《1.5等腰三角形（四）》导学案 暑假预习手册14-2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册14-《1.5等腰三角形（四）》 ( 一、 预习 目标 1.理解并掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一重要性质。 2.能够运用该性质进行简单的几何推理和计算，解决相关数学问题。 3.通过对性质的探究过程，体会数学中的转化思想和逻辑推理方法，提升空间观念和抽象思维能力 。 ) ( 一、 预习内容 （一）知识回顾 【 直角 三角形】 1.定义：有一个角是直角的三角形. 2.表示： “ 直角三角形 ” 表示:Rt △ 3.性质1：直角三角形的两个锐角互余. 4.等腰直角三角形 （1）定义：两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形。 （2）性质： ① 具有等腰三角形的所有性质 ② 具有直角三角形的所有性质 ③ 等腰直角三角形的两个锐角都是45゜. 5.含30 ° 角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半. ∵ 　在Rt △ ABC 中， ∠ C =90 ° ， ∠ A =30 ° ， ∴ BC = AB ) ( （二）再探 直角三角形 的性质 【活动】把一张直角三角形纸片按如图所示的方法折叠，你有什么发现? 通过折叠我发现两条折痕 交于斜边上同一点。为什么？ 如图在Rt △ ABC中， ∠ ACB=90 ° ,作 ∠ BCD= ∠ B,CD与AB交于点D.由 ∠ BCD= ∠ B,可知DB=DC.由等角的余角相等，可得 ∠ ACD= ∠ A,于是DA=DC.从而DA=DB=DC,即CD是斜边 AB 上的中线,且CD= AB。 于是，我们得到直角三角形的性质定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 【 几何语言】: ∵ 在 △ ABC中, ∠ ACB=90 ° CD是斜边AB边上的中线 ∴ CD= AB （三）性质的简单应用： 例 1． 如图，在 △ ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分 ∠ BAC交BC于点D，E为AC中点，连结DE，求 △ CDE的周长． 解： ∵ AB＝AC，AD平分 ∠ BAC，BC＝8， ∴ AD ⊥ BC，CD＝BD＝ BC＝4， ∵ 点E为AC的中点， ∴ DE＝CE＝ AC＝5， ∴△ CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14. 例2 ． 如图 ， ∠ ABC ＝ ∠ ADC＝90° ， ∠ ACB ＝30° ， ∠ DAC ＝45° ，E 是AC的中点 ， 连结BE ，DE，BD，F 是BD的中点．求 ∠ BEF的度数． ) ( 解 ： ∵∠ ABC＝ ∠ ADC＝90° ， E 是AC的中点 ， ∴ BE ＝ EC＝ AC ， ED ＝EC＝ AC (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) ， ∴ BE ＝ED.又 ∵ 在 △ ADC中 ， ∠ ADC ＝90° ， ∠ DAC ＝45° ， ∴∠ ACD ＝45°. ∵ EC ＝ED ， ∴∠ ACD ＝ ∠ EDC＝45° ， ∴∠ AED ＝ ∠ ACD＋ ∠ EDC＝90°.同理 ， ∠ AEB ＝ ∠ ACB＋ ∠ CBE＝60°. ∴∠ BED ＝90°＋60°＝150°. 又∵BE＝ED ，F 是BC的中点 ， ∴∠ BEF ＝ ∠ BED ＝75°(等腰三角形三线合一)． 例3. 如图 ， 在△ABC中 ，AD，BE 分别为边BC ，AC 上的高线 ，D，E 为垂足 ，M 为AB的中点 ，N 为DE的中点． 求证：(1)△MDE是等腰三角形．(2)MN⊥DE． 解 : (1)∵AD ，BE 分别为边BC ，AC 上的高线 ， ∴△ ABD， △ ABE 均为直角三角形． ∵ M 是 Rt △ ABD 斜边AB的中点 ， ∴ MD ＝ AB．同理 ，ME ＝ AB． ∴ ME ＝MD．∴△MDE是等腰三角形．(2)∵ME＝MD ，N 是DE的中点 ， ∴ MN ⊥ DE 例4 ． 如图 ， 在△ABC中 ，AD 是高线 ，CE 是中线 ，DC ＝BE ，DG ⊥ CE 于点G．求证： (1)G是CE的中点．(2)∠B＝2∠BCE． 解 : (1)连结DE． ∵ AD 是高线 ， ∴△ ABD 是直角三角形． ∵ CE 是AB边上的中线 ， ∴ DE 是Rt△ABD斜边上的中线． ∴ DE ＝BE＝AE． ∵ DC ＝BE ， ∴ DE ＝DC．又∵DG⊥CE ， ∴ CG ＝EG ， 即G是CE的中点． (2)∵DE＝BE ， ∴∠ B ＝∠BDE． ∵ DE ＝DC ， ∴∠ DEC ＝∠BCE． ∵∠ BDE 是△DCE的一个外角 ， ∴∠ BDE ＝∠DEC＋∠BCE＝2∠BCE． ∴∠ B ＝2∠BCE． 例5. 如图 ， 在 Rt △ ABC 中 ， ∠ ACB ＝90° ，M 是边AB的中点 ，CH ⊥ AB 于点H ，CD 平分∠ACB． (1)求证：∠1＝∠2． (2)过点M作AB的垂线交CD的 延长线于点 E ， 连结AE ，BE． 求证：CM＝EM． 解 : 　(1)∵∠ACB＝90° ， ∴∠ BCH ＋∠ACH＝90°． ∵ CH ⊥ AB， ∴∠ CAH ＋∠ACH＝90° ， ∴∠ CAH ＝∠BCH． ∵ M 是斜边AB的中点 ， ∴ CM ＝AM＝BM ， ∴∠ CAM ＝∠ACM．∴∠BCH＝∠ACM． ∵ CD 平 分 ∠ ACB ， ∴∠ BCD ＝∠ACD ， ∴∠ BCD －∠BCH＝∠ACD－∠ACM ， 即∠1＝∠2．(2)∵CH⊥AB ，ME ⊥ AB， ∴ ME ∥ CH， ∴∠ 1 ＝∠MED． ∵∠ 1 ＝∠2 ， ∴∠ 2 ＝∠MED ， ∴ CM ＝EM． ) ( 三 ．基础过关 （一）选择题 1 .如图,木杆AB斜靠在墙壁上,P是AB的中点,当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时,木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动,则下滑过程中OP长度的变化情况是(　　) A.逐渐变大　　　　B.不断变小 C.不变　　　　 D.先变大再变小 【 答案】 C　 【 解析】 ∵P是AB的中点,∠AOB=90°,∴OP= AB.∵木杆AB的长是定值,∴OP的长度不变.故选C. 2 .如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的平分线交BC于点D,E为AC的中点,若AB=10,则DE的长是(　　) A.8　　　　B.6　　　　C.5　　　　D.4 【 答案】 C　 【 解析】 ∵AB=AC=10,AD平分∠BAC,∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°.∵E为AC的中点, ∴DE= AC=5.故选C. 3 .如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,DE⊥BC,E为垂足,AC= AB,则图中为60°的角有(　　) A.2个　　　　　B.3个　　　　C.4个　　　　　D.5个 【 答案】 D　 【 解析】 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC= AB,∴∠B=30°.∵D是AB的中点,∴BD=CD=AD, ∴∠DCB=∠B=30°.∴∠ACD=90°-30°=60°,∴△ACD为等边三角形.∵DE⊥BC于E, ∴∠BDE=∠CDE=60°,∴∠ADC=∠DAC=∠ACD=∠CDE=∠BDE=60°.故选D. 4 ． 如图 ， 在△ABC中 ，AB ＝AC ， ∠ BAC ＝90° ， 直角∠EPF的顶点P是BC的中点 ， 两边PE ，PF 分别交AB ，AC 于点E ，F， 现给出以下四个结论：①AE＝CF；②△PEF是等腰Rt△；③EF＝AP；④S 四边形AEPF ＝ S △ ABC . 当∠EPF在△ABC内部绕顶点P旋 转时(点E不与点A ，B 重合) ， 上述结论中始终正确的是 （ ） A ． ①②③ B．①②④ C ． ②③④ D． ①③④ 【 答案】B 【解】　先证明出△PCF≌△PAE(或△APF≌△BPE) ， 可得①②④正确 ， 故选B. 5 ． 如图 ， 公路AC ，BC 互相垂直 ， 公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为 1．2 km ， 则M ，C 两点间的距离为( ) A． 0．5 km B． 0．6 km C． 0．9 km D． 1．2 km ) ( 【答案】D 【解析】 ∵△ ABC是直角三角形，点M是AB的中点， AM=1.2km， ∴ MC=AM=MB=1.2km.故选D. 6 ． 如图 ， 在△ABC中 ，AB ＝AC＝10 ，BC ＝8 ，AD 平分∠BAC交BC于点D ，E 为AC的中点 ， 连结DE ， 则△CDE的周长为( ) A． 12 B． 13 C． 14 D． 20 【答案】 C 【解析】 ∵ AB=AC，AD平分ZBAC，BC= 8， ∴ BD=DC=1/2BC=4, ∵ 点E为AC的中点，AB=AC =10, ∴ DE是 △ ABC的中位线，AE=EC=1/2AC=5 DE=1/2AB=5, ∴ △ CDE的周长= EC +DC +DE =5+4+5=14,故选:C. 7 . 木杆 AB 斜靠在墙壁上，当木杆的上端 B 沿墙壁 NO 竖直下滑时，木杆的底端 B 也随之沿着射线 OM 方向滑动．下列图中用 虚线画出木杆中点 P 随之下落的路线，正确的是 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如右图，连接 OP，由于OP是Rt △ AOB斜边上的中线，所以 OP=AB，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是OP是一个定值，点P就在以0为圆心的圆弧上，那么中点P下落的路线是一段弧线，故选D. 8. 折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种培养手指灵活性、协调能力的游戏，更是培养智力的一种手段．在折纸中，蕴含许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想．把一张直角三角形纸片按照图 ①~④ 的过程折叠后展开，请选择所得到的数学结论 ( ) A. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 B. 在直角三角形中，如 果一个锐角等于 30 o ，那么它所对的直角边等于斜边的一半 C. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D. 如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 【答案】C 【解析】我们看到这是一个直角三角形纸片的折叠过程。在折叠过程中，我们关注到 DA、DB 都与 DC 重合。因为 DA、DB 都与 DC 重合，根据重合的线段长度相等，所以 DA = DB = DC。在这个直角三角形中，DC 是斜边 AB 上的中线，而 DC=1/2AB，这就说明了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 ) ( （ 二）填空题 9. ． 如图 ，PA ⊥ OA 于点A ，PB ⊥ OB 于点B ，D 是OP的中点 ， 则DA与DB的数量关系是 ____________ ． 【答案】BA=DB 【解析】直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。我们可以通过连接 DA、DB，利用这个性质来证明 DA 和 DB 的数量关系。 10． 如图 ， 在Rt△ABC中 ， ∠ ACB ＝90 ° ， 将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′．若∠B＝50° ， 则∠ACB′＝____． 【答案】 10° 【 解析 】∵∠ACB＝90° ， ∠ B ＝50° ， ∴∠ A ＝40°． ∵ CD 是AB边上的中线 ， ∴ CD ＝BD＝AD ， ∴∠ BCD ＝∠B＝50° ， ∠ DCA ＝∠A＝40°．由折叠可知∠B′CD＝∠BCD＝50° ， ∴∠ ACB ′＝∠B′CD－∠DCA＝10°． （三）解答题 11． 如 图，在 △ ABC中 ，AD ⊥ BC 于点D ，BE ⊥ AC 于点E ， 连结DE ，M 是AB的中点 ，N 是DE的中点．求证：MN是DE的中垂线． 解 ： 连结ME ，MD. ∵ AD ⊥ BC， ∴△ ADB 是直角三角形．又∵M是斜边AB的中点 ， ∴ MD ＝ AB. 同理 ，ME ＝ AB， ∴ MD ＝ME.又∵N是DE的中点 ， ∴ MN ⊥ DE，DN ＝NE ， ∴ MN 是DE的中垂线． 12 .如图,△ABC中,∠ACB=90°,点D是边BC上一点,DE⊥AB于点E,点F是线段AD的中点,连接EF,CF.(1)求证:EF=CF;(2)若∠BAC=30°,AD=6,求C,E两点间的距离. 解 ： (1)证明:∵DE⊥AB,∴∠DEA=90°.∵点F是线段AD的中点,∴EF= AD, ∴EF=CF. （ 2） 如图,连接CE ； 由(1)得EF=AF=CF= AD=3,∴∠FEA=∠FAE,∠FCA=∠FAC, ∴∠EFC=2∠FAE+2∠FAC=2∠BAC=2×30°=60°,∴△EFC是等边三角形, ∴CE=EF=3,∴C,E两点间的距离是3. ) ( 四 ．强化练习 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（30分） 1． 如图，在 中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，若AB＝12，则CD的长是（　　） A．12 B．6 C．4 D．3 【答案】 B 【解析】 在 中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，AB＝12，则CD AB 12＝6，故答案为：B． 2． 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，AD平分∠BAC，E为AC中点，连接DE，则DE＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】 C 【解析】 ∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，点E为AC中点，∴DE= AC=5， 故答案为：C． 3． 在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB边上的中线，下列结论正确的是（　　） A．CD⊥AB B．CD＝BC C．BD＝CD D．∠ACD＝∠BCD 【答案】 C 【解析】 如图所示：A、不一定得到CD⊥AB，选项不符合题意；B、不一定得到CD=BC，选项不符合题意；C、根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得： ，选项符合题意；D、不一定得出∠ACD=∠BCD，选项不符合题意；故答案为：C． 4 .如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,E为AC的中点,连结BE,ED,BD,若∠BAD=58°,则∠EBD的度数为(　　) A.29°　　　　B.32°　　　　C.45°　　　　D.64° 【 答案】 B　 【 解析】 ∵∠ABC=∠ADC=90°,E为AC的中点,∴DE=AE= AC, ∴∠DAE=∠ADE,∠EAB=∠ABE,DE=BE,∴∠DEC=∠DAE+∠ADE=2∠DAE,∠BEC=∠EAB+∠ABE=2∠EAB,∴∠DEB=∠DEC+∠BEC=2∠DAE+2∠EAB=2∠BAD=116°,∵DE=BE,∴∠EBD=∠EDB=32°,故选B. 5 ．如图，CD是Rt △ ABC的斜边AB上的中线，若 ∠ A＝35 ° ，则 ∠ BCD的度数为（ ） A． 35 ° B． 55 ° C． 75 ° D． 65 ° 【 答案】B 【 解析】 ∵ CD是Rt △ ABC的斜边上的中线，:.CD=DA, ∴∠ A= ∠ DCA=35 ° , ∠ ACB= 90 ° , ∠ BCD=90 ° -35 ° =55 ° .故选B ) ( 6 ．如图，在 △ ABC中， ∠ ACB＝90 ° ，D是AB的中点，给出下列结论： ① AD＝DC＝DB； ②∠ A＝ ∠ 1， ∠ B＝ ∠ 2； ③ CD＝BD＝CB； ④∠ CDB＝2 ∠ 1.其中正确的有（ ） A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 【 答案】C 【 解析】 ∵∠ ACB =90 ° ，D是AB的中点， ∴ .AD=DC=DB=1/2AB,故 ① 正确; ∵ AD=DC，:. ∠ A= ∠ 1, ∵ DC=DB,:.ZB= ∠ 2,故 ② 正确;.当 ∠ B =60 ° 时，CD=BD=CB，而题中并没有这一条件，CD=BD=CB不一定成立，故 ③ 错误; ∠ CDB= ∠ A+ ∠ 1，且 ∠ A = ∠ 1， ∠ CDB=2 ∠ 1，故 ④ 正确，故选C. 7 ． 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形一定是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定 【答案】 C 【解析】 在△ABC中，CD是AB边的中线，且 ，∴CD=AD=BD，∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCD，∵∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°，∴2（∠A+∠B）=180°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ACB=90°，故答案为：C． 8 ． 如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AB的长为10km，则M，C两点间的距离为（　　） A．3km B．4km C．5km D．6km 【答案】 C 【解析】 ∵公路AC，BC互相垂直， ∴ ．∵M为AB的中点，∴ ． ∵AB=10km，∴CM=5km，即M，C两点间的距离为5km，故答案为：C． 9 ． 如图，木杆 斜靠在墙壁上， 是 的中点，当木杆的上端 沿墙壁 竖直下滑时，木杆的底端 也随之沿着射线 方向滑动，则下滑过程中 的长度变化情况是（　　） A．逐渐变大 B．不断变小 C．不变 D．先变大再变小 【答案】 C 【解析】 ∵ 是 的中点，∠AOB=90°，∴OP是Rt△AOB斜边中线，∴OP= AB， ∵AB的长固定，∴OP的长度不变，故答案为： C． 10 ． 在 中，点 是斜边 上的中点，连接 ．若 ，则 （　　）． A．22° B．68° C．96° D．112° 【答案】 B 【解析】 ∵点D为Rt△ABC，斜边BC的中点， ∴ ，∴ ，故B符合题意．故答案为：B． ) ( 二．填空题 11 ． 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点．连接CD，若CD+AB=7.5，则CD的长度是 ________. 【 答案】 2.5 D．5 【解析】 ∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点，∴CD= AB，又∵CD+AB=7.5， ∴3CD=7.5，∴CD=2.5 12 ． 在 中，点 是斜边 上的中点，连接 ．若 ，则 __ ． 【 答案】 68° 【解析】 ∵点D为Rt△ABC，斜边BC的中点， ∴ ，∴ ，故B符合题意．故答案为：B． 13 ． 如图，在 中， ， 是斜边 上的中线，若 ， 的长为 __________. 【 答案】 【解析】 ∵在 中， ， 又∵ 是斜边 上的中线， ，∴ 1 4 ．如图，在Rt △ ABC中， ∠ ACB＝90 ° ，点D在BC上，E为AB的中点，AD，CE交于点F，且AD＝BD.若 ∠ B＝20 ° ，则 ∠ DFE的度数为 ____________ ． 【答案】6 0 ° 【解析】 ∵ AD=BD, ∠ B= ∠ BAD =20 ° , ∠ ADC= ∠ B+ ∠ BAD =40 ° ,: ∠ ACB=90 ° ，E为AB的中点， AE = BE= EC,:. ∠ B= E ∠ CB = 20 ° , ∠ DFE= ∠ ADC + ∠ ECB = 60 ° 。 1 5 ． 如图，在 中，斜边 上的中线CD=5，则 　 　 ． 【答案】 10 【解析】 ∵在Rt△ABC中，斜边AB上的中线CD=5，∴AB=2CD=10.故答案为：10. ) ( 1 6 ． 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若CD＝2，则AD＝ 　 　 ． 【答案】 2 【解析】 ∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∴CD= AB，∵AD= AB，∴AD= CD= 2， 故答案为：2. 1 7 ． 如图，在 中， ， ，垂足为D，E是AC的中点，若 ，则 　 　 ． 【答案】 10 【解析】 ∵在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∴△ADC是直角三角形；∵E是AC的中点． ∴DE= AC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）；又∵DE=5，∴AC=10；故答案为：10． 1 8 ． 如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF=5，BC=8，则△EFM的周长是 　 　 . 【答案】 13 【解析】 在Rt△BCE和Rt△BCF中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EM= BC=4，FM= BC=4，又因EF=5，所以△EFM的周长=EM+FM+EF=4+4+5=13. 故答案为：13. 1 9 .如图,在△ABC中,D是BC上一点,AB=AD,E,F分别是AC,BD的中点,EF=2,则AC的长是 　　　　 .  【 答案】 4 【 解析 】 　如图,连结AF.∵AB=AD,F是BD的中点,∴AF⊥BD,∴∠AFC=90°,∵E是AC的中点,EF=2,∴AC=2EF=4. 20 .如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC上,过点D作DF⊥BC交BA的延长线于点F,连结AD,CF.若∠CFE=32°,∠ADB=45°,则∠B的度数为(　　) ) ( 【 答案】 77°　 【 解析】 如图 , 取 CF 的中点连结 DT,AT,∵ ∠ BAC=90°,FD ⊥ BC,∴ ∠ CAF= ∠ CDF=90°, ∴AT=DT= 1/2 CF=TC,∴ ∠ TDA= ∠ TAD, ∠ TDC= ∠ TCD,∵ ∠ ADB=45°,∴ ∠ ADT+ ∠ TDC=135°, ∴ ∠ ATC=360°-2×135°=90°,∵CT=TF,∴AC=AF,∴ ∠ AFT=45°, ∴ ∠ BFD=45°-32°=13°,∵ ∠ BDF=90°,∴ ∠ B=90°- ∠ BFD=77°. 三．解答题（60分） 2 1 ． 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E． 求证：E为AB的中点． 证明：∵AD平分∠BAC ∴∠CAD=∠EAD，∵DE∥AC，∴∠CAD=∠ADE，∴∠EAD=∠ADE， ∴DE=AE，∵BD⊥AD，∴∠ADB=90°，∴∠ADE+∠BDE=90°，∠EAD+∠ABD=90°， ∵∠EAD=∠ADE，∴∠BDE=∠ABD，∴BE=DE，∴AE=BE，∴E是AB的中点． 2 2 ． 如图，在△ABC中，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，M是BC的中点，连接EM，FM． 求证：EM=FM． 证明：：∵BE，CF是高，M为BC的中点，∴EM= BC，FM= BC，∴EM=FM． 23． 已知：如图∠ABC=∠ADC=90°，M，N分别是AC、BD的中点．求证：MN⊥BD． 证明：如图，连接BM、DM，∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点， ∴BM=DM= AC， ∵点N是BD的中点， ∴MN⊥BD 2 4.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,CE是AB边上的中线,G为CE的中点,连结DG,CD=AE. (1)求证:DG⊥CE; (2)已知∠AEC=69°,求∠ECB的度数. 解 : (1)证明:连结DE,如图,∵AD是BC边上的高,∴∠ADB=90°,∵点E是AB的中点,∴DE=AE= AB,∵CD=AE,∴DE=CD,∵G为CE中点,∴DG⊥CE. (2)∵DE=DC,∴∠DCE=∠DEC,∴∠EDB=∠DCE+∠DEC=2∠DCE,∵∠ADB=90°,点E是AB的中点,∴BE=DE= AB,∴∠B=∠EDB=2∠DCE,∵∠AEC=∠B+∠DCE,∠AEC=69°, ∴3∠DCE=69°,∴∠DCE=23°,即∠ECB的度数为23°. ) ( 2 5.解答下列各题. (1)如图1,点P是∠AOB内部任意一点,PM⊥OA,PN⊥OB,垂足分别是M,N,D是OP的中点.求证:∠MDN=2∠MON; (2)如图2,若P是∠AOB外部任意一点,PM⊥OA,PN⊥OB,垂足分别是M,N,D是OP的中点,∠MDN与∠MON之间有何数量关系?并说明理由. 　 图 1 图2 解 : (1)证明:∵PM⊥OA,∴∠OMP=90°,在Rt△OMP中,D是OP的中点,∴DM=DO= OP, ∴∠DMO=∠DOM,∴∠MDP=2∠MOP,同理可得,∠NDP=2∠NOP,∴∠MDN=∠MDP+∠NDP=2∠MOP+2∠NOP=2(∠MOP+∠NOP)=2∠MON. (2)∠MDN=2∠MON.理由如下:∵PM⊥OA,∴∠OMP=90°,在Rt△OMP中,D是OP的中点,∴DM=DO= OP,∴∠DMO=∠DOM,∴∠MDP=2∠MOP,同理可得,∠NDP=2∠NOP, ∴∠MDN=∠NDP-∠MDP=2∠NOP-2∠MOP=2(∠NOP-∠MOP)=2∠MON 26. 如图1，已知 △ ABC为直角三角形， ∠ BCA＝90 ° ，在BC的延长线上取一点D，使得 ，点E是AB的中点，连接DE，M为ED的中点，连接CM、AD． （1）试判断CM与ED的位置关系，并说明理由； （2）若 ∠ AED＝105 ° ，请求出 ∠ BAC的度数； （3）如果将题中 “ 在BC的延长线上取一点D “ 改为 “ 在CB的延长线上取一点D ” ，其余条件不变．如图2所示，若 ∠ AED＝165 ° ，请求出 ∠ BAC的度数． 解：（1）CM垂直平分ED，理由如下：如图1，连接CE， ∵∠ BCA＝90 ° ，点E是AB的中点， ∴ AB＝2CE， ∵ CD＝ AB， ∴ CE＝CD， ∵ M为ED的中点， ∴ CM垂直平分ED； （2） ∵∠ BCA＝90 ° ，点E是AB的中点， ∴ BE＝CE＝ AB， ∴∠ B＝ ∠ ECB， ∵ CE＝CD， ∴∠ CDE＝ ∠ DEC， ∴∠ ECB＝ ∠ DEC+ ∠ CDE＝2 ∠ CDE， ∴∠ B＝2 ∠ CDE， ∵∠ AED＝ ∠ B+ ∠ CDE， ∴∠ AED＝3 ∠ CDE， ∵∠ AED＝105 ° ， ∴∠ CDE＝35 ° ， ∴∠ B＝70 ° ， ∵∠ BCA＝90 ° ， ∴∠ BAC＝180 °﹣ 90 °﹣ 70 ° ＝20 ° ； （3）如图2，连接CE， ∵∠ BCA＝90 ° ，点E是AB的中点， ∴ AB＝2CE，BE＝CE， ∴∠ EBC＝ ∠ ECB， ∵ CD＝ AB， ∴ CE＝CD， ∴∠ CDE＝ ∠ DEC， ∵∠ AED＝165 ° ， ∴∠ BED＝180 °﹣ 165 ° ＝15 ° ， ∵∠ EBC＝ ∠ CDE+ ∠ BED， ∠ EBC＝ ∠ ECB＝ ∠ CDE+15 ° ， ∵∠ AED＝ ∠ CDE+ ∠ DBE， ∠ DBE＝ ∠ ECB+ ∠ CEB， ∴∠ AED＝ ∠ CDE+ ∠ ECB+ ∠ CEB， ∵∠ CEB＝ ∠ CED ﹣∠ BED， ∴∠ CEB＝ ∠ CDE ﹣ 15 ° ， ∴∠ AED＝ ∠ CDE+ ∠ CDE+15 ° + ∠ CDE ﹣ 15 ° ＝3 ∠ CDE， ∴∠ CDE＝55 ° ， ∴∠ EBC＝55 ° +15 ° ＝70 ° ， ∴∠ BAC＝180 °﹣ 90 °﹣ 70 ° ＝20 ° ． ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册14-《1.5等腰三角形（四）》 ( 一、 预习 目标 1.理解并掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一重要性质。 2.能够运用该性质进行简单的几何推理和计算，解决相关数学问题。 3.通过对性质的探究过程，体会数学中的转化思想和逻辑推理方法，提升空间观念和抽象思维能力 。 ) ( 一、 预习内容 （一）知识回顾 【 直角 三角形】 1.定义：有一个角是直角的三角形. 2.表示： “ 直角三角形 ” 表示:Rt △ 3.性质1：直角三角形的两个锐角互余. 4.等腰直角三角形 （1）定义：两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形。 （2）性质： ① 具有等腰三角形的所有性质 ② 具有直角三角形的所有性质 ③ 等腰直角三角形的两个锐角都是45゜. 5.含30 ° 角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半. ∵ 　在Rt △ ABC 中， ∠ C =90 ° ， ∠ A =30 ° ， ∴ BC = AB ) ( （二）再探 直角三角形 的性质 【活动】把一张直角三角形纸片按如图所示的方法折叠，你有什么发现? 于是，我们得到直角三角形的性质定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 【 几何语言】: ∵ 在 △ ABC中, ∠ ACB=90 ° CD是斜边AB边上的中线 ∴ CD= AB （三）性质的简单应用： 例 1． 如图，在 △ ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分 ∠ BAC交BC于点D，E为AC中点，连结DE，求 △ CDE的周长． 例2 ． 如图 ， ∠ ABC ＝ ∠ ADC＝90° ， ∠ ACB ＝30° ， ∠ DAC ＝45° ，E 是AC的中点 ， 连结BE ，DE，BD，F 是BD的中点．求 ∠ BEF的度数． ) ( 例3. 如图 ， 在△ABC中 ，AD，BE 分别为边BC ，AC 上的高线 ，D，E 为垂足 ，M 为AB的中点 ，N 为DE的中点． 求证：(1)△MDE是等腰三角形．(2)MN⊥DE． 例4 ． 如图 ， 在△ABC中 ，AD 是高线 ，CE 是中线 ，DC ＝BE ，DG ⊥ CE 于点G．求证： (1)G是CE的中点．(2)∠B＝2∠BCE． 例5. 如图 ， 在 Rt △ ABC 中 ， ∠ ACB ＝90° ，M 是边AB的中点 ，CH ⊥ AB 于点H ，CD 平分∠ACB． (1)求证：∠1＝∠2． (2)过点M作AB的垂线交CD的 延长线于点 E ， 连结AE ，BE． 求证：CM＝EM． ) ( 三 ．基础过关 （一）选择题 1 .如图,木杆AB斜靠在墙壁上,P是AB的中点,当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时,木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动,则下滑过程中OP长度的变化情况是(　　) A.逐渐变大　　　　B.不断变小 C.不变　　　　 D.先变大再变小 2 .如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的平分线交BC于点D,E为AC的中点,若AB=10,则DE的长是(　　) A.8　　　　B.6　　　　C.5　　　　D.4 3 .如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,DE⊥BC,E为垂足,AC= AB,则图中为60°的角有(　　) A.2个　　　　　B.3个　　　　C.4个　　　　　D.5个 4 ． 如图 ， 在△ABC中 ，AB ＝AC ， ∠ BAC ＝90° ， 直角∠EPF的顶点P是BC的中点 ， 两边PE ，PF 分别交AB ，AC 于点E ，F， 现给出以下四个结论：①AE＝CF；②△PEF是等腰Rt△；③EF＝AP；④S 四边形AEPF ＝ S △ ABC . 当∠EPF在△ABC内部绕顶点P旋 转时(点E不与点A ，B 重合) ， 上述结论中始终正确的是 （ ） A ． ①②③ B．①②④ C ． ②③④ D． ①③④ 5 ． 如图 ， 公路AC ，BC 互相垂直 ， 公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为 1．2 km ， 则M ，C 两点间的距离为( ) A． 0．5 km B． 0．6 km C． 0．9 km D． 1．2 km 6 ． 如图 ， 在△ABC中 ，AB ＝AC＝10 ，BC ＝8 ，AD 平分∠BAC交BC于点D ，E 为AC的中点 ， 连结DE ， 则△CDE的周长为( ) A． 12 B． 13 C． 14 D． 20 7 . 木杆 AB 斜靠在墙壁上，当木杆的上端 B 沿墙壁 NO 竖直下滑时，木杆的底端 B 也随之沿着射线 OM 方向滑动．下列图中用 虚线画出木杆中点 P 随之下落的路线，正确的是 ( ) A. B. C. D. ) ( 8. 折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种培养手指灵活性、协调能力的游戏，更是培养智力的一种手段．在折纸中，蕴含许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想．把一张直角三角形纸片按照图 ①~④ 的过程折叠后展开，请选择所得到的数学结论 ( ) A. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 B. 在直角三角形中，如 果一个锐角等于 30 o ，那么它所对的直角边等于斜边的一半 C. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D. 如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 （ 二）填空题 9. ． 如图 ，PA ⊥ OA 于点A ，PB ⊥ OB 于点B ，D 是OP的中点 ， 则DA与DB的数量关系是 ____________ ． 10． 如图 ， 在Rt△ABC中 ， ∠ ACB ＝90 ° ， 将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′．若∠B＝50° ， 则∠ACB′＝____． （三）解答题 11． 如 图，在 △ ABC中 ，AD ⊥ BC 于点D ，BE ⊥ AC 于点E ， 连结DE ，M 是AB的中点 ，N 是DE的中点．求证：MN是DE的中垂线． 12 .如图,△ABC中,∠ACB=90°,点D是边BC上一点,DE⊥AB于点E,点F是线段AD的中点,连接EF,CF.(1)求证:EF=CF;(2)若∠BAC=30°,AD=6,求C,E两点间的距离. ) ( 四 ．强化练习 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（30分） 1． 如图，在 中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，若AB＝12，则CD的长是（　　） A．12 B．6 C．4 D．3 2． 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，AD平分∠BAC，E为AC中点，连接DE，则DE＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．8 3． 在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB边上的中线，下列结论正确的是（　　） A．CD⊥AB B．CD＝BC C．BD＝CD D．∠ACD＝∠BCD 4 .如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,E为AC的中点,连结BE,ED,BD,若∠BAD=58°,则∠EBD的度数为(　　) A.29°　　　　B.32°　　　　C.45°　　　　D.64° 5 ．如图，CD是Rt △ ABC的斜边AB上的中线，若 ∠ A＝35 ° ，则 ∠ BCD的度数为（ ） A． 35 ° B． 55 ° C． 75 ° D． 65 ° 6 ．如图，在 △ ABC中， ∠ ACB＝90 ° ，D是AB的中点，给出下列结论： ① AD＝DC＝DB； ②∠ A＝ ∠ 1， ∠ B＝ ∠ 2； ③ CD＝BD＝CB； ④∠ CDB＝2 ∠ 1.其中正确的有（ ） A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 7 ． 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形一定是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定 8 ． 如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AB的长为10km，则M，C两点间的距离为（　　） A．3km B．4km C．5km D．6km 9 ． 如图，木杆 斜靠在墙壁上， 是 的中点，当木杆的上端 沿墙壁 竖直下滑时，木杆的底端 也随之沿着射线 方向滑动，则下滑过程中 的长度变化情况是（　　） A．逐渐变大 B．不断变小 C．不变 D．先变大再变小 ) ( 10 ． 在 中，点 是斜边 上的中点，连接 ．若 ，则 （　　）． A．22° B．68° C．96° D．112° 二．填空题 11 ． 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点．连接CD，若CD+AB=7.5，则CD的长度是 ________. 12 ． 在 中，点 是斜边 上的中点，连接 ．若 ，则 __ ． 13 ． 如图，在 中， ， 是斜边 上的中线，若 ， 的长为 __________. 1 4 ．如图，在Rt △ ABC中， ∠ ACB＝90 ° ，点D在BC上，E为AB的中点，AD，CE交于点F，且AD＝BD.若 ∠ B＝20 ° ，则 ∠ DFE的度数为 ____________ ． 1 5 ． 如图，在 中，斜边 上的中线CD=5，则 　 　 ． 1 6 ． 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若CD＝2，则AD＝ 　 　 ． 1 7 ． 如图，在 中， ， ，垂足为D，E是AC的中点，若 ，则 　 　 ． 1 8 ． 如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF=5，BC=8，则△EFM的周长是 　 　 . 1 9 .如图,在△ABC中,D是BC上一点,AB=AD,E,F分别是AC,BD的中点,EF=2,则AC的长是 　　　　 .  ) ( 20 .如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC上,过点D作DF⊥BC交BA的延长线于点F,连结AD,CF.若∠CFE=32°,∠ADB=45°,则∠B的度数为(　　) 三．解答题（60分） 2 1 ． 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E． 求证：E为AB的中点． 2 2 ． 如图，在△ABC中，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，M是BC的中点，连接EM，FM． 求证：EM=FM． 23． 已知：如图∠ABC=∠ADC=90°，M，N分别是AC、BD的中点．求证：MN⊥BD． 2 4.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,CE是AB边上的中线,G为CE的中点,连结DG,CD=AE. (1)求证:DG⊥CE; (2)已知∠AEC=69°,求∠ECB的度数. ) ( 2 5.解答下列各题. (1)如图1,点P是∠AOB内部任意一点,PM⊥OA,PN⊥OB,垂足分别是M,N,D是OP的中点.求证:∠MDN=2∠MON; (2)如图2,若P是∠AOB外部任意一点,PM⊥OA,PN⊥OB,垂足分别是M,N,D是OP的中点,∠MDN与∠MON之间有何数量关系?并说明理由. 　 图 1 图2 26. 如图1，已知 △ ABC为直角三角形， ∠ BCA＝90 ° ，在BC的延长线上取一点D，使得 ，点E是AB的中点，连接DE，M为ED的中点，连接CM、AD． （1）试判断CM与ED的位置关系，并说明理由； （2）若 ∠ AED＝105 ° ，请求出 ∠ BAC的度数； （3）如果将题中 “ 在BC的延长线上取一点D “ 改为 “ 在CB的延长线上取一点D ” ，其余条件不变．如图2所示，若 ∠ AED＝165 ° ，请求出 ∠ BAC的度数． ) 学科网（北京）股份有限公司 $$