2．3 直线的交点坐标与距离公式（9大题型）（精练）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册)

2．3 直线的交点坐标与距离公式 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：判断两直线的位置关系 2 题型二：交点系方程 3 题型三：交点问题 3 题型四：对称问题 5 考点1：点点对称 5 考点2：点关于直线对称 5 考点3：直线关于点对称 6 考点4：直线关于直线对称 7 题型五：两点间距离的应用 8 题型六：点到直线距离的应用 9 题型七：两平行直线间距离的应用 10 题型八：距离问题的综合应用 11 题型九：线段和与差的最值问题 15 02 重难点拓展 17 题型一：判断两直线的位置关系 1．（2025·高二·湖北武汉·期中）写出使得关于的方程组无解的一个的值为 .（写出一个即可） 【答案】，3，（写出一个即可） 【解析】显然，当时，不表示直线，无解，故方程组无解； 当时，由方程组可看作求两直线（）与的交点，则方程组无解，即直线无交点， 若两直线平行，则，解得. 若两直线不平行时，过点，即，解得或， 此时，不过点，方程组无解. 综上，的取值为. 故答案为：，3，（写出一个即可） 2．若关于的二元一次方程组有无穷多组解，则 ． 【答案】 【解析】依题意二元一次方程组有无穷多组解，即两个方程对应的直线重合，由，解得或. 当时，二元一次方程组为，两直线不重合，不符合题意. 当时，二元一次方程组为，两直线重合，符合题意. 综上所述，的值为. 故答案为： 3．（2025·上海崇明·一模）若关于、的方程组无解，则实数 【答案】 【解析】先由方程无解判断平面内对应的两条直线平行，再利用平行关系列行列式计算参数即可.由题意关于、的方程组无解，即直线和直线平行，故，所以， 此时直线即，确实与平行，故满足题意，所以实数. 故答案为：-2. 题型二：交点系方程 4．（2025·高一·黑龙江哈尔滨·期末）已知直线的方程为，求坐标原点到的距离的最大值 . 【答案】 【解析】直线的方程为，即 令，解得： 所以直线恒过定点， 所以原点到直线的距离，即到直线的距离的最大值为. 故答案为：. 5．经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，且平行于直线x－y＋4＝0的直线方程为 ． 【答案】x－y＝0. 【解析】设直线方程为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，再求出的值即得解.过两直线交点的直线方程可设为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0， 即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋4λ＋1＝0， 因为它与直线x－y＋4＝0平行， 所以3＋λ＋3λ－2＝0， 即λ＝－， 故所求直线为x－y＝0. 故答案为：x－y＝0. 题型三：交点问题 6．（2025·高二·安徽宿州·月考）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，由可得，，当时，解得； 当时，由可得，，由可知，方程的解是， 又的图象与直线有两个不同的交点， 所以，其中，解得； 综上所述，. 故选：B 7．（2025·高二·安徽芜湖·期中）已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】联立，得， ∵直线与射线恒有公共点， ∴， 解得. ∴m的取值范围是. 故选：C. 8．若与的图形有两个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】表示关于轴对称的两条射线， 表示斜率为1，在轴上的截距为的直线， 根据题意，画出大致图形，如下图， 若与的图形有两个交点，且，则根据图形可知． 故选：A． 题型四：对称问题 考点1：点点对称 9．（2025·高一·北京东城·期中）已知，则线段中点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以线段中点坐标为. 故选：D 10．已知直角坐标平面上连接点和点M的线段的中点是，则点M到原点的距离为（    ） A．41 B． C． D．39 【答案】B 【解析】设，由题意得解得即. 则点到原点的距离为. 故选：B 11．已知线段的中点为坐标原点，且，则等于（    ） A．5 B． C．1 D． 【答案】D 【解析】，故. 故选：D. 考点2：点关于直线对称 12．（2025·高二·河南南阳·期中）点关于直线的对称点为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点关于直线的对称点为， 则， 解得，即. 故选：A 13．（2025·高二·江西·月考）一条光线从点射出，与轴交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题知，点关于轴的对称点在反射光线上， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故选：B. 14．