精品解析：2025年江苏省宿迁市沭阳县中考三模数学试题

2025年初中学业水平第三次模拟考试 初三数学 （时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查绝对值的概念，解题的关键是理解绝对值的定义，即一个数在数轴上所对应点到原点的距离． 根据绝对值定义判断． 【详解】根据绝对值的定义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 因为是负数， 所以的绝对值是它的相反数， 的相反数是2， 所以的绝对值是2， 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘除运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法和除法的运算法则，合并同类项分别化简得出答案即可． 【详解】解：A、，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，故此选项正确； D、，故此选项错误． 故选：C． 3. “海葵一号”是完全由我国自主设计建造的深水油气田“大国重器”，集原油生产、存储、外输等功能于一体，储油量达立方米．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 4. 如图，直线，直线，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质及垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质及垂直的意义可进行求解． 【详解】解：如图所示， ∵直线，， ∴， ∵直线， ∴． ∴． 故选：A． 5. 三棱柱的三视图如图，中，，，，则的长为（ ） A. 6cm B. C. D. 4cm 【答案】A 【解析】 【分析】过点E作于点Q，根据三视图的意义，得到，用勾股定理计算即可． 【详解】过点E作于点Q， 根据三视图的意义，得到， ∵，， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了几何体的三视图计算，正确理解三视图的意义是解题的关键． 6. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天：若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列列出的分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意先求得快马的速度和慢马的速度，根据快马的速度是慢马的2倍列分式方程即可． 【详解】解：设规定时间为x天， 根据题意得慢马的速度为，快马的速度为， ∵快马的速度是慢马的2倍， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程是解题的关键． 7. 对于任意两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：．若，，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了新定义，解一元一次不等式组，正确理解题意，建立不等式组求解是解题的关键． 根据新定义得到，再求不等式组的解集即可． 【详解】由题意，可得， 解不等式组，得， 故选：D． 8. 如图，菱形在平面直角坐标系的第一象限，且边轴，点的横坐标为2，若该菱形的面积为20，周长为20，反比例函数的图象经过两点，则的值是（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质、反比例函数的图象和性质等知识. 过点A作交的延长线于点G，的延长线交轴于点H，求出，，根据即可求出答案. 【详解】解：过点A作交的延长线于点G，的延长线交轴于点H， ∵菱形的面积为20，周长为20， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∵点的横坐标为2，边轴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选：B 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，本大题共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】x-1 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件解答即可． 【详解】解：根据分式有意义的条件可知， x+10， 解得x-1， 故答案为：x-1． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，当分式的分母不等于0时，分式有意义． 10. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式x再应用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解： 故答案为: ． 【点睛】本题主要考查了因式分解．能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 11. 若数据1，1，3，，2的平均数是2，则中位数是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平均数的计算，求中位数，熟练掌握平均数的计算及求中位数是解题的关键．先根据平均数的定义列方程求x的值，再根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 将这组数据从小到大排列：1，1，2，3，3， 则中位数为2． 故答案为：2． 12. 已知圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的侧面积为_____（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，理解圆锥侧面展开图，掌握扇形面积的计算是解题的关键． 根据题意可得底面圆的周长即为扇形弧长，运用勾股定理得到母线长，运用扇形面积公式“弧长与母线长的乘积的一半”即可求解． 【详解】解：圆锥的底面半径为，高为， ∴底面圆的周长为，母线长为， ∴侧面扇形的面积为， 故答案为： ． 13. 在平面直角坐标系中，已知点，则点在第________象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，根据题意可证明，则点的横坐标为正，纵坐标为负，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴点的横坐标为正，纵坐标为负， ∴点P在第四象限， 故答案为：四． 14. 已知点P是线段的黄金分割点，．若，则__________________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义，知是较长线段，代入计算即可；此题考查了黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段原线段． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且，， ， 故答案为：． 15. 一次函数y1＝ax+3与y2＝kx﹣1的图象如图所示，则不等式kx﹣ax4的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】不等式kx-ax＜4可转化为kx-1＜ax+3，根据两函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】解：不等式kx-ax＜4可转化为kx-1＜ax+3， 观察函数图象，可知： 当x＜1时，直线y2=kx-1在直线y1=ax+3的下方， ∴不等式kx-1＜ax+3，即kx-ax＜4的解集为x＜1． 故答案为：x＜1． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键． 16. 如图，正六边形内接于，若，则阴影部分的面积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查正多边形的性质和不规则图象的面积，阴影部分的面积等于菱形的面积的一半加上一个扇形的面积再减去一个三角形的面积，根据图形的性质分别求出相应边的长即可解答．学会用割补法求面积是解题关键． 【详解】解：连接、、、、，如图，作， ∵正六边形内接于，， 则，，，均是等边三角形， ∴，四边形是菱形， 则，，， ，， ∴， ∴， ， ， ∴． 故答案为：． 17. 定义：抛物线（a，m，k为常数，）中存在一点使得，则称为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线的“相对深度”为6，则a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．理解新定义的意义并应用到二次函数中解决问题是解决本题的关键；难点是得到用表示的点的坐标． 把所给抛物线解析式整理成顶点式，可得和的值，易得，则可得用表示的的值及的值，进而可得用表示的的式子，把用表示的代入抛物线解析式，可得的值． 【详解】解：， ，， 抛物线的“相对深度”为6， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 18. 如图，在正方形中，，点E在边上，，将线段绕点A旋转，得到线段，连接，，当最大时，的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，切线的性质，正方形的性质，勾股定理，由题意可得点的运动轨迹是以点为圆心，为半径长的圆，当与相切时，最大，分两种情况：当点在左侧时；当点在右侧时；分别利用相似三角形的性质以及勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点E在边上，，将线段绕点A旋转，得到线段， ∴点的运动轨迹是以点为圆心，为半径长的圆， 当与相切时，最大 如图，当点在左侧时， ， 根据题意可得：，， ∵， ∴， 过点作交的延长线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴； 如图，当点在右侧时，过点作于点， ， 同理可得：，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】解： ． 【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的混合运算法则进行化简，再将代入原式即可求解，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 21. 如图，在中，点，在对角线上，．求证：． 【答案】 证明：四边形为平行四边形， ，，， ， ，， ， ， ， ，， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，邻补角定义，三角形全等，平行线的判定，解题的关键在于熟练掌握平行四边形的性质． 根据平行四边形的性质推出相应的线段和相应的角度相等，再利用已知条件求证，最后证明，可得，再利用邻补角定义推出即可证明两直线平行． 【详解】略 22. 央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣，某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题： （1）此次共调查了______名学生； （2）将条形统计图补充完整； （3）图2中“小说类”所在扇形的圆心角为______度； （4）若该校共有学生2000人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数． 【答案】（1）200 （2）见解析 （3）126 （4）240人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图的制作方法，理解统计图中各个数量之间的关系是解决问题的关键，用样本估计总体是统计中常用的方法． （1）从两个统计图中可得喜欢“文史类”的人数为76人，占调查人数的，可求出调查人数； （2）求出“生活类”“小说类”的人数，即可补全条形统计图； （3）用360°乘以样本中“小说类”所占的百分比即可； （4）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：（人）， 故答案为：200． 【小问2详解】 解：（人）， （人）， 补全条形统计图，如图所示： 【小问3详解】 解： ． 故答案为：126． 【小问4详解】 解：（人）， 答：该校2000名学生中喜欢“社科类”书籍的学生人数240人． 23. 某市今年初中物理、化学实验技能学业水平考查，采用学生抽签方式决定各自的考查内容．规定：每位考生必须在4个物理实验考查内容（用表示）和4个化学实验考查内容（用表示）中各抽取一个进行实验技能考查．小刚在看不到签的情况下，从中各随机抽取一个． （1）小刚抽到物理实验A的概率是 ． （2）求小刚抽到物理实验B和化学实验F的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率； （1）直接利用概率公式计算； （2）画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出抽到B和F的结果数，然后根据概率公式计算； 【小问1详解】 小刚抽到物理实验A的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图为： 共有16种等可能的结果，其中抽到B和F的结果数为1， 所以小刚抽到物理实验B和化学实验F的概率． 24. 中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定． 根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据） （1）求的长； （2）该充电站有10个停车位，求的长． 【答案】（1）约为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质，理解题目意思是解题的关键． （1）先求出和的长度，进而可以解决问题； （2）求出的长度，因为四边形是矩形，所以． 【小问1详解】 解： 四边形是矩形， ， 在中，，， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：在中，， 在中，， 该充电站有10个停车位， ， 四边形是矩形， ． 25. 如图．中，，以为直径的分别交，于点，，点在的延长线上． （1）尺规作图：做，的延长线与相交于点（保留作图痕迹．不写作法）； （2）求证：直线是的切线； （3）若，，求和的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）， 【解析】 【分析】（1）连接，由直径得到，然后由三线合一得到，然后利用尺规作即可； （2）等量代换得到，然后求出，即可得到直线是的切线； （3）过点C作，首先得到，求出，然后求出，，然后证明出，得到，然后代数求出，进而求解即可． 【小问1详解】 解：连接， ∵为的直径 ∴ ∵ ∴ 如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：， ∴ ∴直线是的切线； 【小问3详解】 解：过点C作 ∵ ∵， ， ∴ ∴ ． 【点睛】此题考查了尺规作一个角等于已知角，三线合一性质，直径的性质，解直角三角形，相似三角形的性质和判定，切线的判定和性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 26. 某商场购进了，两种商品，若销售件商品和件商品，则可获利元；若销售件商品和件商品，则可获利元． （1）求，两种商品每件的利润； （2）已知商品的进价为元/件，目前每星期可卖出件商品，市场调查反映：如调整商品价格，每降价元，每星期可多卖出件，如何定价才能使商品的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）元，元 （2）元，元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二次函数的应用，读懂题意并能列出等量关系是解答本题的关键． （1）根据题意列出二元一次方程组解答即可； （2）根据“商品利润单件利润销售数量”，列出二次函数解析式，将其化成顶点式，再结合“售价进价利润”解答即可． 【小问1详解】 解：设商品每件的利润为元，商品每件的利润为元， 根据题意得：， 解得：， 答：商品每件的利润为元，商品每件的利润为元； 【小问2详解】 解：设降价元，利润为元，根据题意得： ， ， 当时，有最大值，最大值为，此时定价（元）， 答：定价为元时，利润最大，最大为元． 27. 如图1，已知线段，，线段绕点A在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且． （1）若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是______； （2）如图2，在（1）的条件下，若，，，求的长； （3）如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，锐角三角函数的定义，熟练掌握解直角三角形及相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质得到，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解； （2）求出，延长交于点，在中，由直角三角形的性质求得，进而求得的长，根据（1）的结论，得出，在中，勾股定理求得，进而根据，即可求出案． （3）如图所示，以为边在上方作，且，连接，，同（1）可得，求出的长，进而得出在以为圆心，为半径的圆上运动，当点三点共线时，的值最大，进而求得，根据得出，过点作于点，由直角三角形的性质分别求得，，然后求出，最后根据正切的定义即可得出答案． 【小问1详解】 解：在中，， 在中，， ， ，， ， ， ， ， 在中 ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：在中，， ， 延长交于点，如图所示， ， ， 由（1）可得， ， ， 在中，， 由（1）知， ， 即； 【小问3详解】 解：如图所示，以为边在上方作，且，连接， 同（1）可得：， ， ， ， 在中，， ， ∴在以为圆心为半径的圆上运动， ∴当点三点共线时，的值最大， 此时如图所示，则， 在中， ， ， ， ， ， 过点作交于F， ， 在中，，， ， ， 在中， ． 28. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求的值； （2）如图，M是第一象限抛物线上的点，，求点M的横坐标； （3）将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点N．设L的顶点横坐标为n，的长为d． ①求关于的函数解析式； ②与轴围成的区域记为，与内部重合的区域（不含边界）记为．当d随n的增大而增大，且内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）点M的横坐标为 （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）设，作轴于点，构造直角三角形，利用锐角三角函数或者相似建立关于的方程求解即可； （3）①由二次函数平移可得出图象的解析式为，从而得到，再分类讨论去绝对值即可； ②根据题干条件得出整数点，，，再分别两两进行分类讨论，建立二次函数不等式即可解决． 【小问1详解】 解：二次函数与轴交于， ， 解得：； 【小问2详解】 ， 二次函数表达式为：， 令， 可得：， 解得：或， 令，可得：， ，，， 设， 作轴于点，如图， ， ，即， 解得或（舍去）， 的横坐标为； 【小问3详解】 ①将二次函数沿水平方向平移， 纵坐标不变为， 图象的解析式为， ， ， ； ②由①得，画出大致图象如下， 随着增加而增加， 或， 中含，，三个整点（不含边界）， 当内恰有个整数点，时， 当时，，当时，， ， ，或， ， 或， ； 当内恰有2个整数点，时， 当时，，当时，， ， 或，， ， 或， ； 当内恰有个整数点，时，此种情况不存在，舍去． 综上所述，的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平第三次模拟考试 初三数学 （时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2 D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. “海葵一号”是完全由我国自主设计建造的深水油气田“大国重器”，集原油生产、存储、外输等功能于一体，储油量达立方米．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，直线，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 三棱柱的三视图如图，中，，，，则的长为（ ） A. 6cm B. C. D. 4cm 6. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天：若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列列出的分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 对于任意两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：．若，，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形在平面直角坐标系的第一象限，且边轴，点的横坐标为2，若该菱形的面积为20，周长为20，反比例函数的图象经过两点，则的值是（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，本大题共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 10. 分解因式：_________． 11. 若数据1，1，3，，2的平均数是2，则中位数是_____． 12. 已知圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的侧面积为_____（结果保留）． 13. 在平面直角坐标系中，已知点，则点在第________象限． 14. 已知点P是线段的黄金分割点，．若，则__________________．（结果保留根号） 15. 一次函数y1＝ax+3与y2＝kx﹣1的图象如图所示，则不等式kx﹣ax4的解集是_____． 16. 如图，正六边形内接于，若，则阴影部分的面积为________． 17. 定义：抛物线（a，m，k为常数，）中存在一点使得，则称为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线的“相对深度”为6，则a的值为______． 18. 如图，在正方形中，，点E在边上，，将线段绕点A旋转，得到线段，连接，，当最大时，的长为______． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在中，点，在对角线上，．求证：． 22. 央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣，某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题： （1）此次共调查了______名学生； （2）将条形统计图补充完整； （3）图2中“小说类”所在扇形的圆心角为______度； （4）若该校共有学生2000人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数． 23. 某市今年初中物理、化学实验技能学业水平考查，采用学生抽签方式决定各自的考查内容．规定：每位考生必须在4个物理实验考查内容（用表示）和4个化学实验考查内容（用表示）中各抽取一个进行实验技能考查．小刚在看不到签的情况下，从中各随机抽取一个． （1）小刚抽到物理实验A的概率是 ． （2）求小刚抽到物理实验B和化学实验F的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 24. 中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定． 根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据） （1）求的长； （2）该充电站有10个停车位，求的长． 25. 如图．中，，以为直径的分别交，于点，，点在的延长线上． （1）尺规作图：做，的延长线与相交于点（保留作图痕迹．不写作法）； （2）求证：直线是的切线； （3）若，，求和的长． 26. 某商场购进了，两种商品，若销售件商品和件商品，则可获利元；若销售件商品和件商品，则可获利元． （1）求，两种商品每件的利润； （2）已知商品的进价为元/件，目前每星期可卖出件商品，市场调查反映：如调整商品价格，每降价元，每星期可多卖出件，如何定价才能使商品的利润最大？最大利润是多少？ 27. 如图1，已知线段，，线段绕点A在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且． （1）若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是______； （2）如图2，在（1）的条件下，若，，，求的长； （3）如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值． 28. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求的值； （2）如图，M是第一象限抛物线上的点，，求点M的横坐标； （3）将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点N．设L的顶点横坐标为n，的长为d． ①求关于的函数解析式； ②与轴围成的区域记为，与内部重合的区域（不含边界）记为．当d随n的增大而增大，且内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $