《1.3全等三角形的判定（四）--SSS》导学案 暑假预习手册7-2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册7-《1.3全等三角形的判定（四）--SSS》 ( 一、 预习 目标 1.   理解并掌握全等三角形判定方法 “ 边边边（SSS） ” 定理。 2.   能够运用 “ SSS ” 定理证明两个三角形全等，规范证明过程的书写。 3.   了解三角形稳定性是 “ SSS ” 判定定理的实际应用原理，体会数学与生活的联系。 4.   通过对 “ SSS ” 定理的探究，培养观察、分析、归纳能力以及逻辑推理能力 。 ) ( 一、 预习内容 （一）全等三角形判定方法 ——“ 边边边（SSS） 【探究】我们知道全等三角形三边对应相等，那三边对应等的三角形全等吗？ 1.内容：三边对应相等的两个三角形全等，简写成 “ 边边边 ” 或 “ SSS ” 。 2. 几何语言： 在 △ ABC 和 △ A ′ B ′ C ′ 中， 所以 △ ABC ≌ △ A ′ B ′ C ′ (SSS) 这是用符号语言来简洁地表达判定定理，在书写证明过程时会经常用到，要注意对应边的位置书写正确。 3. 探究理解：准备三根长度固定的小棒，尝试拼成不同形状的三角形。会发现无论怎样拼，只要三边长度确定，所拼成的三角形形状和大小都是唯一确定的。这就直观地说明了三边对应相等的两个三角形全等。从数学原理上理解，因为三角形三边长度确定后，三角形的内角大小也随之确定，所以这样的两个三角形能够完全重合，即 全等。 （二） “ SSS ” 判定定理的证明思路 1. 当要证明两个三角形全等且想用 “ SSS ” 定理时，首先要明确已知条件中是否直接给出了两个三角形三边对应相等 。如果没有直接给出，就需要通过已知条件去推导得出三边对应相等的关系。 2. 比如已知一些线段相等的条件，可能需要利用线段的和差关系、中点定义等，将这些条件转化为两个三角形三边对应相等。例如，已知点D是BC中点，那么就有BD = DC；若又知道AB = EC，AD = AE，通过等量代换和线段和差就能得到三边对应相等，从而应用 “ SSS ” 定理证明三角形全等。 （三） “ SSS ” 判定定理的应用 1. 证明线段或角相等：如果两个三角形全等（通过 “ SSS ” 判定），那么它们的对应边相等，对应角也相等。所以当要证明两条线段相等或者两个角相等时，可以尝试证明它们所在的两个三角形全等。比如，在证明AB = CD时 ，若能证明 △ ABE ≌△ DCE（用 “ SSS ” 判定出全等），就可得出AB = CD 。 2. 解决实际问题：生活中有很多利用三角形稳定性的例子，而三角形稳定性的原理就是 “ SSS ” 判定定理。如自行车的车架、篮球架的支架等，这些结构都是通过三角形的形状来保证稳定性，因为只要三边长度固定，三角形的形状和大小就不会改变。在解决这类实际问题时，我们可以把实际的物体抽象成三角形模型，然后利用 “ SSS ” 定理去分析和理解其稳定性的原理。 ) ( 三．经典例题 例1.在如图所示的三角形钢架中，AB = AC，AD是连接点A与BC中点D的支架. 求证 △ AB D ≌△ ACD. 例2. 已知： ∠ AOB.求作： ∠ A'O'B'，使 ∠ A'O'B' = ∠ AOB. 例3.如图，AB = DE，AC = DF，BE = CF，求证： △ ABC ≌△ DEF． 例4 .工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下：如图， ∠ AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM = ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合.过角尺顶点C的射线OC便是 ∠ AOB的平分线.为什么？ 例5. 如图，AC、BD相交于点O，AC = BD，AB = DC，求证： ∠ A = ∠ D． 例6. 如图，在四边形ABCD中，AB = CD，AD = BC，AB与CD平行吗？请说明理由. 例7 如图，已知AB = AC，AD = AE，BD = CE，求证： ∠ 3 = ∠ 1+ ∠ 2. 例8 ． 如图，AB＝DC，AC＝DB，AC和BD相交于点O. （1）求证：△ABC≌△DCB；（2）求证：∠ABD＝∠DCA. ) ( 三．基础过关 （一）选择题 1．如图，下列三角形中，与△ABC全等的是(　　) A.① B．② C．③ D．④ 2．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB上的点，且AD＝BD，AE＝BC，DE＝DC.则∠AED的度数为(　　) A．45°　 B．60°　 C．75°　 D．90° 3 、如图、用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出 ∠ 0= ∠ 0 ， 的依据是( )， SAS B. ASA C.SSS D.AAS 4 、如图， △ AB C 与 △ DEF 的边 BC 与 EF 在同一条直线上，且 BE=CF ， AB=DE ．若需要证明 △ AB C ≌ △ DEF ，则可以增加条件是（   ）． A. BC=EF B. ∠ A= ∠ D C. AC ‖ DF D. AC=DF 5 ．下列说法正确的是（　　） A．周长相等的锐角三角形都全等 B．周长相等的直角三角形都全等 C．周长相等的钝角三角形都全等 D．周长相等的等边三角形都全等 ． （二）填空题 6 ．如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝130°，则∠D＝____°. 7 ．如图，已知AB=BC，要使 △ ABD ≌△ CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是 ___________________ ．（只需写一个，不添加辅助线） ) ( 8 ．如图，AB=AC，BD=CD，若 ∠ B=28°，则 ∠ C= ________ ． 9 ． 如图 ， 已知AB＝DC ， 则还需添加条件 _________ ， 才可用“SSS”说明△ABC≌△DCB. （三）解答题 10 ．如图，已知：AD=BC，AC=BD．求证：OD=OC． 1 1 ．如图，已知 △ ABC ≌△ ADE，BC的边长线交AD于F，交AE于G， ∠ ACB=105°， ∠ CAD=10°， ∠ ADE=25°，求 ∠ DFB和 ∠ AGB的度数． 1 2 ． 如图 ，C，F 是线段BE上的两点 ， △ ABF ≌△ DEC， 且AC＝DF. (1)你在图中还能找到几对全等的三角形？并说明理由． (2)∠ACE＝∠BFD吗？试说明你的理由． ) ( 四．强化练习 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（30分） 1.如图,在△ABC中,AB=AC,BE=EC,AE的延长线交BC于点D,直接使用“SSS”可判定(　　) A.△ABD≌△ACD　　 B.△ABE≌△EDC C.△ABE≌△ACE　D.△BED≌△CED 2.如图,AB=AD,CB=CD,∠B=30°,∠BAD=46°,则∠ACD的度数是(　　) A.120°　　　　B.125° C.127°　　　　D.104° 3 .如图,人字梯中间一般会设计一“拉杆”,这样做的道理是(　　) A.两点之间,线段最短 B.垂线段最短 C.两直线平行,内错角相等 D.三角形具有稳定性 4 .如图,点B,D,F,E在同一条直线上,且AB=AC,AD=AE,BD=CE, ∠DAF=65°,∠BAE=105°,则∠BEC的度数为(　　) A.70°　　　　B.75°　　　　C.80°　　　　D.85° 5. 如图，在△ABC和△DEB中，点C在BD边上，AC与BE交于F，若AB=DE，BC=EB，AC=DB，则∠ACB等于（ ） A. ∠D B. ∠E C. 2∠ABF D. ∠AFB 6 ．为稳固电线杆，从A处拉了两根等长的铁丝AC，AD，且C，D到杆脚B的距离相等，则有(　　) A.∠1＞∠2 B．∠1＜∠2 C．∠1＝∠2 D．∠1与∠2大小不能确定 7．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠AOB＝∠NCB，作图痕迹中，弧FG是(　　) A．以点C为圆心，OD为半径的弧 B．以点C为圆心，DM为半径的弧 C．以点E为圆心，OD为半径的弧 D．以点E为圆心，DM为半径的弧 ) ( 8．如图，AB＝CD，BC＝DA，E，F是AC上的两点，且AE＝CF，DE＝BF，那么图中全等三角形共有(　　) A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 9．如图，在△ACD和△BCE中，AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝55°，∠BCD＝155° AD与BE相交于点P，则∠BPD的度数为(　　) A.110°　 B．125°　 C．130°　 D．155° 10．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD＝CD，AB＝CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③四边形ABCD的面积＝ AC·BD；④AO＝OC.其中正确的结论有(　　) A．4个 B．1个 C．2个 D．3个 二．填空题（30分） 11 .如图,在△ABC和△FED中,AC=FD,BC=ED,要利用“SSS”判定△ABC≌△FED,还需添加的条件是 　　　　 .  12 .如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,∠B=105°,则∠D= 　　　　 °.  13. 如图,已知AB=CD,BC=DA,E,F是AC上的两点,且AE=CF,DE=BF,那么图中全等三角形有 　　　　 对.  ) ( 1 4 ．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P 1 ，P 2 ，P 3 ，P 4 四个点中找出符合条件的点P，则点P有 _______. 1 5 ．如图，AC＝DF，BC＝EF，AD＝BE，∠BAC＝72°，∠F＝32°，则∠ABC＝ ____°. 16 ．如图 AD ＝ BC ， DC ＝ AB ， AE ＝ CF ，直接根据 “SSS” 可判定的全等三角形为 ________ ． 17 ．如图，方格纸中 △ DEF 的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形，则图中与 △ DEF 全等的格点三角形最多有 _______. 18. 如图 ， 在△ABC中 ，AB ＝AC ，D 是BC的中点 ，AC 的垂直平分线分别交AC ，AD，AB 于点E ，O，F， 则图中全等三角形的对数是 ______. 19. 如图 ， 已知AB＝CD ，AD ＝BC ， ∠ 1 ＝40 ° ， ∠ 2 ＝80 ° ， 则∠A＝_____ ___ ． 2 0 ． 如图 ，AB ∥ CD， 以点A为圆心 ， 小于AC长为半径作圆弧 ， 分别交AB ，AC 于E ，F 两点；再分别以点E ，F 为圆心 ， 大于 EF 长为半径作圆弧 ， 两条圆弧交于点G ， 作射线AG交CD于点H.若∠C＝140 ° ， 则∠AHC的度数是 ________. 三．解答题（60分） 21. 如图，AB＝AC，AD＝AE，CD＝BE.求证：∠DAB＝∠EAC. ) ( 22 .如图,工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等,但他手边没有量角器,只有一个刻度尺.他是这样操作的:①分别在BA和CA上取BE=CG;②在BC上取BD=CF;③量出DE的长为a米,FG的长为b米.若a=b,则说明∠B和∠C是相等的,他的这种做法合理吗?为什么? 23 . 如图工人师傅要检查人字梁的 ∠ B 和 ∠ C 是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的： ① 分别在 BA 和 CA 上取点 E ， G ，使 BE ＝ CG ； ② 在 BC 上取 BD ＝ CF ； ③ 量出 DE 的长为 a 米， FG 的长为 b 米． 若 a ＝ b ，则说明 ∠ B 和 ∠ C 是相等的．他的这种做法合理吗？为什么？ 24 .如图,AB=DC,AC=DB. (1)求证:△ABC≌△DCB; (2)求证:∠ABD=∠DCA. 25 .如图,已知AB=AC,BD=CD. (1)求证:∠B=∠C;(2)若∠B=25°,∠A=2∠C,求∠BDC的度数. ) ( 26 ．如图，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC. (1)求证：△ABC≌△DEF； (2)指出图中所有平行的线段，并说明理由． 27 .如图①所示,AB=CD,AD=BC,O是AC的中点,过点O的直线分别与AD,BC相交于点M,N. (1)求证:MO=NO; (2)若将过点O的直线旋转至图②③的情况下,其他条件不变,那么(1)中的结论还成立吗?请说明理由. ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册7-《1.3全等三角形的判定（四）--SSS》 ( 一、 预习 目标 1.   理解并掌握全等三角形判定方法 “ 边边边（SSS） ” 定理。 2.   能够运用 “ SSS ” 定理证明两个三角形全等，规范证明过程的书写。 3.   了解三角形稳定性是 “ SSS ” 判定定理的实际应用原理，体会数学与生活的联系。 4.   通过对 “ SSS ” 定理的探究，培养观察、分析、归纳能力以及逻辑推理能力 。 ) ( 一、 预习内容 （一）全等三角形判定方法 ——“ 边边边（SSS） 【探究】我们知道全等三角形三边对应相等，那三边对应等的三角形全等吗？ 【解析】 已知一个三角形的三条边分别是2 cm，3 cm，4 cm，小明和小华分别画出三角形后，小华剪下自己的三角形，和小明的比对，发现两个三角 能 形完全重合． 1.内容：三边对应相等的两个三角形全等，简写成 “ 边边边 ” 或 “ SSS ” 。 2. 几何语言： 在 △ ABC 和 △ A ′ B ′ C ′ 中， 所以 △ ABC ≌ △ A ′ B ′ C ′ (SSS) 这是用符号语言来简洁地表达判定定理，在书写证明过程时会经常用到，要注意对应边的位置书写正确。 3. 探究理解：准备三根长度固定的小棒，尝试拼成不同形状的三角形。会发现无论怎样拼，只要三边长度确定，所拼成的三角形形状和大小都是唯一确定的。这就直观地说明了三边对应相等的两个三角形全等。从数学原理上理解，因为三角形三边长度确定后，三角形的内角大小也随之确定，所以这样的两个三角形能够完全重合，即 全等。 （二） “ SSS ” 判定定理的证明思路 1. 当要证明两个三角形全等且想用 “ SSS ” 定理时，首先要明确已知条件中是否直接给出了两个三角形三边对应相等 。如果没有直接给出，就需要通过已知条件去推导得出三边对应相等的关系。 2. 比如已知一些线段相等的条件，可能需要利用线段的和差关系、中点定义等，将这些条件转化为两个三角形三边对应相等。例如，已知点D是BC中点，那么就有BD = DC；若又知道AB = EC，AD = AE，通过等量代换和线段和差就能得到三边对应相等，从而应用 “ SSS ” 定理证明三角形全等。 （三） “ SSS ” 判定定理的应用 1. 证明线段或角相等：如果两个三角形全等（通过 “ SSS ” 判定），那么它们的对应边相等，对应角也相等。所以当要证明两条线段相等或者两个角相等时，可以尝试证明它们所在的两个三角形全等。比如，在证明AB = CD时 ，若能证明 △ ABE ≌△ DCE（用 “ SSS ” 判定出全等），就可得出AB = CD 。 2. 解决实际问题：生活中有很多利用三角形稳定性的例子，而三角形稳定性的原理就是 “ SSS ” 判定定理。如自行车的车架、篮球架的支架等，这些结构都是通过三角形的形状来保证稳定性，因为只要三边长度固定，三角形的形状和大小就不会改变。在解决这类实际问题时，我们可以把实际的物体抽象成三角形模型，然后利用 “ SSS ” 定理去分析和理解其稳定性的原理。 ) ( 三．经典例题 例1.在如图所示的三角形钢架中，AB = AC，AD是连接点A与BC中点D的支架. 求证 △ AB D ≌△ ACD. 【 解析】 证明： ∵ D是BC的中点， ∴ BD = CD. 在△ABD和△ACD中， ∴ △ABD≌△ACD( SSS ). 例2. 已知： ∠ AOB. 求作： ∠ A'O'B'，使 ∠ A'O'B' = ∠ AOB. 【 解析】 作法：（1）以点O为圆心 ， 以任意长为半径画弧，分别交OA,交OB于点C，D. （2）画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC 长 为半径画弧，交O'A'于点C'； （3）以点C'为圆心，以CD长为半径画弧，与第 2 步中所画的弧相交于点D'. （4）过点D'作射线O'B'，则∠A'O'B' =∠AOB. 如图，∠A'O'B'即为所求. 例3.如图，AB = DE，AC = DF，BE = CF，求证： △ ABC ≌△ DEF． 【 解析】 证明： ∵ BE = CF， ∴ BE+EC = CF+EC，即BC = EF，在△ABC和△DEF中， ∴ △ABC≌△DEF( SSS ). 例4 .工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下：如图， ∠ AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM = ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合.过角尺顶点C的射线OC便是 ∠ AOB的平分线.为什么？ 解：在 △ COM和 △ CON中， ， ∴ △COM≌△CON( SSS ).∴ ∠COM = ∠CON. ∴ 射线OC是∠AOB的平分线. ) ( 例5. 如图，AC、BD相交于点O，AC = BD，AB = DC，求证： ∠ A = ∠ D． 证明：连接B、C两点， 在△ABC和△DBC中， ∴ △ABC≌△DBC( SSS ). ∴ ∠A =∠D. 例6. 如图，在四边形ABCD中，AB = CD，AD = BC，AB与CD平行吗？请说明理由. 解：AB与CD平行，理由如下： ∵ AD = BC，∴ BC = DA.在△ABC和△CDA中， ∴ △ABC ≌△CDA( SSS ).∴ ∠BAC =∠DCA.∴ AB∥CD. 例7 如图，已知AB = AC，AD = AE，BD = CE，求证： ∠ 3 = ∠ 1+ ∠ 2. 证明：在 △ ABD和 △ ACE中， ∴ △ABD≌△ACE( SSS ).∴ ∠2 =∠ABD，∠1 =∠BAD.∵ ∠3 =∠ABD+∠BAD，∴ ∠3 =∠1+∠2. 例8 ． 如图，AB＝DC，AC＝DB，AC和BD相交于点O. （1）求证：△ABC≌△DCB； （2）求证：∠ABD＝∠DCA. 解： （1）证明：在△ABC和△DCB中， ，∴△ABC≌△DCB（SSS） （2）证明：∵△ABC≌△DCB， ∴∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠DCA ) ( 三．基础过关 （一）选择题 1．如图，下列三角形中，与△ABC全等的是(　　) A.① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【 解析 】 ： 因为三角形要全等对应边必须相等，所以只有③与△ABC的各边都分别相等，只有③正确． 2．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB上的点，且AD＝BD，AE＝BC，DE＝DC.则∠AED的度数为(　　) A．45°　 B．60°　 C．75°　 D．90° 【 答案】D 解析： 在△AED与△BCD中，∵ ∴△AED≌△BCD(SSS)，∴∠AED＝∠C＝90°. 3 、如图、用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出 ∠ 0= ∠ 0 ， 的依据是( )， SAS B. ASA C.SSS D.AAS 【 答案 】 c 【 解析 】 由作法易得OD=O ， D ， 、OC = 0 ， C ， .CD=C ， D ， .依据 SSS 可判家 △ COD ≌△ C ， O ， D ， ， 以 ∠ 0= ∠ 0 ， 、故选C. 4 、如图， △ AB C 与 △ DEF 的边 BC 与 EF 在同一条直线上，且 BE=CF ， AB=DE ．若需要证明 △ AB C ≌ △ DEF ，则可以增加条件是（   ）． A. BC=EF B. ∠ A= ∠ D C. AC ‖ DF D. AC=DF 【答案】 D; 【解析】 由 BC=EF ，可得 BC=EF ， 又∵ AB=DE ，∴当 AC=DF 时，可得 △ AB C ≌ △ DEF(SSS) ， 而增加 BC=EF 或 ∠ A= ∠ D 或 AC ‖ DF ，均不能证明 △ AB C ≌ △ DEF ，故选 D ． ) ( 5 ．下列说法正确的是（　　） A．周长相等的锐角三角形都全等 B．周长相等的直角三角形都全等 C．周长相等的钝角三角形都全等 D．周长相等的等边三角形都全等 【 答案】D 【解答】周长相等的锐角三角形不一定全等，因为周长相等，三条边不一定对应相等，故选项A错误；周长相等的直角三角形不一定全等，因为周长相等，三条边不一定对应相等，故选项B错误；周长相等的钝角三角形不一定全等，因为周长相等，三条边不一定对应相等，故选项C错误；周长相等的锐等边三角形一定全等，因为周长相等，三条边一定对应相等，利用SSS，可以说明两个三角形全等，故选项D正确；故选D． （二）填空题 6 ．如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝130°，则∠D＝____°. 【 答案】 130° 【 解析 】 ： ∵在△ADC和△ABC中， ∴△ADC≌△ABC(SSS)，∴∠D＝∠B， ∵∠B＝130°，∴∠D＝130°. 7 ．如图，已知AB=BC，要使 △ ABD ≌△ CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是 ___________________ ．（只需写一个，不添加辅助线） 【 答案】 ∠ ABD= ∠ CBD或AD=CD． 【解答】答案不唯一．① ∠ ABD= ∠ CBD．在 △ ABD和 △ CBD中， ∵ ， ∴△ ABD ≌△ CBD（SAS）；②AD=CD．在 △ ABD和 △ CBD中， ∵ ， ∴△ ABD ≌△ CBD（SSS）．故答案为： ∠ ABD= ∠ CBD或AD=CD． 8 ．如图，AB=AC，BD=CD，若 ∠ B=28°，则 ∠ C= ________ ． 【答案】 28° 【解答】连接线段AD在 △ ABD与 △ ACD中， ⇒△ ABD ≌△ ACD ⇒∠ B= ∠ C又 ∵∠ B=28° ∴∠ C=28°故答案为28° ) ( 9 ． 如图 ， 已知AB＝DC ， 则还需添加条件 _________ ， 才可用“SSS”说明△ABC≌△DCB. 【 答案】AC=DB 【解析】在 △ ABC和 △ DCB中， “ SSS ” 判定定理要求三边对应相等。已知AB = DC，同时BC是两个三角形的公共边，即BC = CB。为了满足 “ SSS ” ，还需要让第三组边对应相等，也就是AC和DB相等。所以添加的条件为AC = DB，此时在 △ ABC和 △ DCB中，有AB = DC，BC = CB，AC = DB，满足 “ SSS ” 判定定理，可以说明 △ ABC ≌△ DCB。 （三）解答题 10 ．如图，已知：AD=BC，AC=BD．求证：OD=OC． 证明：连接CD， ∵ AD=BC，AC=BD，CD=CD， ∴△ ACD ≌△ BDC（SSS） ∴∠ ACD= ∠ BDC， ∴ OD=OC．（等角对等边） 1 1 ．如图，已知 △ ABC ≌△ ADE，BC的边长线交AD于F，交AE于G， ∠ ACB=105°， ∠ CAD=10°， ∠ ADE=25°，求 ∠ DFB和 ∠ AGB的度数． 解： ∵△ ABC ≌△ ADE， ∴∠ ACB= ∠ AED， ∠ ABC= ∠ ADE， ∠ CAB= ∠ EAD． ∵∠ ADE=25°， ∴∠ ABC= ∠ ADE=25°． ∵∠ ACB=105°， ∴∠ CAB=180°﹣105°﹣25°=50°． ∴∠ DFB= ∠ DAB + ∠ ABC=50° + 10° + 25°=85°． ∠ AGB= ∠ ACB﹣ ∠ GAC=105°﹣50°﹣10°=45°． 1 2 ． 如图 ，C，F 是线段BE上的两点 ， △ ABF ≌△ DEC， 且AC＝DF. (1)你在图中还能找到几对全等的三角形？并说明理由． (2)∠ACE＝∠BFD吗？试说明你的理由． 解 ： (1)还能找到2对全等三角形 ， 分别是△ACF≌△DFC ， △ ABC ≌△ DEF. 理由如下： ∵△ ABF ≌△ DEC， ∴ AB ＝DE ，BF ＝EC ，AF ＝DC(全等三角形的对应边相等) ， ∴ BF ＋FC＝EC＋FC ， 即BC＝EF.在△ACF和△DFC中 ， ∵ ∴△ ACF ≌△ DFC (SSS)．在△ABC和△DEF中 ， ∵ ∴△ ABC ≌△ DEF (SSS)． (2)∠ACE＝∠BFD.理由如下： ∵△ ABC ≌△ DEF， ∴∠ ACB ＝∠DFE(全等三角形的对应角相等)． ∵∠ ACB ＋∠ACE＝180 ° ， ∠ DFE ＋∠BFD＝180 ° ， ∴∠ ACE ＝∠BFD(等角的补角相等)． ) ( 四．强化练习 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（30分） 1.如图,在△ABC中,AB=AC,BE=EC,AE的延长线交BC于点D,直接使用“SSS”可判定(　　) A.△ABD≌△ACD　　 B.△ABE≌△EDC C.△ABE≌△ACE　D.△BED≌△CED 【 答案】 C　 【 解析】 在△ABE与△ACE中, ∴△ABE≌△ACE(SSS).故选C. 2.如图,AB=AD,CB=CD,∠B=30°,∠BAD=46°,则∠ACD的度数是(　　) A.120°　　　　B.125° C.127°　　　　D.104° 【 答案】 C　 【 解析】 在△ABC和△ADC中, ∴△ABC≌△ADC(SSS),∴∠BAC=∠DAC= ∠BAD=23°,∠ACD=∠ACB,∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°,∴∠ACD=∠ACB=180°-30°-23°=127°.故选C. 3 .如图,人字梯中间一般会设计一“拉杆”,这样做的道理是(　　) A.两点之间,线段最短 B.垂线段最短 C.两直线平行,内错角相等 D.三角形具有稳定性 【 答案】 D　 【 解析】 人字梯中间一般设计一“拉杆”,是为了形成三角形,利用三角形具有稳定性来增加其稳定性.故选D. 4 .如图,点B,D,F,E在同一条直线上,且AB=AC,AD=AE,BD=CE, ∠DAF=65°,∠BAE=105°,则∠BEC的度数为(　　) A.70°　　　　B.75°　　　　C.80°　　　　D.85° 【 答案】 D　 【 解析】【 在△ABD和△ACE中, ∴△ABD≌△ACE(SSS),∴∠BAD=∠CAE = (∠BAE-∠DAF)=20°,∠ADB=∠AEC,∵∠ADB=∠DAE+∠AED,∠AEC=∠AED+∠BEC, ∴∠BEC=∠DAE=∠DAF+∠CAE=65°+20°=85°.故选D. ) ( 5. 如图，在△ABC和△DEB中，点C在BD边上，AC与BE交于F，若AB=DE，BC=EB，AC=DB，则∠ACB等于（ ） A. ∠D B. ∠E C. 2∠ABF D. ∠AFB 【答案】D 【解析】在△ABC与△DEB中， ，∴△ABC≌△DEB（SSS），∴∠ACB=∠EBD． ∵∠AFB是△BFC的外角，∴∠AFB=∠ACB+∠EBD，∴∠AFB=2∠ACB，即 ∠AFB=∠ACB， 故选：D． 6 ．为稳固电线杆，从A处拉了两根等长的铁丝AC，AD，且C，D到杆脚B的距离相等，则有(　　) A.∠1＞∠2 B．∠1＜∠2 C．∠1＝∠2 D．∠1与∠2大小不能确定 【 答案】 C 【 解析 】 ： 由题意知CB＝DB，在△ACB和△ADB中， ∴△ACB≌△ADB(SSS)， ∴∠1＝∠2. 7．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠AOB＝∠NCB，作图痕迹中，弧FG是(　　) A．以点C为圆心，OD为半径的弧 B．以点C为圆心，DM为半径的弧 C．以点E为圆心，OD为半径的弧 D．以点E为圆心，DM为半径的弧 【 答案】 D 【 解析 】 ： 作图痕迹中，弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧． 8．如图，AB＝CD，BC＝DA，E，F是AC上的两点，且AE＝CF，DE＝BF，那么图中全等三角形共有(　　) A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【 答案】 B 【 解析 】 ： 由题意可得△ABC≌△CDA，△ADE≌△CBF，△CDE≌△ABF. ) ( 9．如图，在△ACD和△BCE中，AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝55°，∠BCD＝155° AD与BE相交于点P，则∠BPD的度数为(　　) A.110°　 B．125°　 C．130°　 D．155° 【 答案】 C 【 解析 】 ： 在△ACD和△BCE中， ∴△ACD≌△BCE(SSS)，∴∠ACD＝∠BCE，∠A＝∠B，∴∠BCA＋∠ACE＝∠ACE＋∠ECD，∴∠ACB＝∠ECD＝ (∠BCD－∠ACE)＝ ×(155°－55°)＝50°，∵∠B＋∠ACB＝∠A＋∠APB，∴∠APB＝∠ACB＝50°， ∴∠BPD＝180°－50°＝130°. 10．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD＝CD，AB＝CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③四边形ABCD的面积＝ AC·BD；④AO＝OC.其中正确的结论有(　　) A．4个 B．1个 C．2个 D．3个 【 答案】 A 【 解析 】 ： 在△ABD与△CBD中， ∴△ABD≌△CBD(SSS)，故①正确； ∴∠ADB＝∠CDB，∵DA＝DC，∴AC⊥BD，AO＝OC，故②④正确；四边形ABCD的面积＝S △ADB ＋S △BDC ＝ ·DB·OA＋ ·DB·OC＝ AC·BD，故③正确． 二．填空题（30分） 11 .如图,在△ABC和△FED中,AC=FD,BC=ED,要利用“SSS”判定△ABC≌△FED,还需添加的条件是 　　　　 .  【 答案】 AB=FE(答案不唯一) 【 解析 】 当AB=FE时,在△ABC和△FED中, ∴△ABC≌△FED(SSS).答案不唯一. ) ( 12 .如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,∠B=105°,则∠D= 　　　　 °.  【 答案】 105 【 解析】 连结AC,在△ABC和△ADC中, ∴△ABC≌△ADC(SSS), ∴∠D=∠B=105°. 13. 如图,已知AB=CD,BC=DA,E,F是AC上的两点,且AE=CF,DE=BF,那么图中全等三角形有 　　　　 对.  【 答案】 3 【 解析 】 　在△ADC和△CBA中, ∴△ADC≌△CBA(SSS).在△ADE和△CBF中, ∴△ADE≌△CBF(SSS).∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,∴AF=CE.在△DEC和△BFA中, ∴△DEC≌△BFA(SSS).综上可知共有3对全等三角形. 1 4 ．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P 1 ，P 2 ，P 3 ，P 4 四个点中找出符合条件的点P，则点P有 _______. 【 答案】 3个 【 解析 】 ： 要使△ABP与△ABC全等，点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离，即3个单位长度，故点P的位置可以是P 1 ，P 3 ，P 4 三个，然后逐一验证，进行判断均符合． 1 5 ．如图，AC＝DF，BC＝EF，AD＝BE，∠BAC＝72°，∠F＝32°，则∠ABC＝ ____°. 【 答案】76 【 解析 】 ： ∵AD＝BE，∴AD＋AE＝BE＋AE，即AB＝DE，在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(SSS)，∴∠F＝∠C，∠ABC＝∠DEF＝180°－72°－32°＝76°. ) ( 16 ．如图 AD ＝ BC ， DC ＝ AB ， AE ＝ CF ，直接根据 “SSS” 可判定的全等三角形为 ________ ． 【 答案 】 △ ADC ≌△ CBA 【 解析 】 根据 “SSS” ，即 AD ＝ CB ， DC ＝ BA ， AC ＝ CA ，得 △ ADC ≌△ CBA. 17 ．如图，方格纸中 △ DEF 的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形，则图中与 △ DEF 全等的格点三角形最多有 _______. 【 答案】 8 【 解析 】 有 8 个与 △ DEF 全等的格点三角形： △ DAF ， △ BGQ ， △ CGQ ， △ NFH ， △ AFH ， △ CKR ， △ KRW ， △ CGR. 18. 如图 ， 在△ABC中 ，AB ＝AC ，D 是BC的中点 ，AC 的垂直平分线分别交AC ，AD，AB 于点E ，O，F， 则图中全等三角形的对数是 ______. 【 答案】4 【 解析 】∵D是BC的中点 ， ∴ BD ＝CD.又∵AB＝AC ，AD ＝AD ， ∴△ ABD ≌△ ACD (SSS) ， ∴∠ BDO ＝∠CDO＝90 ° . ∵ EF 垂直平分AC ， ∴ OA ＝OC ，AE ＝CE.又∵OE＝OE ， ∴△ AOE ≌△ COE (SSS)． ∵ BD ＝CD ， ∠ BDO ＝∠CDO ，O D ＝OD ， ∴△ BOD ≌△ COD (SAS)． ∵ AC ＝AB ，OA ＝OA ，OC ＝OB ， ∴△ AOC ≌△ AOB (S SS)．综上所述 ， 共有4对全等三角形． 19. 如图 ， 已知AB＝CD ，AD ＝BC ， ∠ 1 ＝40 ° ， ∠ 2 ＝80 ° ， 则∠A＝_____ ___ ． 【 答案 】 ．60 ° 　 【解析】 在△ABD和△CDB中 ，[ 所以△ABD≌△CDB( SSS ) ， 所以∠ABD＝∠1＝40 ° ， 所以∠A＝180 ° －∠ABD－∠2＝180 ° －∠1－∠2＝180 ° －40°－80°＝180 ° －120°＝60 ° . 2 0 ． 如图 ，AB ∥ CD， 以点A为圆心 ， 小于AC长为半径作圆弧 ， 分别交AB ，AC 于E ，F 两点；再分别以点E ，F 为圆心 ， 大于 EF 长为半径作圆弧 ， 两条圆弧交于点G ， 作射线AG交CD于点H.若∠C＝140 ° ， 则∠AHC的度数是 ________. 【 答案】 20 ° 【 解析 】　连结FG ，EG. ∵ AB ∥ CD， ∠ C ＝140 ° ， ∴∠ CAB ＝40° . 由题意及作图步骤可知：AF＝AE ，FG ＝EG.又∵AG＝AG ， ∴△ AFG ≌△ AEG (SSS)． ∴∠ FAG ＝∠EAG＝20 ° . ∴∠ AHC ＝∠EAG＝20°. ) ( 三．解答题（60分） 21. 如图，AB＝AC，AD＝AE，CD＝BE.求证：∠DAB＝∠EAC. 证明 ： 在△ADC和△AEB中， ∴△ADC≌△AEB(SSS).∴∠DAC＝∠EAB. ∴∠DAC－∠BAC＝∠EAB－∠BAC.∴∠DAB＝∠EAC. 22 .如图,工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等,但他手边没有量角器,只有一个刻度尺.他是这样操作的:①分别在BA和CA上取BE=CG;②在BC上取BD=CF;③量出DE的长为a米,FG的长为b米.若a=b,则说明∠B和∠C是相等的,他的这种做法合理吗?为什么? 解 ： 这种做法合理.理由:若在△BDE和△CFG中, 则△BDE≌△CFG(SSS),∴∠B=∠C. 23 . 如图工人师傅要检查人字梁的 ∠ B 和 ∠ C 是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的： ① 分别在 BA 和 CA 上取点 E ， G ，使 BE ＝ CG ； ② 在 BC 上取 BD ＝ CF ； ③ 量出 DE 的长为 a 米， FG 的长为 b 米． 若 a ＝ b ，则说明 ∠ B 和 ∠ C 是相等的．他的这种做法合理吗？为什么？ 解：合理．理由：因为若 a ＝ b ，则 DE ＝ FG. 在 △ BED 和 △ CGF 中，因为 所以 △ BED ≌△ CGF.(SSS) 所以 ∠ B ＝ ∠ C. 24 .如图,AB=DC,AC=DB. (1)求证:△ABC≌△DCB; (2)求证:∠ABD=∠DCA. 证明 　(1)在△ABC和△DCB中, ∴△ABC≌△DCB(SSS). (2)∵△ABC≌△DCB,∴∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC,∴∠ABD=∠DCA. ) ( 25 .如图,已知AB=AC,BD=CD. (1)求证:∠B=∠C;(2)若∠B=25°,∠A=2∠C,求∠BDC的度数. 解 ： (1)证明:如图,连结AD,并延长到E.在△ABD和△ACD中, ∴△ABD≌△ACD(SSS),∴∠B=∠C. （ 2） 由(1)得△ABD≌△ACD,∴∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,∵∠BAC=2∠C, ∴∠BAD=∠CAD=∠C=∠B=25°,∵∠BDE=∠B+∠BAD=50°,∠CDE=∠CAD+∠C=50°, ∴∠BDC=∠BDE+∠CDE=100°. 26 ．如图，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC. (1)求证：△ABC≌△DEF； (2)指出图中所有平行的线段，并说明理由． 解： (1) 证明： ∵BF＝CE，∴BF＋FC＝FC＋CE，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(SSS). (2)AB∥DE，AC∥DF.理由如下：∵△ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE， ∴AB∥DE，AC∥DF. 27 .如图①所示,AB=CD,AD=BC,O是AC的中点,过点O的直线分别与AD,BC相交于点M,N. (1)求证:MO=NO; (2)若将过点O的直线旋转至图②③的情况下,其他条件不变,那么(1)中的结论还成立吗?请说明理由. 解:(1)证明:在△ABC和△CDA中,∵ ∴△ABC≌△CDA,(SSS)∴∠ACB=∠CAD. 在△AOM与△CON中,∵ ∴△AOM≌△CON,(ASA)∴MO=NO. (2)结论仍然成立.理由:在图②中,由(1)知∠MAO=∠NCO.在△AOM与△CON中, ∵ ∴△AOM≌△CON,(ASA)∴MO=NO. 在图③中,由(1)知∠ACB=∠CAD,∴∠OCN=∠OAM.在△AOM与△CON中,∵ ∴△AOM≌△CON,(ASA)∴MO=NO. ) 学科网（北京）股份有限公司 $$