黑龙江大庆实验中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

大庆实验中学2025级高一下学期期末考试 数学学科试题 说明：1．请将答案填涂在答题卡的指定区域内． 2．满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求． 1．的虚部为 A． B． C． D． 2．如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形，则原梯形面积为 A． B． C． D． 3．样本数据2，8，14，16，20，24的中位数是 A． B． C． D． 4．在正方体中，为的中点，则与夹角的余弦值为 A． B． C． D． 5．已知平面向量，是两个单位向量，且，则在上的投影向量为 A． B． C． D． 6．不透明口袋中装有大小相同的五个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，依次不放回从中取得两个球，如果第二次取得号码比第一次大，则记录第二个球号码；如果第二次取得号码比第一次小，则记录袋中剩余球最大的号码，则记录号码为4的概率为 A． B． C． D． 7．现有两个完全相同的四棱柱材料（如图一所示）．某课外手工小组的同学将其中一个切掉一个三棱柱后拼接成如图二所示的“V型”几何体（正方形与正方形在同一平面内，，，，四点在一条直线上），，，，，则图二所示的几何体的体积为 A． B． C． D． 8．已知平面向量，，，且，向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，至少有一个符合题目要求，每道题全对得6分，部分选对得2分或3分． 9．已知向量，，则下列说法正确的是 A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知随机事件与相互独立．若，且，则 A． B． C． D． 11．如图，已知正三棱锥的棱长均为6，点为点在底面上的射影，，分别为线段，的中点，过点作平面与平面平行，点为侧面上一动点（含边界），且，则 A． B．平面截三棱锥所得截面的面积为 C．三棱锥的内切球的表面积为 D．点的轨迹长度为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每空5分，共15分．把答案填在答题卡的相应位置． 12．已知样本，，…，的方差是2，样本，，…，的方差是_______． 13．已知在中，是线段上一点满足，连接，在线段上，若，则_______． 14．在正四棱柱中，底面边长为3，侧棱长为4，为平面内一动点，且满足，则所有满足条件的点所围成平面区域的面积是_______． 四、解答题：本大题共5小题，其中15题满分13分，16、17题满分15分，18、19题满分17，共77分．把答案填在答题卡的相应位置． 15．（13分）某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量（单位：kg），并绘制频率分布直方图如下图所示． （1）请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数和平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）； （2）一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求．店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需求（即在10天中，大约有9天可以满足顾客的需求）．请问每天应该进多少千克苹果？ 16．（15分）已知的内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角； （2）若的周长为，且，求的面积． 17．（15分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为直角梯形，，，，． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18．（17分）在中，角，，的对边分别为，，，，点为边上一点． （1）求角的大小； （2）若是的角平分线，，的周长为19，求的长度； （3）若是边上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围． 19．（17分）如图，在矩形中，，，是线段上的一动点，将沿着折起，使点到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影落在线段上． （1）当点与点重合时，证明：平面； （2）当点与点重合时，求二面角的余弦值； （3）设直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $大庆实验中学2025级高一下学期期末考试 数学学科试题（答案） 一、单选题 1.A2.D3.B4.B5.D6.B7.A8.C 二、多选题 9.BC 10.AC 11.ABD 三、填空题 12.18 5 13.9 153 14.50π 四、解答题 15.答案：(1)众数为85，平均数为89.75.(2)每天应该进102.5千克苹果. 解析：《1)由图可知，区间[S0,90)的频率最大，所以众数为85： 所yx=(65×0.0025+75×0.01+85×0.04+95x0.035+105×0.01+115×0.0025)×10=89.75 该水果店苹果日销售量的众数为85，平均数为89.75. (2)日销售量在区间[60,100)的频率为0.875<0.9，日销售量在区间[60,10)的颜率为0.975>0.9， 故所求的量位于[100,110)内. .0.025 100+ 由0.9-0.025-0.1-0.4-0.35=0.025，得 0.01 =102.5 所以每天应该进102.5千克苹果 π18-9V3 16.答案：(1)6(2)4 解析：(1)由正弦定理边化角得2 sinCeos4=V3(sin4c0sB+sinBcos4) 所以2 sinCeosA=V3sin(4+B)=V5sin(r-C)=V5sinC,因为C∈(0，，所以sinC≠0， Os4=V3 所以 (2)因为周长为35，且a=V5,所以b+c=25, 2=+c2-2bc0s4=6+ey-2bc-2c×5-3 由余弦定理得 2 bcs、9 所以12-2hc-V5bc=3,解行c2+V5=18-9W5 所以△ABC的面积2 s=)besin4=)x18-9w5)×g-18-5 2 4 √21 17.答案：(1)见解析(2)7 解析：(I)证明：取CD中点E,连接PE,BE,己知△PCD为等边三角形，边长为4， 则PE上cD且PE=2x4=23 DE=AB=2. 己知AD⊥DC,ABIICD,则四边形ABED是矩形，BE=AD=2,BE⊥CD, BE2+PE2=22+(2V5)2=16=PB2,BE⊥PE, :CD⊥PE,CD⊥BE,PE∩BE=E,PE,BEc平面PEB,∴.CD⊥平面PEB, 又，PBC平面PEB .PB⊥CD (2)由(1)知，PE⊥BE,PE⊥CD,BE∩CD=E」 故PE⊥底面ABCD,以D为坐标原点，DA方向为x轴，DC方向为'轴， 垂直于平面ABCD的方向为z轴，建立下图所示空间直角坐标系， 则D(0,0,0),A(20,0).B(2,2,0).C(0,4,0).P(0,225) 设平面PBC的法向量为i=(化，)，因PB=(20,-25).BC-(-2,20), PB.i=2.x-2√5z=0 则BC万=-2x+2y=0,令2=山，则i=(5,5, 又PD=(0-2,-23) 设直线PD与平面PBC所成角为B, PD. 0×V3-2xW3-23×1 sin=cos(PD,n)= 42 PD·√-2y2+(-2√32×V3+3+1 47 7 则 2π 19 18.答案：(1)3(2)10(3) (5-1,2) cos2A+cos2B =cos2C+sinAsinB 1-2sin4+1-2sin'B=1-sin'C+sinAsinB 解析：（1) 2 2 .'.sin2A+sin2B-sin2C=-sinAsinB,..a2+b2-c2=-ab ..cosC= 2ab 2.C∈(0，)C=2 a2+b2-c21 3 (2)△ABC周长为19，∴.a+b+c=19,.a+b=10①. osC=a+b-c21 △ABC中，由余弦定理 2ab 2,即a2+b2+ab=81②.联立①2②可得ab=19 设CD=m,CD为C的角平分线， ∠ACD=∠BCD=T 3 L absin 19 m= 则S△ABc=S△ADc+SABC,即2 2=Ibmsinamsin 32 32 3,解得10 C a CD-2C4+LCB (3):D是边AB上靠近A的一个三等分点， 3 3 两边平方可得9CD=4C+CB2+4CA.CB -号.网-号.e=4+-2ah 由正弦定理可得tsin2C=4sin2B+sin2A-2 sinAsinB, =4in（-4+sn4-2snAim4 =4 2 cos4-sind =3cos24+sin24-2v3sinAcosA+sin24-3sinAcos4+sin24 =3sin4+3cos4-33sin/cos4=33 -sin24 4-2w24.40引，24e0 sin2A∈(0,1] .=4-2W5sin2A∈[4-25,4.te[5-l,2） 11 19.答案：(1)见解析(2)3(3)4 解析：（1) D(M 证明：当点M与端点D重合时，由∠BAD=90°可知A'B⊥A'D, 由题意知AE⊥平面BCD,CDC平面BCD,所以AE⊥CD, 又BC⊥CD,A'E∩BC=E,A'Ec平面A'BC,BCc平面A'BC, 所以CD⊥平面A'BC,又ABc平面A'BC,可知A'B⊥CD AD∩CD=D,CDc平面A'CD,A'DC平面ACD,所以AB⊥平面ACD (2) D(M) E 作A'O⊥BD于点O,连接EO,因A'E⊥平面BCD,BDC平面BCD,则AE⊥BD, 又A'O∩A'E=A”,AO,AEc平面A'OE,则BD⊥平面A'OE,又OEc平面A'OE,则 BD⊥OE,故∠AOE为二面角A'-BD-C的平面角. ∠ABD=TAO=5 B0= 1 在Rt△ABD中，A'B=1,A'D=V5, 3,则 2, 2. 在Rt△BOE中，易得 ∠OBE= OE=OBtan3 6,则 66, √5 cos∠AoE=0E-61 0AV33 在Rt△A'EO中， 2 ,即二面角A-BD-C的余弦值为3. (3) 作EQIICD交BM于Q,所以直线EO与平面ABM所成的角即为直线CD与平面ABM所成的角， 作A'O⊥BM于点O,连接EO,因A'E⊥平面BCD,BMc平面BCD,则A'E⊥BM, 又A'O∩AE=A,AO,AEC平面A'OE,则BM⊥平面A'OE,又BMc平面ABM,所以平 面A'BM⊥平面A'OE, 作EH⊥AO,垂足为H,平面A'BM∩平面AOE=A'O,EHc平面A'OE,可得EH⊥平面 A'BM, 连接H0,∠EOH是直线E0与平面ABM所成的角，即∠EQH=a, AB AM 因为△ABE~△ABM,满足BEAB, 1 设以=0<1s5,E -,8M=F+,oE= OE=- A0=0=F+, t 1 因为在R△4OE中，斜边大于直角边，即AO>OE,即VP+1tNP+1,解得l<1<5, AE-VAO-OF -P-1 H=AE-OE-1 又 ,在△A'OE中，由等面积得 AO 13 1 因 =17 又因AO1BM,OE⊥BM,所以∠AOE是二面角A-BM-C平面角，即∠AOE=B, 则oB=0%是 A0P,所以 aom8-司)片-信对，ase 1 成立，故sia:cosB的最大值为4.