精品解析：吉林省长春市G8教考联盟2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

吉林省普通高中G8教考联盟2024-2025学年下学期期末考试 高二年级数学 本试卷共6页．考试结束后，将答题卡交回： 注意事项： 1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．将条形码准确粘贴在考生倍息条形码粘贴区． 2．答题时请按要求用笔、 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答：超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描照． 5．保持卡面湾洁，不要折叠，不要异破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，将四组数据对应的相关系数进行比较，则（ ） A. B. C. D. 3. 是( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，都是定义域为的奇函数，则函数的部分图象可能为（ ） A. B. C. D. 5 从5名男生和4名女生中选出4人参加比赛，如果4人中须既有男生又有女生，选法有（　　）种 A. 21 B. 120 C. 60 D. 91 6. 已知函数，则的值为（ ） A. 24 B. 4 C. 12 D. 8 7. 已知正实数m，n满足，则的最小值为（ ）． A. B. C. D. 8. 已知函数若关于的方程有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分、共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分、部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列叙述正确的是（ ） A. 不等式的解集是 B. 函数与是同一函数 C. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 若函数，则 10. 下列叙述正确的是（ ） A. 甲、乙、丙等5人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有36种排法 B. 用数字0，1，2，3这四个数可以组成没有重复数字的四位数共有18个 C. 4个人分别从3个景点中选择一处游览，有81种不同选法 D. 正十二边形的对角线的条数是54 11. 已知函数与的定义域均为，且，，若的图象关于点对称，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的二项展开式中，常数项为__________. 13. 若函数，是定义在上的增函数，则实数的取值范围是__________. 14. 甲、乙两名同学参加汉语听写比赛，每次由其中一人听写，规则如下：若听写正确则此人继续听写，若未听写正确则换对方听写，无论之前听写情况如何，甲每次听写的正确率均为0.6，乙每次听写的正确率均为0.8，第1次听写的人是甲、乙的概率各为0.5，则第二次听写的人是甲的概率_____；第次听写的人是甲的概率_______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数在处切线的方程； （2）求函数的极值． 16. 为了研究高中学生平时的数学成缆和整理数学错题习惯的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校抽取100名学生进行调查统计．数据如下： 整理数学错题习惯 数学成绩 合计 优秀 非优秀 有 20 30 50 没有 10 40 50 合计 30 70 100 （1）依据小概率值的独立性检验，是否认为数学成绩优秀与整理数学错题集习惯有关联； （2）在调查统计有整理数学错题集习惯的50名学生中，采用比例分配的分层随机抽样的方法选取5人组建研讨小组，再从5人研讨小组中随机抽取3人进行访谈，用表示访谈时成绩优秀的人数，求的分布列及数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3841 6.635 7.879 10.828 17 已知函数． （1）求的单调区间及最值； （2）求出方程的解的个数． 18. 已知定义域都为的函数与满足：是偶函数，是奇函数，且． （1）求函数、的解析式； （2）直接说明函数的单调性，并解关于不等式：； （3）设，，对于，都，使得，求实数的取值范围． 19. 设随机变量概率分布为，，其中是大于0的常数，e为自然对数的底数.则称服从参数为的泊松分布，记为. （1）若，求； （2）已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，有.请用泊松分布近似二项分布解决下列问题：若，，，求实数的取值范围； （3）若，，且，的任意取值均相互独立，记，试判断随机变量是否服从泊松分布，如果服从，请求出泊松分布对应的参数，如果不服从，请说明理由. 参考数据：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 吉林省普通高中G8教考联盟2024-2025学年下学期期末考试 高二年级数学 本试卷共6页．考试结束后，将答题卡交回： 注意事项： 1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．将条形码准确粘贴在考生倍息条形码粘贴区． 2．答题时请按要求用笔、 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答：超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描照． 5．保持卡面湾洁，不要折叠，不要异破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】代入验证，再由集合的交集运算即可求解. 【详解】因为，又，，，， 所以，故A正确. 故选：A. 2. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，将四组数据对应的相关系数进行比较，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的散点图，结合相关系数的意义判断即得. 【详解】由图知，对应的与负相关，且对应的相关性更强，即； 对应的与正相关，且对应的相关性更强，即， 所以. 故选：A 3. 是的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质，结合充分性和必要性的定义即可求解. 【详解】当，时，显然不成立； 当时，显然，由不等式性质可知，， 故是的必要不充分条件. 故选：B. 4. 已知，都是定义域为的奇函数，则函数的部分图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断的奇偶性，然后求，结合图像判断，利用排除法即可求解.. 【详解】由题知，的定义域为，关于原点对称， 由，得是偶函数，A，B错误. ，都是定义域为的奇函数，则， 则，D错误，C正确. 故选：C 5. 从5名男生和4名女生中选出4人参加比赛，如果4人中须既有男生又有女生，选法有（　　）种 A. 21 B. 120 C. 60 D. 91 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，先计算从9人中选出4人的选法数目，再排除其中“只有男生没有女生的选法”和“只有女生没有男生的选法”，即可得答案． 【详解】根据题意，从5名男生和4名女生共9人中选出4人去参加辩论比赛，有＝126种选法， 其中只有男生没有女生的选法有＝5种，只有女生没有男生的选法有＝1种， 则4人中既有男生又有女生的不同选法共有126﹣5﹣1＝120种； 故选B． 【点睛】本题考查排列、组合的实际应用，灵活利用间接法，属于基础题． 6. 已知函数，则的值为（ ） A. 24 B. 4 C. 12 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由，则，从而可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：A. 7. 已知正实数m，n满足，则的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将等式转化为等式右边为常数形式，然后根据基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】可以转化为， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，此时的最小值为. 故选：A． 8. 已知函数若关于的方程有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出函数图象，设，要使关于的方程恰有4个不相等的实数根，等价为方程有两个不同的根，且，列式求解即可. 【详解】∵， 当时， 在上为减函数，且， 当时，在上为增函数，且， 当时，在上为增函数，且， 作出函数的图象如图所示： 设， 当时，方程有1个解， 当时，方程有2个解， 当时，方程有3个解， 当时，方程有2个解， 当时，方程有1个解， 当时，方程有0个解， 方程等价为，解得， 要使关于的方程恰有4个不相等的实数根，方程有1个解， 所以时，方程有3个解，所以，即得. 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分、共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分、部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列叙述正确的是（ ） A. 不等式的解集是 B. 函数与是同一函数 C. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 若函数，则 【答案】CD 【解析】 【分析】解分式不等式判断A；根据同一函数对应法则、定义域相同判断B；由抽象函数定义域求法求函数定义域判断C；应用换元法求函数解析式，并注意定义域判断D. 【详解】对于A：由，则，可得或，故命题错； 对于B：由的定义域为，而的定义域为，显然不是同一函数，错； 对于C：由的定义域为，则，即函数的定义域为，对； 对于D：设，则， 故且，所以，对. 故选：CD 10. 下列叙述正确的是（ ） A. 甲、乙、丙等5人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有36种排法 B. 用数字0，1，2，3这四个数可以组成没有重复数字的四位数共有18个 C. 4个人分别从3个景点中选择一处游览，有81种不同选法 D. 正十二边形的对角线的条数是54 【答案】BCD 【解析】 【分析】应用间接法求不同排法数判断A；先排千位，再排其它三位判断B；应用分步计数原理判断C；根据对角线定义及分步计数原理求对角线条数判断D. 【详解】A：将5人作全排列有种，先求甲丙相邻的情况，将甲和丙捆绑，再和其他三人全排列，有， 若甲与丙不相邻，则共有种，错； B：从1、2、3中选一个放在千位有种，再把余下的3个数作全排种，共有种，对； C：由题意，每个人都有3种选择，故共有种，对； D：对于任意一个顶点都有9条对角线，但会重复计算一次，故共有条，对. 故选：BCD 11. 已知函数与的定义域均为，且，，若的图象关于点对称，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题设且，结合判断A；根据已知得、，则，进而得判断B；根据分析得，得，结合奇函数性质判断C；首先确定是周期为4的函数，再求得，利用周期性求值判断D. 【详解】由的定义域为R且图象关于点对称，则，且， 所以，则，A对； 由，知，又， 所以，而，则， 故，即，B对； 由，则，故， 令，则，显然不满足是奇函数，C错； 由B分析有，即，故是周期为4的函数， 其中，，，， 所以，故，D对. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的二项展开式中，常数项为__________. 【答案】20 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】的二项展开式中，常数项为， 故答案为： 13. 若函数，是定义在上的增函数，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，解不等式即可得出答案. 【详解】由题知，，解得：. 故答案为：. 14. 甲、乙两名同学参加汉语听写比赛，每次由其中一人听写，规则如下：若听写正确则此人继续听写，若未听写正确则换对方听写，无论之前听写情况如何，甲每次听写的正确率均为0.6，乙每次听写的正确率均为0.8，第1次听写的人是甲、乙的概率各为0.5，则第二次听写的人是甲的概率_____；第次听写的人是甲的概率_______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据全概率公式列出，然后根据等比数列的通项公式求出，进而可求得结果. 【详解】根据题意，记“第次听写的人是甲”为事件，“第次听写的人是乙”为事件， 设，依题可知. 则. 即. 变形可得，又，则. 则数列是首项为，公比为的等比数列. 即. 所以第2次听写的人是甲的概率为. 所以第次听写的人是甲的概率为. 故答案为：；. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数在处切线的方程； （2）求函数的极值． 【答案】（1） （2）极大值为6，极小值为26 【解析】 【分析】（1）对函数求导，求出切线的斜率和切点的坐标，即可求出切线方程. （2）对函数求导，求出极值点，判断函数的单调性，确定函数的极值. 【小问1详解】 因为函数， 所以求导得. 所以.又， 所以函数在处的切线方程为，即. 小问2详解】 因为. 令，解得或. 当或时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以的极大值为，极小值为. 16. 为了研究高中学生平时的数学成缆和整理数学错题习惯的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校抽取100名学生进行调查统计．数据如下： 整理数学错题习惯 数学成绩 合计 优秀 非优秀 有 20 30 50 没有 10 40 50 合计 30 70 100 （1）依据小概率值的独立性检验，是否认为数学成绩优秀与整理数学错题集习惯有关联； （2）在调查统计有整理数学错题集习惯的50名学生中，采用比例分配的分层随机抽样的方法选取5人组建研讨小组，再从5人研讨小组中随机抽取3人进行访谈，用表示访谈时成绩优秀的人数，求的分布列及数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6635 7.879 10.828 【答案】（1）有关； （2）分布列见解析，期望为. 【解析】 【分析】（1）先求卡方值，根据独立检验的基本思想得结论即可； （2）由已知5人中有2人优秀，3人非优秀，则并求出对应概率，即可得分布列，进而求期望. 【小问1详解】 零假设：数学成绩优秀与整理数学错题集习惯无关联 由题设， 故依据小概率值的独立性检验，不能认为零假设成立， 故认为数学成绩优秀与整理数学错题集习惯有关联； 小问2详解】 由分层抽样的等比例性质，5人中有2人优秀，3人非优秀， 所以优秀学生人数，且，，， 故分布列如下， 0 1 2 则. 17. 已知函数． （1）求的单调区间及最值； （2）求出方程的解的个数． 【答案】（1）答案见解析； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）应用导数研究函数的单调区间和最值即可； （2）根据（1）得到函数大致图象，数形结合并讨论参数判断解的个数. 【小问1详解】 由题设，故时有，时有， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 当趋向时趋向，趋向时趋向，故， 综上，的递减区间为，递增区间为，最小值为，无最大值； 【小问2详解】 由（1）分析，可得的大致图象如下： 当时，无解； 当时，有两个不同解； 当或时，有且仅有一个解. 18. 已知定义域都为的函数与满足：是偶函数，是奇函数，且． （1）求函数、的解析式； （2）直接说明函数的单调性，并解关于不等式：； （3）设，，对于，都，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2）单调递增，不等式解集为； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性得到，应用方程组求函数解析式即可； （2）由对应指数函数单调性判断，再由奇函数、单调性解不等式即可； （3）利用指数函数、分式型函数、二次函数性质分别求出在R上的值域、在上的值域，结合已知得，即可得结果. 【小问1详解】 由题设，，且， ， 两式相减可得； 【小问2详解】 由在R上均单调递增，故在R上单调递增， 由，则， 所以，即，可得或， 所以解集为； 【小问3详解】 时，，又，故， 时，， 令，则， 则， 由，都，使得，只需，即. 19. 设随机变量的概率分布为，，其中是大于0的常数，e为自然对数的底数.则称服从参数为的泊松分布，记为. （1）若，求； （2）已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，有.请用泊松分布近似二项分布解决下列问题：若，，，求实数的取值范围； （3）若，，且，的任意取值均相互独立，记，试判断随机变量是否服从泊松分布，如果服从，请求出泊松分布对应的参数，如果不服从，请说明理由. 参考数据：. 【答案】（1）； （2）； （3）随机变量服从泊松分布，对应的参数是. 【解析】 【分析】（1）代入计算即可求出； （2）由题意得到，令，，求导得到函数单调性，结合，从而得到，即，求出答案； （3）推导得到，所以，即随机变量服从泊松分布，对应的参数是 【小问1详解】 若，则； 【小问2详解】 由题 ， 其中，. 令，，则， 故在单调递减， 又， 所以的解为， 即，即； 【小问3详解】 由题： 所以，即随机变量服从泊松分布，对应的参数是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$