精品解析：2024年辽宁省阜新市太平区中考数学二模试题

2024年辽宁省阜新市太平区中考数学二模试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 长方体 B. 三棱柱 C. 三棱锥 D. 圆锥 3. 如图是一台冰箱的显示屏，则这台冰箱冷藏室与冷冻室的温差为（ ） A. B. C. D. 4. 如图四种化学仪器示意图是轴对称图形的是（　） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各命题的逆命题成立的是（ ） A. 全等三角形的面积相等 B. 如果，那么 C. 对顶角相等 D. 两直线平行，同旁内角互补 7. 如图，在等边中，，D是的中点，连接，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段的长为（ ） A. B. 4 C. D. 8. 如图，电路上有三个开关和一个小灯泡，合上任意两个开关，小灯泡发光的概率为（ ） A B. C. D. 1 9. 如图， 在中， E是边上一点， 连结相交于点F． 若 则 等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图是某汽车从A地去B地，再返回A地的过程中汽车离开A地的距离与时间的关系图，下列说法中错误的是（ ） A. A地与B地之间的距离是180千米 B. 前3小时汽车行驶的速度是40千米/时 C. 汽车中途共休息了5小时 D. 汽车返回途中的速度是60千米/时 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：______． 12. 如图，在直角中，，过点C且平行于，若，则度数为_____． 13. 若关于的分式方程 有增根，则的值为 __． 14. 如图，是的中位线，点F在上，，连接并延长，与的延长线交于点M．若，则线段的长为______． 15. 如图，抛物线交x轴于A，B两点，A点在B点右侧，交y轴于点C，若点P是抛物线上一动点，过点P作轴交直线于Q点，y轴上是否存在点E，使以为顶点的四边形是菱形，则点E的坐标为___________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中x为，，，等几个数字中合适的数． 17. 某社区计划对面积为平方米的区域进行清雪，全部清雪工作由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每小时能完成清雪工作的面积是乙队每小时能完成清雪工作的面积的倍，并且在独立完成面积为平方米区域的清雪时，甲队比乙队少用小时． （1）求甲乙两工程队每小时能完成清雪工作的面积； （2）若甲队清雪的费用是元/平方米，乙队清雪的费用是元/平方米，如果施工总费用不超过1万元，那么乙工程队至少需要施工多少小时？ 18. 为丰富同学们的课外生活，某中学开展了一次知识竞赛，校学生会随机抽取部分参赛同学的成绩作为样本，根据得分（满分100分）按四个等级进行分类统计：低于60分的为“不合格”，60分以上（含）且低于80分的为“合格”；80分以上（含）且低于90分的为“良好”；90分以上（含）为“优秀”．汇总后将所得数据绘制成如图所示的不完整的统计图． 请根据统计图所提供信息，解答下列问题： （1）本次抽查的学生人数是___________人，圆心角___________． （2）补全条形统计图，并指出成绩的中位数落在哪个等级； （3）学校计划给获得“优秀”、“良好”等级的同学每人分别奖励价值30元、20元的学习用品，若学校共有800名学生参加本次竞赛，试估计该校用于本次竞赛的奖品费用． 19. 快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时30分钟，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度为．两车之间的距离与慢车行驶的时间的函数图象如图所示． （1）求出图中线段所表示的函数表达式； （2）两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需多长时间． 20. 如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面． （1）当水桶在井里时，，求此时支点O到小竹竿的距离（结果精确到）； （2）如图2，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 21. 如图，，为的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，，点是的中点，弦，相交于点． （1）求的度数； （2）若，求直径的长． 22. 定义：有一组邻边相等且对角互补四边形称为“等补四边形”． （1）下列选项中一定是“等补四边形”的是________； A．平行四边形； B．矩形； C．正方形； D．菱形 （2）如图1，在边长为a的正方形中，E为边上一动点（E不与C、D重合），交于点F，过F作交于点H． ①试判断四边形是否为“等补四边形”并说明理由； ②如图2，连接，将绕A点逆时针旋转得到，判断线段与线段的数量关系，并求的周长； ③若四边形是“等补四边形”，当时，求的长． 23. 在一次数学社团活动中，小晨同学所在的小组把两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图象与x轴交点也相同的二次函数，命名为“和合对称二次函数”，对应图象命名为“和合对称抛物线”，并把两个函数图象上横坐标相同的对应点称之为“和合点”，针对该构想，小展同学用二次函数作为其中一个函数（标记该函数图象交轴于原点及点）做了有关研究，请你帮他解答． 【特例感知】（1）当时，如图，抛物线上的点关于与之对应的“和合对称抛物线”图像的“和合点”分别为，．如下表： … … … … ①补全表格； ②画图：在图中描出表中对应的“和合点”，再用平滑的曲线依次连接各点，得到“和合对称抛物线”图象． 【初步探讨】（2）①当时，若抛物线的顶点为点，点对应的“和合点”为点，则由点、四点所围成的四边形的面积为______； ②在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现与二次函数对应的“和合对称抛物线”图象中，存在一条抛物线，其顶点的横、纵坐标恰好互为相反数，请求出抛物线的解析式． 【进阶探究】（3）若抛物线及与它对应的“和合对称抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年辽宁省阜新市太平区中考数学二模试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】考查相反数的概念及应用，只有符号不同的两个数，叫做互为相反数.的相反数是. 故选D. 2. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 长方体 B. 三棱柱 C. 三棱锥 D. 圆锥 【答案】B 【解析】 【分析】根据俯视图判定几何体可能是三棱柱或三棱锥，根据主视图判定为三棱柱． 【详解】根据俯视图判定几何体可能是三棱柱或三棱锥，根据主视图判定为三棱柱． 故选B． 【点睛】本题考查了根据三视图确定几何体，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键． 3. 如图是一台冰箱的显示屏，则这台冰箱冷藏室与冷冻室的温差为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数减法的应用，理解有理数减法法则是解题的关键．即减去一个数等于加上这个数的相反数．根据最高温度与最低温度的差即可计算得出答案． 【详解】解：（）， 故选：B． 4. 如图四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，故本选项合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：C． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据积的乘方，完全平方公式，幂的乘方，平方差公式逐项计算即可． 【详解】解：A．，故不正确； B． ，故不正确； C．，故不正确； D．，正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了积的乘方，完全平方公式，幂的乘方，平方差公式，熟练掌握运算法则和公式是解答本题的关键． 6. 下列各命题的逆命题成立的是（ ） A. 全等三角形的面积相等 B. 如果，那么 C. 对顶角相等 D. 两直线平行，同旁内角互补 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了逆命题，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．熟悉课本中的性质定理是解题的关键． 【详解】解：A、“全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的三角形是全等形”是假命题，故A不符合题意； B、“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”是假命题，故B不符合题意； C、“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”是假命题，故C不符合题意； D、“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”是真命题，故D符合题意； 故选：D． 7. 如图，在等边中，，D是的中点，连接，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段的长为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理．应用旋转的性质与等边三角形的性质是解题的关键．先由等边三角形的性质得出，利用勾股定理求出．再根据旋转的性质得出，，那么是等边三角形，从而得到DE的长． 【详解】解：∵在等边中，，D是的中点， ∴，， ∴． ∵将绕点A旋转后得到， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：D． 8. 如图，电路上有三个开关和一个小灯泡，合上任意两个开关，小灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查树状图法求概率，根据题意，画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：如图，设三个开关分别用表示， 画出树状图如下： ， 共6种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有4种， ∴小灯泡发光的概率为； 故选：C． 9. 如图， 在中， E是边上一点， 连结相交于点F． 若 则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识．四边形是平行四边形，则，，可证明，得到，由进一步即可得到答案． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴，， 又∵ ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， 故选C． 10. 如图是某汽车从A地去B地，再返回A地的过程中汽车离开A地的距离与时间的关系图，下列说法中错误的是（ ） A. A地与B地之间的距离是180千米 B. 前3小时汽车行驶的速度是40千米/时 C. 汽车中途共休息了5小时 D. 汽车返回途中的速度是60千米/时 【答案】C 【解析】 【分析】根据路程、速度与时间的关系结合图象逐项分析判断即可. 【详解】解：A、A地与B地之间的距离是180千米，故本选项说法正确； B、前3小时汽车行驶的速度是千米/时，故本选项说法正确； C、从图象可得：汽车中途共休息了两次，一次休息了3小时，另一次休息时间不明确，故本选项说法错误； D、汽车返回途中的速度是千米/时，故本选项说法正确； 故选：C. 【点睛】本题考查了用图象表示变量之间的关系，正确理解题意、从图象中获取解题所需要的信息是关键. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再利用完全平方公式，即可解答． 本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，解决本题的关键是熟记提公因式法和公式法． 【详解】解； ． 故答案为：． 12. 如图，在直角中，，过点C且平行于，若，则的度数为_____． 【答案】##55度 【解析】 【分析】此题考查平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行同旁内角互补；熟练掌握平行线性质是解题关键. 根据角的和差求出的度数，再根据平行线的性质求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴. 故答案为： 13. 若关于分式方程 有增根，则的值为 __． 【答案】1 【解析】 【分析】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解：去分母，得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程，可得：， 解得：． 故答案为：1． 14. 如图，是的中位线，点F在上，，连接并延长，与的延长线交于点M．若，则线段的长为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键．根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论． 【详解】解：是的中位线，， ，， ， ， ， ∴． 故答案为：10． 15. 如图，抛物线交x轴于A，B两点，A点在B点右侧，交y轴于点C，若点P是抛物线上一动点，过点P作轴交直线于Q点，y轴上是否存在点E，使以为顶点的四边形是菱形，则点E的坐标为___________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与四边形的综合问题，分类讨论①当为菱形的对角线时、②当为菱形的边时两种情况即可求解． 【详解】解：令，解得：； 令，则； ∴ ∴ ①当为菱形的对角线时，垂直平分，如图， ∴ ∴ 设解析式为： 则 ∴ ∴解析式是， 因为 ∴， ∴ 此时菱形是正方形． ∴． 设，则， ， ∴，解得（不合题意舍去）或， 此时， ∴E． ②当为菱形的边时， 或． 解得：，舍去 ∴或 ∴或 ∴E或E 综上所述，符合条件的点E有三个，坐标为： 或或 故答案为：或或 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中x为，，，等几个数字中合适的数． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算及分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）按照先计算乘方，再算乘除法，最后计算加减法的运算顺序求解即可； （）利用分式的性质和运算法则先对分式进行化简，再把合适的的值代入到化简后的结果中计算即可求解，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：（1）原式， ， ； （2）原式， ， ， 由题意得：、， 当时， 原式． 17. 某社区计划对面积为平方米的区域进行清雪，全部清雪工作由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每小时能完成清雪工作的面积是乙队每小时能完成清雪工作的面积的倍，并且在独立完成面积为平方米区域的清雪时，甲队比乙队少用小时． （1）求甲乙两工程队每小时能完成清雪工作的面积； （2）若甲队清雪的费用是元/平方米，乙队清雪的费用是元/平方米，如果施工总费用不超过1万元，那么乙工程队至少需要施工多少小时？ 【答案】（1）甲每小时清雪平方米，乙每小时清雪50平方米 （2）乙队至少施工小时 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设乙工程队每小时能完成清雪的面积为x平方米，则甲工程队每小时能完成清雪的面积为平方米，根据“在独立完成面积为平方米区域的清雪时，甲队比乙队少用小时”，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设乙工程队施工小时，根据施工总费用不超过万元列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设乙工程队每小时能清雪平方米，则甲工程队每小时能清雪平方米， ， 解得：， 经检验 符合题意且是方程的解， 平方米， 答：甲每小时清雪平方米，乙每小时清雪平方米； 【小问2详解】 设乙工程队施工小时， ， 解得：， 答：乙队至少施工小时． 18. 为丰富同学们的课外生活，某中学开展了一次知识竞赛，校学生会随机抽取部分参赛同学的成绩作为样本，根据得分（满分100分）按四个等级进行分类统计：低于60分的为“不合格”，60分以上（含）且低于80分的为“合格”；80分以上（含）且低于90分的为“良好”；90分以上（含）为“优秀”．汇总后将所得数据绘制成如图所示的不完整的统计图． 请根据统计图所提供的信息，解答下列问题： （1）本次抽查的学生人数是___________人，圆心角___________． （2）补全条形统计图，并指出成绩的中位数落在哪个等级； （3）学校计划给获得“优秀”、“良好”等级的同学每人分别奖励价值30元、20元的学习用品，若学校共有800名学生参加本次竞赛，试估计该校用于本次竞赛的奖品费用． 【答案】（1）50；72 （2）统计图见解析，成绩的中位数落在良好等级 （3）14240元 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，求中位数等等： （1）用良好等级的人数除以其人数占比即可求出参与调查的人数，再用360度乘以合格等级的人数占比即可得到答案； （2）先求出优秀等级的人数，再补全统计图，最后根据中位数的定义求解即可； （3）分别求出学校优秀和良好的人数，然后分别计算出对应奖品的费用，求和即可得到答案． 【小问1详解】 解：人， ∴本次抽查的学生人数是50人， ∴， 故答案为：50；72； 【小问2详解】 解：等级为优秀的人数有人， 补全统计图如下： 把这50名学生成绩从低到高排列，处在第25名和第26名的乘积都在良好这一等级， ∴成绩的中位数落在良好等级； 【小问3详解】 解：元， ∴估计该校用于本次竞赛的奖品费用为14240元． 19. 快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时30分钟，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度为．两车之间的距离与慢车行驶的时间的函数图象如图所示． （1）求出图中线段所表示的函数表达式； （2）两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需多长时间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是结合函数图象以及数量关系直接计算.依照函数图象找出点的坐标，再结合数量关系列出算式即可算出结论． （1）求出的坐标，再用待定系数法可得答案； （2）求出快车返回的速度，再根据路程，速度，时间的关系可得到达甲地还需多长时间． 【小问1详解】 解：由题意得，点的横坐标为: ， 点的纵坐标为：， ∴点的坐标为, 设线段所表示的函数表达式为, 将，代入得: ，解得 ， ∴线段所表示的函数表达式为； 【小问2详解】 解：快车从返回到遇见慢车所用的时间为： ∴快车从乙地返回甲地时的速度为： ， ∴两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，到达甲地还需． 20. 如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面． （1）当水桶在井里时，，求此时支点O到小竹竿的距离（结果精确到）； （2）如图2，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】（1）点A到地面的距离为； （2）点A上升的高度为； 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）作于点G，由题意可知m，，在中，应用特殊角三角函数值求即可； （2）记交于点H，由题意推出，在中，求，在中求，则点A上升的高度可解； 【小问1详解】 作于点G（图1）， ∵O为的中点，， ∴m ∵， ∴ ∵， ∴， 在中， m ∴点A到地面的距离为． 【小问2详解】 记交于点H（图2）， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 在中， m， 在中， m ∴点A上升的高度为． 21. 如图，，为的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，，点是的中点，弦，相交于点． （1）求的度数； （2）若，求直径的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质，得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据等边对等角，得出，再根据等量代换，得出，再根据，得出，即，得出，进而计算即可得出答案； （2）连接，根据圆周角定理，得出，再根据中点的定义，得出，再根据同弧或同弦所对的圆周角相等，得出，再根据正切的定义，得出，再根据角所对的直角边等于斜边的一半，得出，进而即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵是直径， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴的直径的长为． 【点睛】本题考查了切线性质、直角三角形两锐角互余、等边对等角、圆周角定理及其推论、锐角三角函数、含角的直角三角形的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 22. 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． （1）下列选项中一定是“等补四边形”的是________； A．平行四边形； B．矩形； C．正方形； D．菱形 （2）如图1，在边长为a的正方形中，E为边上一动点（E不与C、D重合），交于点F，过F作交于点H． ①试判断四边形是否为“等补四边形”并说明理由； ②如图2，连接，将绕A点逆时针旋转得到，判断线段与线段的数量关系，并求的周长； ③若四边形是“等补四边形”，当时，求的长． 【答案】（1）C （2）①四边形是等补四边形，见解析；②；；③或者 【解析】 【分析】本题考查了新定义，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，圆的内接四边形性质，勾股定理，分类思想； （1）根据定义，判断邻边是否相等，相等后，再判断对角是否互补即可． （2）①根据，得到；连接，根据四点共圆，正方形的性质，证明即可． ②根据旋转性质，得，得到，结合，得到，继而得到，，从而得到，证明，计算即可． ③根据，得到；根据四边形是“等补四边形”，只需分类得到一组相等邻边，计算即可． 【小问1详解】 解：在平行四边形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的邻边相等且对角互补， ∴正方形是等补四边形， 故选：D． 小问2详解】 解：①四边形是“等补四边形”，理由如下： ∵边长为a的正方形中，交于点F，交于点H． ∴，，， ∴； 连接，如图，则A、B、H、F四点共圆， ∴， ∴． ， ∴四边形是“等补四边形”； ②，理由如下： 根据旋转性质，得， ∴， ∵，， ∴，C，D，L三点共线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的周长是． ③∵，，， ∴； ∵四边形是“等补四边形”， ∴还需要一组邻边相等，分以下四种情况讨论： 情况1：，连接， 由题意知∶，，又， ∴， ∴， 则为正三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 情况2：， ∵， ∴， ∴，同情况1， 此时，； 情况3：，由②得周长． 设，则， 则， ∴，即； 情况4：，连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ，则垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴，这不可能，故这种情况不存在． 综上：或者． 23. 在一次数学社团活动中，小晨同学所在的小组把两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图象与x轴交点也相同的二次函数，命名为“和合对称二次函数”，对应图象命名为“和合对称抛物线”，并把两个函数图象上横坐标相同的对应点称之为“和合点”，针对该构想，小展同学用二次函数作为其中一个函数（标记该函数图象交轴于原点及点）做了有关研究，请你帮他解答． 【特例感知】（1）当时，如图，抛物线上的点关于与之对应的“和合对称抛物线”图像的“和合点”分别为，．如下表： … … … … ①补全表格； ②画图：在图中描出表中对应的“和合点”，再用平滑的曲线依次连接各点，得到“和合对称抛物线”图象． 【初步探讨】（2）①当时，若抛物线的顶点为点，点对应的“和合点”为点，则由点、四点所围成的四边形的面积为______； ②在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现与二次函数对应的“和合对称抛物线”图象中，存在一条抛物线，其顶点的横、纵坐标恰好互为相反数，请求出抛物线的解析式． 【进阶探究】（3）若抛物线及与它对应的“和合对称抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值． 【答案】（1）①；②见详解；（2）①；②抛物线；（3）为或． 【解析】 【分析】（1）①用和合对称二次函数图像与轴交点相同即可求解； ②用圆滑的曲线，按描点画图的要求作图即可； （2）①当时，抛物线，可求其与轴交点和顶点坐标，设抛物线，两个二次项系数之和为，对称轴相同，联立方程组，求解，确定抛物线，求其顶点坐标，则； ②设抛物线，求两个函数与轴的交点，利用横坐标相等，可得，从而确定抛物线，求其顶点坐标，利用其横、纵坐标互为相反数，求解，即可确定抛物线； （3）由题可设抛物线，将两个抛物线化成顶点式，表示其顶点坐标，当直线过抛物线顶点时，才有可能满足有且仅有个交点，列式可得 或，验证时，不满足条件． 【详解】解：（1）①∵和合对称二次函数图像与轴交点相同， ∴坐标与坐标相同，同为； ②描点画图即可，如下图 （2）①当时，抛物线， 与轴交点为， ， ∴顶点坐标， 设抛物线， 则， 解得， ∴抛物线， 当时，， ∴坐标为， ∴； ②抛物线， 与轴交点为点为， 则设抛物线， 与轴交点为点为， ∴， 抛物线， ∴， ∴顶点为， ∵其横、纵坐标互为相反数， ， ∴抛物线； （3）抛物线， ∴其顶点为， 则抛物线， ∴其顶点为， 当直线过抛物线顶点时，才有可能满足有且仅有个交点， ∴， 解得， 当时，两个抛物线与只有一个交点，不满足条件， ∴为或． 【点睛】本题是新定义的“和合对称二次函数”，主要考查二次函数的图象和性质、描点作图、四边形面积、多次用到待定系数法求函数，读题理解“和合对称二次函数”等概念是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$