（2025·高二·河北邯郸·月考）已知一条入射光线经过两点，经轴反射后，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】关于轴的对称点坐标分别为， 由对称性可知反射光线经过，， 所以反射光线所在直线方程为， 即. 故选：C 考点3：直线关于点对称 15．（2025·高二·全国·单元测试）直线关于点对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即. 故选：D. 16．（2025·高二·四川绵阳·月考）直线关于点P（2，3）对称的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为和关于点对称，则两直线平行，可设方程为（）， 点P到两直线的距离相等，则，解得或3（舍去）， 所以直线的方程是. 故选：A. 17．直线关于点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设对称的直线方程上的一点的坐标为， 则其关于点对称的点的坐标为， 因为点在直线上， 所以即. 故选：D. 考点4：直线关于直线对称 18．（2025·高二·北京·月考）与直线关于y轴对称的直线的方程为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在所求直线上任取一点，则点关于y轴对称的点为， 可知点在直线上，可得，即， 所以所求直线方程为. 故选：A. 19．（2025·高二·上海·月考）以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为1的正方形的四条边的方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设，方程所得图形关于原点、轴对称， 若在图形上，则、、均在图形上， 显然、满足，、不满足， 又图形是对角线在坐标轴上，边长为1的正方形， 所以，点在图形上，故方程为. 故选：D 20．（2025·高二·陕西西安·期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设所求直线上任一点，关于直线的对称点， 则，解得， ∵点在直线上，即， ∴，化简得，即为所求直线方程. 故选：B. 题型五：两点间距离的应用 21．（2025·高一·江苏盐城·月考）已知三顶点为、、，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【解析】由已知，，， ∴，即， ∴是直角三角形. 故选：B. 22．（2025·高二·北京房山·期中）已知，，，，，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】设， 由题意可得， 解得或 . 所以点的坐标为或. 故选：C 23．（2025·高二·陕西汉中·月考）设，直线过定点，直线过定点，则（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】A 【解析】直线过定点， 直线过定点， 则 故选：A 题型六：点到直线距离的应用 24．（2025·高二·河南驻马店·月考）已知，两点到直线的距离相等，则 . 【答案】或 【解析】因为，两点到直线的距离相等， 所以有或， 解得或. 故答案为：或 25．（2025·高二·辽宁·月考）点，，则经过原点且与、两点距离相等的直线方程是 . 【答案】或. 【解析】设所求直线为，由条件知，直线平行于或经过线段的中点. ① 时，因直线的斜率为，故此时直线的方程为； ②当直线经过线段的中点时，直线的斜率为，故此时直线的方程为. 综上，可得所求直线的方程为或. 故答案为：或. 26．（2025·高一·福建莆田·期末）若直线过点，且到点和点的距离相等，则直线的方程为 ． 【答案】或 【解析】解法1：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足条件； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即． 由题意知，解得．故直线的方程为． 综上所述，直线的方程为或． 解法2：如图，当时，，的方程为，即． 当直线经过线段的中点时，又直线过点，故其方程为. 综上所述，直线的方程为或． 故答案为：或. 题型七：两平行直线间距离的应用 27．（2025·高二·河北秦皇岛·期中）直线与直线间的距离为 ． 【答案】/ 【解析】直线的方程可化为，所以这两条直线平行， 且这两条直线间的距离为. 故答案为：. 28．（2025·高二·河南信阳·期中）已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为 ． 【答案】/ 【解析】由题意得直线，即， 由平行线间距离公式得这两条平行线之间的距离为. 故答案为： 29．（2025·高二·江苏连云港·期中）设为实数，若两条平行直线和之间的距离等于2，则 . 【答案】 【解析】由题意得，，得. 故答案为： 题型八：距离问题的综合应用 30．（2025·高二·江苏宿迁·开学考试）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为. (1)若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； (2)若的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程. 【解析】（1）设， 则,即①，②， 又直线与直线垂直，所以，即③， 联立②③解得， 又④，联立①④解得， 所以直线的方程为，即. （2）因为的平分线所在的直线方程为，所以⑤， 联立①⑤求解可得， 则直线方程为，即， 设直线的方程为，则 在直线上取点，由角平分线定理可知，到直线的距离相等， 则，即， 又，所以，整理得， 解得或，所以直线的斜率或， 当时，直线的方程为， 即，与直线重合，舍去； 当时，直线的方程为，即，满足题意. 所以直线的方程为. 31．（2025·高二·江苏无锡·月考）如图，，设射线所在直线的斜率为，点在内，于，于.    (1)若，，求的值； (2)若，求面积的最大值，并求出相应的值； (3)已知为常数，，的中点为，且，当变化时，求的取值范围． 【解析】（1），， 若，则直线的方程为，即， 则点到直线的距离， ； （2）直线的方程为，即，， ，，， ， 当且仅当时等号成立， 此时点到直线的距离，解得（舍）或， 面积的最大值为，此时； （3） 设直线的倾斜角为，，即，则， ， ， 代入，得， 为的中点，， ， 即，当且仅当时等号成立， 的取值范围是. 32．（2025·高二·江苏扬州·月考）已知点、，设过点的直线与的边交于点（其中点异于、两点），与边交于（其中点异于、两点），若设直线的斜率为. (1)试用来表示点和的坐标； (2)求的面积关于直线的斜率的函数关系式； (3)当为何值时，取得最大值？并求此最大值. 【解析】（1）如图所示， 设直线， 又直线与线段，均相交， 则， 直线方程为， 直线方程为， 联立，解得，即， 联立，解得，即； （2）又，又，则， 点到直线，即点到直线的距离， 所以的面积， （3）由（2）得， 设，即， 则， 又，当且仅当时等号成立， 即，当且仅当时等号成立， 即当时，取最大值为. 题型九：线段和与差的最值问题 33．（2025·高二·陕西西安·期中）直线与直线相交于点，且对任意实数两条直线分别过定点，，则的最大值为（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【解析】直线化为， 当，得，即直线恒过点，即点， 直线化为， 当，得，即直线恒过点，即点， 且两条直线满足 ,即， , 由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立，则的最大值为4. 故选：A. 34．（2025·高二·江苏盐城·月考）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】由， 可转化成轴上一点到点的距离与到点的距离之差， 则（当且仅当三点共线时取等号）， 所以的最大值为． 故选：D 35．（2025·高二·浙江宁波·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数，下列结论正确的是（   ） A．方程有两个解 B．方程无解 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】A 【解析】因为， 所以的几何意义是轴上的动点到两个定点和的 距离之和，即. 作点关于轴的对称点，则， 当三点共线时，取到最小值 ， 所以有最小值； 当点向轴正、负方向无限移动时，距离之和无限增大， 所以. 因为，所以方程有互为相反数的两个解，故A正确，B错误； 因为有最小值，故C错误；因为无最大值，故D错误. 故选：A 1．（2025·高二·江苏宿迁·期中）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 可转化为轴上一点到点与到点的距离之差.，当且仅当点是射线与轴的交点时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 2．（2025·高二·湖北·期中）若，两点到直线的距离相等，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】，，直线， 到直线的距离为， 到直线的距离为， ，两点到直线的距离相等， ，， 或，或. 故选：C. 3．（2025·高二·安徽池州·期中）已知实数a，b，c，d满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 则， 即点在直线上，点在直线上， 而的几何意义为点和点之间的距离的平方， 故的最小值为两平行线和间距离的平方， 所以最小值为. 故选：A. 4．（2025·高二·山东临沂·期中）已知两直线与，则下列说法正确的是（　　） A．当时， B．当时， C．当时，直线与坐标轴围成的三角形的面积为1 D．当时，直线与轴围成的三角形的面积为 【答案】D 【解析】对于A，当时，显然，所以，解得，A错误； 对于B，当时，两直线分别为与， 此时不成立，B错误； 对于C，当时，直线交轴于点，交轴于点， 因此直线与坐标轴围成的三角形的面积为，C错误； 对于D，当时，直线交轴于点， 直线交轴于点， 由，解得，则直线将于点， 因此直线与轴围成的三角形的面积为，D正确. 故选：D 5．（2025·高二·云南怒江·期中）光线从点出发，经过直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点关于直线的对称点为，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：B 6．（多选题）（2025·高二·江苏宿迁·期中）下列说法中，正确的有（    ） A．直线在轴上的截距为 B．直线与直线之间的距离为2 C．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 D．将直线绕原点逆时针旋转60°，所得到的直线为 【答案】AD 【解析】对于A：直线写成截距式为，易知在轴上的截距为，故A正确； 对于B：直线与直线之间的距离为，故B错误； 对于C：当直线过点，且在轴，轴上的截距都为0时的直线方程为，故C错误； 对于D：直线的倾斜角为，若绕原点逆时针旋转， 则旋转后的直线倾斜角为，此时斜率为， 故所得到的直线为，故D正确； 故选：AD. 7．（2025·高二·河北石家庄·期中）过点作直线l，使它被直线和截得的线段被点P平分，则直线l的斜率为 ． 【答案】/ 【解析】设与l的交点为，设与l的交点为， 则由题意知，线段被点平分，所以，解得， 所以，，所以直线l的斜率为. 故答案为：. 8．（2025·高二·江苏连云港·期中）函数的最大值为 . 【答案】 【解析】表示点到点的距离与到点的距离之差. 如图，则当点为线段的延长线与轴的交点时，距离之差最大， 最大值为两点间的距离，即， 所以函数的最大值为. 故答案为：. 9．（2025·高二·江苏宿迁·期中）在中，的平分线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，已知点坐标为. (1)求点的坐标； (2)求直线的方程. 【解析】（1）设直线的方程为，把点代入直线方程可得， 所以直线的方程为，联立，解得， 即点的坐标为. （2）设点关于直线的对称点为， 直线的斜率为，则直线的斜率为， 并且的中点在直线上， 即，解得，所以， ，所以直线的方程为，即. 10．（2025·高二·安徽池州·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 【解析】（1）由直线， 联立方程组，解得，即直线与的交点坐标为， 因为所求直线垂直于直线，可得设所求直线方程为， 将点代入方程，可得， 所以所求直线方程为. （2）直线的斜率显然存在且不为0，设直线方程为， 令，可得；令，可得， 令，即，解得或， 得所求直线方程为或. 11．（2025·高二·广西来宾·期中）已知直线：，直线：. (1)若与平行，求的值； (2)若与的交点位于第一象限，求的倾斜角的取值范围. 【解析】（1）直线：即，故直线的斜率为. 因为直线：与平行，所以. （2）由，解得， 因为与的交点在第一象限，所以，解得， 即，又，所以， 即的倾斜角的取值范围为. 12．（2025·高二·陕西榆林·期中）（1）求经过点，且在轴上的截距为2的直线方程； （2）求经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线方程． 【解析】(1)因为直线在轴上的截距为2，设直线方程为， 因为直线过点，所以，所以， 所以直线方程为. (2) 联立方程，解得，所以交点为， 因为所求直线垂直于直线，故所求直线的斜率为， 所以设所求直线方程为，代入，解得， 故所求直线方程为：. 13．（2025·高二·江苏连云港·期中）已知的三个顶点坐标分别为、、． (1)求的边上的高所在的直线方程． (2)求的面积． 【解析】（1）∵，， ∴AB的斜率， ∴AB边高线斜率，又， ∴AB边上的高线方程为， （2）直线AB的方程为，即， 顶点C到直线AB的距离为， 又， ∴的面积. 14．（2025·高二·广东佛山·期中）在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为. (1)求直线的方程； (2)求直线的方程及点的坐标. 【解析】（1）因为所在直线的方程为，所以， 又∵，∴，∴， ∵，∴直线：，即； （2）∵的平分线所在直线的方程为，即， ∴，∴， 方程，令，则，∴， ∴，∴， ∴直线：，即， 联立方程，解得，即. 15．（2025·高二·上海·期中）如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，， 点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角形锯成，设直线的斜率为，问：    (1)求直线的方程及斜率的范围； (2)求出点的坐标（含）；并求出当时的面积为； (3)若为的面积，问是否存在实数，使得关于的不等式有解，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由. 【解析】（1）由题意知：，； 直线经过点，斜率为， 直线方程为：，即； ，，又直线与线段均有交点， . （2）由题意知：直线， 由得：，； 当时，，则轴， ，. （3）由题意知：直线； 由得：，； ， ， ，设，则，， ， 在上单调递增，，， ，则可化为：， 令，则，， ， 在上单调递减，， ，即的取值范围为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2．3 直线的交点坐标与距离公式 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：判断两直线的位置关系 2 题型二：交点系方程 2 题型三：交点问题 2 题型四：对称问题 2 考点1：点点对称 2 考点2：点关于直线对称 3 考点3：直线关于点对称 3 考点4：直线关于直线对称 3 题型五：两点间距离的应用 4 题型六：点到直线距离的应用 4 题型七：两平行直线间距离的应用 4 题型八：距离问题的综合应用 4 题型九：线段和与差的最值问题 5 02 重难点拓展 7 题型一：判断两直线的位置关系 1．（2025·高二·湖北武汉·期中）写出使得关于的方程组无解的一个的值为 .（写出一个即可） 2．若关于的二元一次方程组有无穷多组解，则 ． 3．（2025·上海崇明·一模）若关于、的方程组无解，则实数 题型二：交点系方程 4．（2025·高一·黑龙江哈尔滨·期末）已知直线的方程为，求坐标原点到的距离的最大值 . 5．经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，且平行于直线x－y＋4＝0的直线方程为 ． 题型三：交点问题 6．（2025·高二·安徽宿州·月考）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·高二·安徽芜湖·期中）已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．若与的图形有两个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 题型四：对称问题 考点1：点点对称 9．（2025·高一·北京东城·期中）已知，则线段中点坐标为（     ） A． B． C． D． 10．已知直角坐标平面上连接点和点M的线段的中点是，则点M到原点的距离为（    ） A．41 B． C． D．39 11．已知线段的中点为坐标原点，且，则等于（    ） A．5 B． C．1 D． 考点2：点关于直线对称 12．（2025·高二·河南南阳·期中）点关于直线的对称点为（   ） A． B． C． D． 13．（2025·高二·江西·月考）一条光线从点射出，与轴交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 14．（2025·高二·河北邯郸·月考）已知一条入射光线经过两点，经轴反射后，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 考点3：直线关于点对称 15．（2025·高二·全国·单元测试）直线关于点对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 16．（2025·高二·四川绵阳·月考）直线关于点P（2，3）对称的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 17．直线关于点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 考点4：直线关于直线对称 18．（2025·高二·北京·月考）与直线关于y轴对称的直线的方程为（   ）. A． B． C． D． 19．（2025·高二·上海·月考）以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为1的正方形的四条边的方程为（    ）． A． B． C． D． 20．（2025·高二·陕西西安·期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 题型五：两点间距离的应用 21．（2025·高一·江苏盐城·月考）已知三顶点为、、，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 22．（2025·高二·北京房山·期中）已知，，，，，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 23．（2025·高二·陕西汉中·月考）设，直线过定点，直线过定点，则（　　） A． B．2 C．2 D．4 题型六：点到直线距离的应用 24．（2025·高二·河南驻马店·月考）已知，两点到直线的距离相等，则 . 25．（2025·高二·辽宁·月考）点，，则经过原点且与、两点距离相等的直线方程是 . 26．（2025·高一·福建莆田·期末）若直线过点，且到点和点的距离相等，则直线的方程为 ． 题型七：两平行直线间距离的应用 27．（2025·高二·河北秦皇岛·期中）直线与直线间的距离为 ． 28．（2025·高二·河南信阳·期中）已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为 ． 29．（2025·高二·江苏连云港·期中）设为实数，若两条平行直线和之间的距离等于2，则 . 题型八：距离问题的综合应用 30．（2025·高二·江苏宿迁·开学考试）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为. (1)若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； (2)若的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程. 31．（2025·高二·江苏无锡·月考）如图，，设射线所在直线的斜率为，点在内，于，于.    (1)若，，求的值； (2)若，求面积的最大值，并求出相应的值； (3)已知为常数，，的中点为，且，当变化时，求的取值范围． 32．（2025·高二·江苏扬州·月考）已知点、，设过点的直线与的边交于点（其中点异于、两点），与边交于（其中点异于、两点），若设直线的斜率为. (1)试用来表示点和的坐标； (2)求的面积关于直线的斜率的函数关系式； (3)当为何值时，取得最大值？并求此最大值. 题型九：线段和与差的最值问题 33．（2025·高二·陕西西安·期中）直线与直线相交于点，且对任意实数两条直线分别过定点，，则的最大值为（   ） A．4 B．8 C． D． 34．（2025·高二·江苏盐城·月考）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 35．（2025·高二·浙江宁波·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数，下列结论正确的是（   ） A．方程有两个解 B．方程无解 C．的最小值为 D．的最大值为 1．（2025·高二·江苏宿迁·期中）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·高二·湖北·期中）若，两点到直线的距离相等，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 3．（2025·高二·安徽池州·期中）已知实数a，b，c，d满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·高二·山东临沂·期中）已知两直线与，则下列说法正确的是（　　） A．当时， B．当时， C．当时，直线与坐标轴围成的三角形的面积为1 D．当时，直线与轴围成的三角形的面积为 5．（2025·高二·云南怒江·期中）光线从点出发，经过直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 6．（多选题）（2025·高二·江苏宿迁·期中）下列说法中，正确的有（    ） A．直线在轴上的截距为 B．直线与直线之间的距离为2 C．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 D．将直线绕原点逆时针旋转60°，所得到的直线为 7．（2025·高二·河北石家庄·期中）过点作直线l，使它被直线和截得的线段被点P平分，则直线l的斜率为 ． 8．（2025·高二·江苏连云港·期中）函数的最大值为 . 9．（2025·高二·江苏宿迁·期中）在中，的平分线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，已知点坐标为. (1)求点的坐标； (2)求直线的方程. 10．（2025·高二·安徽池州·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 11．（2025·高二·广西来宾·期中）已知直线：，直线：. (1)若与平行，求的值； (2)若与的交点位于第一象限，求的倾斜角的取值范围. 12．（2025·高二·陕西榆林·期中）（1）求经过点，且在轴上的截距为2的直线方程； （2）求经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线方程． 13．（2025·高二·江苏连云港·期中）已知的三个顶点坐标分别为、、． (1)求的边上的高所在的直线方程． (2)求的面积． 14．（2025·高二·广东佛山·期中）在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为. (1)求直线的方程； (2)求直线的方程及点的坐标. 15．（2025·高二·上海·期中）如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，， 点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角形锯成，设直线的斜率为，问：    (1)求直线的方程及斜率的范围； (2)求出点的坐标（含）；并求出当时的面积为； (3)若为的面积，问是否存在实数，使得关于的不等式有解，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $