精品解析：2025年河南省漯河市临颍县三家店镇二中、实验中学联考中考三模数学试题

2025年中招考试数学模拟试题（五） 一、选择题（每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号字母填入题后括号内． 1. 若=3，则的值是( ) A. －3 B. 3 C. D. 2. 我国自主研制的全球最大集装箱船“地中海泰莎”号的甲板面积近似于4个标准足球场，可承载吨的货物，数字用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 9 8 9 9 1.2 0.4 1.8 0.4 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 如图，点是四边形的边延长线上的一点，且，则下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知a是一元二次方程的较小的根，则下面对a的估值正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，等边边长为，是和边上的一点，过作边的垂线，交于，设线段的长度为，的面积为，则与的函数图象正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知，，，，，，，，…，依此规律，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使分式有意义，则x需满足的条件是______． 12. 如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，若，则的度数是______． 13. 现有4种没有标签的无色溶液（蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱），任取其中两种滴加无色酚酞溶液（友情提示：酚酞遇蒸馏水、稀盐酸不变色，酚酞遇烧碱、纯碱变红色）颜色恰好都发生变化的概率是________． 14. 正方形的边长为，E为的中点，连接，过点作交于点，垂足为，则______． 15. 如图，等腰中，底边，点为的中点．将线段绕点旋转得对应线段，连接．旋转过程中，当时，的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1） （2）化简：． 17. 某洗车公司安装了，两款自动洗车设备，工作人员从消费者对，两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级，不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息． 抽取的对款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据： 83，85，85，87，87，89； 抽取的对款设备的评分数据： 68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对，款设备的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 88 96 45% 88 87 40% 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______，_______，_______； （2）5月份，有600名消费者对款自动洗车设备进行评分，估计其中对款自动洗车设备“比较满意”的人数； （3）根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）． 18. 如图，平行四边形的顶点为网格线的交点，反比例函数的图象过格点，． （1）求反比例函数的表达式． （2）将沿所在直线平移，使得点与点重合，画出平移后的． （3）请直接写出四边形的面积． 19. 下面是小红学习了“分式方程应用”做的课堂学习笔记： 题目：小明和同学一起去书店买书，他们先用元买了一种科普书，又用元买了一种文学书，科普书的单价比文学书高出一半，他们所买的科普书比所买的文学书少一本．这种科普书和这种文学书的单价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：所买的文学书数量所买的科普书数量 解法二 设…… 等量关系：科普书单价文学书单价 （1）请根据笔记内容选择上面两个方程中的一个进行解答，并解释所选方程中x所表示的含义； （2）若小明所在的学校图书室计划用不超过1200元的资金购进两种书共200本，最多购进科普书多少本？ 20. 具有河南十大地标的“中国文字博物馆”位于安阳市，是我国第一座以文字为主题的博物馆，整个建筑风格既有现代时尚气息，又充满殷商宫廷风韵，其大门取甲骨文、金文中“字”字之形．某数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了一次测量中国文字博物馆大门高度的课外实践活动，甲、乙两个小组分别设计了如下方案： 课题：测量大门高度 小明的研究报告 小红的研究报告 测量 示意图 测量方案与测量 在点处用距离地面高度为的测角仪测出大门顶端的仰角 在点处放一面镜子，他站在的位置通过，镜子反射刚好看到大门顶端处，同时他还测自己眼睛到地面的距离是，他到大门的距离是， 参考数据 ，，， ，，， 计算大门高度 （1）数学老师看了他们的测量方案后说：“其中一名同学的测量方案存在问题，不能得到测量结果．”你认为 的测量方案存在问题，并提出修改建议． （2）结合小红的测量方案能计算出中华文字博物馆大门的高度吗？若能，请写出计算过程，并将结果精确到0.1米；若不能，请说明理由． 21. 阅读与思考 在学习《直线与圆的位置关系》时，老师布置了一道课后探究题： 已知外一点P（图1），你能用尺规过点作切线吗？你有几种方法？ 小聪同学积极探索作图方法，并且进行了原理说明和总结反思，以下是他的探索过程，请你仔细阅读，并完成相应的任务： 【题目分析】 先画草图，发现若是的切线，则，所以解决此问题的关键是构造一个直角，即在上找一点使． 【作法展示】 ①连接并延长，交于，两点，（如图2） ②以点为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点． ③连接，交于点． ④作直线．直线就是所求作的的切线． 【原理说明】 证明：如图，连接， 由作法可得，，， ∴为等腰三角形， 又∵， ∴． ∴（ ）（填写依据） 又∵点在上，．直线是的切线． 总结反思】 对于较复杂的尺规作图可以按照如下步骤解决： ①先画草图；②借助草图，从结论出发，逆向探究，联想相关知识，思考作法；③利用尺规，按照作法，画出正确图形；④写出结论． 我们不仅要会作图还要知道为什么要这样作图，即实施这些步骤的理由是什么．并且从不同的知识出发可以得到不同的作法，例如本题还可以利用“直径所对的圆周角是直角”得到另一种作法． 任务： （1）上述材料【原理说明】中的依据是________； （2）如图，在图的基础上，在上取一点（不与点，重合），连接，，若，求的度数； （3）请同学们根据小聪的【总结反思】尝试在图1中用尺规过点作出的一条切线．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 22. 阅读理解：如图，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系． （1）解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证≌，得到，从而把，，转化在一个三角形中，即可判断，，之间的等量关系为______； （2）问题探究：如图，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论； （3）问题解决：如图，，与交于点，：：，点在线段上，且，试判断，，之间的数量关系，直接写出你的结论． 23. 数和形是数学研究客观物体两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题． 同学们，请你结合所学的数学解决下列问题． 在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象． （1）求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点； （2）是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中招考试数学模拟试题（五） 一、选择题（每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号字母填入题后括号内． 1. 若=3，则的值是( ) A. －3 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用绝对值的性质分析得出答案． 【详解】∵，=3 ∴ 故选D． 【点睛】此题主要考查了绝对值，正确把握相关定义是解题关键． 2. 我国自主研制的全球最大集装箱船“地中海泰莎”号的甲板面积近似于4个标准足球场，可承载吨的货物，数字用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故选：A． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 3. 四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】从正面看第一层是个小正方形，第二层右边个小正方形， 故选：D． 【点睛】考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 4. 计算结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查分式除法，熟练掌握分式除法的计算方法是解题的关键．根据分式的除法计算即可． 【详解】解： 故选：A． 5. 如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平行线的性质可得∠1=∠D=45°，再由三角形外角的性质可得∠DFA的度数，则互余关系即可求得结果． 【详解】∵AB∥DE，∠D=45°， ∴∠1=∠D=45°． ∵∠1=∠A+∠DFA，∠A=30°， ∴∠DFA=∠1−∠A=15°． ∵∠DFA+∠EFC=90°． ∴∠EFC=90°−∠DFA=90°−15°=75°． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，互余关系等知识，熟练掌握并灵活应用是关键． 6. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 9 8 9 9 1.2 0.4 1.8 0.4 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】根据10次射击成绩的平均数可知淘汰乙；再由10次射击成绩的方差可知，也就是丁的射击成绩比较稳定，从而得到答案． 【详解】解：， 由四人的10次射击成绩的平均数可知淘汰乙； ， 由四人的10次射击成绩的方差可知丁的射击成绩比较稳定； 故选：D． 【点睛】本题考查通过统计数据做决策，熟记平均数与方差的定义与作用是解决问题的关键． 7. 如图，点是四边形的边延长线上的一点，且，则下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定，平行四边形的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．利用平行线的判定方法及平行四边形的判定可得出答案． 【详解】解：A、， ， 又， 四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、∵， ， 又， 四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、不能判断四边形平行四边形，故本选项符合题意； D、∵， ∴， ， ， ， 四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：C． 8. 已知a是一元二次方程的较小的根，则下面对a的估值正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用公式法表示出方程的根，估算即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∵a是较小根， ∴， ∵， ∴， ∴，即：； 故选A． 9. 如图，等边的边长为，是和边上的一点，过作边的垂线，交于，设线段的长度为，的面积为，则与的函数图象正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题是动点问题的函数图象探究题，考查了二次函数图象性质和锐角三角函数的相关知识，解答关键是分析动点到达临界点前后的图形变化．根据题意可知，点为临界点，分别研究在点两侧时的情况即可． 【详解】解：当时，， 当时，，， ， 综上所述，函数图象在时，是开口向上的抛物线的一部分，当时是开口向下的抛物线的一部分， 故选：C． 10. 如图，已知，，，，，，，，…，依此规律，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．根据题意可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为，，据此可求得的坐标． 【详解】解：∵，，，，，，，…，， ∴可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为，， ∵， ∴的坐标为． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使分式有意义，则x需满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件即可求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 12. 如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，若，则的度数是______． 【答案】72° 【解析】 【分析】依据尺规作图的方法可知AD平分∠BAC，依据AC=BC，∠C=36°即可求出∠BAC，进而求出∠DAC，则可求出∠ADB． 【详解】∵AC=BC， ∴∠B=∠BAC， ∵∠C=36°， ∴∠B=∠BAC=， ∵根据题意可知AD平分∠BAC， ∴∠DAC=∠BAC=， ∴∠ADB=∠DAC+∠C=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图法、角平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，判断出AD平分∠BAC是解答本题的关键． 13. 现有4种没有标签的无色溶液（蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱），任取其中两种滴加无色酚酞溶液（友情提示：酚酞遇蒸馏水、稀盐酸不变色，酚酞遇烧碱、纯碱变红色）颜色恰好都发生变化的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱分别记为，画出树状图，找出颜色恰好都发生变化的等可能情况和所有等可能情况，根据概率公式进行求解即可． 【详解】解：蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱分别记为，画树状图如下： ∵颜色恰好都发生变化的是取到的情况有两种，共有12种等可能情况， ∴颜色恰好都发生变化的概率是， 故答案为： 【点睛】此题考查了树状图或列表法求概率，找出所有等可能情况数是解题的关键． 14. 正方形的边长为，E为的中点，连接，过点作交于点，垂足为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先证明△BFC≌△CED，得到DE＝CF＝2，CE＝BF，利用勾股定理可求的长，由面积法可求． 【详解】解：正方形的边长为，E为的中点， ，，DE＝2， ， ， ∴∠CGF＝90°， ， ， ≌（AAS）， ，， ， ， ， ， ， ∴EG＝CE－CG＝， 故答案为：． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 15. 如图，等腰中，底边，点为的中点．将线段绕点旋转得对应线段，连接．旋转过程中，当时，的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】过点作，根据题意得出，分类讨论，当在内部时，根据三角形中位线的性质，即可得出，当在之外，由含度角的直角三角形的性质，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作， ∵等腰中， ∴，则， ∴， ∴ ， 点为的中点， ． 当时，分类讨论如下： 当在内部时，如图，点与边中点重合， 由中位线定理可知，此时； 当在之外，如图2， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， 又， ，在中，． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，分类讨论，分别画出图形是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1） （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用绝对值，零指数意义，负整数指数的法则化简，再合并； （2）运用平方差公式，单项式程多项式法则展开，再合并． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题主要考查了绝对值，零指数幂，负整数指数，平方差公式，单项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握绝对值的定义和代数意义，零指数的规定，负整数指数定义，平方差公式，单项式乘多项式法则． 17. 某洗车公司安装了，两款自动洗车设备，工作人员从消费者对，两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级，不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息． 抽取的对款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据： 83，85，85，87，87，89； 抽取的对款设备的评分数据： 68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对，款设备的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 88 96 45% 88 87 40% 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______，_______，_______； （2）5月份，有600名消费者对款自动洗车设备进行评分，估计其中对款自动洗车设备“比较满意”的人数； （3）根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】（1）15，88，98 （2）90 （3）款，理由：评分数据中款的中位数比款的中位数高（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）先根据“满意”的人数除以总人数求得“满意”所占百分比，进而求得，再根据中位数和众数的定义求得，； （2）利用样本估计总体即可； （3）根据平均数、中位数、众数及“非常满意”所占百分比即可得出结论． 【小问1详解】 解：抽取的对款设备的评分数据中“满意”的有6份， “满意”所占百分比为：， “比较满意”所占百分比为：， ， 抽取的对款设备的评分数据中的中位数是第10份和第11份数据的平均数， “不满意”和“满意”的评分有（份）， 第10份和第11份数据为“满意”，评分分别为87，89， ， 抽取的对款设备的评分数据中出现次数最多的是98， ， 故答案为：15，88，98； 【小问2详解】 解：600名消费者对款自动洗车设备“比较满意”的人数为：（人）， 答：600名消费者对款自动洗车设备“比较满意”的人数为90人． 【小问3详解】 解：款自动洗车设备更受欢迎， 理由：评分数据中款的中位数比款的中位数高（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了扇形统计图，中位数，众数，样本估计总体，从统计图表中获取信息时，认真观察、分析，理解各个数据之间的关系是解题的关键． 18. 如图，平行四边形的顶点为网格线的交点，反比例函数的图象过格点，． （1）求反比例函数的表达式． （2）将沿所在直线平移，使得点与点重合，画出平移后的． （3）请直接写出四边形的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3）30 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，反比例函数与几何综合，求反比例函数解析式，勾股定理，矩形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接把代入进行计算，即可作答． （2）因为将沿所在直线平移，使得点与点重合，所以平移规律是向下平移5个单位长度，向左平移5个单位长度，从而得出点，再依次连接，即可作答． （3）先证明四边形是矩形，再根据勾股定理算出，，最后由矩形的面积公式进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：由图知． 反比例函数经过点， ． 反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：依题意，如图所示． 【小问3详解】 解：结合网格特征得出， ∴四边形是矩形， 则，， 四边形的面积是． 19. 下面是小红学习了“分式方程的应用”做的课堂学习笔记： 题目：小明和同学一起去书店买书，他们先用元买了一种科普书，又用元买了一种文学书，科普书的单价比文学书高出一半，他们所买的科普书比所买的文学书少一本．这种科普书和这种文学书的单价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：所买的文学书数量所买的科普书数量 解法二 设…… 等量关系：科普书单价文学书单价 （1）请根据笔记内容选择上面两个方程中的一个进行解答，并解释所选方程中x所表示的含义； （2）若小明所在的学校图书室计划用不超过1200元的资金购进两种书共200本，最多购进科普书多少本？ 【答案】（1）见解析，解法一中x的含义是文学书的单价，解法一中x的含义是文学书的数量； （2）80本 【解析】 【分析】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用． （1）解法一：设文学书的价格为x元，科普书的价格为元，解列出的方程，即可得到答案；解法二：设购买文学书x本，科普书的价格为元，解列出的方程，即可得到答案； （2）设购买科普书m本，则购买文学书本，根据用不超过1200元的资金购进两种书列出不等式，解不等式即可得到答案． 【小问1详解】 解：解法一：设文学书的价格为x元，科普书的价格为元， 由题意得，， 解得：， 经检验是原分式方程的解，且符合题意， 则科普书的价格为：（元）． 答：文学书的价格为5元，科普书的价格为元； 由上述过程可知，所选方程中x所表示的含义是文学书的价格； 解法二：设购买文学书x本，科普书的价格为元， 由题意得，， 解得：， 经检验是原分式方程的解，且符合题意， 则科普书的价格为：（元）． 文学书的价格为：（元）． 答：文学书的价格为5元，科普书的价格为元； 由上述过程可知，所选方程中x所表示的含义是文学书的数量； 【小问2详解】 解：设购买科普书m本，则购买文学书本， 则有， 解得，． 答：最多购进科普书本． 20. 具有河南十大地标的“中国文字博物馆”位于安阳市，是我国第一座以文字为主题的博物馆，整个建筑风格既有现代时尚气息，又充满殷商宫廷风韵，其大门取甲骨文、金文中“字”字之形．某数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了一次测量中国文字博物馆大门高度的课外实践活动，甲、乙两个小组分别设计了如下方案： 课题：测量大门高度 小明的研究报告 小红的研究报告 测量 示意图 测量方案与测量 在点处用距离地面高度为的测角仪测出大门顶端的仰角 在点处放一面镜子，他站在的位置通过，镜子反射刚好看到大门顶端处，同时他还测自己眼睛到地面的距离是，他到大门的距离是， 参考数据 ，，， ，，， 计算大门高度 （1）数学老师看了他们的测量方案后说：“其中一名同学的测量方案存在问题，不能得到测量结果．”你认为 的测量方案存在问题，并提出修改建议． （2）结合小红的测量方案能计算出中华文字博物馆大门的高度吗？若能，请写出计算过程，并将结果精确到0.1米；若不能，请说明理由． 【答案】（1）小明 （2）能，理由见详解 【解析】 【分析】（1）小明测量数据缺少测角仪与大门的距离，由此可判断存在问题的是小明的方案，修改建议只要再测量出测角仪与大门的距离即可； （2）先利用三角函数关系用表示出和，再利用即可求出大门的高度． 本题是一道综合实践问题，考查解直角三角形仰角俯角问题，解答中涉及相似三角形的判定和性质，理解题意，利用直角三角形的边角关系是解题的关键． 【小问1详解】 解： 小明测量数据缺少测角仪与大门的距离， 小明的测量方案存在问题， 修改建议：在方案中加上“测量出测角仪与大门的距离为____m，”即可； 故答案为：小明； 【小问2详解】 解：能． 作出线段，， 由题意，知，，， 设 在中， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，，，， ， 解得， 答：中华文字博物馆大门的高度约为． 21. 阅读与思考 在学习《直线与圆的位置关系》时，老师布置了一道课后探究题： 已知外一点P（图1），你能用尺规过点作的切线吗？你有几种方法？ 小聪同学积极探索作图方法，并且进行了原理说明和总结反思，以下是他的探索过程，请你仔细阅读，并完成相应的任务： 【题目分析】 先画草图，发现若是的切线，则，所以解决此问题的关键是构造一个直角，即在上找一点使． 【作法展示】 ①连接并延长，交于，两点，（如图2） ②以点为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点． ③连接，交于点． ④作直线．直线就是所求作的的切线． 【原理说明】 证明：如图，连接， 由作法可得，，， ∴为等腰三角形， 又∵， ∴． ∴（ ）（填写依据） 又∵点在上，．直线是的切线． 总结反思】 对于较复杂的尺规作图可以按照如下步骤解决： ①先画草图；②借助草图，从结论出发，逆向探究，联想相关知识，思考作法；③利用尺规，按照作法，画出正确图形；④写出结论． 我们不仅要会作图还要知道为什么要这样作图，即实施这些步骤的理由是什么．并且从不同的知识出发可以得到不同的作法，例如本题还可以利用“直径所对的圆周角是直角”得到另一种作法． 任务： （1）上述材料【原理说明】中的依据是________； （2）如图，在图的基础上，在上取一点（不与点，重合），连接，，若，求的度数； （3）请同学们根据小聪的【总结反思】尝试在图1中用尺规过点作出的一条切线．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）等腰三角形的“三线合一” （2） （3）作图见解析 【解析】 【分析】（1）根据作图得出，，再根据等腰三角形的“三线合一”即可得证； （2）根据等腰三角形的“三线合一”可得，得出，再由圆周角定理即可得出结论； （3）作的垂直平分线，交于点，以点为圆心，以为半径作，交于点，即可得出结论． 【小问1详解】 解：上述材料【原理说明】中的依据是：等腰三角形的“三线合一”， 故答案为：等腰三角形的“三线合一”； 【小问2详解】 由（1）知：，，， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 作的垂直平分线，交于点，以点为圆心，以为半径作，交于点，连接， 由作图可知，为直径， ∴， ∵点在上， ∴直线是的切线， 则直线即为所作． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，考查了作线段的垂直平分线，等腰三角形三线合一性质，切线的判定，直角三角形两锐角互余，圆周角定理，直径所对圆周角是直角等知识点．解题的关键是理解题意，学会利用数形结合思想解决问题． 22. 阅读理解：如图，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系． （1）解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证≌，得到，从而把，，转化在一个三角形中，即可判断，，之间的等量关系为______； （2）问题探究：如图，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论； （3）问题解决：如图，，与交于点，：：，点在线段上，且，试判断，，之间的数量关系，直接写出你的结论． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，正确作出辅助性、解题的关键是灵活运用相关的性质定理和判定定理． （1）延长交的延长线于点，证明，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的判定得到，证明结论； （2）延长交的延长线于点，利用同（1）相同的方法证明； （3）延长交的延长线于点，根据相似三角形的判定定理得到，根据相似三角形的性质得到，计算即可． 【小问1详解】 解：如图①，延长交的延长线于点， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ， 证明：如图②，延长交的延长线于点， 是的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 ， 证明：如图③，延长交的延长线于点， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ． 23. 数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题． 同学们，请你结合所学的数学解决下列问题． 在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象． （1）求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点； （2）是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）或或或 【解析】 【分析】（1）分与两种情况讨论论证即可； （2）当时，不符合题意，当时，对于函数，令，得，从而有或，根据整数，使图象与轴的公共点中有整点，即为整数，从而有或或或或或或或，解之即可． 【小问1详解】 解：当时，，函数为一次函数，此时，令，则，解得， ∴一次函数与轴的交点为； 当时，，函数为二次函数， ∵， ∴ ， ∴当时，与轴总有交点， ∴无论取什么实数，图象与轴总有公共点； 【小问2详解】 解：当时，不符合题意， 当时，对于函数， 令，则， ∴， ∴或 ∴或， ∵，整数，使图象与轴的公共点中有整点，即为整数， ∴或或或或或或或， 解得或或（舍去）或（舍去）或或或（舍去）或（舍去）， ∴或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系以及二次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质以及数形相结合的思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$