精品解析： 广西南宁市西乡塘区2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷

2024-2025学年广西南宁市西乡塘区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式是二次根式的是（     ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的定义，根据二次根式的定义，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数非负． 【详解】解：A. ：被开方数为负数，在实数范围内无意义，不符合二次根式定义； B. ：是整数，未含根号，不属于根式； C. ：根指数为2（省略未写），被开方数2是非负数，符合二次根式定义； D. ：根指数为3，属于三次根式，不符合二次根式根指数为2的要求； 综上，只有选项C是二次根式， 故选：C． 2. 下列各组数中，可以作为直角三角形三条边的长度的是（     ） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 5，6，7 D. 8，9，10 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理判定直角三角形，根据勾股逆定理，判断各组数是否满足两边的平方和等于最长边的平方． 【详解】解：A、，不满足勾股定理； B、，满足勾股定理； C、，不满足勾股定理； D、，不满足勾股定理； 综上，只有选项B符合条件， 故选：B． 3. 如图，在中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角相等这一性质．利用平行四边形对边平行，可得出与的关系，从而求出的度数． 【详解】在中， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 故选：A． 4. 函数中，当时，y的值是（     ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查函数值的计算，将已知的x值代入函数表达式，直接计算对应的y值． 【详解】解：已知函数为，当时，代入得： ， 因此，当时，的值是1， 故选：D． 5. 水是生命之源．为了倡导节约用水，随机抽取某小区7户家庭上个月家里的用水量情况（单位：吨），数据为：7，5，6，8，8，9，，这组数据的众数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数．熟练掌握众数的定义是解题的关键． 根据众数是出现次数最多的数据求解作答即即可． 【详解】解：由题意知，这组数据中，出现次数最多的是8，所以众数是8， 故选：B． 6. 下列二次根式中，可以与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的定义：二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式；解题的关键是正确化简各选项的二次根式．先化简选项中各个二次根式，然后找出被开方数为的二次根式即可． 【详解】解：A．，不能与合并，故本选项不符合题意； B．的被开方数是，不能与合并，故本选项不符合题意； C．，其被开方数是，能与合并，故本选项符合题意； D．，其被开方数是，不能与合并，故本选项不符合题意； 故选：C． 7. 顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 平行四边形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的判定．如图，根据三角形的中位线得出，，进而得证平行四边形． 【详解】解：如图，四边形中，、、、分别是、、、的中点， ，， 同理，， ，， 四边形是平行四边形， 故选：C． 8. 我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A. 测量是否有三个角是直角 B. 测量对角线是否相等 C. 测量两组对边是否分别相等 D. 测量对角线是否互相垂直 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法，是解题的关键． 根据矩形的判定方法即可得到结论． 【详解】解：A、测量其中三个角是否为直角，能判定矩形；符合题意； B、测量对角线是否相等，不能判定形状；不符合题意； C、测量两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；不符合题意； D、测量对角线是否互相垂直，不能判定形状；不符合题意． 故选：A． 9. 利用勾股定理可以作出长为无理数的线段．如图，，过点作直线，在上取点，使，以点为圆心，的长为半径作弧，与数轴正半轴交于点，那么点表示的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握勾股定理和两点间的距离公式． 由题意可知：，，再根据勾股定理求出，从而求出，然后设点表示的数为，根据两点间的距离公式，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解：由题意可知：， 直线， ， 由勾股定理得：， 设点表示的数为， ， 或不合题意舍去， 点C表示的数是， 故选：． 10. 一次函数的图象大致是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可知该函数图象经过第一、二、四象限，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：一次函数， 该函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：． 11. 如图，若一次函数（，为常数，且）的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据函数图象，当时，， 所以不等式的解集为． 故选：A． 12. 如图①的矩形纸板，沿其中一条对角线裁剪可得到两个全等的直角三角形，三角板的较长的直角边长为，，若左侧的三角形保持不动，右侧的三角形沿斜边向右下方向滑动，当四边形是菱形时， 如图②，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，等腰三角形性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理． 根据含30度的直角三角形性质得到，利用菱形的性质，矩形的性质，以及等腰三角形性质得到，进而得到，最后利用勾股定理建立等式求解，即可解题． 【详解】解：图②中四边形是菱形， ， ， ， 图①四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， 三角板的较长的直角边长为， ， 即， 解得， 故选：A． 【点睛】 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 14. 某校把学生数学的期中、期末两次成绩分别是按，的比例计入学期总成绩，小芳数学期中成绩是90分，期末成绩是85分，那她的数学学期总成绩为______分． 【答案】87 【解析】 【分析】此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是本题的关键．根据学期数学总成绩期中数学成绩所占的百分比期末数学成绩所占的百分比即可求得学期总成绩． 【详解】解：他的数学学期总成绩为（分）， 故答案为：． 15. 如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与二元一次方程组的解，从数与形两个方面来理解两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解关系是解题关键．由交点坐标，代入求出的值，再根据方程组的解就是两个对应的一次函数图象的交点坐标求出方程组的解即可． 【详解】解：∵一次函数与的图象相交于点， ∴， 解得：， ∴， ∴的解是． 故答案为：． 16. 如图，正方形的边长为12，点在边上且，点是上一动点，则的最小值为_________． 【答案】13 【解析】 【分析】作BC上一点，且，并连接；结合正方形性质，通过证明得到，从而将最小值问题转化为最小值问题；再根据两点之间直线段最短的性质和勾股定理，经计算即可完成求解． 【详解】如图，作BC上一点，且，并连接 ∵正方形 ∴ ∴ ∴ ∴ 根据两点之间直线段最短的性质得：最小值，如下图所示： ∵正方形 ∴ ∴ ∵正方形的边长为12， ∴ ∴ 即的最小值为：13 故答案为：13． 【点睛】本题考查了全等三角形、正方形、勾股定理、直线的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、正方形、勾股定理和两点之间直线段最短的性质，从而完成求解． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （）利用二次根式的乘除法则计算后再算减法即可； （）将已知数值代入中并利用平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ． 18. 如图，四边形是菱形，延长到点F，使，连接交于点 （1）请你用无刻度的直尺和圆规把图形补充完整保留作图痕迹，并证明E是的中点； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）补全图形见解答过程；证明见解答过程 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，理解菱形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质是解决问题的关键． 依题意补全图形即可，根据菱形性质得，，进而得，，由此根据“”判定和全等得，据此即可得出结论； 根据和全等得，进而得是线段的垂直平分线，则，然后再根据菱形的性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：以点B为圆心，以为半径画弧交的延长线于点F，连接交于点E，如图所示： 四边形是菱形， ，， ，， ， ， ， ， 点E是的中点； 【小问2详解】 ， ， ， 是线段的垂直平分线， ， 在菱形中，， ， 19. 为提高居民防范电信诈骗意识，确保反诈宣传工作落地见效，某社区举行《2024年防诈骗知识》竞赛，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取20份答卷，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下： 收集数据 甲小区：85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 89 90 70 90 100 80 80 90 96 75 乙小区：80 60 80 95 65 100 90 85 85 80 95 75 80 90 70 80 95 75 100 90 整理数据 成绩x（分） 甲小区 2 5 8 5 乙小区 3 7 5 5 分析数据 统计量 平均数 中位数 众数 甲小区 85.75 87 a 乙小区 83.5 b 80 （1）填空：a＝ ，b＝ ； （2）若甲小区共有1000人参与答卷，请估计甲小区成绩大于80分的人数； （3）根据以上数据分析，你认为甲、乙两个小区哪一个对防诈骗知识掌握更好？请写出其中一个理由． 【答案】（1）90，82.5 （2）估计甲小区成绩大于80分的人数为650人 （3）甲小区的居民对防诈骗知识掌握更好 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）由甲小区共有人数乘以甲小区成绩大于80分的人数所占的比例即可； （3）依据表格中平均数、中位数、众数，做出判断即可． 【小问1详解】 解：甲小区中成绩为90分的出现了4次，出现的次数最多，则甲小区的众数； 把乙小区得分从低到高排列，处在第10名和第11名的得分分别为80分，85分，则乙小区的中位数， 故答案为：90；； 【小问2详解】 解：人， ∴估计甲小区成绩大于80分的人数为650人； 【小问3详解】 解：甲小区对防诈骗知识掌握更好，理由如下： ①甲小区的平均数大于乙小区的平均数； ②甲小区的中位数大于乙小区的中位数； ③甲小区的众数大于乙小区的众数． 综上：甲小区对防诈骗知识掌握更好． 【点睛】本题考查了众数、中位数、平均数、频数分布表、用样本估计总体等知识；熟练掌握众数、中位数的定义是解题的关键． 20. 如图，在中，过点A作于点E，延长至点F，使，连接， （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键． （1）由，可得，即，结合，可得四边形是平行四边形，再结合，可得平行四边形是矩形； （2）根据矩形的性质和勾股定理以及平行四边形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 证明：在中，，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，， ， ， 的面积． 21. 综合与实践 项目背景 某校为更好地开展劳动实践活动，在校园内开辟了一片小菜园，用来种植甲、乙两种菜苗． 项目主题 探究不同种菜苗高度与种植天数的关系，查阅资料可知，两种菜苗的最终高度都不超过cm 研究步骤 ①选定小菜园中土壤水平及光照时长相同的一块地，并选择甲、乙两种菜苗进行种植； ②从种植开始每两天记录一次数据； ③数据分析，形成结论． 数据记录： 已种菜苗天数天 0 2 4 6 8 10 … 甲种菜苗高度cm 6 9 12 15 18 21 … 乙种菜苗高度cm 15 16 17 18 19 20 … 初步分析：通过分析数据得两种菜苗的高度，（单位：cm）与已种菜苗天数均为一次函数关系． 问题解决 请根据上述材料完成下列问题． （1）在平面直角坐标系中分别画出菜苗高度，单位：cm关于已种菜苗天数单位：天的函数图象； （2）求出关于x的函数关系式，不用写出自变量的取值范围，并求出第16天乙种菜苗的高度； （3）观察函数图象，据实践经验可得这两种菜苗均在菜苗高度达到45cm左右时开花，请估计哪种菜苗先开花，并说明理由． 【答案】（1）见解析，（2），，（3）甲种菜苗先开花；理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． （1）依据题意，由表格数据，应用描点法，即可求解； （2）依据题意，设，代入点，，求出k，b后可得解析式，然后将代入，即可求解； （3）依据题意，由两条直线的交点，确定达到相同高度后的图象始终在的图象上方，即可求解． 【详解】解：（1）作图如解图： （2）设与x的函数关系式为，将点，，分别代入得： ，解得 与x的函数关系式为； 当时，， 第16天乙种菜苗的高度为． （3）甲种菜苗先开花；理由如下： 由图象可知，当甲，乙两种菜苗高度相同时即与的交点处都未达到的高度， 达到相同高度后的图象始终在的图象上方， 甲种菜苗比乙种菜苗先达到高度， 故答案为：甲种菜苗先开花． 22. 宇树科技的人形机器人在春晚舞台的惊艳亮相，迅速成为社交媒体热议的焦点．“让机器人走进千家万户，成为生活的好帮手”不再是遥不可及的梦想．某公司计划购买A，B两种机器人进行销售．已知购买1个A种机器人和2个B种机器人共需38万元，购买2个A种机器人和1个B种机器人共需34万元． （1）求购买一个A，B种机器人各需多少万元？ （2）该公司准备用不超过1200万元再购进第二批A，B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过75个．据市场销售分析，当A种机器人提价，B种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案． 【答案】（1）购买一个A种机器人需10万元，一个B种机器人需14万元； （2）最佳购进方案：购进 A 种机器人50 个，B 种机器人50 个，最大利润为215 万元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用． （1）依据题意，设购买一个A种机器人需x万元，一个B种机器人需y万元，则，进而计算可以得解； （2）依据题意，设购进 A 种机器人m个，则购进 B 种机器人个，则，且，可得，从而总利润W的表达式，故W随m的增大而减小，从而当m取最小值时，W最大，结合，进而可以判断得解． 【小问1详解】 解：由题意，设购买一个A种机器人需x万元，一个B种机器人需y万元， 则， ， 答：购买一个A种机器人需10万元，一个B种机器人需14万元； 【小问2详解】 解：由题意，设购进 A 种机器人m个，则购进 B 种机器人个， ，且 又总利润W的表达式：， 随m的增大而减小． 当m取最小值时，W最大． ， 当时，此时取最大利润，最大利润（万元）． 答：最佳购进方案：购进 A 种机器人50 个，B 种机器人50 个，最大利润为215 万元． 23. 综合与探究 （1）【课本再现】人教版八年级数学下册第48页详细介绍了中位线定理的证明过程，方法如下：如图1，D，E分别是中点，延长到F，使，连接，先证明，再证四边形是平行四边形，从而得到线段与的位置关系和数量关系分别为______，______． （2）【初步运用】如图2，正方形中，E为边中点，G，F分别在边上，且，，，求长． （3）【拓展延伸】如图3，四边形中，，，E为中点，G，F分别为边上的点，若，，求长． 【答案】（1）DEBC， （2）7 （3） 【解析】 【分析】（1）根据材料提供的思路进行证明即可得出结论； （2）延长交于点H，可证得，结合条件可证明垂直平分，可得，可求得的长； （3）过点D作的平行线交的延长线于点H，过H作的垂线，垂足为P，连接，同法可得，结合条件可得到为度的直角三角形，可求得的长，在中，可求得，则可求得的长． 【小问1详解】 解：， 如图1，在中，延长、E分别是的中点到点F，使得，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 如图2，延长交于点H， 为中点， ，且， 在和中， ， ， ，， ， 垂直平分， ； 【小问3详解】 如图3，过点D作的平行线交的延长线于点H，过H作的垂线，垂足为P，连接， 同（1）可知，， ，， ， ， ， ，， ， ， 在中，，，， 【点睛】本题为四边形的综合应用，涉及知识点有正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理等．正确作出辅助线，构造三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广西南宁市西乡塘区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式是二次根式的是（     ） A. B. 2 C. D. 2. 下列各组数中，可以作为直角三角形三条边的长度的是（     ） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 5，6，7 D. 8，9，10 3. 如图，在中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 函数中，当时，y的值是（     ） A. B. C. 2 D. 1 5. 水是生命之源．为了倡导节约用水，随机抽取某小区7户家庭上个月家里的用水量情况（单位：吨），数据为：7，5，6，8，8，9，，这组数据的众数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 6. 下列二次根式中，可以与合并的是（ ） A. B. C. D. 7. 顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 平行四边形 D. 正方形 8. 我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A. 测量是否有三个角是直角 B. 测量对角线是否相等 C. 测量两组对边是否分别相等 D. 测量对角线是否互相垂直 9. 利用勾股定理可以作出长为无理数的线段．如图，，过点作直线，在上取点，使，以点为圆心，的长为半径作弧，与数轴正半轴交于点，那么点表示的是（    ） A. B. C. D. 10. 一次函数的图象大致是（    ） A. B. C. D. 11. 如图，若一次函数（，为常数，且）的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 12. 如图①的矩形纸板，沿其中一条对角线裁剪可得到两个全等的直角三角形，三角板的较长的直角边长为，，若左侧的三角形保持不动，右侧的三角形沿斜边向右下方向滑动，当四边形是菱形时， 如图②，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 14. 某校把学生数学的期中、期末两次成绩分别是按，的比例计入学期总成绩，小芳数学期中成绩是90分，期末成绩是85分，那她的数学学期总成绩为______分． 15. 如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是_____． 16. 如图，正方形的边长为12，点在边上且，点是上一动点，则的最小值为_________． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）已知，，求的值． 18. 如图，四边形是菱形，延长到点F，使，连接交于点 （1）请你用无刻度的直尺和圆规把图形补充完整保留作图痕迹，并证明E是的中点； （2）连接，若，，求的长． 19. 为提高居民防范电信诈骗意识，确保反诈宣传工作落地见效，某社区举行《2024年防诈骗知识》竞赛，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取20份答卷，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下： 收集数据 甲小区：85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 89 90 70 90 100 80 80 90 96 75 乙小区：80 60 80 95 65 100 90 85 85 80 95 75 80 90 70 80 95 75 100 90 整理数据 成绩x（分） 甲小区 2 5 8 5 乙小区 3 7 5 5 分析数据 统计量 平均数 中位数 众数 甲小区 85.75 87 a 乙小区 83.5 b 80 （1）填空：a＝ ，b＝ ； （2）若甲小区共有1000人参与答卷，请估计甲小区成绩大于80分的人数； （3）根据以上数据分析，你认为甲、乙两个小区哪一个对防诈骗知识掌握更好？请写出其中一个理由． 20. 如图，在中，过点A作于点E，延长至点F，使，连接， （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的面积． 21. 综合与实践 项目背景 某校为更好地开展劳动实践活动，在校园内开辟了一片小菜园，用来种植甲、乙两种菜苗． 项目主题 探究不同种菜苗高度与种植天数的关系，查阅资料可知，两种菜苗的最终高度都不超过cm 研究步骤 ①选定小菜园中土壤水平及光照时长相同的一块地，并选择甲、乙两种菜苗进行种植； ②从种植开始每两天记录一次数据； ③数据分析，形成结论． 数据记录： 已种菜苗天数天 0 2 4 6 8 10 … 甲种菜苗高度cm 6 9 12 15 18 21 … 乙种菜苗高度cm 15 16 17 18 19 20 … 初步分析：通过分析数据得两种菜苗的高度，（单位：cm）与已种菜苗天数均为一次函数关系． 问题解决 请根据上述材料完成下列问题． （1）在平面直角坐标系中分别画出菜苗高度，单位：cm关于已种菜苗天数单位：天的函数图象； （2）求出关于x的函数关系式，不用写出自变量的取值范围，并求出第16天乙种菜苗的高度； （3）观察函数图象，据实践经验可得这两种菜苗均在菜苗高度达到45cm左右时开花，请估计哪种菜苗先开花，并说明理由． 22. 宇树科技的人形机器人在春晚舞台的惊艳亮相，迅速成为社交媒体热议的焦点．“让机器人走进千家万户，成为生活的好帮手”不再是遥不可及的梦想．某公司计划购买A，B两种机器人进行销售．已知购买1个A种机器人和2个B种机器人共需38万元，购买2个A种机器人和1个B种机器人共需34万元． （1）求购买一个A，B种机器人各需多少万元？ （2）该公司准备用不超过1200万元再购进第二批A，B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过75个．据市场销售分析，当A种机器人提价，B种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案． 23. 综合与探究 （1）【课本再现】人教版八年级数学下册第48页详细介绍了中位线定理的证明过程，方法如下：如图1，D，E分别是中点，延长到F，使，连接，先证明，再证四边形是平行四边形，从而得到线段与的位置关系和数量关系分别为______，______． （2）【初步运用】如图2，正方形中，E为边中点，G，F分别在边上，且，，，求长． （3）【拓展延伸】如图3，四边形中，，，E为中点，G，F分别为边上的点，若，，求长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $