宽，高，若按照图②的方式打包，请计算打包带的总长． (3)根据你的分析，试判断打包方式____________所用打包带更短． 【答案】(1)， (2) (3)②；理由见解析 【分析】本题考查列代数式，求解代数式的值，整式加减的应用．理解题意，分别求出方式①和方式②的打包带长度是解题关键． （1）方式①：由图可知包带等于长a的有4条，包带等于宽b的有4条，包带等于高c的有8条，即可求解；方式②：由图可知包带等于长a的有4条，包带等于宽b的有4条，包带等于高c的有4条，即可求解． （2）把长，宽，高代入方式②的代数式计算即可； （3）用方式①的打包带长度减方式②的打包带长度，如果结果大于0，则说明方式②的打包带长度短；如果结果等于0，则说明方式①和方式②的打包带长度相同；如果结果小于0，则说明方式①的打包带长度短． 【详解】（1）解：图①中打包带的总长， 图②中打包带的总长； （2）解：∵一个箱子的长，宽，高， ∴ ； （3）解：， 所以按照方式②的打包带更短． 【变式7-2】（24-25七年级上·贵州遵义·期末）建一个长方形的苗圃，其中一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成．已知长方形的长为米，宽为米． (1)这个苗圃的长比宽多多少米？ (2)若竹篱笆的单价为每米8元，请你通过计算，说明该苗圃的建造总价是否随，的取值而变化，如变化，请说明理由；如不变化，请求出该苗圃的建造总价． 【答案】(1)米 (2)苗圃的建造总价不变，总价为240元 【分析】本题主要考查了整式加减的应用． （1）利用长减宽即可求解； （2）先求出苗圃所用竹篱笆的长，再计算建造总价即可得出结论． 【详解】（1）解： 答：这个苗圃的长比宽多米， （2） ， 即苗圃所用竹篱笆的长与，的取值无关，所以该苗圃的建造总价不变， 该苗圃的建造总价元， 答：苗圃的建造总价不变，总价为240元． 【变式7-3】（24-25七年级上·山东临沂·期末）某居民社区为了改善业主的居住环境，计划在社区空地上修建一个广场（图中阴影部分，单位：米）． (1)用含m，n的代数式表示该广场的周长，面积； (2)若m，n满足，请求出该广场面积；若每平方米的修建费用为200元，求修建广场所需的总费用． 【答案】(1)米；平方米 (2)该广场面积，总费用为420000元 【分析】本题考查了整式的加减，以及代数式求值知识点，熟练掌握整式的运算法则是解答本题的关键． （1）所有的边数之和即是广场的周长；求出大长方形的面积，再减去空白部分的面积即可求出广场的面积； （2）先根据非负数的性质求出，，代入求值得出阴影部分面积，总面积乘以每平米费用即可得出总费用． 【详解】（1）解：（米）； （平方米）； （2））由非负性可得，， ，． 将m，n代入，可得： ． 每平方米需费用200元， （元）． 答：该广场面积，总费用为420000元． 类型八、带有字母的绝对值化简问题 1. 判符号定正负：根据已知条件（如数轴位置、不等式），确定绝对值内字母或代数式的正负性，这是化简的关键。 2. 去绝对值用法则：正数的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数，0的绝对值是0，据此去掉绝对值符号并加括号。 3. 去括号合并化简：去掉绝对值后，按整式加减法则去括号、合并同类项，注意符号变化，避免漏变号。 例8．（24-25七年级上·四川泸州·期末）已知有理数，，在数轴上的对应点如图所示： (1)______0，______0；______0．（填或或） (2)化简：． 【答案】(1)；； (2)c 【分析】本题主要考查了数轴，整式的加减运算，根据点在数轴的位置判断式子的正负，以及根据绝对值的意义化简绝对值． （1）根据数轴可知a．b，c的正负性，可得，即可求解． （2）根据绝对值的性质化解求解即可． 【详解】（1）解：观察数轴得：， ∴， ∴； 故答案为：；；； （2）解：∵， ∴ ． 【变式8-1】（24-25七年级上·山东日照·期末）观察数轴并回答下列问题 (1)用“”或“”填空： ______0；______0；______0． (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了整式的加减，数轴，绝对值的性质，准确识图确定出的正负情况，熟练掌握绝对值的性质及整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据数轴确定的正负情况及绝对值大小，再进行判断即可； （2）根据绝对值的性质进行化简合并即可． 【详解】（1）解：由数轴可得，，， ∴，，； 故答案为：，，； （2）解：∵，，， ∴ ． 【变式8-2】（24-25七年级上·湖北十堰·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且． 化简代数式 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负，化简绝对值，整式的加减．先判断，然后化简绝对值，再去括号合并同类项即可． 【详解】解：∵，， ∴ 原式 ． 类型九、整式加减运算中的新定义型问题 1. 读懂新定义规则：认真分析题目给出的新运算符号、公式或法则，明确运算对象、顺序和对应关系，不混淆新定义与常规整式运算。 2. 转化为常规运算：将新定义的式子，按规则转化为整式的加减运算，去括号、合并同类项时注意符号和指数，保证步骤准确。 3. 代入验证保正确：计算后代入简单数值检验，看是否符合新定义要求，避免因误解规则导致解题错误。 例9．（24-25七年级上·河南鹤壁·期末）定义：若，则称与是关于2的“平衡数”． (1)5与___________是关于2的“平衡数”，与___________是关于2的“平衡数”；（用含的代数式表示） (2)若，判断与是否是关于2的“平衡数”，并说明理由． 【答案】(1)； (2) 与 是关于 2 的平衡数，见解析 【分析】此题考查了新定义，整式的加减，解题的关键是能根据题目定义列式并计算． （1）根据关于2的平衡数的定义列式计算即可； （2）通过计算的计算结果即可进行判断． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由题意得，， ； 故答案为：； （2）解：与是关于2的“平衡数”，理由如下： ∵ ， ∴a与b是关于2的平衡数． 【变式9-1】（24-25七年级上·北京平谷·期末）我们定义了一种新的运算“⊕”，这种运算对于任意两个有理数和，满足以下规则：． 例如： 请根据这个新定义的运算，回答以下问题： (1)________； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义，有理数混合运算，整式加减化简求解； （1）由新定义得，进行有理数混合运算，即可求解； （2）由新定义得，，进行整式加减化简，即可求解； 理解新定义，能熟练进行有理数混合运算及整式加减化简求解是解题的关键． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2）解：由题意得 ， ， ， 当时， 原式 ． 【变式9-2】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）定义：对于两个含字母x的一元多项式，当x任取一个数时，如果这两个多项式的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式是恒等的．如果两个多项式恒等，那么将这两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等． 已知关于x的多项式与多项式是恒等的． (1) ； (2)若数，数，则数m与数n是互为相反数吗？为什么？ 【答案】(1)3； (2)数m与数n互为相反数，见解析 【分析】本题考查了整式的加减运算，化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据两个多项式恒等时，那么将这两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等，则得到a，d的值； （2）由（1）得，计算，得到，即可判断数m与数n互为相反数． 【详解】（1）解：关于x的多项式与多项式是恒等， ∴，，， 故答案为：3，； （2）解：数m与数n互为相反数，理由如下： 由（1）得，即， ∵数，数， ∴ ， ∴数m与数n互为相反数． 类型十、已知式子的值，求代数式的值 1. 整体代入巧转化：观察已知与所求代数式的结构，提取公共部分，将已知式子视为整体代入，避免求单个字母值的繁琐。 2. 变形构造求关联：对已知或所求式进行恒等变形，如添括号、拆项、系数配凑，构造出可直接代入的形式，注意变形前后等价。 3. 代入计算细检验：代入后按运算顺序计算，符号和系数是易错点，算完后反向验证，确保结果准确。 例10．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）已知，互为倒数，，互为相反数，，是最大的负整数．根据已知条件请回答： (1)______，______； (2)求的值． 【答案】(1)1，0 (2)或 【分析】本题考查了代数式求值、倒数、相反数的定义、绝对值、负整数，熟练掌握定义和性质是解题关键． （1）根据倒数的定义、相反数的定义求解即可得； （2）先根据倒数、相反数的定义、绝对值、负整数的定义可得，，，，再代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵，互为倒数， ∴， ∵，互为相反数， ∴， 故答案为：1，0． （2）解：，互为倒数，，互为相反数，，是最大的负整数， ∴，，，， 当时，； 当时，； 综上，的值为或． 【变式10-1】（24-25六年级上·山东威海·期末）在数学学习中，运用整体思想方法在求代数式值的过程中非常重要．例如：已知，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，求的值； (2)当，时，代数值的值是6，则当，时，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键． （1）将变形为，再将代入即可； （2）将，代入求出，再利用整体代入法即可求解． 【详解】（1）解：若，则； （2）解：将，代入， 得：， ， 当，时， ． 【变式10-2】（24-25七年级上·四川成都·期末）有这样一道题“代数式的值为7，则代数式的值是多少？”我们可以这样来解：设，，即，，． 利用字母进行一些转化，可以让思路更清晰，让表达更简洁，让运算更简便．仿照以上的解题方法，完成下面问题： (1)若代数式的值为15，求代数式的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代数式求值，整体代入是正确解决本题的关键． （1）把得，整体代入计算即可； （2）先由，，可得，然后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 类型十一、与图形有关的规律探究问题 1. 列数据找规律：按图形序号，依次列出对应数量（如小正方形个数、线段条数），将图形问题转化为数字序列问题。 2. 析变化建模型：分析相邻数据的差值或倍数关系，判断规律类型（等差、等比等），用含序号\(n\)的代数式表示规律。 3. 验规律保准确：将序号代入代数式，验证是否与图形对应数量一致，确保规律通用。 例11．（24-25七年级上·江西吉安·期末）按如右图所示的规律摆放三角形 (1)第4个图形中三角形的个数为____________；第n个图形中三角形的个数为____________； (2)求第2024个图形中三角形的个数． 【答案】(1)14；； (2)第2024个图形中三角形的个数为6074个． 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细的观察图形并从中发现规律，然后利用发现的规律解题即可． （1）通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． （2）根据（1）中规律求解即可． 【详解】（1）解：∵第1个图形的三角形个数为； 第2个图形的三角形的个数为； 第3个图形的三角形的个数为； ∴第4个图形的三角形的个数为； …； ∴第n个图形的三角形的个数为． 故答案为：14；； （2）解：当时，． 【变式11-1】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，……照此规律摆下去． (1)第5个图案有 个三角形； (2)第n个图案有 个三角形；（用含n的式子表示） (3)第2024个图案有几个三角形？ 【答案】(1)16 (2) (3)6073个 【分析】本题考查图形类规律探究，正确的找出图形规律，是解题的关键： （1）观察图形可知，后一个图形中三角形的个数比前一个图形中的个数多3个，进行求解即可； （2）根据（1）中的得到的规律作答即可； （3）将代入（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：第1个图案有4个三角形， 第2个图案有个三角形， 第3个图案有个三角形， 第4个图案有个三角形， 第5个图案有个三角形； 故答案为：16； （2）由（1）可知：第n个图案有个三角形； 故答案为：； （3）第2024个图案有：个三角形． 【变式11-2】（24-25七年级上·河南商丘·期末）【观察思考】 如图，这是由基本图形组成的一系列图案，其中第个图案由个基本图形组成；第个图案由个基本图形组成；第个图案由个基本图形组成；……按此规律排列下去． 【规律发现】 （1）第个图案有 个基本图形；第（是正整数）个图案有 （用含的式子表示）个基本图形． 【规律应用】 （2）摆第个图案需要多少个基本图形？ 【答案】（1）；；（2）个 【分析】本题考查图形变化的规律及列代数式，能根据所给图形变化的规律是解题的关键． （1）根据所个图形的基础图形的数量发现规律即可解决问题； （2）根据发现的规律解决问题即可． 【详解】解：（1）第个图案基础图形的个数：个； 第个图案基础图形的个数：个； 第个图案基础图形的个数：个； 第个图案基础图形的个数：个； ； 第个图案基础图形的个数为个； 故答案为：；； （2）摆第个图案的基础图形的个数为个． 类型十二、与数字有关的规律探究问题 1. 标序号列数列：给数字序列标上序号n（n从1开始），列出序号与对应数字的表格，直观呈现两者关联。 2. 析变化找关系：分析相邻数字的差、商或奇偶性，判断是等差、等比还是周期规律，用含n的代数式表达规律。 3. 代数值验规律：代入不同的n值验证代数式是否成立，排除特殊项干扰，确保规律具有普适性。 例12．（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图是某月的月历，请仔细观察，回答下列问题： (1)“工”形框中7个数的和与最中间的数之间有什么关系？ (2)若把这个“工”形放到其他月份的月历中，请判断（1）中的关系是否还存在，并说明理由． 【答案】(1)“工”形框中7个数的和是最中间数的7倍； (2)（1）中的关系存在，理由见解析． 【分析】本题主要考查了数字类规律的探究问题，解题关键是从特殊数据分析解答． （1）设 “工” 形框中最中间的数为，根据月历规律，上下相邻数差7，左右相邻数差1，若工形框的7个数分别为，，，，，，， 求出这7个数的和即可得解； （2）关系仍存在．理由：无论哪个月份，月历的排列规律不变，上下相邻数始终差7，左右相邻数始终差1，故（1）中的关系对任意月份的月历均成立． 【详解】（1）解：设 “工” 形框中最中间的数为，根据月历规律，上下相邻数差7，左右相邻数差1，若工形框的7个数分别为，，，，，，， 则它们的和为：， 因此，“工” 形框中7个数的和是最中间数的7倍； （2）解：关系仍存在．理由：无论哪个月份，月历的排列规律不变，上下相邻数始终差7，左右相邻数始终差1，设中间数为，周围数与的差值固定，按上述方式求和仍为，故（1）中的关系对任意月份的月历均成立． 【变式12-1】（24-25七年级上·山东日照·期末）观察下面三行数： 2、、8、、32、．① 1、、4、、16、．② 0、6、、18、、66．③ 取每一行的第个数，依次记为a，b，c．例如图中，当时，，，． (1)当时，_________，________； (2)是否存在某一列的三个数使得？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在；2048，11 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给三行数，发现每行数字的变化规律是解题的关键. （1）根据所给三行数，发现每行数字的变化规律，据此表示出第几个数即可解决问题. （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题. 【详解】（1）观察第①行数可知， 后一个数总是前一个数的倍，且第个数是， 所以第①行的第个数可表示为：，即． 观察第②行数可知， 第②行的每一个数是第①行相应位置数的， 所以第②行的第个数可表示为：， 即． 观察第③行数可知， 第③行的每一个数是第①行相应位置数减去后的相反数， 所以第③行的第个数可表示为：， 即． 所以当时， ； ； ． 故答案为：；， （2）存在： 由得， ， 当为奇数时， ， 解得； 当为偶数时， ， 此方程无解， 所以的值为11． 所以． 【变式12-2】（24-25七年级上·福建莆田·期末）古希腊毕达格拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数，比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数（三边形数）；类似的，称图2中的1，4，9，16，这样的数为正方形数（四边形数）． (1)下面各数中，既是“三角形”又是“正方形”的是（   ） A．15B．25C．36D．55 (2)如图3，可以发现：任意两个连续“三角形数”之和等于一个“正方形数”，即第个“三角形数”与第个“三角形数”之和等于一个“正方形数”，其中为大于1的整数．你能说出其中的道理吗？ 【答案】(1)C (2)见解析 【分析】本题主要考查了图形变化的规律及数字变化的规律，能根据题意发现“三角形数”和“正方形数”的变化规律是解题的关键． （1）根据“三角形数”和“正方形数”的特征即可解决问题； （2）根据题意，用含的代数式表示出发现的规律，并进行证明即可． 【详解】（1）解：三角形数依次为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，…… 正方形数依次为1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，…… 第个“三角形数”可表示为： ， 第个“正方形数”可表示为：， 由题意第8个图的三角形数为， ∴既是三角形数又是正方形数，且大于1的最小正整数为36， 故选：C． （2）能，理由如下： 由（1）发现的规律可知， 第个“三角形数”可表示为： 第个“正方形数”可表示为：， 则 ， 所以第个“三角形数”与第个“三角形数”之和等于一个“正方形数”． 一、单选题 1．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）下列式子：①；②；③；④，其中符合代数式书写规范的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查代数式的书写规则，根据代数式的书写规则：数字和字母的乘积的形式，用点乘或省略乘号，除号用分数线表示，带分数化为假分数，系数为1的数字1省略，逐一进行判断即可． 【详解】解：①应该写成，不符合题意； ②符合题意； ③应该写成，不符合题意； ④符合题意； 综上所述，其中符合代数式书写规范的有2个． 故选B． 2．（24-25七年级上·全国·期末）下列说法中正确的是（　　） A．单项式的系数是3，次数是3 B．单项式的系数是，次数是2 C．是二次多项式 D．多项式的常数项是3 【答案】C 【分析】此题考查了单项式、多项式，需注意：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，几个单项式的和叫做多项式，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据单项式、多项式的知识，逐选项进行判断，然后即可求解； 【详解】解：单项式的系数是，次数是3，A选项错误； 单项式的系数是，次数是2，B选项错误； 是二次多项式，C选项正确； 多项式的常数项是，D选项错误． 故选：C． 3．（24-25八年级下·云南丽江·期末）现有按一定规律排列的单项式，…，则第8个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字的变化类、单项式，能够通过所给单项式的特点，探索出单项式的一般规律是解题的关键．从三方面(符号、系数的绝对值、指数)观察可得规律：符号的规律：都是负、正交替出现，即第奇数个为负，第偶数个为正；系数的绝对值的规律：第n个对应的系数的绝对值是．指数的规律：第n个对应的指数是．即可求第8个单项式． 【详解】解：∵，…， ∴第n个单项式是， 当时，第8个单项式是： 故选：C． 4．（24-25七年级上·湖北黄冈·期末）已知是有理数，且，下列结论：①；②；③；④若，是有理数，且满足，则．其中正确的是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘法，两个有理数比较大小，绝对值化简等．根据已知条件、可得，结合可判断①和②正确；化简绝对值表达式③可得值为1；对于④，通过代入计算发现可能为4或8，不一定为8，故④错误． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ ，故①正确； ∴ ，故②正确； ∵ ， ∴ ，； ∵ ，， ∴ ，，； ∵ ， ∴ ，； ∴ ，故③正确； ∵ ，且， ∴ ，； ∵ ， ∴ 或； 若，则，，； 若，则，，； ∴不一定为8，故④错误． 综上，正确的是①②③， 故选：A． 5．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的灰白两种颜色的小正方形组成的，按照这样的规律，第2025个图案中灰色小正方形的个数为（   ） A．8101 B．8100 C．8098 D．8099 【答案】A 【分析】本题考查了图形规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据题干信息，得出第n个图案中灰色小正方形的个数为个．再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个图案中灰色小正方形的个数为：； 第2个图案中灰色小正方形的个数为：； 第3个图案中灰色小正方形的个数为：； …， ∴第n个图案中灰色小正方形的个数为个． 当时， 即第2025个图案中灰色小正方形的个数为个． 故选：A 二、填空题 6．（24-25七年级上·广东东莞·期末）若单项式与的和为0，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查同类项、合并同类项，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可得，，进而得出答案． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）若，则 ． 【答案】23 【分析】本题考查代数式求值，运用整体代入法．观察代数式是已知条件的3倍，因此可通过整体代入求解． 【详解】解：由，得， 故答案为：23． 8．（24-25七年级上·全国·期末）要使关于x的多项式不含三次项及一次项，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的定义，在多项式中不含哪项，即哪项的系数为0．根据已知条件即可得出，进而得出答案． 【详解】解：∵不含三次项及一次项， ∴， ∴， ∴． 故答案为：25． 9．（25-26七年级上·全国·期末）如图是一个日历表，现在用长方形任意框出4个数．若右上角的数用a来表示，则这4个数的和为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，求出相应式子的值．根据表格中的数据，可以用含的代数式表示出框内其他的三个数，然后将四个数相加，即可解答本题． 【详解】解：由图可知， 右上角的数为，则左上角的数为，右下角的数为，左下角的数为， ， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图，化简： ． 【答案】 【分析】根据数轴可以得到，，，然后即可将所求式子的绝对值去掉，再计算加减法即可． 本题考查数轴和绝对值，整式的加减运算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由数轴可得， ，， ，，， ， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级上·山东青岛·期末）化简 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，涉及去括号、合并同类项等知识，熟练掌握整式加减运算法则是解决问题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可得到答案； （2）先去括号，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）先化简，再求值． ，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的加减—化简求值，以及非负数的性质等，掌握整式的加减运算法则，熟练运用非负性求出未知数的值是解题关键．原式去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值． 【详解】解： ∵， ∴，， ∴，， ∴原式． 13．（24-25七年级上·河南郑州·期末）已知关于、的多项式； (1)求；老师展示了一位同学的作业如下： 解：第一步 第二步 第三步 回答问题：这位同学第_____步开始出现错误，错误原因是_____； (2)请你写出正确计算过程，并求出当．时，的值． 【答案】(1)二，去括号时未变号 (2)，过程见解析 【分析】本题考查整式的减法计算，掌握运算法则是解题关键． （1）根据去括号法则可知第二步开始出现错误，原因是去括号时未变号； （2）根据整式的减法计算法则计算即可． 【详解】（1）解：这位同学第二步开始出现错误，错误原因是去括号时未变号； （2） 当时，原式 14．（23-24七年级上·四川绵阳·期末）已知，，其中m为的倒数，． (1)求m的值，并化简； (2)若，，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，倒数的定义，掌握先化简，再把给定字母的值代入计算这一过程是解题关键． （1）根据倒数的定义即可求出m的值，将m，n代入A，B中，根据整式加减运算法则，先去括号，再合并同类项即可； （2）将，代入（1）中化简的中，计算即可． 【详解】（1）解：∵m为的倒数， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：当，时，． 15．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）已知：． (1)当时，求的值； (2)若（1）中的代数式的值与a的取值无关，求b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，无关型问题，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据整式的加减运算法则进行计算，再代值计算即可； （2）根据代数式的值与a的取值无关，得到含a的项的系数为0，进行求解即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式 （2）解：（1）中化简后的结果为， 要使得代数式的值与a的取值无关， 则， ∴． 16．（24-25七年级下·广东佛山·期末）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示为正整数，面积分别为、． (1)请分别用含的式子表示出、，并判断______填“、、”号． (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，代数式求值，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）利用长方形的面积公式求出，，然后利用作差法比较大小即可； （2）把代入进行计算即可． 【详解】（1）由题意得：， ， ， 为正整数， ， ． 故答案为：． （2）当时， ． 17．（24-25七年级上·宁夏银川·期末）如图，在一个底为a，高为h的三角形铁皮上剪去一个半径为r的半圆． (1)用含有a，h，r的代数式表示剩下铁皮（阴影部分铁皮）的面积S； (2)请求出当，，时，S的值（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查列代数式、代数式求值等知识点，根据图形、利用三角形与圆的面积公式列出代数式是解题的关键． （1）根据列式即可； （2）将、、代入由（1）所得的代数式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得： 答：剩下铁皮（阴影部分铁皮）的面积S为． （2）解：当，，时， ． 18．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）解答下列问题． (1)若有理数x，y满足，，且，求的值； (2)已知有理数在数轴上的位置如图所示，请化简． 【答案】(1)1或 (2) 【分析】本题考查了绝对值性质，代数式求值，有理数与数轴，熟练掌握绝对值的意义，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，是解题的关键． （1）利用绝对值性质得到，再根据，即异号，分情况列式计算，即可解题； （2）根据数轴可知，，进而得到，再结合绝对值性质化简，即可解题． 【详解】（1）解：有理数x，y满足，， ， ，即异号， 当时，； 当时，； 综上所述，的值为1或； （2）解：由图知，， ， 则 ． 19．（24-25七年级上·广东广州·期末）已知代数式，，，其中为常数，当时，；当时，（是常数，且）． (1)求的值； (2)关于的方程的解是，求的值； (3)当时，代数式的值是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值，见解析 【分析】本题考查了代入法解方程及分式化简，正确代入已知条件并简化复杂式子是解题的关键．首先利用已知条件求出a和b的值， （1）通过代入时建立方程； （2）利用方程解的条件求k的值，进而化简代数式； （3）需判断当时分式的值是否为定值，需代入计算并分析结果是否与m有关． 【详解】（1）解：当，，移项得; （2）解：把代入， 得． 由，即，代入上式: ， 化简得． ; （3）解：是定值，理由如下： 当时，代数式 的值为 5， 即：， 又当 时，代数式 的值为 m（）， 即： 当 时，代数式 的值为：， 代数式 A 的值为： ， 由①得，代入：， 分母， ， 当时，代数式的值为． 20．（24-25七年级上·河南周口·期末）如图，这是由若干个边长均为1的灰、白两种颜色的小正方形组成的大正方形图案， 小河同学根据图案中每个白色小正方形的个数得到以下对应的式子： 第1个式子：． 第2个式子：． 第3个式子：． 第4个式子：． …… (1)写出第6个式子：______． (2)写出第个式子______（用含的代数式表示）． (3)请计算图1到图19中白色小正方形的总个数． 【答案】(1) (2) (3)399 【分析】本题主要考查图形与数字类规律问题，解题的关键是得出一般规律； （1）根据题中所给式子及图形可进行求解； （2）由（1）可得出一般规律； （3）根据（2）中的规律可进行求解 【详解】（1）解：由题意得： 第6个式子：； 故答案为； （2）解：∵第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：， 第4个式子：， 第5个式子：， 第6个式子：； ……； ∴第个式子：； 故答案为； （3）解：由题意得： ． 21．（24-25七年级上·云南玉溪·期末）【阅读理解】整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 【教材原题】 （1）如图甲、乙，若，求长方形A与B的面积差． 【尝试应用】 （2）当时，代数式的值为m，当时，求代数式的值（用含m的代数式表示）． 【拓展应用】 （3）A，B两地相距100千米．某日，甲从A地出发前往B地，同时，乙从B地出发前往A 地．已知甲每小时行a千米，乙每小时行b千米，经过2小时，甲、乙二人相遇．问出发多少小时甲、乙两人相距20千米？ 【答案】（1）10；（2）；（3）当经过时间为为小时或小时，两人相距20千米 【分析】本题考查的是列代数式，求解代数式的值； （1）先表示长方形A与B的面积差为：，再化简，再整体代入计算即可； （2）由条件得到，再把代入整理可得，再整体代入计算即可； （3）由2小时相遇可得，再分两种情况：当两人相遇前，相距20千米，当两人相遇后，相距20千米，再列式计算即可． 【详解】解：（1）根据题意可知： ， ∵， 原式 （2）当时，则， ， 当时， （3）由题意可得：， ∴， 当两人相遇前，相距20千米， （小时）； 当两人相遇后，相距20千米， （小时）， 综上：当经过时间为为小时或小时，两人相距20千米． 22．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“标准多项式”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“标准多项式”．请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“标准多项式”的是______；（填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x，y的“标准多项式”（其中m、n均为整数），则多项式也是关于x，y的“标准多多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． (3)已知，，，且（其中m，，t均为整数），请证明多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 【答案】(1)①③ (2)是，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了新定义“标准多项式”，整式的加减运算，理解定义是解题的关键． （1）根据“标准多项式”的定义求解即可； （2）根据多项式是关于，的“标准多项式”，可设（为整数，），则，多项式的系数和为，得到，即可求解； （3）先根据整式加减预算法则求出，再结合“标准多项式”的定义证明即可． 【详解】（1）解：①多项式的系数和为， 该多项式是“标准多项式”， ②多项式的系数和为，不是的整数倍， 该多项式不是“标准多项式”， ③多项式的系数和为， 该多项式是“标准多项式”， 故答案为：①③； （2）解：是，理由如下： 多项式是关于，的“标准多项式”， 为的整数倍， 设（为整数，）， 则， 多项式的系数和为， ， ， 是的整数倍，即是的整数倍， 多项式是关于，的“标准多项式”（其中，均为整数），则多项式也是关于，的“标准多项式”； （3）证明：∵，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴多项式为， 多项式的系数和为， ∴多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $