精品解析：2025年河南省商丘市宁陵县中考三模数学试题

2025年河南省普通高中招生考试临考名师押题最后一卷 数 学 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，23小题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题本大题（共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目的要求） 1. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，则这四个数中最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. “斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列调查方式适合用普查的是（ ） A. 检测一批LED灯使用寿命 B. 检测一批家用汽车的抗撞击能力 C. 测试2024神舟十八号载人飞船的零部件质量情况 D. 中央电视台《2024年第九季诗词大会》的收视率 4. 网络理论下载速度为每秒左右，已知某个视频按网络理论下载速度需花费20秒完成下载，则该视频的大小用科学记数法表示为 （ ） A. B. C. D. 5. 创新驱动发展，也使人们生活更加便捷．如图是一款手机支撑架，我们可以通过改变面板张角的大小来调节视角舒适度．小明将该支撑架放置在水平桌面上，并调节面板的张角至视角舒适，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（ ）． A. B. C. D. 6. 判断关于的方程（是常数，）的根的情况（ ） A. 存在一个，使得方程只有一个实数根 B. 无实数根 C. 一定有两个不相等的实数根 D. 一定有两个相等的实数根 7. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，则高AD约为（ ）（参考数据：，，） A. 9.90cm B. 11.22cm C. 19.58cm D. 22.44cm 8. 七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成．某同学利用七巧板拼成的正方形做“滚小球游戏”，小球可以在拼成的正方形上自由地滚动，并随机地停留在某块板上，如图所示，那么小球最终停留在阴影区域上的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，抛物线 的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论正确的是（ ） A. B. C. 关于的方程 没有实数根 D. 若点 在该抛物线上，则 10. 如图1，在正方形中，点以每秒3cm的速度从点出发，沿的路径运动，到点停止．过点作，与边（或边）交于点，的长度（）与点的运动时间的函数图象如图2所示．当点运动时，的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5 小题，每小题3分，共15分） 11. 若的值为整数，则x的值可以为________．（写一个即可） 12. 不等式的解集是______. 13. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”大意是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，则的直径为_______寸． 14. 如图，在矩形中，，扇形的圆心在边上，点在边上，与边相切，切点为，则的长度为_________． 15. 如图，在菱形中，，，点和点分别为对角线和边上的动点（不与端点重合），连接，，当是直角三角形时，的长为______． 三、解答题（本大题共8 小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）解方程： 17. 2024年3月5日，《政府工作报告》提出了开展“人工智能”行动，涵盖众多行业和领域，其中大型语言模型是最近的热门话题．某实践小组开展了对A，B两款AI聊天机器人的使用满意度调查，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，结果分为四个等级：不满意：，比较满意：，满意：，非常满意：）．下面给出了部分信息：抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所点百分比 A 88 b 96 45% B 88 87．5 c 40% 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，___________，___________，___________； （2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次调查中，有200人对A款AI聊天机器人进行评分，160人对B款AI聊天机器人进行评分，估计此次调查中对AI聊天机器人“不满意”的共有多少人． 18. 证明：等腰三角形的两底角相等．要求： （1）用无刻度的直尺和圆规作等腰，使底边，腰； （2）结合图形，写出已知、求证，并完成证明； （3）证明过程若需添加辅助线，则辅助线也需用无刻度的直尺和圆规作图． 19. 在平面直角坐标系中，一次函数图象由的图象向上平移2个单位得到，反比例函数 的图象过点． （1）求一次函数表达式及m的值； （2）过点平行于x轴的直线，分别与反比例函数一次函数的图象相交于点M、N，当时，画出示意图并直接写出n的值． 20. 数学课上老师给出规定：如果两个数平方差能被4整除，我们称这个算式是“佳偶和谐式”． 小亮写出如下算式： 发现：任意两个连续偶数平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式” （1）验证：是“佳偶和谐式”； （2）证明：任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”； （3）小红通过小亮的结论推广得到一个命题：任意两个偶数的平方差都能被4整除，他们的算式都是“佳偶和谐式”，直接判断此命题是真命题还是假命题． 21. 为积极落实银川市委制定印发的《关于2023年度乡村振兴“一村一年一事”行动实施方案》，城建部门计划对某村一段长300米的道路进行改造，由甲，乙两个工程队先后接力完成，已知甲工程队每天改造15米，乙工程队每天改造10米． （1）若这两个工程队共用时25天，求甲，乙两个工程队分别改造多少米． 根据题意，宁宁和夏夏两个同学分别列出了如下的方程组： 宁宁：，解得． 夏夏：，解得． 宁宁所列方程组中的x表示_______，y表示_______； 夏夏所列方程组中的x表示_______，y表示_______． （2）若甲工程队工作一天的费用是0.6万元，乙工程队工作一天的费用是0.8万元，要使总费用不超过18万元，则甲工程队至少工作多少天？ 22. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． （1）若， ①求此抛物线的表达式及其对称轴； ②当时，直接写出m的取值范围为_______； （2）若，点在该抛物线上，且，请比较的大小，并说明理由． （3）该抛物线必过平面直角坐标系内的一点，则该点坐标为_______．（直接写出坐标） 23. 在中，，点在直线上，直线与的夹角为， 且，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，． （1）【问题解决】 如图，若，则的度数为________，的值为______； （2）【问题探究】 如图，若，判断的值是否发生变化？并说明理由； （3）【拓展延伸】 如图，， 交于点， 点在线段上 ，，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年河南省普通高中招生考试临考名师押题最后一卷 数 学 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，23小题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题本大题（共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目的要求） 1. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，则这四个数中最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据数轴比较实数的大小，根据数轴上右边的数总比左边的大即可判断求解，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键． 【详解】解：∵数轴上右边的数总比左边的大， ∴， ∴这四个数中最小的数是， 故选：． 2. “斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查立体几何的三视图，理解并掌握三视图的特点是解题的关键． 根据立体几何的特点，确定三视图，注意：立体几何中能看到的线用实线，存在但看不到的线用虚线表示，由此即可求解． 【详解】解：从上面看，看到的图形为一个正方形，在这个正方形里面还有一个小正方形， 即看到的图形为， 故选：C． 3. 下列调查方式适合用普查的是（ ） A. 检测一批LED灯的使用寿命 B. 检测一批家用汽车的抗撞击能力 C. 测试2024神舟十八号载人飞船的零部件质量情况 D. 中央电视台《2024年第九季诗词大会》的收视率 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查调查分类，涉及抽样调查和全面调查定义与区别，一般地，具有破坏性、涉及面广，无法普查、普查意义或价值不大的采取抽样调查；对于精度要求较高的调查、事关重大的采取普查，逐项判定即可得到答案，熟记普查与抽查的特征与区别是解决问题的关键． 【详解】解：A、检测一批LED灯的使用寿命，具有破坏性，适合抽查，不符合题意； B、检测一批家用汽车的抗撞击能力，具有破坏性，适合抽查，不符合题意； C、测试2024神舟十八号载人飞船的零部件质量情况，每一个环节都事关重大，适合普查，符合题意； D、中央电视台《2024年第九季诗词大会》的收视率，涉及面广，无法普查，适合抽查，不符合题意； 故选：C． 4. 网络理论下载速度为每秒左右，已知某个视频按网络理论下载速度需花费20秒完成下载，则该视频大小用科学记数法表示为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，熟记其表示方法是解题的关键． 根据科学记数法的表示方法解题即可． 【详解】解：． 故选：D． 5. 创新驱动发展，也使人们的生活更加便捷．如图是一款手机支撑架，我们可以通过改变面板张角的大小来调节视角舒适度．小明将该支撑架放置在水平桌面上，并调节面板的张角至视角舒适，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（ ）． A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，将实际问题转化成数学问题成为解题的关键． 由题意可得：，则；然后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 6. 判断关于的方程（是常数，）的根的情况（ ） A. 存在一个，使得方程只有一个实数根 B. 无实数根 C. 一定有两个不相等的实数根 D. 一定有两个相等的实数根 【答案】A 【解析】 【分析】当k=0时，可求出方程的根；k≠0时，利用，Δ=[-（k+1）]2-4k=（k-1）2＞0即可判断原方程有实数根． 【详解】解：∵k＜1， ∴当k=0时，原方程为-x+1=0， 解得：x=1； 当k≠0时，Δ=[-（k+1）]2-4k=（k-1）2＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 7. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，则高AD约为（ ）（参考数据：，，） A. 9.90cm B. 11.22cm C. 19.58cm D. 22.44cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质及BC＝44cm，可得cm，根据等腰三角形的性质及，可得，在中，由，求得AD的长度． 【详解】解：∵等腰三角形ABC，AB＝AC，AD为BC边上的高， ∴， ∵BC＝44cm， ∴cm． ∵等腰三角形ABC，AB＝AC，， ∴． ∵AD为BC边上的高，， ∴在中， ， ∵，cm， ∴cm． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 8. 七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成．某同学利用七巧板拼成的正方形做“滚小球游戏”，小球可以在拼成的正方形上自由地滚动，并随机地停留在某块板上，如图所示，那么小球最终停留在阴影区域上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求几何概率，根据七巧板的特点求出阴影部分占整个图形面积的比值即可得到答案． 【详解】解：设大正方形的变成为，则，点到的距离为， ∴， ∴那么小球最终停留在阴影区域上概率是， 故选：D． 9. 如图，抛物线 的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论正确的是（ ） A. B. C. 关于的方程 没有实数根 D. 若点 在该抛物线上，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据二次函数图象的性质逐一判断即可． 【详解】解：A：由题得，，，， ∴， ∴，故该选项不符合题意； B：∵对称轴为直线，抛物线与轴交于点， ∴抛物线与轴的另一个交点为， 当时，，故该选项不符合题意； C：∵抛物线与直线有两个交点， ∴关于的方程有两个不相等的实数根，故该选项不符合题意； D：∵， ∴抛物线开口向下，有最大值，即当时，抛物线有最大值， ∴， 即，故该选项符合题意．   故选：D ． 10. 如图1，在正方形中，点以每秒3cm的速度从点出发，沿的路径运动，到点停止．过点作，与边（或边）交于点，的长度（）与点的运动时间的函数图象如图2所示．当点运动时，的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象、正方形的性质、勾股定理、平行线的性质等知识，从图象中获取正确的信息是解题的关键． 由题意知，当运动到时，最长，此时，由图象可知，当时，，得出正方形边长为，当时，，由，得出，推出，根据勾股定理计算，得出答案即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， 由题意知，当运动到时，最长，此时， 由图象可知，当时，， ∴， 整理得： ∵， ∴，即正方形边长为， ∴当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共5 小题，每小题3分，共15分） 11. 若的值为整数，则x的值可以为________．（写一个即可） 【答案】3(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，掌握整数的概念是解题的关键． 根据算术平方根的定义进行解题即可． 【详解】解：∵的值为整数， ， 故答案为：3(答案不唯一)． 12. 不等式的解集是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的解法即可求解. 【详解】不等式去分母得， 移项合并同类项得， 系数化为1得. 故答案为： 【点睛】此题主要考查不等式的求解，解题的关键是熟知不等式的解法. 13. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”大意是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，则的直径为_______寸． 【答案】26 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，先根据垂径定理，由垂直得到点为的中点，由寸可求出的长，再设出圆的半径为寸，表示出的长，根据勾股定理建立关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵为的直径，，且寸， ∴寸， 设圆的半径的长为寸，则寸， ∵寸， ∴寸， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ∴， 解得， ∴寸， 故答案为：26． 14. 如图，在矩形中，，扇形的圆心在边上，点在边上，与边相切，切点为，则的长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，先根据矩形的性质和与边相切，得到四边形是正方形，从而求出，进而求出，，利用弧长公式即可求解． 【详解】连接，如图， ∵与边相切，切点， ∴ ∵四边形是矩形， ∴ ∴四边形是矩形， ∵扇形边相切， ∴ ∴四边形是正方形， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的性质定理，矩形的性质，解直角三角形，正方形的判定定理和性质，弧长公式，综合应用这些知识点是解题关键． 15. 如图，在菱形中，，，点和点分别为对角线和边上的动点（不与端点重合），连接，，当是直角三角形时，的长为______． 【答案】4或5##5或4 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，正切，勾股定理．分类讨论是解题的关键． 如图，过点C作的延长线于，由菱形，可得，，，则，，设，则，由勾股定理得，，可求得，，，则，，由题意知，当是直角三角形时，分，两种情况利用计算求解即可． 【详解】解：如图，过点C作的延长线于， ∵菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴设，则， 由勾股定理得，， 解得，， ∴，，， ∴， ∴， 由题意知，当是直角三角形时，分，两种情况求解； ①当时， ∵， ∴，即， 解得，，； ②当时， ∵， ∴，即， 解得，； 综上所述，的长为4或5， 故答案为：4或5． 三、解答题（本大题共8 小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）解方程： 【答案】（1）1；（2）无解 【解析】 【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值，零指数幂的意义，二次根式的性质化简，再算加减即可； （2）两边都乘以化为整式方程求解，然后检验即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）两边都乘以，得 ∴ ∴ ∴； 检验：当时，， ∴是增根，原方程无解． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂的意义，二次根式的性质，解分式方程等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 17. 2024年3月5日，《政府工作报告》提出了开展“人工智能”行动，涵盖众多行业和领域，其中大型语言模型是最近的热门话题．某实践小组开展了对A，B两款AI聊天机器人的使用满意度调查，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，结果分为四个等级：不满意：，比较满意：，满意：，非常满意：）．下面给出了部分信息：抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所点百分比 A 88 b 96 45% B 88 87．5 c 40% 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，___________，___________，___________； （2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次调查中，有200人对A款AI聊天机器人进行评分，160人对B款AI聊天机器人进行评分，估计此次调查中对AI聊天机器人“不满意”的共有多少人． 【答案】（1）15，88．5，98 （2）A款AI聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：因为对两款机器人的评的平均数相同，但A款评的中位数比B款的高，所以A款AI聊天机器人更受用户喜爱．（答案不唯一，合理即可） （3）44人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识 （1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值； （2）通过比较，款的评分统计表的数据解答即可； （3）由、两款的不满意的人数之和即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：， 即， 款的评分非常满意有（个，“满意”的数据为84、86、86、87、88、89， 把款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89， 中位数， 在款的评分数据中，98出现的次数最多， 众数； 故答案为：； 【小问2详解】 款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 理由如下：因为对两款机器人的评的平均数相同，但A款评的中位数比B款的高，所以A款AI聊天机器人更受用户喜爱． 款聊天机器人更受用户喜爱（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：（人， 答：估计此次测验中对聊天机器人不满意的人数为40人． 18. 证明：等腰三角形的两底角相等．要求： （1）用无刻度的直尺和圆规作等腰，使底边，腰； （2）结合图形，写出已知、求证，并完成证明； （3）证明过程若需添加辅助线，则辅助线也需用无刻度的直尺和圆规作图． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的作法是解答本题的关键． 根据等腰三角形的作图方法画图即可；根据图形写出已知、求证，证明法一：作的平分线，交于点，根据证明即可；证明法二：取的中点为，连接，根据证明即可；证明法三：过点作于点，根据证明即可． 【详解】如图，即为所求作的三角形． 已知：如图，中，． 求证：． 证明：法一：作的平分线，交于点 在和中 ． 法二：取的中点为，连接． 在和中 法三：过点作于点 在和中 ． 19. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由的图象向上平移2个单位得到，反比例函数 的图象过点． （1）求一次函数表达式及m的值； （2）过点平行于x轴的直线，分别与反比例函数一次函数的图象相交于点M、N，当时，画出示意图并直接写出n的值． 【答案】（1）， （2）4或或2 【解析】 【分析】（1）根据平移的规律即可求得一次函数的解析式，利用待定系数法即可求得的值； （2）表示出点、的坐标，由得出，整理得，解方程即可求得的值． 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确表示点、的坐标是解题的关键． 【小问1详解】 解： 一次函数的图象由的图象向上平移2个单位得到， 一次函数表达式为， 反比例函数的图象过点， ； 【小问2详解】 解：过点平行于轴的直线，分别与反比例函数、一次函数图象相交于点、， 则，，， ， ，整理得，解得或， 令代入，得， ∴直线与 y轴的交点为， 当时，此时点P与N重合，满足， 故的值为4或或2． 20. 数学课上老师给出规定：如果两个数的平方差能被4整除，我们称这个算式是“佳偶和谐式”． 小亮写出如下算式： 发现：任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式” （1）验证：是“佳偶和谐式”； （2）证明：任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”； （3）小红通过小亮的结论推广得到一个命题：任意两个偶数的平方差都能被4整除，他们的算式都是“佳偶和谐式”，直接判断此命题是真命题还是假命题． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）该命题是真命题 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式： （1）直接根据“佳偶和谐式”的定义，即可求解； （2）设这两个连续偶数分别为，再根据平方差公式，以及“佳偶和谐式”的定义，即可求解； （3）设任意两个偶数分别为，再根据平方差公式，以及“佳偶和谐式”的定义，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴是“佳偶和谐式”； 【小问2详解】 证明：设这两个连续偶数分别为，则 ∴任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”； 【小问3详解】 解：设任意两个偶数分别为， ∴ ∴任意两个偶数的平方差都能被4整除，他们的算式都是“佳偶和谐式”， ∴该命题是真命题． 21. 为积极落实银川市委制定印发的《关于2023年度乡村振兴“一村一年一事”行动实施方案》，城建部门计划对某村一段长300米的道路进行改造，由甲，乙两个工程队先后接力完成，已知甲工程队每天改造15米，乙工程队每天改造10米． （1）若这两个工程队共用时25天，求甲，乙两个工程队分别改造多少米． 根据题意，宁宁和夏夏两个同学分别列出了如下的方程组： 宁宁：，解得． 夏夏：，解得． 宁宁所列方程组中的x表示_______，y表示_______； 夏夏所列方程组中的x表示_______，y表示_______． （2）若甲工程队工作一天的费用是0.6万元，乙工程队工作一天的费用是0.8万元，要使总费用不超过18万元，则甲工程队至少工作多少天？ 【答案】（1）甲工程队工作时间，乙工程队工作时间，甲工程队改造道路的长度，乙工程队改造道路的长度 （2）甲工程队至少工作10天 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及由实际问题抽象出二元一次方程组， （1）由需改造道路的长度及甲、乙两工程队的工作效率，结合宁宁及夏夏所列的方程组，可找出宁宁及夏夏所列方程组中的x，y的含义； （2）设甲工程队工作m天，则乙工程队工作天，利用总费用＝甲工程队每天的费用×甲工程队工作时间＋乙工程队每天的费用×乙工程队工作时间，结合总费用不超过18万元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论； 解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【小问1详解】 ∵城建部门计划对某村一段长300米的道路进行改造，甲工程队每天改造15米，乙工程队每天改造10米，且这两个工程队共用时25天， ∴宁宁所列方程组中的x表示甲工程队工作时间，y表示乙工程队工作时间； 夏夏所列方程组中的x表示甲工程队改造道路的长度，y表示乙工程队改造道路的长度． 故答案为：甲工程队工作时间，乙工程队工作时间，甲工程队改造道路的长度，乙工程队改造道路的长度； 【小问2详解】 设甲工程队工作m天，则乙工程队工作天， 根据题意得： ， 解得：， ∴m的最小值为10． 答：甲工程队至少工作10天． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． （1）若， ①求此抛物线的表达式及其对称轴； ②当时，直接写出m的取值范围为_______； （2）若，点在该抛物线上，且，请比较的大小，并说明理由． （3）该抛物线必过平面直角坐标系内的一点，则该点坐标为_______．（直接写出坐标） 【答案】（1）①抛物线的解析式为，抛物线的对称轴为直线；②或 （2），理由见解析 （3）， 【解析】 【分析】（1）①将点代入方程，用待定系数法求解；②根据抛物线的特点和性质可直接得到答案； （2）根据图象上点与对称轴的位置关系进行分析； （3）对抛物线方程进行整理，分析必过某点的条件，这是解决此问的关键． 【小问1详解】 解：①当时，点A的坐标为， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为，即， ∴抛物线的对称轴为直线； ②令，则，解得：，， ∴抛物线与x轴交于和， ∵点，，且，如图， ∴点在x轴的下方， ∴或． 【小问2详解】 解：，理由如下： 将代入得：， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵且， ∴， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴． 【小问3详解】 解：∵抛物线必过某点， ∴与a无关． ， ∴当时，解得或． 当时，；当时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图像和性质及图象上的点与对称轴间的关系． 23. 在中，，点在直线上，直线与的夹角为， 且，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，． （1）【问题解决】 如图，若，则的度数为________，的值为______； （2）【问题探究】 如图，若，判断的值是否发生变化？并说明理由； （3）【拓展延伸】 如图，， 交于点， 点在线段上 ，，，求线段的长． 【答案】（1），； （2）的值不会发生变化，理由见解析； （3）． 【解析】 【分析】（）由，，则，故有，，然后证明可得，从而求解； （）延长交于点，证明，则，再证明即可求解； （）过点作分别交，于，，则四边形是矩形，通过等角的余角相等得，再证，得，设，则，，，求出的值，最后通过勾股定理和线段和差即可求解． 【小问1详解】 ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 的值不会发生变化，理由如下： 如图，延长交于点， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 如图，过点作分别交，于，，则四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 分别是，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，则，，， 在中，由勾股定理得：， 即，解得， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等角的余角相等，矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$