专题2.5 点、直线间的对称问题（7类必考点）-2025-2026学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册

专题2.5 点、直线间的对称问题 【知识梳理】 1 【考点1：点关于点的对称问题】 1 【考点2：直线关于点的对称问题】 4 【考点3：求点关于直线的对称点】 6 【考点4：求两点的对称轴】 9 【考点5：直线关于直线的对称问题】 10 【考点6：光线反射问题】 13 【考点7：将军饮马问题】 20 【知识梳理】 点关于点对称 若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得，进而求解 直线关于点对称 ①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； ②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程 点关于直线对称 若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组，可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2) 直线关于直线对称 ①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解． ②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解 【考点1：点关于点的对称问题】 1．（24-25高一下·江苏淮安·期中）点关于点的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，设的坐标为，分析可得为的中点，由中点坐标公式可得，解可得、的值，即可得答案. 【详解】根据题意，设的坐标为， 点与关于点的对称， 为的中点， 根据中点坐标公式可得：， 解可得， 即的坐标为 故选：A. 【点睛】本题考查中点坐标公式的应用，注意分析点为中点，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 2．（24-25高二上·江苏宿迁·开学考试）已知点与关于坐标原点对称，则等于（    ） A．5 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据关于原点对称点的性质确定参数，即得答案. 【详解】由与关于坐标原点对称，则， 所以. 故选：B 3．（24-25高二上·北京房山·期末）已知点，则线段的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用中点坐标公式即可求解. 【详解】由点， 则线段的中点坐标为，即. 故选：B 4．（24-25高二·全国·课堂例题）已知不同的两点与关于点对称，则（    ） A． B．14 C． D．5 【答案】C 【分析】根据中点公式，列出方程，求得的值，进而求得的值. 【详解】因为两点与关于点对称， 可得，即，解得， 所以. 故选：C. 5．（2024高一上·湖北省直辖县级单位·学业考试）已知平行四边形的三个顶点，，，则第四个顶点的坐标为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据平行四边形的性质及中点坐标公式计算可得； 【详解】解：设，因为平行四边形的对角线互相平分， 由中点坐标公式得、的中点为， 又也是、的中点，所以，解得， 所以顶点的坐标为. 故选：A 6．（24-25高二上·全国·单元测试）已知不同的两点关于点对称，则ab＝ . 【答案】 【分析】由点对称，应用中点公式列方程组求出参数，即可得结果. 【详解】由题意知，即，解得，故. 故答案为： 【考点2：直线关于点的对称问题】 1．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【答案】B 【分析】首先设对称直线上任意一点，得到关于对称点为，再代入直线即可得到答案。 【详解】设直线关于点对称的直线上任意一点， 则关于对称点为， 又因为在上， 所以，即。 故选：B 2．（2025高三·上海·学业考试）已知直线与关于原点对称，若的方程是，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两直线关于原点对称的特点，即将的方程中改为，改为，即可得到答案. 【详解】因为直线与关于原点对称，则只需将的方程中改为，改为，可得的方程是，即 故选：A 3．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线所过定点的坐标，求出点关于点的对称点的坐标，即为所求. 【详解】直线的方程可化为，由得， 所以，直线过定点，点关于点的对称点为， 因此，直线恒过的定点. 故选：C. 4．（2024·河北衡水·三模）若直线与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出l1的定点，再利用点关于点的对称求出l1的定点的对称点，该点即为所求点. 【详解】直线恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2). 【点睛】本题考查直线关于点对称的相关问题，利用对称性求解是解题的关键，属基础题. 5．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）直线与直线关于原点对称，则的值是 A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】直线ax+3y﹣9＝0上任意取点（m，n），关于原点对称点的坐标为（﹣m，﹣n），分别代入已知的直线方程，即可求得结论． 【详解】直线ax+3y﹣9＝0上任意取点（m，n），关于原点对称点的坐标为（﹣m，﹣n），则 ∵点（m，n）是直线ax+3y﹣9＝0上任意一点 ∴a＝﹣1，b＝﹣9 故选A． 【点睛】本题考查直线的对称性，考查学生的计算能力，属于基础题． 6．（2025高三·全国·专题练习）直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为 A．2x＋3y－12＝0 B．2x－3y－12＝0 C．2x－3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0 【答案】D 【分析】由可得，可求出定点，直线2x＋3y－6＝0关于的对称直线为2x＋3y+c＝0,利用点到直线距离公式求解即可. 【详解】由可得,令可得， 因为M不在直线2x＋3y－6＝0上，设直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，则，解得c＝12或c＝－6(舍去)，∴所求方程为2x＋3y＋12＝0，故选D. 【点睛】本题主要考查了过定点的直线系，点到直线的距离，属于中档题. 【考点3：求点关于直线的对称点】 1．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出垂直于直线且过点的表达式，求出交点坐标，即可得出关于直线的对称点． 【详解】由题意， 在直线中，斜率为， 垂直于直线且过点的直线方程为，即， 设两直线交点为， 由，解得：， ， 点关于直线的对称点的坐标为， 即． 故选：D． 2．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知点与关于直线对称，则（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】B 【分析】将线段的中点代入直线的方程中即可求解． 【详解】由题可知，线段的中点在直线上，即， 所以， 故选：B． 3．（24-25高二上·北京·期中）已知与关于直线对称，则下列说法中错误的是（    ） A．直线过,的中点 B．直线的斜率为 C．直线的斜率为3 D．直线的一个方向向量的坐标是 【答案】B 【分析】根据与关于直线对称，逐项判断可得答案. 【详解】对于A，因为与关于直线对称，所以直线过，的中点，故A正确； 对于B，直线的斜率为，故B错误； 对于C，因为直线的斜率为，所以直线的斜率为3    ，故C正确； 对于D，因为直线的斜率为3，所以直线的一个方向向量的坐标是，故D正确. 故选：B. 4．（多选）（24-25高二上·陕西铜川·阶段练习）若点和点关于直线对称，则（   ） A．的中点坐标为 B． C．直线的斜率为1 D． 【答案】ABD 【分析】根据题意可知直线为的垂直平分线，由两直线垂直的关系表式计算可判断得出结论. 【详解】易知的中点坐标为，则点在直线上， 所以，解得， 所以直线的斜率为. 又因为，所以， 解得. 故选：ABD 5．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知点和点B关于直线l：对称．若直线过点B，且使得点A到直线的距离最大，求直线的方程． 【答案】 【分析】先求点B,再使得点A到直线的距离最大，则直线与过点A、B的直线垂直得出斜率即可求出直线. 【详解】设点，则，解得， 所以点关于直线l：对称的点的坐标为． 若直线过点B，且使得点A到直线的距离最大， 当为到的距离时为距离最大，其他情况距离为以为斜边的直角边， 则直线与过点A、B的直线垂直，所以， 则直线的方程为，即． 6．（24-25高二上·浙江嘉兴·期中）已知直线和点 (1)请写出过点且与直线平行的直线； (2)求点关于直线的对称点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设过点且与直线平行的直线为，再将点的坐标代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，设，列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设过点且与直线平行的直线为， 将代入，可得，所以直线方程为. （2）设，由题意可得，解得， 所以点的坐标为. 【考点4：求两点的对称轴】 1．（24-25高二上·上海·期末）已知点与点关于直线l对称，则直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】利用斜率之积为，中点坐标公式和点斜式共同求出直线方程. 【详解】设直线l的斜率为k， 则， 直线的中点坐标为， 所以由点斜式写出直线方程为，即. 故答案为：. 2．（24-25高二上·四川雅安·期中）已知点关于直线对称，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】先求出的斜率，然后根据点斜式即可求解. 【详解】∵， ∴， 又的中点， ∴ 整理得：. 故答案为：. 3．（23-24高二上·四川内江·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意直线为线段的中垂线，先求出直线的斜率及中点坐标，再根据两直线垂直的性质得到直线的斜率，最后利用点斜式求出方程，化简即可得出. 【详解】因为点关于直线对称的点为，所以直线为线段的中垂线， 因为，中点为，且， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为即. 故选：D 4．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知点与关于直线对称，则（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】B 【分析】将线段的中点代入直线的方程中即可求解． 【详解】由题可知，线段的中点在直线上，即， 所以， 故选：B． 【考点5：直线关于直线的对称问题】 1．（24-25高二下·安徽芜湖·阶段练习）与直线关于轴对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得直线与坐标轴的交点坐标，结合点的对称，进而求得直线关于轴的对称直线，得到答案. 【详解】由直线，令，可得；令，可得， 即直线过点， 又由点关于轴的对称点为， 则直线的方程为， 即直线关于轴的对称直线的方程为. 故选：C. 2．（24-25高二上·浙江·期中）直线关于y轴对称的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出已知直线上两点关于y轴的对称点，然后根据两点坐标求出直线方程即可. 【详解】直线与两坐标轴的交点分别为和， 因为这两点关于y轴的对称点分别为和， 所以直线关于y轴对称的直线方程为 故选：A 3．（24-25高二上·河北唐山·期中）已知直线与直线关于轴对称，且直线过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知，直线经过点关于轴的对称点，由此可求得实数的值. 【详解】点关于轴的对称点的坐标为， 由题意可知，直线过点，则，解得. 故选：A. 4．（24-25高二上·福建福州·期中）若直线与直线关于直线对称，则直线一定过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线过定点求出定点关于直线对称点的坐标即可得出结果. 【详解】易知直线恒过点，所以可得直线一定过关于直线的对称点； 设对称点坐标为，可得，解得， 即直线一定过定点. 故选：C 5．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知点，点，直线过点且与直线垂直. (1)求直线的方程； (2)求直线关于直线的对称直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求，再直线垂直斜率乘积为得出斜率，最后点斜式写出直线方程即可； （2）先求两直线的交点，再设点求出点关于直线的对称点，最后应用两点式求出直线方程. 【详解】（1）因为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为，即. （2）由解得，故的交点坐标为， 因为在直线上，设关于对称的点为， 则解得 所以直线关于直线对称的直线经过点， 代入两点式方程得，即， 所以直线关于直线的对称直线的方程为. 6．（2025高三·全国·专题练习）已知直线，点.求: (1)点A关于直线l的对称点的坐标; (2)直线关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点对称的直线l'的方程. 【答案】(1). (2). (3) 【分析】（1）根据中点和斜率列方程组来求得对称点的坐标. （2）在直线上取一点，并求其关于直线的对称点，然后结合直线与直线的交点来求得对称直线的方程. （3）利用相关点代入法来求得对称直线的方程. 【详解】（1）设，由已知条件得，解得所以. （2）在直线m上取一点，则关于直线l的对称点M'必在直线m'上.设对称点， 则解得故. 设直线m与直线l的交点为N，则由解得即. 又因为m'经过点，所以由两点式得直线m'的方程为. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以，即. 【考点6：光线反射问题】 1．（24-25高二上·云南玉溪·期中）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线不会经过下列哪个点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点斜式求得直线，再利用点关于直线对称求得点关于直线的对称点，进而利用两点式求得反射光线的方程，再逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】倾斜角为的且过的直线的方程为，即， 设点关于直线的对称点，则， 即，解得，即， 于是反射后的光线所在的直线方程为，即， 对于A：时，； 对于B：时，； 对于C：时，； 对于D：时，. 故选：D 2．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用反射原理，先求出点关于直线的对称点的坐标，再求直线的方程即可. 【详解】    如图，设点关于直线的对称点为， 则有，解得，即， 依题意，反射光线即直线，因，则直线的斜率为， 于是反射光线所在的直线方程为，即. 故选：C. 3．（24-25高二上·河北保定·期中）一条光线从点射出，经过直线反射后与轴相交于点，则入射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出点关于直线的对称点，由光学知识可得反射光线经过点，，由直线的两点式即可求解. 【详解】根据题意可得反射光线经过点，易得入射光线所在直线经过点， 因为入射光线经过点，所以入射光线所在直线的方程为， 即. 故选：. 4．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）设直线 ， 一束光线从原点 出发沿射线 向直线 射出， 经 反射后与 轴交于点 ， 再次经 轴反射后与 轴交于点 . 若 ， 则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据光学的性质，根据对称性可先求关于直线的对称点，后求直线，可得、两点坐标，进而由可得. 【详解】 如图，设点关于直线的对称点为， 则得，即， 由题意知与直线不平行，故， 由，得，即， 故直线的斜率为， 直线的直线方程为：， 令得，故， 令得，故由对称性可得， 由得，即， 解得，得或， 若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件． 故， 故选：B. 5．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知，，，，，一束光线从F点出发射到上的D点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先作出关于的对称点，再作关于的对称点，因为光线从点出发射到上的点经反射后，入射光线和反射光线都经过关于直线的对称点点，又因为再经反射，反射光线经过关于直线的对称点，所以只需连接、交与点，连接、分别交为点、，则，之间即为点 的变动范围．再求出直线，的斜率即可． 【详解】已知，，， 则直线方程为，直线方程为 如图，作关于的对称点，，解得，故， 再作关于的对称点，则，得， 连接，连接交与点，则直线方程为，得， 连接、分别交为点、， 则直线方程为，得， 直线的斜率，方程为，与直线联立方程组，解得， 连接，，则，之间即为点的变动范围． 直线方程为，斜率为0， 直线的斜率为， 所以斜率的范围为， 故选：D． 6．（24-25高二上·全国·课后作业）一束光线从点射入，经轴上点反射后经过点，则反射光线的倾斜角为 ． 【答案】 【分析】设，根据反射定律得到，利用两点的坐标求斜率，建立等式求解出斜率，再求出倾斜角即可． 【详解】设，由反射定律可知， 解得，则反射光线的斜率， 所以反射光线的倾斜角为， 故答案为：． 7．（24-25高二·全国·单元测试）在等腰直角三角形中，，点是边上异于，的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点，如图所示，若光线经过的重心，则的长度为 . 【答案】 【分析】求出点关于和直线的对称点，结合光的反射原理列方程组求解可得. 【详解】以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系， 则直线方程为， 设关于和直线的对称点分别为，则， 记，则，解得， 因为为的重心，，所以， 由光的反射原理可知，三点共线，所以， 即，解得（舍去）或. 故答案为： 8．（24-25高二上·北京·期中）已知直线：． (1)当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程； (2)求证：直线恒过定点； (3)当原点到直线的距离最大时，写出此时直线的方程（直接写出结果）． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）令是关于的对称点，利用垂直和中点在直线上求点坐标，进而写出直线方程； （2）将直线写成，可求定点，即可证； （3）由题设易知，利用垂直及点斜式写出直线方程. 【详解】（1）由题设，令是关于的对称点， 则，可得，故， 由题意，反射光线过和原点， 所以反射光线所在直线方程为. （2）由直线可改写为，联立，可得， 将点代入原直线方程，显然成立，故直线恒过定点，得证. （3）当原点到直线的距离最大，即点到点的距离，此时， 由，则，故，整理得. 【考点7：将军饮马问题】 1．（24-25高二上·河北保定·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 . 【答案】 【分析】求出点关于直线的对称点坐标，再由两点间距离公式计算可得结果. 【详解】设关于直线的对称点，如下图所示： 则，解得，即 此时即为最短路程，易知. 所以最短总路程为. 故答案为： 2．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分.唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程的最小值为 . 【答案】 【分析】首先求出点关于的对称点为，再利用对称性，转化长度和，即可求解. 【详解】设点关于的对称点为， 则，解得：，，即， 由对称性可知，， 则，如图饮马点为与的交点， . 故答案为：. 3．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为 ． 【答案】 【分析】结合两点间线段最短，只需求其中一个点关于直线的对称点，再求对称点与另一点的距离即可. 【详解】    由题可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为， 则，解得即． 将军从出发点到河边的路线所在直线即为，又， 所以直线的方程为， 设将军在河边饮马的地点为， 则即为与的交点， ，解得， 所以． 故答案为： 4．（多选）（24-25高二上·重庆·期中）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是．军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（   ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为 【答案】BD 【分析】求出点关于直线的对称点为，直线的方程为即为从出发点到河边的路线所在直线方程，可得A错误；联立直线方程可解得交点坐标即为饮马地点的坐标为，可得B正确；直线的方程为即为从河边回军营的路线所在直线方程，可得C错误；由各路段长度总和即可求出“将军饮马”走过的总路程为，可知D正确. 【详解】由题可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为，如下图所示： 则，解得，即. 对于A，将军从出发点到河边的路线所在直线即为， 又，所以直线的方程为，即，故A错误； 对于B，设将军在河边饮马的地点为，则即为与的交点， 联立两直线方程解得，故B正确； 对于C，将军从河边回军营的路线所在直线为，又， 所以直线的方程为，即，故C错误； 对于D，总路程， 所以“将军饮马”的总路程为，故D正确. 故选：BD. 5．（多选）（2025·云南昆明·模拟预测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为，，将军的出发点是点，军营所在位置为，则下列说法错误的是（    ） A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为 B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是 C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是 D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是 【答案】ABD 【分析】确定关于直线对称点，确定关于直线对称点，利用两点之间距离最小来判断. 【详解】对于A，如图①所示，设点关于直线的对称点为， 由解得， 所以将军在河边饮马的地点的坐标为，故A错误； 对于B，如图②所示，因为点关于直线的对称点为， 将军先去河流饮马，再返回军营的最短路程是，故B错误； 对于C，如图③所示，因为点关于直线的对称点分别为，； 点关于直线的对称点为， 所以将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程，故C正确； 对于D，如图④所示，设点关于直线的对称点分别为， 由解得；点关于直线的对称点为， 将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程是，故D错误. 故选：ABD.             6．（24-25高二上·安徽合肥·期中）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点关于直线对称可得对称点，即可根据两点距离公式求解， （2）根据两直线的方程可得交点，即可根据中点坐标可得，进而根据两点坐标求解直线方程. 【详解】（1）由题意可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 此时“将军饮马”走过的总路程为．    （2）由（1）知,故直线方程为， 故直线的方程是， 联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为， 边的中点，则，即， ∴直线斜率， ∴直线的方程为，整理得． ∴△中边中线所在的直线方程为． 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 点、直线间的对称问题 【知识梳理】 1 【考点1：点关于点的对称问题】 1 【考点2：直线关于点的对称问题】 2 【考点3：求点关于直线的对称点】 3 【考点4：求两点的对称轴】 4 【考点5：直线关于直线的对称问题】 4 【考点6：光线反射问题】 6 【考点7：将军饮马问题】 7 【知识梳理】 点关于点对称 若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得，进而求解 直线关于点对称 ①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； ②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程 点关于直线对称 若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组，可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2) 直线关于直线对称 ①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解． ②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解 【考点1：点关于点的对称问题】 1．（24-25高一下·江苏淮安·期中）点关于点的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏宿迁·开学考试）已知点与关于坐标原点对称，则等于（    ） A．5 B．1 C． D． 3．（24-25高二上·北京房山·期末）已知点，则线段的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二·全国·课堂例题）已知不同的两点与关于点对称，则（    ） A． B．14 C． D．5 5．（2024高一上·湖北省直辖县级单位·学业考试）已知平行四边形的三个顶点，，，则第四个顶点的坐标为 A． B． C． D． 6．（24-25高二上·全国·单元测试）已知不同的两点关于点对称，则ab＝ . 【考点2：直线关于点的对称问题】 1．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 2．（2025高三·上海·学业考试）已知直线与关于原点对称，若的方程是，则的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·河北衡水·三模）若直线与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点 A． B． C． D． 5．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）直线与直线关于原点对称，则的值是 A．， B．， C．， D．， 6．（2025高三·全国·专题练习）直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为 A．2x＋3y－12＝0 B．2x－3y－12＝0 C．2x－3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0 【考点3：求点关于直线的对称点】 1．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知点与关于直线对称，则（   ） A． B． C．0 D．3 3．（24-25高二上·北京·期中）已知与关于直线对称，则下列说法中错误的是（    ） A．直线过,的中点 B．直线的斜率为 C．直线的斜率为3 D．直线的一个方向向量的坐标是 4．（多选）（24-25高二上·陕西铜川·阶段练习）若点和点关于直线对称，则（   ） A．的中点坐标为 B． C．直线的斜率为1 D． 5．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知点和点B关于直线l：对称．若直线过点B，且使得点A到直线的距离最大，求直线的方程． 6．（24-25高二上·浙江嘉兴·期中）已知直线和点 (1)请写出过点且与直线平行的直线； (2)求点关于直线的对称点的坐标. 【考点4：求两点的对称轴】 1．（24-25高二上·上海·期末）已知点与点关于直线l对称，则直线l的方程为 ． 2．（24-25高二上·四川雅安·期中）已知点关于直线对称，则直线的方程为 . 3．（23-24高二上·四川内江·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知点与关于直线对称，则（   ） A． B． C．0 D．3 【考点5：直线关于直线的对称问题】 1．（24-25高二下·安徽芜湖·阶段练习）与直线关于轴对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江·期中）直线关于y轴对称的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河北唐山·期中）已知直线与直线关于轴对称，且直线过点，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·福建福州·期中）若直线与直线关于直线对称，则直线一定过定点（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知点，点，直线过点且与直线垂直. (1)求直线的方程； (2)求直线关于直线的对称直线的方程. 6．（2025高三·全国·专题练习）已知直线，点.求: (1)点A关于直线l的对称点的坐标; (2)直线关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点对称的直线l'的方程. 【考点6：光线反射问题】 1．（24-25高二上·云南玉溪·期中）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线不会经过下列哪个点（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河北保定·期中）一条光线从点射出，经过直线反射后与轴相交于点，则入射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）设直线 ， 一束光线从原点 出发沿射线 向直线 射出， 经 反射后与 轴交于点 ， 再次经 轴反射后与 轴交于点 . 若 ， 则 的值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知，，，，，一束光线从F点出发射到上的D点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·全国·课后作业）一束光线从点射入，经轴上点反射后经过点，则反射光线的倾斜角为 ． 7．（24-25高二·全国·单元测试）在等腰直角三角形中，，点是边上异于，的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点，如图所示，若光线经过的重心，则的长度为 . 8．（24-25高二上·北京·期中）已知直线：． (1)当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程； (2)求证：直线恒过定点； (3)当原点到直线的距离最大时，写出此时直线的方程（直接写出结果）． 【考点7：将军饮马问题】 1．（24-25高二上·河北保定·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 . 2．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分.唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程的最小值为 . 3．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为 ． 4．（多选）（24-25高二上·重庆·期中）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是．军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（   ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为 5．（多选）（2025·云南昆明·模拟预测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为，，将军的出发点是点，军营所在位置为，则下列说法错误的是（    ） A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为 B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是 C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是 D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是   6．（24-25高二上·安徽合肥·期中）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $$