精品解析：山西省吕梁市交口县2024-2025学年八年级下学期学业水平达标数学试题

交口县2024-2025学年第二学期学业水平达标卷 八年级数学 满分120分， 考试时间120分钟 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列曲线中不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是 （ ） A. B. C. D. 3. 我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于下列哪部著名数学著作中（ ） A. B. C. D. 4. 某校举行“唱红歌”歌咏比赛，有15位同学参加了选拔赛，他们所得的分数互不相同．学校决定按成绩取前7名进入决赛，若知道某同学分数，要判断他能否进入决赛，只需知道15位同学分数的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 5. 如图，小华将升旗的绳子拉紧到旗杆底端点B，绳子末端刚好接触到地面，然后拉紧绳子使其末端到点D处，点D到地面的距离CD长为2m，点D到旗杆AB的水平距离为8m，若设旗杆的高度AB长为xm，则根据题意所列的方程是（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作交的延长线于点，下列结论不一定正确的是 （ ） A. B. C. 是等腰三角形 D. 7. 已知一次函数图象上有两点，，若，则 （ ） A. B. C. D. 不确定 8. 如图，边长为的正方形的对角线与相交于点，是边上一点，是上一点，连接，，若与关于直线对称，则的周长是（ ） A. B. C. D. 9. 根据如图所示图象可得关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形纸片ABCD中，AD=4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO=5cm，则AB的长为（ ） A. 6cm B. 7cm C. 8cm D. 9cm 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 12. 下表中记录了甲、乙、丙、丁四位同学五次数学成绩的平均分与方差，现要从中选取一位同学参与学校组织的数学竞赛，最合适的人选是_________________． 甲 乙 丙 丁 平均分 97 95 97 95 方差 1.3 0.8 0.8 1.0 13. 如图，函数和的图象如图所示，则关于的二元一次方程组的解是_______________． 14. 如图，中，，点在上，点为的中点，，相交于点，且．若，则的度数是______________． 15. 如图，在菱形中，，，点，，分别为线段，，上的任意一点，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共7个小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1） （2） （3） 17. 如图，用尺规在内作四边形，请根据作图痕迹判断四边形的形状并说明理由． 18. 在我国古代数学著作《九章算术》的“勾股”章中，有一题：“今有开门去阃一尺，不合二寸，向门广几何＂大意如下：如图，推开两扇门（和），门边缘D，C两点到门槛的距离为1尺（1尺寸），两扇门间的缝隙为2寸，问门的宽度（两扇门宽度的和）为多少尺？ 19. 2024年6月5日是第53个世界环境日，今年的主题是“全面推进美丽中国建设”，旨在深入学习宣传贯彻习近平生态文明思想，引导全社会牢固树立并践行绿水青山就是金山银山的理念．为了庆祝第53个世界环境日，学校举办环境保护知识竞赛活动，竞赛内容分“自然环境保护”、“地球生物保护”、“人类环境保护”、“生态环境保护”四个项目，如表是小亮和小彬的各项成绩：（百分制） 项目 自然环境保护 地球生物保护 人类环境保护 生态环境保护 小亮 95 90 85 90 小彬 80 90 100 90 （1）计算小亮与小彬的四个项目的平均成绩； （2）若“自然环境保护”、“地球生物保护”、“人类环境保护”、“生态环境保护”四个项目按确定综合成绩，则小亮和小彬谁的综合成绩高？请通过计算说明理由． 20. 综合与实践 某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题． 【背景调查】 图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美． 【收集数据】 小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为，凳面的宽度为，记录如下： 以对称轴为基准向两边各取相同的长度 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7 凳面的宽度 115.5 132 148.5 165 181.5 【分析数据】 如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点． 【建立模型】 请你帮助小组解决下列问题： （1）观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由． （2）当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？ 21. 阅读与思考 阅读下面材料（摘自华师大数学八年级下P127），完成以下问题． 图形的等分 如图1，将一张矩形纸片顺着中缝翻折，其折痕，也就是一组对边中点的连线所在的直线，将这个矩形一分为二，两部分的形状与大小完全一样．我们现在探究的图形的等分，着眼于面积的等分．那么是否还存在其他直线，也能将这个矩形分成面积相等的两部分呢？你肯定会说，那当然有！对角线所在的直线也可以（如图2）．你还能发现其他直线吗？它们之间有什么共同的规律呢？ 如果想用两条直线将一个矩形分成面积相等的四部分，那么应该如何画出这两条直线呢？你可能马上想到两组对边中点的连线所在的直线与两条对角线所在的直线（如图3）．你还能找到其他直线吗？它们之间又有什么规律呢？ 我们知道，矩形是一种特殊的平行四边形，对于一般的平行四边形（如图4），是否和矩形一样，也存在这样的直线，将其面积二等分，或进一步将其面积四等分？它们之间又有什么规律呢？ 问题1：二等分平行四边形的面积，除以下两种方法以外（图5、图6），你还有其他什么方法呢？请在图7中画出来并写出作法； 问题2：如图8，该平面图形是由6个边长为1的小正方形组成，通过以上二等分平行四边形的面积的过程，请你用一条直线将该图形分成面积相等的两部分；（要求用2种不同方法，并写出作法） 问题3：如图9，在平面直角坐标系中，将正方形和如图放置，点恰好是边的中点．已知，是否存在一条直线将整个图形的面积二等分？若存在，画出该直线并求出该直线的函数解析式；若不存在，请说明理由． 22. 【知识再现】如图1，已知：在中，点分别是边的中点，请直接写出和的关系． 【应用】如图2，四边形是梯形，，点分别是边上的中点，连接，则叫做梯形的中位线． 【猜想】与之间的关系并证明． 以上解决问题的过程中用到了转化思想． 【拓展】 如图3，在四边形中，，分别是的中点，连接并延长，分别与的延长线交于点，则．（不必证明） （温馨提示：如图3，连接，取的中点，连接，根据三角形中位线定理，证明，从而，再利用平行线的性质，可证明） 如图4，在中，，点在上，，分别是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，判断的形状并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 交口县2024-2025学年第二学期学业水平达标卷 八年级数学 满分120分， 考试时间120分钟 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列曲线中不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的概念，“对于自变量x的每一个确定的值，都有唯一的y值与之对应”，用平行于轴的直线去截图象，对四个图象逐一分析，即可判断． 【详解】解：用平行于轴的直线去截图象，如果能截到两个及以上交点，则不是函数，否则就是函数， A、用平行于轴的直线去截，只能截到一个交点，它能表示是的函数，故A不符合题意； B、用平行于轴的直线去截，只能截到一个交点，它能表示是的函数，故B不符合题意； C、用平行于轴的直线去截，能截到两个交点，它不能表示是的函数，故C符合题意； D、用平行于轴的直线去截，只能截到一个交点，它能表示是的函数，故D不符合题意． 2. 下列计算正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算性质，包括二次根式的加法、二次根式的乘法、二次根式的性质，需逐一验证各选项的正确性，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 3. 我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于下列哪部著名数学著作中（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的历史渊源，加强教材的阅读，熟记相关知识的来源于出处． 【详解】解：早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于下列哪部著名数学著作《周脾算经》中． 故选：A． 4. 某校举行“唱红歌”歌咏比赛，有15位同学参加了选拔赛，他们所得的分数互不相同．学校决定按成绩取前7名进入决赛，若知道某同学分数，要判断他能否进入决赛，只需知道15位同学分数的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了统计量的选择，本题需根据中位数、众数、平均数、方差表示的含义进行分析即可求出正确答案，在解题时要能根据中位数、众数、平均数、方差表示的含义求出正确答案是本题的关键． 【详解】解：∵有15位同学参加选拔赛，所得分数互不相同，按成绩取前7名进入决赛，并且知道某同学分数， ∴要判断他能否进入决赛，只需知道这些数据的中位数即可， 故选：B． 5. 如图，小华将升旗的绳子拉紧到旗杆底端点B，绳子末端刚好接触到地面，然后拉紧绳子使其末端到点D处，点D到地面的距离CD长为2m，点D到旗杆AB的水平距离为8m，若设旗杆的高度AB长为xm，则根据题意所列的方程是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，过点作于点，在中，根据列出方程即可． 【详解】如图，过点作于点， ， 四边形是矩形， ，， 设旗杆的高度AB长为x，则，， 在中， ， 即． 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作交的延长线于点，下列结论不一定正确的是 （ ） A. B. C. 是等腰三角形 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 由矩形形的性质可得，，通过证明四边形是平线四边形，可得，得出，是等腰三角形，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形， 只有时，，故D选项不一定正确， 故选：D． 7. 已知一次函数图象上有两点，，若，则 （ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由题意得出一次函数的增减性，根据一次函数的增减性判断即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数为， ∴当增大时，随之减小； ∵， ∴， 故选：A． 8. 如图，边长为的正方形的对角线与相交于点，是边上一点，是上一点，连接，，若与关于直线对称，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质和折叠的性质，属于基础题型，熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题的关键．根据正方形的性质可求出，根据轴对称的性质可得，则，再求出，，即可求出答案． 【详解】解：正方形的边长为2， ∴， ∴， ∵与关于直线对称， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是， 故选：A． 9. 根据如图所示图象可得关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两个函数的交点坐标及图象确定不等式的解集是解题的关键． 将不等式变形为，找出直线在直线下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：不等式变形为， 根据图象可得，不等式的解集为， ∴不等式的解集是． 故选：B 10. 如图，矩形纸片ABCD中，AD=4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO=5cm，则AB的长为（ ） A. 6cm B. 7cm C. 8cm D. 9cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠前后角相等可证AO=CO，在直角三角形ADO中，运用勾股定理求得DO，再根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：根据折叠前后角相等可知∠BAC=∠EAC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠BAC=∠ACD， ∴∠EAC=∠EAC， ∴AO=CO=5cm， 在直角三角形ADO中，DO==3cm， AB=CD=DO+CO=3+5=8cm． 故选：C． 【点睛】本题考查矩形与折叠问题，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等． 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 12. 下表中记录了甲、乙、丙、丁四位同学五次数学成绩的平均分与方差，现要从中选取一位同学参与学校组织的数学竞赛，最合适的人选是_________________． 甲 乙 丙 丁 平均分 97 95 97 95 方差 1.3 0.8 0.8 1.0 【答案】丙 【解析】 【分析】本题考查了根据平均数和方差的意义进行决策，理解方差的意义是解题的关键．一组数据的方差越大，数据波动越大，越不稳定；方差越小，数据波动越小，越稳定；再结合平均数，进行判断即可． 【详解】解：由题意得 ， 甲和丙的平均数最高， ， 乙和丙的成绩最稳定， 综合平均数和方差应选丙参赛． 故答案为：丙． 13. 如图，函数和的图象如图所示，则关于的二元一次方程组的解是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，根据两条直线的交点的横纵坐标即为对应的二元一次方程组的解，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：的解为：； 故答案为： 14. 如图，中，，点在上，点为的中点，，相交于点，且．若，则的度数是______________． 【答案】##105度 【解析】 【分析】根据，可知为直角三角形，根据斜边上的中线等于斜边的一半，可知，利用等边对等角，可求得，，接着利用外角，推出，最后利用求得答案． 【详解】解： 中，，不妨设，，， ，，， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，等腰三角形的性质，三角形外角的定义，斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 15. 如图，在菱形中，，，点，，分别为线段，，上的任意一点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．根据轴对称确定最短路线问题，作点关于的对称点，连接与的交点即为所求的点，交于，过点作于，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知时，的最小值，然后求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，作交于，交于，过点作于， ，，， ， ，则 点到的距离， 的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7个小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算、二次根式的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键 （1）根据二次根式的除法运算求解即可； （2）先运用平方差公式和二次根式除法计算，然后再加减运算即可； （3）运用完全平方公式计算及化简，然后合并同类二次根式即可 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 原式 【小问3详解】 原式 17. 如图，用尺规在内作四边形，请根据作图痕迹判断四边形的形状并说明理由． 【答案】 四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ，即， 由作图可知：，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，熟练掌握其判定方法是解题的关键．根据四边形是平行四边形，推出，结合作图痕迹，可知，，从而得出结论． 【详解】略 18. 在我国古代数学著作《九章算术》的“勾股”章中，有一题：“今有开门去阃一尺，不合二寸，向门广几何＂大意如下：如图，推开两扇门（和），门边缘D，C两点到门槛的距离为1尺（1尺寸），两扇门间的缝隙为2寸，问门的宽度（两扇门宽度的和）为多少尺？ 【答案】尺 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，作于点E，设寸，根据题意得出寸，寸，再结合勾股定理算出，即可解题． 【详解】解：如图，过点D作于点E． 设寸， 则寸，寸，寸． 在中，，即， 解得寸， 寸尺． 答：门的宽度（两扇门宽度的和）为尺． 19. 2024年6月5日是第53个世界环境日，今年的主题是“全面推进美丽中国建设”，旨在深入学习宣传贯彻习近平生态文明思想，引导全社会牢固树立并践行绿水青山就是金山银山的理念．为了庆祝第53个世界环境日，学校举办环境保护知识竞赛活动，竞赛内容分“自然环境保护”、“地球生物保护”、“人类环境保护”、“生态环境保护”四个项目，如表是小亮和小彬的各项成绩：（百分制） 项目 自然环境保护 地球生物保护 人类环境保护 生态环境保护 小亮 95 90 85 90 小彬 80 90 100 90 （1）计算小亮与小彬的四个项目的平均成绩； （2）若“自然环境保护”、“地球生物保护”、“人类环境保护”、“生态环境保护”四个项目按确定综合成绩，则小亮和小彬谁的综合成绩高？请通过计算说明理由． 【答案】（1）分，分 （2） 小彬的综合成绩高，理由如下： 小亮的综合成绩（分）， 小彬的综合成绩（分）， ， 小彬的综合成绩高， 答：小彬的综合成绩高． 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平均数（求一组数据的平均数），加权平均数（求加权平均数）等知识点，熟练掌握算术平均数、加权平均数的定义和计算方法是解题的关键：1、算术平均数：一般地，对于个数，，，，，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，即：；2、加权平均数：当一组数据中有数据重复出现时，如在个数据中，出现次，出现次，，出现次（这里），那么这个数据的平均数可表示为，这个平均数也叫做加权平均数，其中，，，分别叫做，，，的权；3、两者之间的联系：①加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式；②若各个数据的权相同，则加权平均数就是算术平均数，因而可以看出算术平均数实质上是加权平均数的一种特例；③算术平均数是用一组数据的和除以数据的个数来计算的；加权平均数在计算上与算术平均数有所不同是因为在实际问题中数据的“重要程度”未必相同，即各个数据的“权”未必相同． （1）根据平均数的定义和计算方法进行计算即可； （2）根据加权平均数的定义和计算方法进行计算即可． 【小问1详解】 解：小亮四个项目的平均成绩（分）， 小彬四个项目的平均成绩（分）； 【小问2详解】 略 20. 综合与实践 某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题． 【背景调查】 图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美． 【收集数据】 小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为，凳面的宽度为，记录如下： 以对称轴为基准向两边各取相同的长度 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7 凳面的宽度 115.5 132 148.5 165 181.5 【分析数据】 如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点． 【建立模型】 请你帮助小组解决下列问题： （1）观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由． （2）当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？ 【答案】（1）在同一条直线上，函数解析式为： （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）将代入函数解析式，解方程即可． 【小问1详解】 ， 解：设函数解析式为：， ∵当，， ∴， 解得：， ∴函数解析式为：， 经检验其余点均在直线上， ∴函数解析式为，这些点在同一条直线上； 【小问2详解】 解：把代入得： ， 解得：， ∴当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为． 21. 阅读与思考 阅读下面材料（摘自华师大数学八年级下P127），完成以下问题． 图形的等分 如图1，将一张矩形纸片顺着中缝翻折，其折痕，也就是一组对边中点的连线所在的直线，将这个矩形一分为二，两部分的形状与大小完全一样．我们现在探究的图形的等分，着眼于面积的等分．那么是否还存在其他直线，也能将这个矩形分成面积相等的两部分呢？你肯定会说，那当然有！对角线所在的直线也可以（如图2）．你还能发现其他直线吗？它们之间有什么共同的规律呢？ 如果想用两条直线将一个矩形分成面积相等的四部分，那么应该如何画出这两条直线呢？你可能马上想到两组对边中点的连线所在的直线与两条对角线所在的直线（如图3）．你还能找到其他直线吗？它们之间又有什么规律呢？ 我们知道，矩形是一种特殊的平行四边形，对于一般的平行四边形（如图4），是否和矩形一样，也存在这样的直线，将其面积二等分，或进一步将其面积四等分？它们之间又有什么规律呢？ 问题1：二等分平行四边形的面积，除以下两种方法以外（图5、图6），你还有其他什么方法呢？请在图7中画出来并写出作法； 问题2：如图8，该平面图形是由6个边长为1的小正方形组成，通过以上二等分平行四边形的面积的过程，请你用一条直线将该图形分成面积相等的两部分；（要求用2种不同方法，并写出作法） 问题3：如图9，在平面直角坐标系中，将正方形和如图放置，点恰好是边的中点．已知，是否存在一条直线将整个图形的面积二等分？若存在，画出该直线并求出该直线的函数解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】 问题1：如图所示：直线将平行四边形的面积二等分．（答案不唯一） 作法：设平行四边形的对角线交于点，过点作直线． 问题2（答案不唯一）：如图所示，直线或直线都可将图形分成面积相等的两部分．（答案不唯一，只要直线经过图形的对称中心即可） 作法：不唯一，只要描述清晰，作图正确即可． 问题3：如图： 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的对称中心及正比例函数的解析式．坐标与图形，正方形的性质，正确找到各图形的对称中心是解题关键． 问题1：设平行四边形的对角线交于点，过点作直线 问题2：直线或直线都可将图形分成面积相等的两部分．（答案不唯一，只要直线经过图形的对称中心即可） 问题3：设两个正方形的对角线交点分别为，作直线，用待定系数法可得该直线的表达式为． 【详解】问题1：略 问题2：略 问题3：存在 如图所示：直线将图形的面积二等分． 作法：设两个正方形的对角线交点分别为，作直线， 由图易知． 设直线的函数解析式为， 直线经过两点，代入得： 解得： ∴该直线的函数解析式为． 22. 【知识再现】如图1，已知：在中，点分别是边的中点，请直接写出和的关系． 【应用】如图2，四边形是梯形，，点分别是边上的中点，连接，则叫做梯形的中位线． 【猜想】与之间的关系并证明． 以上解决问题的过程中用到了转化思想． 【拓展】 如图3，在四边形中，，分别是的中点，连接并延长，分别与的延长线交于点，则．（不必证明） （温馨提示：如图3，连接，取的中点，连接，根据三角形中位线定理，证明，从而，再利用平行线的性质，可证明） 如图4，在中，，点在上，，分别是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，判断的形状并证明． 【答案】知识再现：； 猜想：，证明如下： 如图，连接并延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在与中， ∴， ∴， 又∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴． 拓展：是直角三角形． 证明如下： 如图，连接，取的中点，连接， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． ∵， ∴， ∴， ∴， 即是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质； 知识再现：根据是的中位线得到； 猜想：连接并延长交的延长线于点，证明，得到，则是的中位线，即可得到，． 拓展：连接，取的中点，连接，由是的中位线，得到，，同理，，，则和是等边三角形，则，则，得到，即是直角三角形． 【详解】解：知识再现：∵点分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴； 猜想：略 拓展：略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $