精品解析：2026年河南郸城县巴集中学等三校中考调研数学试卷

2026年河南郸城县巴集中学等三校中考调研数学试卷 注意事项：共8页，三个大题，满分120分，时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列实数属于有理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年国庆中秋假期、河南省接待游客超8100万人次，旅游收入超539亿元，延续了文旅市场的繁荣景象．数据“8100万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【传统文化】 3. 鲁班锁、民间也称作孔明锁、八卦锁，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所创．如图是鲁班锁的其中一个部件、它的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 河南某校为了解八年级名学生对省内名胜的了解程度，随机抽取了名学生进行统计分析，下列描述正确的是 （ ） A. 全校学生是总体 B. 名学生对省内名胜的了解程度是个体 C. 样本容量是 D. 名学生对省内名胜的了解程度是样本 【新情景】 5. 如图1，跷跷板是常见的游戏设施，在其静止时，可以抽象出图2的模型，其中为跷跷板，垂直地面于，支撑杆的端点分别是，的中点，若末端离地面的高度为，则支撑杆的长度为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小军和小强分别用点A，B表示，小军在广场处的北偏西方向，的大小为，则图示状态下，小强在广场处的（ ） A. 南偏东方向 B. 南偏西方向 C. 南偏东方向 D. 南偏西方向 7. 关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【传统文化】 8. 《百骏图》是清代绘画珍品，被汴绣艺人以精湛技艺绣制于锦缎之上，生动再现了百匹骏马的形态与神韵，栩栩如生，令人赞叹不已．如图，汴绣作品绣面的主体部分是一个长为，宽为的矩形，经过装裱处理后的长与宽的比是，且四周边框的宽度相等，求边框的宽度．设边框的宽度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在2×2的网格内各有4个数字，各网格内数字都有相同的规律，c为（　　） A. 990 B. 9900 C. 985 D. 9850 【新考法】 10. 在学习两点间的距离、直线外一点到这条直线的距离的过程中，同学们积累了一定的研究经验，如果定义：平面内，一点与一个图形上所有点的最短距离叫作这个点到该图形的距离．如图1，正方形的边长为2，中心为点，在该正方形外有一点，且．当点绕着点顺时针旋转时，设旋转角的度数为，点到正方形的距离为，如图2是点在旋转过程中，随的变化而变化的函数图象，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 任意写出一个与单项式是同类项的单项式：__________． 12. 如图所示，在数轴上点分别表示数，1，若点P为线段上不与端点重合的动点，且表示的数为，则的取值范围是________． 13. 人类的性别由一对染色体决定，称为性染色体．女性的性染色体是一对同型的染色体、用表示，男性的性染色体是一对异型的染色体，用表示，每个人的成对染色体只有一个能遗传给后代，且可能性相等．则一对夫妇的第一个孩子是女孩的概率是_______． 14. 如图，扇形的圆心角，将扇形沿的平分线平移得到扇形，与的中点重合时平移停止，若，则阴影部分的面积为___________． 15. 如图，中，．D为上一动点，连接，的垂直平分线分别交于点E，F，则线段长的最大值是________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、化简 （1）计算：； （2）化简：． 17. 甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各名学生进入综合素质展示环节．为了了解两所学校学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． A．甲学校学生成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：， ： B．甲学校学生成绩在这一组的是： 80 80 81 81.5 82 83 83 84 85 86 86.5 87 87 88 89 89 C．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下表： 平均数／分 中位数／分 众数／分 优秀率 83.3 84 78 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲学校抽取的学生的成绩的中位数是____________分； （2）根据上述信息，你认为哪所学校综合素质展示的水平更高，并说明理由；（至少从两个不同的角度说明） （3）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选人志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到___________分的学生才可以入选． 18. 如图，在中，分别为边的中点． （1）请用无刻度的直尺和圆规在直线的右侧找一点，使得四边形是平行四边形；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（）的条件下，连接，若，求证：． 19. 小西和几位同学利用课后服务的时间测量市区游乐场摩天轮的高．小西乘坐座舱，小亮站在摩天轮正下方处（身高不计），于点（表示地面）．当摩天轮转动到如图所示的位置时，小亮看小西的视线刚好与相切于点，并测得的仰角为．已知摩天轮最低处离地面的竖直距离为，图中所有点均在同一平面内，求摩天轮最高处到地面的距离．（结果精确到．参考数据：，，） 20. 活力课堂：为创新教学形式，激发学生学习热情，打造活力课堂，本县某校李老师在数学课上设计了如下活动： 问题情境：在数学实践课上，老师让同学们利用一架天平和一个10g的砝码，探究 如何称出1个乒乓球和1个纸杯的质量． 操作探究：下面是“智慧小组”的探究过程． 准备物品：①若干个大小相同的乒乓球（质量相同）． ②若干个大小相同的纸杯（质量相同）． 开始探究：设每个乒乓球的质量是xg，每个纸杯的质量是yg． 天平左边 天平右边 天平状态 天平左边的总质量（g） 天平右边的总质量（g） 记录1 8个乒乓球和1个砝码 14个纸杯 平衡 _______ _______ 记录2 3个乒乓球 4个纸杯 平衡 _______ _______ 解决问题： （1）①补全表格；（用含x，y的式子表示） ②分别求出1个乒乓球的质量和1个纸杯的质量． 拓展设计： （2）请补全下表，使得天平平衡时，乒乓球的个数为一次性纸杯个数的2倍． 天平左边 天平右边 天平状态 记录3 ________个乒乓球 砝码和________个纸杯 平衡 21. 通过对一次函数、反比例函数的学习，我们积累了一定的经验．下面我们借鉴以往研究函数的经验，对的图象和性质进行探索． 【取值范围】 自变量的取值范围是不为零的全体实数； 【列表计算】 与的几组对应值列表如下： … 1 2 3 4 … … 2 … （1）表格中____________，___________； 【描点画图】 （2）请在下图中补全函数的另一部分图象； 【性质探究】 （3）观察图象，写出函数两条不同的性质； 【拓展延伸】 （4）当直线与函数的图象有三个交点时，直接写出的取值范围． 22. 竖直上抛的物体距离地面的高度与运动时间的关系可以近似地用公式表示，其中是抛出时距离地面的高度，是抛出时的速度．一个小球在离地面处以的速度被竖直向上抛起，小球距离地面的高度与运动时间的关系如图所示（不完整）． （1）直接写出与的关系式； （2）求小球运动时的离地高度； （3）小东观察小球运动，若标记点离地面的高度为．求小球先后两次经过标记点的间隔时间． 23. 综合与实践 在矩形中，点是射线上一个动点，连接，过点作于，过点作于． （1）观察猜想 如图1，若，点在边上（不与点、重合）． ①写出图1中一个与相等的角：_______________； ②用等式表示线段、、的数量关系：_______________； （2）类比探究 如图2，若，点在的延长线上，请依据题意补全图形（无需尺规作图），用等式写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用 若，，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河南郸城县巴集中学等三校中考调研数学试卷 注意事项：共8页，三个大题，满分120分，时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列实数属于有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据有理数的定义，整数和分数统称有理数，无限不循环小数是无理数，只需对每个选项化简后判断即可得到答案． 【详解】解：A选项，是无限不循环小数，属于无理数，不符合要求． B选项，中是开方开不尽的数，是无理数，则是无理数，不符合要求． C选项，，是无理数，则是无理数，不符合要求． D选项，，是分数，属于有理数，符合要求． 2. 2025年国庆中秋假期、河南省接待游客超8100万人次，旅游收入超539亿元，延续了文旅市场的繁荣景象．数据“8100万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示形式为，其中，当原数的绝对值大于1时，为正整数，确定和的值，即可求解． 【详解】解：8100万． 【传统文化】 3. 鲁班锁、民间也称作孔明锁、八卦锁，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所创．如图是鲁班锁的其中一个部件、它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由立体图形，可知它的左视图应该为一个矩形（即圆柱的左视图），中间有一道虚线（即凹下去那部分，左视图看不到，用虚线表示）， 四个选项中，只有B选项符合题意． 4. 河南某校为了解八年级名学生对省内名胜的了解程度，随机抽取了名学生进行统计分析，下列描述正确的是 （ ） A. 全校学生是总体 B. 名学生对省内名胜的了解程度是个体 C. 样本容量是 D. 名学生对省内名胜的了解程度是样本 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查个体，总体，样本，样本容量的定义，根据个体，总体，样本，样本容量的定义即可得到答案，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：全校学生对省内名胜的了解程度是总体，原选项描述错误，不符合题意； 、名学生对省内名胜的了解程度是样本，原选项描述错误，不符合题意； 、样本容量是，原选项描述正确，符合题意； 、名学生对省内名胜的了解程度是样本，原选项描述错误，不符合题意； 故选：． 【新情景】 5. 如图1，跷跷板是常见的游戏设施，在其静止时，可以抽象出图2的模型，其中为跷跷板，垂直地面于，支撑杆的端点分别是，的中点，若末端离地面的高度为，则支撑杆的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴． 6. 如图，小军和小强分别用点A，B表示，小军在广场处的北偏西方向，的大小为，则图示状态下，小强在广场处的（ ） A. 南偏东方向 B. 南偏西方向 C. 南偏东方向 D. 南偏西方向 【答案】A 【解析】 【详解】解：如图 由题意得，， ∴ ∴ ∴， ∴小强在广场处的南偏东方向． 7. 关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义得到二次项系数不为0，再结合方程有实数根，利用根的判别式非负求出a的取值范围，最后结合选项判断即可． 【详解】解：∵ 是关于的一元二次方程， ∴ ， ∵ 方程有实数根， ∴ 解得 结合选项，只有 满足条件． 【传统文化】 8. 《百骏图》是清代绘画珍品，被汴绣艺人以精湛技艺绣制于锦缎之上，生动再现了百匹骏马的形态与神韵，栩栩如生，令人赞叹不已．如图，汴绣作品绣面的主体部分是一个长为，宽为的矩形，经过装裱处理后的长与宽的比是，且四周边框的宽度相等，求边框的宽度．设边框的宽度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据装裱后的长与宽的比是，且四周边框的宽度相等，列出方程即可． 【详解】解：设边框的宽度为，根据题意可列方程为． 9. 如图，在2×2的网格内各有4个数字，各网格内数字都有相同的规律，c为（　　） A. 990 B. 9900 C. 985 D. 9850 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查数字规律，根据方格先求的a，进一步求得b，则可求得c． 【详解】解：观察网格图中的数字可以发现： ， ， ， 故选：D． 【新考法】 10. 在学习两点间的距离、直线外一点到这条直线的距离的过程中，同学们积累了一定的研究经验，如果定义：平面内，一点与一个图形上所有点的最短距离叫作这个点到该图形的距离．如图1，正方形的边长为2，中心为点，在该正方形外有一点，且．当点绕着点顺时针旋转时，设旋转角的度数为，点到正方形的距离为，如图2是点在旋转过程中，随的变化而变化的函数图象，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质和函数的图象求出函数的最大值和最小值，即a和b的值，再代入求解． 【详解】解：如图，连接， ∵正方形的边长为2，中心为点，，， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形，为等腰直角三角形， ∴，此时y值最大，， 即当旋转，即时，经过D，此时y最小，为， ∴， ∴． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 任意写出一个与单项式是同类项的单项式：__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，可知只要改变单项式的系数，即可得到它的同类项，例如． 12. 如图所示，在数轴上点分别表示数，1，若点P为线段上不与端点重合的动点，且表示的数为，则的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查由数轴上点的位置列不等式组求不等组解集，先根据数轴上点的位置关系，确定各个点表示的数的不等关系，由不等式性质求解即可得到答案．数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示，可知， ， 即， 故答案为：． 13. 人类的性别由一对染色体决定，称为性染色体．女性的性染色体是一对同型的染色体、用表示，男性的性染色体是一对异型的染色体，用表示，每个人的成对染色体只有一个能遗传给后代，且可能性相等．则一对夫妇的第一个孩子是女孩的概率是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，属于概率基础知识，比较简单． 利用概率公式求解即可． 【详解】解：一对夫妇的第一个孩子有女孩和男孩两种情况， 所以一对夫妇的第一个孩子是女孩的概率是， 故答案为：． 14. 如图，扇形的圆心角，将扇形沿的平分线平移得到扇形，与的中点重合时平移停止，若，则阴影部分的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点D作，根据阴影部分的面积为，解答即可． 【详解】解：如图，连接，过点D作， ∵，将扇形沿的平分线平移得到扇形， ∴， ∵与的中点重合， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 15. 如图，中，．D为上一动点，连接，的垂直平分线分别交于点E，F，则线段长的最大值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角所对直角边是斜边的一半以及垂线段最短的性质，将BF的最大值转化为AF最小是解决本题的关键，属于压轴题． 先求出的长，过点F作于H，连接，若要使最大，则需要最小，然后根据垂线段最短列式求解即可． 【详解】解：连接， ∵中，， ∴， ∵垂直平分， ∴， 过点F作于H，若要使最大，则需要最小， 设则， ∵（垂线段最短） 解得． ∴最小值为，的最大值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、化简 （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各名学生进入综合素质展示环节．为了了解两所学校学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． A．甲学校学生成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：， ： B．甲学校学生成绩在这一组的是： 80 80 81 81.5 82 83 83 84 85 86 86.5 87 87 88 89 89 C．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下表： 平均数／分 中位数／分 众数／分 优秀率 83.3 84 78 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲学校抽取的学生的成绩的中位数是____________分； （2）根据上述信息，你认为哪所学校综合素质展示的水平更高，并说明理由；（至少从两个不同的角度说明） （3）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选人志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到___________分的学生才可以入选． 【答案】（1）81.25 （2）乙，理由见解析 （3）88 【解析】 【分析】（1）先根据样本容量50确定中位数是第25、26位数据的平均数，再通过频数分布直方图定位这两个数据所在组，最后结合该组数据算出中位数； （2）通过对比两校的中位数、优秀率，说明乙校在整体成绩的中间水平、或高分段占比上均优于甲校，得出乙校水平更高的结论； （3）先计算入选比例，再转化为样本中需选取的前15名，最后按从高到低排序找到第15名的成绩，即为预估的最低入选分数． 【小问1详解】 解：甲校抽取了名学生，中位数是第25、26个数据的平均数， 由频数分布直方图可知，按从小到大排列第25、26个数据都在这一组内， 根据信息B，甲学校学生成绩从小到大排列后位于第25位，26位分别为81、81.5， ∴甲学校学生成绩的中位数为（分）； 【小问2详解】 解：乙学校综合素质展示的水平更高，理由如下： ①乙校中位数为84分，高于甲校的中位数81.25分，说明乙校有一半以上的学生成绩高于84分，整体水平更优； ②甲校抽取的名学生中，优秀人数为20人，故甲校优秀率约为， 乙校的优秀率为 ，高于甲校的 ，说明乙校高分段学生更多； 【小问3详解】 解：由题意，每所学校名学生中前名入选，占比为 ， 抽取的名学生中，需选取前名， 将甲学校学生成绩按从大到小排列，第15名的成绩为88分， ∴预估甲学校分数至少达到88分的学生才可以入选． 18. 如图，在中，分别为边的中点． （1）请用无刻度的直尺和圆规在直线的右侧找一点，使得四边形是平行四边形；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（）的条件下，连接，若，求证：． 【答案】（1）作图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（）连接并延长，在延长线上截取，由三角形中位线的性质可知，故四边形是平行四边形； （）如图，连接，可证四边形是菱形，即得是的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质即可求证； 本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示，四边形即为所求； 【小问2详解】 证明：如图，连接， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴是的垂直平分线， ． 19. 小西和几位同学利用课后服务的时间测量市区游乐场摩天轮的高．小西乘坐座舱，小亮站在摩天轮正下方处（身高不计），于点（表示地面）．当摩天轮转动到如图所示的位置时，小亮看小西的视线刚好与相切于点，并测得的仰角为．已知摩天轮最低处离地面的竖直距离为，图中所有点均在同一平面内，求摩天轮最高处到地面的距离．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】摩天轮最高处到地面的距离为 【解析】 【分析】设交于点，连接．在中，解直角三角形即可求解． 【详解】解：设交于点，连接． 由题意可知，，，， ， 是的切线，为切点， ， ， 设的半径为， 在中，， 而，即， 故， 解得， ． 答：摩天轮最高处到地面的距离为． 20. 活力课堂：为创新教学形式，激发学生学习热情，打造活力课堂，本县某校李老师在数学课上设计了如下活动： 问题情境：在数学实践课上，老师让同学们利用一架天平和一个10g的砝码，探究 如何称出1个乒乓球和1个纸杯的质量． 操作探究：下面是“智慧小组”的探究过程． 准备物品：①若干个大小相同的乒乓球（质量相同）． ②若干个大小相同的纸杯（质量相同）． 开始探究：设每个乒乓球的质量是xg，每个纸杯的质量是yg． 天平左边 天平右边 天平状态 天平左边的总质量（g） 天平右边的总质量（g） 记录1 8个乒乓球和1个砝码 14个纸杯 平衡 _______ _______ 记录2 3个乒乓球 4个纸杯 平衡 _______ _______ 解决问题： （1）①补全表格；（用含x，y的式子表示） ②分别求出1个乒乓球的质量和1个纸杯的质量． 拓展设计： （2）请补全下表，使得天平平衡时，乒乓球的个数为一次性纸杯个数的2倍． 天平左边 天平右边 天平状态 记录3 ________个乒乓球 砝码和________个纸杯 平衡 【答案】（1）①，，，；②1个乒乓球的质量是4克，1个纸杯的质量为3克；（2）4，2 【解析】 【分析】本题主要考查实际问题与一元一次方程 ，实际问题与二元一次方程，列代数式； （1）①由题目中的数量关系列代数式即可； ②根据题意列出二元一次方程组，计算求解即可； （2）一次性纸杯个数为，乒乓球的个数为，根据题意列出一元一次方程，计算求解即可． 【详解】解：（1）①根据题意，8个乒乓球和1个砝码的总质量为：， 14个纸杯的总质量为：， 3个乒乓球的总质量为：， 4个纸杯的总质量为：； 故答案为：，，，． ②根据题意，， 解得， ∴1个乒乓球的质量是4克，1个纸杯的质量为3克； （2）设：一次性纸杯个数为，乒乓球的个数为， ∴， 解得， ， ∴一次性纸杯个数为2，乒乓球的个数为4． 故答案为：4，2． 21. 通过对一次函数、反比例函数的学习，我们积累了一定的经验．下面我们借鉴以往研究函数的经验，对的图象和性质进行探索． 【取值范围】 自变量的取值范围是不为零的全体实数； 【列表计算】 与的几组对应值列表如下： … 1 2 3 4 … … 2 … （1）表格中____________，___________； 【描点画图】 （2）请在下图中补全函数的另一部分图象； 【性质探究】 （3）观察图象，写出函数两条不同的性质； 【拓展延伸】 （4）当直线与函数的图象有三个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；0 （2）见解析 （3）当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，函数值始终大于0；当时，函数值始终小于0 （4） 【解析】 【分析】（1）代入函数表达式可得m，n的值； （2）先描点，在连线，画出平滑的曲线即可； （3）通过观察图像分析函数的性质（如对称性、增减性、最值）； （4）直线与函数的图象有三个交点等价于方程有三个不同的实数根，即有三个不同的解． 【小问1详解】 解：， 当时，， 当时，， 【小问2详解】 解：如图所示： 【小问3详解】 解：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，函数值始终大于0；当时，函数值始终小于0； 【小问4详解】 解：由题意可知，要求直线与函数的图象有三个交点， 当时，，联立得， ，即， 因为，由基本不等式得， ，当且仅当时取等号， 所以当时，直线与部分的图象有两个交点， 当时，，联立得， ，即， 令，在时单调递减，值域为整个实数集， 故直线与部分的图像恒有一个交点， 综上所述，要使一共有三个交点，需满足． 22. 竖直上抛的物体距离地面的高度与运动时间的关系可以近似地用公式表示，其中是抛出时距离地面的高度，是抛出时的速度．一个小球在离地面处以的速度被竖直向上抛起，小球距离地面的高度与运动时间的关系如图所示（不完整）． （1）直接写出与的关系式； （2）求小球运动时的离地高度； （3）小东观察小球运动，若标记点离地面的高度为．求小球先后两次经过标记点的间隔时间． 【答案】（1）； （2）小球运动时的离地高度为； （3）小球先后两次经过标记点的间隔时间为． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，当时，，把代入，可得，即可得与的关系式； （2）把代入与的关系式，即可得小球运动时的离地高度； （3）把代入与的关系式，可得，，即可得小球先后两次经过标记点的间隔时间． 【小问1详解】 解：根据题意可得，当时，， 把代入， 可得， ∴与的关系式为． 【小问2详解】 解：当时，． ∴小球运动时的离地高度为． 【小问3详解】 解：当时，， 解得，， ∴， ∴小球先后两次经过标记点的间隔时间为． 23. 综合与实践 在矩形中，点是射线上一个动点，连接，过点作于，过点作于． （1）观察猜想 如图1，若，点在边上（不与点、重合）． ①写出图1中一个与相等的角：_______________； ②用等式表示线段、、的数量关系：_______________； （2）类比探究 如图2，若，点在的延长线上，请依据题意补全图形（无需尺规作图），用等式写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用 若，，请直接写出的值． 【答案】（1）①（答案不唯一）② （2），理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用同角的余角相等，，即可得到结果； （2）利用AAS可证得，即可推出； （3）分在左侧和右侧两种情况讨论，利用线段的比例关系、勾股定理、三角形相似（全等），求解的值． 【小问1详解】 解：①（答案不唯一）②， 理由如下： 因为四边形是矩形，， 所以，， 因为于，于， 所以，，， 所以，， 在和中， ， 所以， 所以，， 因为， 所以． 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，过点作于，过点作于， 因为四边形是矩形，， 所以，， 因为于，于， 所以，，， 所以， 在和中， ， 所以， 所以，， 因为， 所以． 【小问3详解】 解：分两种情况： 当在左侧时， 因为，， 设，，， 所以， 在中，， ， 所以，则， 在中，， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， ， ， ． 当在右侧时， 因为，， 设，，， 所以， 在中，， ， 所以，则， 在中，， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以，即 解得， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $