精品解析：辽宁省葫芦岛市连山区2024-2025学年下学期八年级第三次素养测试数学试卷

2024-2025学年度下学期第一次限时性作业八年级数学学科 考试时间：100分钟 试卷满分：120分 ※考生注意： 请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本题10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果为（　　） A. B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘法法则，先将两个根号内的数相乘，再化简结果，并注意符号的处理． 【详解】解：， 故选：B． 2. 给出下列判断，正确的是（　　） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 四条边相等的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，需根据各图形的定义及判定条件逐一分析选项即可． 【详解】解：A. 对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等，但并非矩形，故A错误，不符合题意； B. 四条边相等的四边形是菱形，而正方形需满足对角线相等且垂直，仅四边相等无法确定为正方形，故B错误，不符合题意； C. 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，例如对角线垂直但邻边不等的“风筝”四边形，故 C错误，不符合题意； D. 根据平行四边形判定定理，一组对边平行且相等的四边形必为平行四边形，故D正确，符合题意； 故选：D． 3. 如果直线与轴交于点，那么的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数，直线与x轴的交点纵坐标为0，将点代入直线方程即可求解m的值． 【详解】解：将点代入直线方程，得：， 解得， 故选：B． 4. 《数书九章》里记载有这样一道题，其大意是：有一块三角形沙地，三条边长分别为5里，12里，13里，则该沙田的面积为（　　） A. 30平方里 B. 50平方里 C. 60平方里 D. 65平方里 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形面积的求解，判断出三角形的形状是解决本题的关键． 首先根据三条边长判断三角形是否为直角三角形，利用勾股定理逆定理验证后直接计算三角形的面积即可． 【详解】解：因为三边长分别为5里、12里、13里， 根据勾股定理，满足 ，则该三角形为直角三角形， 直角边为5里和12里，斜边为13里， 所以该直角三角形面积公式为：平方里． 故选：A． 5. 如图，在中，于点，于点．若，，且的周长为20，则的面积为（　　） A. 24 B. 36 C. 40 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，设，则，等积法列出方程求出的值，进而求出面积即可． 【详解】解：∵的周长为， ∴， 设，则， 由题意得：，即：， ∴， ∴的面积为； 故选A． 6. 如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，三线合一，作，勾股定理求出的长，三线合一求出的长，再利用勾股定理求出的长，再根据线段的和差关系进行计算即可． 【详解】解：作于点， ∵在中，， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故选B． 7. 下列图形能表示一次函数与正比例函数（，为常数，且）图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数的图象有四种情况：①当，，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限． 根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论的符号，然后根据m、n同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断． 【详解】解：①当，m，n同号，同正时过一、二、三象限，同负时过二、三、四象限； ②当时，m，n异号，则过一、三、四象限或一、二、四象限． 故选：A． 8. 已知一次函数，当增加2时，减少6，则的值是（　　） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，设直线一个点，当增加2时，减少6，变化后的新点坐标为，代入解析式解答即可． 本题考查了直线过点，一次函数性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，设直线一个点，当增加2时，减少6，变化后的新点坐标为， 故 解得， 故选：B． 9. 如图，在等腰三角形中，，点D为中点，连结，若，，则y与x之间的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的图象、等腰三角形的性质及直角三角形的性质．根据题意，先得出y与x的函数关系式，再结合x的取值范围进行判断即可． 【详解】解：因为， 所以， 即， 所以． 因为， 所以， 观察四个选项，D选项符合题意． 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，已知是轴上的一点，分别为直线和轴上的动点，当的周长最小时，点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，坐标与轴对称，作点关于轴的对称点，关于直线的对称点，连接，与轴的交点即为点，与直线的交点即为点，求出直线的解析式，与直线联立，求出点的坐标即可． 【详解】解：∵， ∴时，，时，， ∴， ∴， ∴， 作点关于轴的对称点，关于直线的对称点，连接，交于点，作， 则：的周长，， ∴当在线段上时，的周长最小， ∵，，， ∴，，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∵对称， ∴为的中点， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得：，解得：， ∴， 联立，解得：， ∴； 故选C． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 如图，团扇是中国传统工艺品，现某课外小组手工制作了一个长为，宽为长方形扇面，求这个长方形扇面的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的应用，根据长方形面积计算公式进行二次根式的乘法运算即可． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 12. 如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是_____米． 【答案】2.5 【解析】 【详解】试题解析：将台阶展开，如图， 三级台阶平面展开图为长方形，长即为2米，宽即 为(0.2+0.3)×3米，即1.5米， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长即的斜边的长， 在中，米，米， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是2.5米． 13. 如图，一次函数y=﹣x﹣2与y=2x+m的图象相交于点P（n，﹣4），则关于x的不等式组的解集为_____． 【答案】﹣2＜x＜2 【解析】 【分析】先将点P（n，﹣4）代入y=﹣x﹣2，求出n的值，再找出直线y=2x+m落在y=﹣x﹣2的下方且都在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围即可． 【详解】∵一次函数y=﹣x﹣2的图象过点P（n，﹣4）， ∴﹣4=﹣n﹣2，解得n=2， ∴P（2，﹣4）， 又∵y=﹣x﹣2与x轴的交点是（﹣2，0）， ∴关于x的不等式组的解集为 故答案为 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确确定出n的值，是解答本题的关键． 14. 如图，在正方形中，，分别为边、的中点，连接、，点分别为、的中点，连接，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解决本题的关键． 连接并延长交于点，连接，根据正方形的性质得到，，，推出，，可证明，得到，求出，由点分别为、的中点得到是的中位线，推出． 【详解】解：如图，连接并延长交于点，连接， 正方形， ，，， ，， 分别为边、的中点， ， 是的中点， ， ， ， ， ， 点分别为、的中点， 是的中位线， ， 故答案为：． 15. 已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（0，8），点B坐标为（4，0），点E是直线y=x+4上的一个动点，若∠EAB=∠ABO，则点E的坐标为_____________． 【答案】(－12，－8)；(4,8) 【解析】 【分析】分两种情况：当点E在y轴右侧时，由条件可判定AE∥BO，容易求得E点坐标；当点E在y轴左侧时，可设E点坐标为（a，a+4），过AE作直线交x轴于点C，可表示出直线AE的解析式，可表示出C点坐标，再根据勾股定理可表示出AC的长，由条件可得到AC=BC，可得到关于a的方程，可求得E点坐标． 【详解】(1)当点E在y轴右侧时，如图1，连接AE， ∵∠EAB=∠ABO， ∴AE∥OB， ∵A（0，8）， ∴E点纵坐标为8， 又E点在直线y=x+4上，把y=8代入可求得x=4， ∴E点坐标为（4，8）； (2)当点E在y轴左侧时，过A、E作直线交x轴于点C，如图2， 设C（m，0）， ∵∠EAB=∠ABO， ∴AC=BC， ∴（4-m）2=m2+82， 解得m=-6， ∴C（6,0） ∴直线AC的解析式为， ∵E是直线AC与y=x+4的交点 ∴联立，解得 ∴E（-12，-8）． 综上可知，E点坐标为（4，8）或（-12，-8）． 故答案为：（4，8）或（-12，-8）． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、等腰三角形的性质、分类讨论思想等知识点．确定出E点的位置，由条件得到AE∥OB或AC=BC是解题的关键．本题难度未大，注意考虑全面即可． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，化简绝对值，计算零指数幂，再加减即可； （2）先计算括号内二次根式加法，化为最简二次根式，然后进行二次根式的除法运算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 18. 在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．证明四边形是菱形 【答案】 证明：如图， ， ， 是的中点，是边上的中线， ，， 在和中， ， （）， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ，是的中点， ， ∴四边形是菱形. 【解析】 【分析】根据是的中点，，易证得，即可得，又由在中，，是的中点，可得，证得四边形是平行四边形，继而判定四边形是菱形。 【详解】略 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．根据图形求解是关键． 19. 已知是一次函数， （1）求的值； （2）若点均在该一次函数的图象上，试比较，的大小关系，并说明理由． （3）将点向下平移3个单位长度，得到点，恰好点在该一次函数图象上，求一次函数的图象与线段有交点时的取值范围． 【答案】（1） （2），理由如下： 根据题意，得， ， 故y随x的增大而减小， 又点均在该一次函数的图象上， 且， 故． （3） 【解析】 【分析】（1）根据一次函数的定义，得1且，解答即可； （2）根据题意，得，根据一次函数的增减性，解答即可． （3）根据平移确定点代入，确定坐标，根据解析式解答即可． 本题考查了一次函数的定义，平移，一次函数的性质，熟练掌握性质和定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：由于是一次函数， ∴且， ∴，且， 解得或且， 故． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据题意，得代入， 得， 解得， ∴，， 设与y轴的交点为E， ∵过定点，且与有交点， ∴，或， ∴或， ∵与有交点的范围是直线高于直线，低于直线 ∴． 20. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点A(2，3)与点B(0，5)． （1）求此一次函数的解析式． （2）若P点为此一次函数图象上一点，且△POB的面积为10.求点P坐标． 【答案】（1）y=－x+5 ；（2）P1（4，1），P2（－4，－9）. 【解析】 【分析】（1）设此一次函数的表达式为y=kx+b（k≠0）．由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出该函数的表达式； （2）设点P的坐标为（a，-a+5）．根据三角形的面积公式即可列出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【详解】(1)设此一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0). ∵一次函数的图象经过点A(2,3)与点B(0,5)， ∴,解得. ∴此一次函数的表达式为y=−x+5. (2)设点P的坐标为(a,−a+5). ∵B(0,5)， ∴OB=5. ∵S△POB=10， ∴×5×|a|=10. ∴|a|=4. ∴a=±4. ∴点P的坐标为(4,1)或(−4,9). 【点睛】本题考查一次函数和三角形的面积公式，解题的关键是掌握待定系数法求一次函数解析式. 21. 【综合与应用】某校在冬季运动会来临之际准备购进一批奖杯用于鼓励运动员，现了解到甲、乙商场对两种奖杯推出了不同的优惠活动，那么选择到哪个商场按何种方案更优惠呢？某数学学习小组针对此问题进行了如下研究： 选择更优惠的奖杯购买方案 素材一 在甲或乙商场原价购买3个A种奖杯和4个B种奖杯共需180元；购买1个A种奖杯和2个B种奖杯共需80元． 素材二 甲、乙两个商场的优惠方案 甲商场：A、B两种奖杯均按原价的9折销售． 乙商场：①购买A种奖杯的数量不超过10个时，按原价销售；数量超过10个时，超过的部分按原价的8折销售．②购买B种奖杯不打折． 问题解决 任务一 （1）求A、B两种奖杯的原价． 任务二 （2）学校打算购买A、B两种奖杯共100个，若设购买A种奖杯个，选择在甲商场购买的总费用为元，选择在乙商场购买的总费用为元．请直接写出和关于的函数表达式，并为学校设计比较合算的购买方案． 【答案】（1）A种奖杯的原价为20元，B种奖杯的原价为30元； （2）学校购买方案如下：当A种奖杯数量少于68个时，在甲商场购买比较合算； 当A种奖杯数量等于68个时，在甲、乙商场购买一样合算； 当A种奖杯数量多于68个且不超过100个时，在乙商场购买比较合算． 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一次函数的运用，理解数量关系，正确列式，并掌握一次函数图象的性质是解题的关键． （1）设A、B两种奖杯的原价分别为元、元，根据数量关系列式求解即可； （2）根据数量关系求解析式，根据一次函数图象的性质求解即可． 【详解】解：（1）设A、B两种奖杯的原价分别为元、元， 根据题意，可列方程组， 解得， 答：A种奖杯的原价为20元，B种奖杯的原价为30元． （2）， 当时，， 当时，， 即， ∴所求函数表达式分别为 ， 当时，， 令， 解得， 当时，， 当时，， 当时，． 综上所述，学校购买方案如下： 当A种奖杯数量少于68个时，在甲商场购买比较合算； 当A种奖杯数量等于68个时，在甲、乙商场购买一样合算； 当A种奖杯数量多于68个且不超过100个时，在乙商场购买比较合算． 22. 定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．如图1，，四边形是损矩形，则该损矩形的直径是线段．同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边的同侧的两个角是相等的．如图1中：和有公共边，在同侧有和，此时；再比如和有公共边，在同侧有和，此时． （1）请在图1中再找出一对这样的角来：________________________． （2）如图2，中，，以为一边向外作菱形，D为菱形对角线的交点，连接，当平分时，判断四边形为何种特殊的四边形？请说明理由． （3）在第（2）题的条件下，若此时，，求的长． 【答案】（1） （2） 四边形为正方形； 证明：，平分， ， 四边形为菱形， ，即， ， 四边形为损矩形， 由（1）得， ， 四边形为正方形； （3）． 【解析】 【分析】（1）以为公共边，有； （2）证明，则四边形为损矩形，根据，可得结论； （3）如图2，过点作，过点作交的延长线于点，证明，得，根据平行线等分线段定理可得，从而得结论． 【小问1详解】 解：由图1得：和有公共边，在同侧有和，此时； 故答案为：（或）； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作，过点作交的延长线于点， ， 为等腰直角三角形， ， ，，， ， ， ， ∵，， ， ． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了损矩形和损矩形的直径的概念，等腰直角三角形的性质，菱形的性质，正方形的判定等知识，认真阅读理解新定义，作辅助线构建全等三角形是关键． 23. 【模型建立】 如图1，等腰中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，易证． 【应用模型】 （1）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点与坐标原点重合，和所在直线分别为轴、轴，若，请解答下列问题： ①点的坐标是___________，点的坐标是___________； ②在轴上存在点，使得以为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点的坐标：___________； 【学以致用】 （2）如图3，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点旋转至直线，求直线的函数表达式． 【拓展提升】 （3）如图4，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点坐标为，点为直线上一点，点为轴上一点，若三点构成以为直角边的等腰直角三角形，直接写出点的坐标． 【答案】（1）①，；②或；（2）；（3）或或或． 【解析】 【分析】（1）①利用证明，再根据即可得到点C的坐标，根据全等三角形的性质即可得到，，从而得到，即可得到点A的坐标； ②分M在原点右侧和在原点左侧两种情况讨论求解即可； （2）过点A作交于点C，过点C作轴，求出，，然后证明出，，，求出，然后利用待定系数法求解即可． （3）利用分类讨论的思想，然后将等腰直角三角形转化为构造“一线三等角”的全等，利用全等三角形的性质，得出对应边相等，建立等量关系． 【详解】解：（1）①∵，， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴； ∵，， ∴，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴点A的坐标为； 故答案为：，； ②如图所示，当M在原点右边时，连接，，以O、A、B、M为顶点的四边形的面积为S， ∴ ∴， ∴点M的坐标为； 如图所示，当点M在原点左侧时，连接，， ∴ ∴， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或； （2）如图所示，过点A作交于点C，过点C作轴 ∵直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当时， ∴ ∴ 当时， 解得 ∴ ∴， ∵将直线绕点B旋转至直线， ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴设直线表达式为 ∴ 解得 ∴设直线表达式为． （3）依题意，设点， ①当时，如图，作于点，作于点． ． ，， ， 又 ， ． ， 解得或， 或． ②当时，如图过点作，作于点，作于点． 同理可证：， ，． 设 ， 解得：或0或（舍） 或． 综上所述，点的坐标为或或或 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质和判定，坐标与图形等等，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期第一次限时性作业八年级数学学科 考试时间：100分钟 试卷满分：120分 ※考生注意： 请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本题10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果为（　　） A. B. C. D. 6 2. 给出下列判断，正确的是（　　） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 四条边相等的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 3. 如果直线与轴交于点，那么的值为（　　） A. B. C. D. 4. 《数书九章》里记载有这样一道题，其大意是：有一块三角形沙地，三条边长分别为5里，12里，13里，则该沙田的面积为（　　） A. 30平方里 B. 50平方里 C. 60平方里 D. 65平方里 5. 如图，在中，于点，于点．若，，且的周长为20，则的面积为（　　） A. 24 B. 36 C. 40 D. 48 6. 如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（　　） A. B. C. D. 7. 下列图形能表示一次函数与正比例函数（，为常数，且）图象的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知一次函数，当增加2时，减少6，则的值是（　　） A. 3 B. C. 2 D. 9. 如图，在等腰三角形中，，点D为中点，连结，若，，则y与x之间的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，已知是轴上的一点，分别为直线和轴上的动点，当的周长最小时，点的坐标为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 如图，团扇是中国传统工艺品，现某课外小组手工制作了一个长为，宽为长方形扇面，求这个长方形扇面的面积为___________． 12. 如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是_____米． 13. 如图，一次函数y=﹣x﹣2与y=2x+m的图象相交于点P（n，﹣4），则关于x的不等式组的解集为_____． 14. 如图，在正方形中，，分别为边、的中点，连接、，点分别为、的中点，连接，则的长是______． 15. 已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（0，8），点B坐标为（4，0），点E是直线y=x+4上的一个动点，若∠EAB=∠ABO，则点E的坐标为_____________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．证明四边形是菱形 19. 已知是一次函数， （1）求的值； （2）若点均在该一次函数的图象上，试比较，的大小关系，并说明理由． （3）将点向下平移3个单位长度，得到点，恰好点在该一次函数图象上，求一次函数的图象与线段有交点时的取值范围． 20. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点A(2，3)与点B(0，5)． （1）求此一次函数的解析式． （2）若P点为此一次函数图象上一点，且△POB的面积为10.求点P坐标． 21. 【综合与应用】某校在冬季运动会来临之际准备购进一批奖杯用于鼓励运动员，现了解到甲、乙商场对两种奖杯推出了不同的优惠活动，那么选择到哪个商场按何种方案更优惠呢？某数学学习小组针对此问题进行了如下研究： 选择更优惠的奖杯购买方案 素材一 在甲或乙商场原价购买3个A种奖杯和4个B种奖杯共需180元；购买1个A种奖杯和2个B种奖杯共需80元． 素材二 甲、乙两个商场的优惠方案 甲商场：A、B两种奖杯均按原价的9折销售． 乙商场：①购买A种奖杯的数量不超过10个时，按原价销售；数量超过10个时，超过的部分按原价的8折销售．②购买B种奖杯不打折． 问题解决 任务一 （1）求A、B两种奖杯的原价． 任务二 （2）学校打算购买A、B两种奖杯共100个，若设购买A种奖杯个，选择在甲商场购买的总费用为元，选择在乙商场购买的总费用为元．请直接写出和关于的函数表达式，并为学校设计比较合算的购买方案． 22. 定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．如图1，，四边形是损矩形，则该损矩形的直径是线段．同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边的同侧的两个角是相等的．如图1中：和有公共边，在同侧有和，此时；再比如和有公共边，在同侧有和，此时． （1）请在图1中再找出一对这样的角来：________________________． （2）如图2，中，，以为一边向外作菱形，D为菱形对角线的交点，连接，当平分时，判断四边形为何种特殊的四边形？请说明理由． （3）在第（2）题的条件下，若此时，，求的长． 23. 【模型建立】 如图1，等腰中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，易证． 【应用模型】 （1）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点与坐标原点重合，和所在直线分别为轴、轴，若，请解答下列问题： ①点的坐标是___________，点的坐标是___________； ②在轴上存在点，使得以为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点的坐标：___________； 【学以致用】 （2）如图3，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点旋转至直线，求直线的函数表达式． 【拓展提升】 （3）如图4，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点坐标为，点为直线上一点，点为轴上一点，若三点构成以为直角边的等腰直角三角形，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $