精品解析：黑龙江省大庆市大庆中学2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

大庆中学2024—2025学年度下学期期末考试 高一年级数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息并贴好条形码. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量与为单位向量，它们的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知正四棱锥的底面正方形的边长为，高为，则正四棱锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以基，其形露矣．”文中“阳马”是底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．在阳马中，侧棱底面，且，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，已知，，的周长为9，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在直三棱柱 中，所有棱长都相等，分别是棱 的中点，则异面直线与 所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 7. 在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（ ） A. 3 B. 4 C. D. 8. 边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，则的最大值是（ ）． A. B. 0 C. D. 二、多选题 9. 设是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则∥ B. 若∥，∥，，则∥ C. 若，，，则 D. 若，，，则 10. 已知命题，则命题成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 11. 已知向量，，则（ ） A. 与向量平行的单位向量为 B. 当时， C. 当时，向量在向量上的投影向量为 D. 若与夹角为锐角，则的取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题 12. 样本数据5，11，6，8，14，6，10，5，9，8的分位数________. 13. 已知样本，，的平均数为2，方差为1，则，，的平均数为_____________． 14. 如图，在棱长为的正方体内有两个球、相外切，两球又分别与正方体内切，则两球体积之和的最小值为_____.（参考公式：.） 四、解答题 15. 某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值，并估算这40名学生测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）估算这40名学生测试成绩的中位数； （3）现学校准备利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团．求应从和学生中分别抽取的学生人数； 16. 函数在一个周期内的图象如图所示． （1）求函数解析式； （2）求的单调递增区间； （3）当时，求的最大值和最小值． 17. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E为AD的中点． （1）求证：PE⊥BC； （2）求证：平面PAB⊥平面PCD. 18. 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是. （1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数； （2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色. （i）写出该试验的样本空间； （ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由. 19. 已知，，函数． （1）求函数的解析式； （2）若，且，求的值； （3）在锐角中，角，，分别为，，三边所对的角，若，，求周长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆中学2024—2025学年度下学期期末考试 高一年级数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息并贴好条形码. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式求得集合，根据交集的运算法则求解即可. 【详解】由，得，所以， 又，所以. 故选：C. 2. 已知平面向量与为单位向量，它们的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量数量积定义可得，根据向量数量积的运算律可由求得结果. 【详解】， . 故选：D. 3. 已知正四棱锥的底面正方形的边长为，高为，则正四棱锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正四棱锥结构特征可求得侧面的高，由此可计算得到结果. 【详解】正四棱锥的底面边长为，高为，正四棱锥侧面的高为， 正四棱锥的侧面积. 故选：B. 4. 《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以基，其形露矣．”文中“阳马”是底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．在阳马中，侧棱底面，且，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等体积法有，即可求到平面的距离. 【详解】 设到平面的距离为，则三棱锥PABD的体积为： ，即有， ∴． 故选：B． 5. 在中，已知，，的周长为9，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件可得，利用余弦定理求得，再由同角的三角函数关系式求出. 【详解】已知，，的周长为9，则， 则， 又，则. 故选：C. 6. 如图，在直三棱柱 中，所有棱长都相等，分别是棱 的中点，则异面直线与 所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平移法作出异面直线与 所成角，解三角形即可求得答案. 【详解】连接，因为在直三棱柱中，分别是棱的中点， 故，即四边形为平行四边形，所以， 则即为异面直线与 所成角或其补角； 直三棱柱中，所有棱长都相等，设其棱长为，连接， 则平面，故平面平面， 故，是棱的中点，故， 则,而 ，又，故在中，, 由于异面直线所成角的范围，故异面直线与 所成角的余弦值是， 故选：D. 7. 在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行性质定理得出线线平行，再根据平行得出比例关系即可. 【详解】 如图，连接交于点，连接 因为平面平面，平面平面所以， 所以，因为为的三等分点， 则即. 故选：D. 8. 边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，则的最大值是（ ）． A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设正方形的内切圆圆心为，由题可得为圆的一条直径时，弦的长度最大，，据此可得最大值. 【详解】如下图所示：设正方形的内切圆圆心为， 当弦的长度最大时，为圆的一条直径， 则 . 当与正方形的顶点重合时，， 因此，． 故选：C 二、多选题 9. 设是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则∥ B. 若∥，∥，，则∥ C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】运用线线位置关系、线面位置关系可判断A项、B项，由线面平行的性质、线面垂直性质及面面垂直的判定定理可判断C项，由面面垂直性质及线面垂直的判定定理可判断D项. 【详解】对于A项，若，，则与可能平行、相交、异面，故A项不成立； 对于B项，因为，，所以或，又，所以，故B项正确； 对于C项，因为，，所以或， 当时，又因为，所以， 当时，过直线作平面使得，如图所示， 因为，，，所以， 又因为，所以， 又因为，所以，故C项正确； 对于D项，设，，过平面内一点，分别作，，如图所示， 因为，，，，所以， 又因为，所以，同理：， 又因为，、， 所以，故D项正确. 故选：BCD. 10. 已知命题，则命题成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】首先求出命题的充要条件，即可找出其必要不充分条件； 【详解】解：由， 选项A为命题的充要条件， 选项B为的必要不充分条件， 选项C为的既不充分也不必要条件， 选项D为的必要不充分条件， 故选：BD. 【点睛】本题考查充分条件、必要条件，以及分式不等式的解法，属于基础题. 11. 已知向量，，则（ ） A. 与向量平行的单位向量为 B. 当时， C. 当时，向量在向量上的投影向量为 D. 若与夹角为锐角，则的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用单位向量的定义、向量垂直的坐标关系、投影向量的计算公式以及夹角的表示依次判断即可. 【详解】对于A，与向量平行的单位向量为或，故A错误； 对于B，当时，，解得，故B正确； 对于C，当时，，， 则向量在向量上的投影向量为，故C正确； 对于D，若与夹角为锐角，则， 解得且，故D错误. 故选：BC. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题 12. 样本数据5，11，6，8，14，6，10，5，9，8的分位数________. 【答案】7 【解析】 【分析】根据百分位数的概念求解． 【详解】样本数据由小到大排序为：5，5，6，6，8，8，9，10，11，14，共10个， 又，则样本数据的分位数为． 故答案为：7． 13. 已知样本，，的平均数为2，方差为1，则，，的平均数为_____________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据平均数和方差的定义建立方程组，解之即可求解. 【详解】由题意知，，所以， 由，得， 所以. 故答案为：5 14. 如图，在棱长为的正方体内有两个球、相外切，两球又分别与正方体内切，则两球体积之和的最小值为_____.（参考公式：.） 【答案】 【解析】 【分析】设两球半径分别为，球心在正方体体对角线上，过分别作的垂线，垂足分别为，结合求得，再结合球的体积公式即可求解． 【详解】如图，设两球半径分别为，球心在正方体体对角线上， 过分别作的垂线，垂足分别为， 由图可得， 即， 整理得，所以， 故两球体积之和为 ， 由二次函数性质可知：当且仅当时，有最小值， 即两球体积之和的最小值为． 故答案为：． 四、解答题 15. 某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值，并估算这40名学生测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）估算这40名学生测试成绩的中位数； （3）现学校准备利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团．求应从和学生中分别抽取的学生人数； 【答案】（1），平均数为74.5分； （2）75分； （3）中有5人，中有2人. 【解析】 【分析】（1）由频率和为1求参数，再由频率直方图求平均数； （2）根据中位数定义求40名学生测试成绩的中位数； （3）根据分层抽样的等比例性质求抽取和的学生人数. 【小问1详解】 由图，可得， 由图知分. 【小问2详解】 设中位数为且在内，则，可得； 【小问3详解】 由频率分布直分布知与两组频率分别为0.25、0.1，比例为， 故用分层抽样抽取7人中，中有5人，中有2人． 16. 函数在一个周期内的图象如图所示． （1）求函数解析式； （2）求的单调递增区间； （3）当时，求的最大值和最小值． 【答案】（1）； （2），； （3）最大值为，最小值为． 【解析】 【分析】（1）由“五点法”，结合图象分别求出即可求解； （2）利用整体代换法计算即可求解； （3）结合正弦函数的图象与性质计算即可求解. 【小问1详解】 由图象知，，，即． 由图象过点，代入函数， 即，因为，则， 所以； 【小问2详解】 令，， 解得， 故函数的单调递增区间为，； 【小问3详解】 因为，所以， 当时，即时，取最大值，最大值为， 当时，即时，取最小值，最小值为， 所以的最大值为，最小值为． 17. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E为AD的中点． （1）求证：PE⊥BC； （2）求证：平面PAB⊥平面PCD. 【答案】（1） 因为PA＝PD，E为AD的中点， 所以PE⊥AD， 因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD. 所以PE⊥BC. （2） 因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD. 又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD， 所以AB⊥平面PAD. 又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD. 又因为PA⊥PD，且PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， 所以PD⊥平面PAB. 又PD⊂平面PCD， 所以平面PAB⊥平面PCD. 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得PE⊥AD，再由底面为平行四边形可得BC∥AD，从而可证得结论， （2）由底面ABCD为矩形，可得AB⊥AD，再由面面垂直的性质可得AB⊥平面PAD，则AB⊥PD，再由线面垂直的判定可得PD⊥平面PAB，然后利用面面垂直的判定定理可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是. （1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数； （2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色. （i）写出该试验的样本空间； （ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由. 【答案】（1）盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是； （2） （i） . （ii）游戏不公平，理由： 由（i）得，记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，则，所以 所以 因为，所以此游戏不公平. 【解析】 【分析】（1）从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件，根据为两两互斥事件， 由求解. （2）（i）根据红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，列举出来；（ii）由（i）利用古典概型的概率求解. 【小问1详解】 解：从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件， 因为为两两互斥事件， 由已知得， 解得. ∴盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是； 【小问2详解】 （i）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点， 则样本空间 . （ii）略 19. 已知，，函数． （1）求函数的解析式； （2）若，且，求的值； （3）在锐角中，角，，分别为，，三边所对的角，若，，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算公式，结合三角恒等变换化简即可； （2）结合同角三角函数关系式及两角差的正弦公式化简可得解； （3）根据函数解析式可得，再由正弦定理及三角函数性质可得取值范围. 【小问1详解】 由，， 则函数； 【小问2详解】 由（1）得， 则， 即， 又，所以， 所以， 则； 【小问3详解】 由（1），即， 又，， 所以，即， 又在中，由正弦定理可知， 即，， 则三角形的周长为， 又，即， 所以， 则， 即， 即周长的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $