精品解析：2025年河南省驻马店市上蔡县八校联考中考三模数学试题

2024－2025学年度九年级中招第三次模拟试卷 数学 注意事项： 1.本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 如图，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的补角的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 为了解游客在郑州、开封和洛阳这三个城市旅游的满意度，下面四种收集数据的方案最合理的是（ ） A. 在郑州调查100名游客 B. 在开封调查500名游客 C. 在三个城市一共调查1000名游客 D. 在三个城市各调查1000名游客 5. 下列各式中，运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 6. “壁立千仞，无欲则刚．”“仞”是古时的一种长度计量单位，每仞长度大约，则数据“千仞”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 7. 关于一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ） A. B. 4 C. D. 1 8. 一次函数图象如图所示，若，，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. D. 5 9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，原点为的中点．将折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在平行四边形中，，动点P从A点出发，以的速度沿着移动一周．已知的面积y（单位：）与点P移动的时间x（单位：）之间的函数关系如图2所示，则b的值为（ ） A. 17 B. 19 C. 36 D. 37 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则_________． 12. 已知与互为相反数，并且，则__________． 13. 将数字1，2，3随机填入到右面的方格中，摆出的三位数是4的倍数的概率是__________． 14. 如图，在中，，点在上，与，相切，切点分别为点，．连接交于，若，的长为__________． 15. 正方形中，点是的中点，点在边上，且不与点，重合，当为等腰三角形时，的值为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 小明决定预约一所健身馆锻炼身体，现有甲、乙两所健身馆适合，小明收集了这两所健身馆过去10天的预约人数，并整理、描述、分析如下： ．甲健身馆： 日期 预约人数 ．乙健身馆： ．数据汇总统计表： 健身馆 平均数 众数 中位数 方差 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： （1）___________，___________； （2）综合以上信息，你认为小明应该预约哪所健身馆？请说明理由． 18. 定义：顶角等于的等腰三角形为豫式三角形．如图，中，且，则为豫式三角形． （1）请用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若（1）中所作的垂直平分线与边交于点，连接．求证：是豫式三角形． 19. 如图，斜边的端点坐标为，，以点为圆心，的长为半径画弧恰好经过原点，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）求图中阴影部分的面积． 20. 开封铁塔，又称“开宝寺塔”，是北宋时期（公元960－1127年）建造的一座木塔，被誉为“天下第一塔”．某小组用自制的菱形测高仪测量塔高，其边长为，为对角线的交点，．当测角仪的顶点，A与塔顶端点在同一条直线上时，系在顶点A处的铅垂线恰好过点和顶点．经测量点到的距离为72m，点到地面的距离为．求开封铁塔的高度． 21 某商店举行优惠促销活动，现有如下两种优惠方案可供选择（二选一）． 方案一：花费120元购买会员卡，之后若商品总价格在800元以内（包括800元），直接按商品总价格的八五折结算；若商品总价格超过800元，直接按商品总价格的七五折结算； 方案二：不购买会员卡，一律按商品价格的九五折结算． 已知小敏活动前不是该商店的会员，本次商品原总价为元． （1）当时，分别求出两种方案的最终结算价； （2）当时，选择两种方案最终结算价是否可能相等？（需说明理由） （3）若采用方案一更合算，直接写出此时取值范围． 22. 公路隧道是专供汽车运输行驶的通道，隧道截面可视为抛物线的一部分，隧道底部宽为，高为．为了避免隧道内行车容易疲劳，拟在隧道顶部安装上下竖直高度为的水平警示灯带．普通货车的高度大约为（载货后高度），为保证安全，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于．现以中点为原点，所在直线为轴，所在的直线为轴建立如图所示的直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）在安全的前提下，确定灯带的最大安装长度（即灯带顶部左右两侧的距离）． 23. 综合与实践课上，老师带领同学们开展以“平面直角坐标系下图形的变化”为主题的数学活动． （1）如图，将进行平移后得到，则线段所在直线与线段所在直线（两条线段不在同一直线上）的位置关系为___________；如图，将以点为旋转中心逆时针旋转，得到，则线段所在直线与线段所在直线的位置关系为__________； （2）探究迁移 如图，先将平移得到，再将以点为旋转中心逆时针旋转得到，线段所在直线与线段所在直线相交于点，锐角记为，请判断和的数量关系并说明理由； （3）拓展应用 如图，中，，，，将在轴上水平平移得到，平移后以点为旋转中心将逆时针旋转得到，当直线恰好经过线段的端点时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度九年级中招第三次模拟试卷 数学 注意事项： 1.本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：在数轴上，点-2到原点距离是2，所以-2的绝对值是2， 故选：A． 2. 如图，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了截面图形的判断，具有一定的空间想象力是解答本题的关键．根据圆锥体的立体图形判断即可． 【详解】解：用平行底面的平面截圆锥体，截面是圆形， 故选：B． 3. 已知，则的补角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了补角的定义，角度的计算，解题的关键是掌握相加等于的两个角互补，以及．根据补角的定义：相加等于的两个角互补，即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴的补角． 故选：C． 4. 为了解游客在郑州、开封和洛阳这三个城市旅游的满意度，下面四种收集数据的方案最合理的是（ ） A. 在郑州调查100名游客 B. 在开封调查500名游客 C. 在三个城市一共调查1000名游客 D. 在三个城市各调查1000名游客 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查数据收集方案的合理性，需考虑样本的代表性和全面性． 【详解】解：要比较三个城市的游客满意度，样本需覆盖所有城市且分配合理． 选项A：仅在郑州调查，无法反映开封、洛阳的情况，样本缺乏代表性． 选项B：仅在开封调查，样本量虽大但未涵盖其他城市，同样不具全面性． 选项C：三个城市共调查1000人，但未明确是否均匀分配．若分配不均（如某城市样本过少），可能导致结果偏差． 选项D：在三个城市各调查1000人，确保每个城市样本量充足且均匀，数据代表性最强，结果更可靠． 故选：D 5. 下列各式中，运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘以单项式，根据合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘以单项式法则逐项排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】、与不可以合并，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故符合题意； 、，故不符合题意； 故选：． 6. “壁立千仞，无欲则刚．”“仞”是古时的一种长度计量单位，每仞长度大约，则数据“千仞”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中， n为整数；确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：每仞为，千仞即， 数据“千仞”用科学记数法表示为． 故选：B． 7. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ） A. B. 4 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据，求得的值，即可作出选择．熟练掌握根的判别式的运用是解题的关键． 【详解】解：已知有两个相等的实数根， ， ， 故选：C． 8. 一次函数的图象如图所示，若，，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，解一元一次不等式组，根据一次函数的性质可得，求出m的范围，结合选项即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数图象过一，二，四象限， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∵， ∴的值可以是． 故选：B． 9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，原点为的中点．将折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，坐标与图形，掌握折叠的性质是解题的关键．根据矩形的性质和点的坐标，可得，，设，由折叠的性质得，，建立方程组，即可得到点的横坐标． 【详解】解：在矩形中，若点的坐标为， ，， 设且，， 由折叠性质得，，， ， ， ， ，代入得，， ，即， 解得或（舍去）， 点的横坐标为， 故选：D． 10. 如图1，在平行四边形中，，动点P从A点出发，以的速度沿着移动一周．已知的面积y（单位：）与点P移动的时间x（单位：）之间的函数关系如图2所示，则b的值为（ ） A. 17 B. 19 C. 36 D. 37 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了动点问题的函数图象，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等．首先由图②可得点P从点A运动到点B所用的时间为，再根据平行四边形的性质得，则点P从点B运动到点C所用的时间为，然后分别过点B，C作的垂线于E，交的延长与F，先求出，，然后证和全等得，据此可求出，于是可求出点P从点C运动到点A所用的时间为，进而可求解． 【详解】解：由图②可知点P从点A运动到点B所用的时间为， ∵点P运动的速度为， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ， ， ∴点P从点B运动到点C所用时间为：， ∴点P从点A运动到点C所用的时间为：， ∴； 分别过点B，C作的垂线于E，交的延长线于F，则，如图：     由图②可知：， ∴， 即：， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ， 由勾股定理的：， ∴点P从点C运动到点A所用的时间为：， ∴， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据，得到，整体代入法进行求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 12. 已知与互为相反数，并且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据与互为相反数，得到，跟组成方程组，解方程组求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 联立，解得：， ∴； 故答案为：． 13. 将数字1，2，3随机填入到右面的方格中，摆出的三位数是4的倍数的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求概率，列举法求出概率即可． 【详解】解：摆出的三位数共有，共6种情况，其中摆出的三位数是4的倍数的结果有共2种， ∴； 故答案为：． 14. 如图，在中，，点在上，与，相切，切点分别为点，．连接交于，若，的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质得到，再证明四边形为正方形得到，由于，所以，于是可计算出，接着计算出，然后证明，从而利用相似比可计算出． 【详解】解：连接，如图， 与，相切，切点分别为点，， ，， ， , 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， ， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 15. 正方形中，点是的中点，点在边上，且不与点，重合，当为等腰三角形时，的值为__________． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 根据为等腰三角形，分类讨论：①当时，②当时，③当时，逐一分析，即可解答． 【详解】解：①当时，如图 ∵正方形中，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ②当时，如图 设，，则， ∴， ∵， ∴， 即， ， 化简，得， ∴或（不符合题意，舍去） ∴， ∴． ③当时，此时点F与点D重合，不符合题意，舍去． 故答案为：1或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）1（2） 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，零次幂，算术平方根，完全平方公式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简负整数指数幂，零次幂，算术平方根，再运算加减，即可作答． （2）根据完全平方公式，单项式乘多项式进行展开，再合并同类项，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 小明决定预约一所健身馆锻炼身体，现有甲、乙两所健身馆适合，小明收集了这两所健身馆过去10天的预约人数，并整理、描述、分析如下： ．甲健身馆： 日期 预约人数 ．乙健身馆： ．数据汇总统计表： 健身馆 平均数 众数 中位数 方差 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： （1）___________，___________； （2）综合以上信息，你认为小明应该预约哪所健身馆？请说明理由． 【答案】（1），； （2）甲健身馆，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数和方差，掌握中位数、众数和方差有关定义是解题的关键． （）分别根据众数和中位数的定义解答即可； （）根据平均数，中位数，众数和方差的意义解答即可． 【小问1详解】 解：乙健身馆预约人数的众数， 把甲健身馆预约人数按从小到大的顺序排列，第个和第个分别为和， ∴甲健身馆预约人数中位数， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：小明应该预约甲健身馆， 理由：两所健身馆的平均数接近，但甲健身馆预约人数的众数和中位数均超过乙，而方差却小于乙健身馆，大概率会有更好的健身设备，所以小明应该预约甲健身馆． 18. 定义：顶角等于的等腰三角形为豫式三角形．如图，中，且，则为豫式三角形． （1）请用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若（1）中所作的垂直平分线与边交于点，连接．求证：是豫式三角形． 【答案】（1）作图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）由等腰三角形的性质可得，由线段垂直平分线的性质可得，推出，进一步可得，，根据豫式三角形的定义即可得证． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所作； 【小问2详解】 证明：如图， ∵，， ∴， ∵线段的垂直平分线与边交于点， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵在中，顶角，， ∴是豫式三角形． 【点睛】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定义及三角形外角的性质等知识点，解题的关键是理解新定义（豫式三角形）． 19. 如图，斜边的端点坐标为，，以点为圆心，的长为半径画弧恰好经过原点，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先证明是等边三角形，则，然后根据勾股定理求出，再由求解即可． 【小问1详解】 解：把点代入，得． ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：连接，如图所示． ∵点，， ∴，， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又根据勾股定理可知：， ∴阴影部分的面积 ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，等边三角形的判定与性质，勾股定理，扇形面积的求解，直角三角形斜边中线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 20. 开封铁塔，又称“开宝寺塔”，是北宋时期（公元960－1127年）建造的一座木塔，被誉为“天下第一塔”．某小组用自制的菱形测高仪测量塔高，其边长为，为对角线的交点，．当测角仪的顶点，A与塔顶端点在同一条直线上时，系在顶点A处的铅垂线恰好过点和顶点．经测量点到的距离为72m，点到地面的距离为．求开封铁塔的高度． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于，由题意得，，根据菱形的性质可得，根据勾股定理可得，由，可得，则可求出的长，进而可得的长． 【详解】解：如图，延长交于， 由题意得：，， 在菱形中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ， ， 解得：， ∴． 答：开封铁塔的高度为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 21. 某商店举行优惠促销活动，现有如下两种优惠方案可供选择（二选一）． 方案一：花费120元购买会员卡，之后若商品总价格在800元以内（包括800元），直接按商品总价格的八五折结算；若商品总价格超过800元，直接按商品总价格的七五折结算； 方案二：不购买会员卡，一律按商品价格的九五折结算． 已知小敏活动前不是该商店的会员，本次商品原总价为元． （1）当时，分别求出两种方案的最终结算价； （2）当时，选择两种方案的最终结算价是否可能相等？（需说明理由） （3）若采用方案一更合算，直接写出此时的取值范围． 【答案】（1）方案一：元；方案二：元 （2）不可能相等，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出一元一次不等式是解题的关键： （1）根据优惠方案，列出算式进行计算即可； （2）根据题意列出方程，求解后进行判断即可； （3）根据题意，列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：方案一：（元）； 方案二：（元）； 答：方案一：元；方案二：元； 【小问2详解】 不可能相等，理由如下： 由题意，当时，； 故不可能相等； 【小问3详解】 当时，，解得：（不符合题意）； 当时，，解得：， ∴； 故当时，采用方案一更合算． 22. 公路隧道是专供汽车运输行驶的通道，隧道截面可视为抛物线的一部分，隧道底部宽为，高为．为了避免隧道内行车容易疲劳，拟在隧道顶部安装上下竖直高度为的水平警示灯带．普通货车的高度大约为（载货后高度），为保证安全，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于．现以中点为原点，所在直线为轴，所在的直线为轴建立如图所示的直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）在安全的前提下，确定灯带的最大安装长度（即灯带顶部左右两侧的距离）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）由题意可得顶点的坐标为，，设抛物线的解析式为，利用待定系数法解答即可求解； （）由题意可得悬挂点的纵坐标，即悬挂点的纵坐标的最小值是，把代入（）所得函数解析式求出的值进而即可求解； 本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可得，顶点的坐标为，， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线过， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵普通货车高度大约为，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于， ∴悬挂点的纵坐标，即悬挂点的纵坐标的最小值是， 当时，， 解得， ∴灯带的最大安装长度是． 23. 综合与实践课上，老师带领同学们开展以“平面直角坐标系下图形的变化”为主题的数学活动． （1）如图，将进行平移后得到，则线段所在直线与线段所在直线（两条线段不在同一直线上）的位置关系为___________；如图，将以点为旋转中心逆时针旋转，得到，则线段所在直线与线段所在直线的位置关系为__________； （2）探究迁移 如图，先将平移得到，再将以点为旋转中心逆时针旋转得到，线段所在直线与线段所在直线相交于点，锐角记为，请判断和的数量关系并说明理由； （3）拓展应用 如图，中，，，，将在轴上水平平移得到，平移后以点为旋转中心将逆时针旋转得到，当直线恰好经过线段的端点时，直接写出的长． 【答案】（1）平行；垂直 （2），理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（）利用平移的性质和旋转的性质解答即可； （）利用平移和旋转的性质得到，，，然后根据外角性质即可求解； （）分直线恰好经过线段的端点点和直线恰好经过线段的端点点两种情况，分别画出图形利用平移和旋转的性质解答即可求解． 【小问1详解】 解：由平移的性质可得，， ∴线段所在直线与线段所在直线的位置关系为平行； 如图，设旋转后直线与交于点，与相交于点， 由旋转可得，，， ∵， ∴， 即， ∴, 即线段所在直线与线段所在直线的位置关系为垂直， 故答案为：平行；垂直； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，延长、交直线于点和点， 由平移和旋转可得，，，， ∴， ∵，， ∴； 【小问3详解】 解：当直线恰好经过线段端点点时，如图， ∵，，， ∴， ， 由平移和旋转得，，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； 当直线恰好经过线段的端点点时，如图， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了平移和旋转的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的外角，等边三角形的判定和性质，掌握平移和旋转的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $