精品解析：2025年辽宁省铁岭市开原市中考三模数学试题

2024—2025学年度下学期随堂练习 九年数学（五） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作元，那么支出5元记作（ ） A. 元 B. 0元 C. 元 D. 元 2. 将“盛京韵，沈阳情”六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体上，与“盛”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 京 B. 沈 C. 阳 D. 情 3. 我国自主研制的全球最大集装箱船“地中海泰莎”号的甲板面积近似于4个标准足球场，可承载吨的货物，数字用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列整式与为同类项的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 6. 关于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图像位于第二、四象限 B. 图像与坐标轴有公共点 C. 图像所在的每一个象限内，随的增大而减小 D. 图像经过点，则 7. 如图，是的外接圆，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（ ） A. B. C. D. 9. 定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在菱形中，，则___________． 12. 如果关于x的方程x2﹣4x+m=0有两个相等的实数根，那么m的值是____． 13. 一个袋子中装有两个标号为“1”“2”的球．从中任意摸出一个球，记下标号后放回并再次摸出一个球，记下标号后放回．则两次标号之和为3的概率为_______________． 14. 如图，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线，交于点F，则的度数是_____________． 15. 如图，在中，，，D为上一点，且满足，过D作交延长线于点E，则________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 17. 为了进一步丰富校园文体活动，某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的单价多15元． （1）求：足球和排球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100个，但要求其总费用不超过7550元，那么学校最多可以购买多少个足球？ 18. 为了增强学生对“低碳生活”理念的了解，某校准备开展“绿色生活”主题宣传活动，邀请专家围绕以下五个主题开展讲座： A.节能家电；B．绿色出行；C．垃圾分类；D．光伏能源；E．植树造林 为了解学生的兴趣方向，在随机抽取的部分学生中下发如图所示的调查问卷，所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图． “绿色生活”主题讲座学生兴趣调查问卷 请在下列选项中选择您最感兴趣的讲座主题，并在“□”中打“√”（每人只能选择一项）．感谢您的参与！ A.节能家电□ B.绿色出行□ C.垃圾分类□ D.光伏能源□ E．植树造林□ “绿色生活”主题讲座学生兴趣调查问卷统计图 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了多少名学生？请补全条形统计图； （2）求扇形统计图中领域“E”对应扇形的圆心角的度数； （3）学校共有480名学生参加本次活动，地点安排在两个多功能厅．每场报告时间为60分钟．由下面的活动日程表可知，A和D两场报告时间与场地已经确定．在确保听取报告的每名同学都有座位的情况下，请你合理安排B，C，E三场报告，补全此次活动日程表（写出一种方案即可），并说明理由． “绿色生活”主题宣传活动日程表 时间段 1号多功能厅（150座） 2号多功能厅（100座） A D 设备检修暂停使用 19. 小莹打算自主创业开一家花店，她了解到某种花卉近期售价与日销售量的市场规律保持不变，于是她到附近A，B，C，D，E，5家花卉店对该种花卉的售价与日销售量情况作了市场调查，并记录了如下数据： 花店 售价（元/盆） 日销售量（盆） A 20 50 B 30 30 C 18 54 D 22 46 E 26 38 （1）根据以上信息，求出日销售量与售价之间的一次函数关系式； （2）小莹欲购进进价为15元/盆的该种花卉在当地市场进行销售，在销售该种花卉中， ①当每盆售价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ ②考虑到花店新开业，为了吸引顾客，让利于民，小贵打算在销售过程中每天获得400元的利润，应如何定价？ 20. 一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为，点在同一条直线上，测得，，其中一段支撑杆，另一段支撑杆，求支撑杆上的点到水平地面的距离是多少?（用四舍五入法对结果取整数，参考数据） 21. 如图，在中，以为直径的交于点，垂足为． 的两条弦相交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求扇形的面积． 22. 综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）操作判断 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）． （2）性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若，，，求的长（用含m，n，的式子表示）． （3）拓展应用 如图3，在中，，，，分别在边，上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长． 23. 综合与探究 【定义】对于y关于x的函数，函数在范围内有最大值m和最小值n，则称为极差值，记作． 【示例】如图，根据函数的图象可知，在范围内，该函数的最大值是4，最小值为，即． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）直接写出反比例函数的的值为________； （2）已知二次函数的图象经过点，求该函数的的值． （3）已知函数，函数的图象经过点，且一个函数的相等，求k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度下学期随堂练习 九年数学（五） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作元，那么支出5元记作（ ） A. 元 B. 0元 C. 元 D. 元 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的意义可进行求解． 【详解】解：由把收入5元记作元，可知支出5元记作元； 故选A． 【点睛】本题主要考查相反数的意义，熟练掌握相反数的意义是解题的关键． 2. 将“盛京韵，沈阳情”六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体上，与“盛”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 京 B. 沈 C. 阳 D. 情 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查正方体相对面上的字，根据正方体相对面之间间隔一个正方形解答． 【详解】解：与“盛”字所在面相对面上的汉字是“阳”， 故选：C． 3. 我国自主研制的全球最大集装箱船“地中海泰莎”号的甲板面积近似于4个标准足球场，可承载吨的货物，数字用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故选：A． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 4. 下列整式与为同类项的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，结合选项求解． 【详解】解：由同类项的定义可知，a的指数是1，b的指数是2． A、a的指数是2，b的指数是1，与不是同类项,故选项不符合题意； B、a的指数是1，b的指数是2，与是同类项,故选项符合题意； C、a的指数是1，b的指数是1，与不是同类项,故选项不符合题意； D、a的指数是1，b的指数是2，c的指数是1，与不是同类项,故选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了同类项，判断同类项只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同． 5. 如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形的性质，正多边形的外角和，先求解正多边形的1个内角度数，得到正多边形的1个外角度数，再结合外角和可得答案. 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴正边形的一个外角为， ∴的值为； 故选A 6. 关于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图像位于第二、四象限 B. 图像与坐标轴有公共点 C. 图像所在的每一个象限内，随的增大而减小 D. 图像经过点，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质逐项排查即可解答． 【详解】解：A．的图像位于第一、三象限，故该选项不符合题意； B． 的图像与坐标轴没有有公共点，故该选项不符合题意； C． 的图像所在的每一个象限内，随的增大而减小，故该选项符合题意； D． 由的图像经过点，则，计算得或，故该选项不符合题意． 故选C． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，明确题意、正确利用反比例函数的性质是解答本题的关键． 7. 如图，是的外接圆，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，首先根据圆周角定理得到，然后利用半径相等得到，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，等边对等角和三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 8. 对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将①式代入②式消去去括号即可求得结果． 【详解】解：将①式代入②式得， ， 故选B． 【点睛】本题考查了代入消元法求解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键． 9. 定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数求最值，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求最值即可． 【详解】解：由题意得，， 即， 当时，函数的最小值为． 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在菱形中，，则___________． 【答案】##57度 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，利用菱形性质得出，利用等边对等角得出，然后结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如果关于x的方程x2﹣4x+m=0有两个相等的实数根，那么m的值是____． 【答案】4． 【解析】 【分析】一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式△=b2-4ac=0，即可求m值． 【详解】依题意． ∵方程x2﹣4x+m=0有两个相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4m=0， 解得：m=4． 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查的是一元二次方程的根判别式，当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实根，当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实根，当△=b2-4ac＜0时，方程无实数根． 13. 一个袋子中装有两个标号为“1”“2”的球．从中任意摸出一个球，记下标号后放回并再次摸出一个球，记下标号后放回．则两次标号之和为3的概率为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】先画出树状图，从而可得两次摸球的所有等可能的结果，再找出两次标号之和为3的结果，然后利用概率公式求解即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，两次摸球的所有等可能的结果共有4种，其中，两次标号之和为3的结果有2种， 则两次标号之和为3的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键． 14. 如图，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线，交于点F，则的度数是_____________． 【答案】##18度 【解析】 【分析】先根据作图方法得到CF是线段AD的垂线，则∠AFC=90°，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出∠BAC的度数，即可得到答案． 【详解】解：由作图方法可知CF是线段AD的垂直， ∴∠AFC=90°， ∵∠B=54°，AB=AC， ∴∠ACB=∠B=54°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=72°， ∴∠ACF=90°-∠BAC=18°， 故答案为：18°． 【点睛】本题主要考查了线段垂线的尺规作图，等边对等角，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，熟知相关知识是解题的关键． 15. 如图，在中，，，D为上一点，且满足，过D作交延长线于点E，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，平行线分线段成比例，先设，根据，，得出再分别用勾股定理求出，故，再运用解直角三角形得出，，代入，化简即可作答． 【详解】解：如图，过点A作垂足为H, ∵，， 设， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得 ∴，， ∴，， ∴， 过点C作垂足为M， ∴，， ∵,， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、分式的化简求值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先化简二次根式，计算特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，再根据特殊角的三角函数值求出的值，代入化简后的式子计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， 当时，原式． 17. 为了进一步丰富校园文体活动，某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的单价多15元． （1）求：足球和排球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100个，但要求其总费用不超过7550元，那么学校最多可以购买多少个足球？ 【答案】（1）足球的单价是80元，排球的单价是65元； （2）学校最多可以购买70个足球． 【解析】 【分析】（1）设足球的单价是x元，则排球的单价是元，根据数量=总价÷单价，结合用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设学校可以购买m个足球，则可以购买个足球，利用总价=单价×数量，结合购买足球和排球的总费用不超过7550元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设足球的单价是x元，则排球的单价是元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：足球的单价是80元，排球的单价是65元； 【小问2详解】 解：设学校可以购买m个足球，则可以购买个排球， 依题意得：， 解得：． 又∵m为正整数， ∴m可以取的最大值为70． 答：学校最多可以购买70个足球． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 18. 为了增强学生对“低碳生活”理念的了解，某校准备开展“绿色生活”主题宣传活动，邀请专家围绕以下五个主题开展讲座： A.节能家电；B．绿色出行；C．垃圾分类；D．光伏能源；E．植树造林 为了解学生的兴趣方向，在随机抽取的部分学生中下发如图所示的调查问卷，所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图． “绿色生活”主题讲座学生兴趣调查问卷 请在下列选项中选择您最感兴趣的讲座主题，并在“□”中打“√”（每人只能选择一项）．感谢您的参与！ A.节能家电□ B.绿色出行□ C.垃圾分类□ D.光伏能源□ E．植树造林□ “绿色生活”主题讲座学生兴趣调查问卷统计图 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了多少名学生？请补全条形统计图； （2）求扇形统计图中领域“E”对应扇形的圆心角的度数； （3）学校共有480名学生参加本次活动，地点安排在两个多功能厅．每场报告时间为60分钟．由下面的活动日程表可知，A和D两场报告时间与场地已经确定．在确保听取报告的每名同学都有座位的情况下，请你合理安排B，C，E三场报告，补全此次活动日程表（写出一种方案即可），并说明理由． “绿色生活”主题宣传活动日程表 时间段 1号多功能厅（150座） 2号多功能厅（100座） A D 设备检修暂停使用 【答案】（1）120人， 补全的条形统计图如图所示： （2） （3） 解：8：00－9：00 2号E 9：30－10：30 2号B 11：00－12：00 1号C 理由：B类人数为：（人）； C类人数为：（人）； E类人数为：（人） ∵，确保每名同学都有座位 ∴补全此次活动日程表如下： 时间段 1号多功能厅（150座） 2号多功能厅（100座） A D 设备检修暂停使用 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，求扇形统计图中圆心角度数，由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）用类的人数除以所占比例即可得出总人数，求出类和类的人数，补全条形统计图即可； （2）用乘以类所占的比例即可得解； （3）求出类、类、类的人数，结合题意即可得解． 【小问1详解】 解：本次调查的学生人数为：（人）， 类和类共同的人数为：（人）， 类的人数为：（人）， 类的人数为：（人）， 图略； 【小问2详解】 解：， 答：E对应圆心角度数为； 【小问3详解】 略 19. 小莹打算自主创业开一家花店，她了解到某种花卉近期售价与日销售量的市场规律保持不变，于是她到附近A，B，C，D，E，5家花卉店对该种花卉的售价与日销售量情况作了市场调查，并记录了如下数据： 花店 售价（元/盆） 日销售量（盆） A 20 50 B 30 30 C 18 54 D 22 46 E 26 38 （1）根据以上信息，求出日销售量与售价之间的一次函数关系式； （2）小莹欲购进进价为15元/盆的该种花卉在当地市场进行销售，在销售该种花卉中， ①当每盆售价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ ②考虑到花店新开业，为了吸引顾客，让利于民，小贵打算在销售过程中每天获得400元的利润，应如何定价？ 【答案】（1） （2）①当每盆售价定为30元时，每天获得的利润最大是450元；②元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键． （2）根据待定系数法求解； （3）①根据配方法求解； ②根据“”列方程求解． 【小问1详解】 解：∵日销售量与售价满足一次函数关系， ∴设售价为x元/盆，日销售量y盆， 直线过点和点， ∴， 解得：， ∴， 答：日销售量与售价之间的一次函数关系式为． 【小问2详解】 解：①设利润为w元，则， 即， ∵， ∴开口向下，对称轴为直线， ∵ ， ∴， ∴符合， 把代入， 答：当每盆售价定为30元时，每天获得的利润最大，最大利润是450元； ②当时 ， ∵让利于民，不符合题意舍去， ． 答：每天获得400元的利润，应定价为25元． 20. 一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为，点在同一条直线上，测得，，其中一段支撑杆，另一段支撑杆，求支撑杆上的点到水平地面的距离是多少?（用四舍五入法对结果取整数，参考数据） 【答案】点到水平地面的距离约为． 【解析】 【分析】过作交于，过作交延长线于，证明四边形FMDN为矩形，得到MF=DN，在Rt△BDN中求出DN的长，再在Rt△MED中求出EM的长，最后将EM与MF相加即得到答案． 【详解】解：过作交于，过作交延长线于，如下图所示： 在中，， 由30°所对直角边等于斜边的一半可知，， ， ， ， ， ， 在中：，代入数据： ， ∴四边形是矩形， ， ， ， 又已知， 在中：， ， ， 故点到水平地面的距离约为． 【点睛】本题考查了三角函数解直角三角形等知识点，属于基础题，熟练掌握三角函数的定义是解决本题的关键． 21. 如图，在中，以为直径的交于点，垂足为． 的两条弦相交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求扇形的面积． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， 又，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又是的半径； ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用等边对等角，圆周角定理等可得出，由垂直的定义得出，等量代换得出，即，然后根据切线的判定即可得证； （2）先利用含的直角三角形的性质求出，同时求出，进而求出，利用等边对等角，三角形外角的性质等可求出，，证明是等边三角形，得出，，进而求出，在中，利用余弦定义可求出，最后利用扇形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，， ∴扇形的面积为． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形的应用，三角形外角的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． 22. 综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）操作判断 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）． （2）性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若，，，求的长（用含m，n，的式子表示）． （3）拓展应用 如图3，在中，，，，分别在边，上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长． 【答案】（1）②④ （2）①． 理由： 延长至点E，使，连接， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； ② （3）或 【解析】 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义判断即可； （2）①延长至点E，使，连接，根据邻等对补四边形定义、补角的性质可得出，证明，得出，，根据等边对等角得出，即可得出结论； ②过A作于F，根据三线合一性质可求出，由①可得，在中，根据余弦的定义求解即可； （3）分，，，四种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图2和图4中存在对角互补且邻边相等， 故图②和图④中四边形是邻等对补四边形， 故答案为：②④； 【小问2详解】 解：①略 ②过A作于F， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∴， 当时，如图，连接，过N作于H， ∴， 在中， 在中， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴； 当时，如图，连接， ∵， ∴， ∴，故不符合题意，舍去； 当时，连接，过N作于H， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴； 当时，如图，连接， ∵， ∴， ∴，故不符合题意，舍去； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，明确题意，理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形是解题的关键． 23. 综合与探究 【定义】对于y关于x的函数，函数在范围内有最大值m和最小值n，则称为极差值，记作． 【示例】如图，根据函数的图象可知，在范围内，该函数的最大值是4，最小值为，即． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）直接写出反比例函数的的值为________； （2）已知二次函数的图象经过点，求该函数的的值． （3）已知函数，函数的图象经过点，且一个函数的相等，求k的值． 【答案】（1）4 （2） （3）或3 【解析】 【分析】本题考查了新定义问题以及函数的最值问题，解题的关键是理解极差值的定义，并结合不同函数的性质进行求解． （1）根据反比例函数的单调性，求出在范围内的最大值和最小值，进而计算极差值； （2）先将点代入二次函数求出的值，得到函数表达式，再分析函数在范围内的单调性，求出最大值和最小值，从而计算极差值； （3）将点代入函数得，得或，分类讨论：①求解的值，②得到的表达式，再分类讨论当时，，内函数的单调性，求出它们的极差值，根据极差值相等列出方程求解的值． 【小问1详解】 解：反比例函数在第一象限内随增大而减小，故， ， 故答案为：4； 【小问2详解】 解：将点代入二次函数得，解得， 即二次函数为，开口向上，对称轴为， 故时有最小值，， ， ∴时有最大值，， ； 【小问3详解】 解：对于函数，故随增大而增大，则， 将点代入函数得，得或， 当时，，此时随增大而减小，则，解得； 当时，，二次函数开口向下，对称轴为， 当时，，最大值， 最小值， ，解得或（舍弃）； 当时，， 有最大值，最小值， ，不合题意； 当时，， 时有最大值，时有最小值， ， 解得（舍弃）或（舍弃）， 综上所述，或3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $