精品解析：贵州省毕节市第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

毕节市第一中学2025学年高二下学期期中考试数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 二项式的展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 某地区是典型的盐碱地区，面对盐碱地改造成本高、维护难的现实，农技人员从“以种适地”角度入手，近年来相继培育出“捷麦”和“捷麦”等自主研发的旱碱麦品种，亩产量大幅提高，有力促进农民收入增长，带动农村经济发展现有，，，四块盐碱地，计划种植“捷麦”和“捷麦”这两种旱碱麦，若要求这两种旱碱麦都要种植，每块盐碱地种植一种旱碱麦，则不同的种植方案共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 某大学为提高学生的文化艺术素养，特开设了6门公共必修课程，要求每位同学每学年至少选1门，至多选3门，大二到大四这三学年必须将6门公共必修课程全部选完，则每位同学的不同选择方式有（ ） A. 900种 B. 540种 C. 450种 D. 360种 6. 函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象经过四个象限的一个充分必要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. ，则 C. D. 10. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共项 B. 各项系数的和为1 C. 项的系数为 D. 二项式系数最大的项为第项 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数的最小值为 B. 当时，函数的极大值点为 C. 存在实数使得函数在定义域上单调递增 D. 若恒成立，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡的相应位． 12. 设为正整数，若，则______. 13. 已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围为___________. 14. 从公比不为1的正项等比数列的前8项中任取三项，则这3项能构成等比数列的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5∶2. （1）求n的值； （2）求展开式中含的项的系数； （3）设，则当时，求a除以15所得余数. 16. 已知数列满足对任意m，都有，数列是等比数列，且，，. （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 17. 已知函数在处的切线和直线垂直. （1）求实数的值； （2）若对任意的，，都有成立（其中为自然对数的底数），求实数m的取值范围. 18. 已知，函数，. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：存在唯一的极值点； （3）若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数.（注：…是自然对数的底数） （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若只有一个极值点，求实数m的取值范围； （3）若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 毕节市第一中学2025学年高二下学期期中考试数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 二项式的展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式定理的通项公式即可求解. 【详解】由二项式定理可知，的展开式的通项为 ， 令，解得， 所以， 所以二项式的展开式中含项的系数为. 故选：B. 2. 已知函数，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据极限的运算法则，求得，再由导数的运算法则，即可求解. 【详解】由， 因为函数，可得，所以， 所以. 故选：C. 3. 某地区是典型的盐碱地区，面对盐碱地改造成本高、维护难的现实，农技人员从“以种适地”角度入手，近年来相继培育出“捷麦”和“捷麦”等自主研发的旱碱麦品种，亩产量大幅提高，有力促进农民收入增长，带动农村经济发展现有，，，四块盐碱地，计划种植“捷麦”和“捷麦”这两种旱碱麦，若要求这两种旱碱麦都要种植，每块盐碱地种植一种旱碱麦，则不同的种植方案共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意，由分类加法和分步乘法原理，第一类，先选一块地种植一种旱碱麦，剩下的三块地种植另外一种旱碱麦；第二类，先选两块地种植一种旱碱麦，剩下的两块地种植另外一种旱碱麦，再利用排列组合计算可得. 【详解】第一类，先选一块地种植一种旱碱麦，剩下的三块地种植另外一种旱碱麦，则不同的种植方案有种； 第二类，先选两块地种植一种旱碱麦，剩下的两块地种植另外一种旱碱麦，则不同的种植方案有种． 故不同的种植方案共有种， 故选：C． 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解. 【详解】求导函数， 当时，， ∴曲线在点处的切线方程为：， 即. 故选：A. 5. 某大学为提高学生的文化艺术素养，特开设了6门公共必修课程，要求每位同学每学年至少选1门，至多选3门，大二到大四这三学年必须将6门公共必修课程全部选完，则每位同学的不同选择方式有（ ） A. 900种 B. 540种 C. 450种 D. 360种 【答案】C 【解析】 【分析】由题意每位同学每年所修课程数可以分为1，2，3或2，2，2两类，先将6门必修课分成三组，再分到三个学年，由分步计数原理与分类计数原理可求解． 【详解】已知三学年修完6门课程，且每学年至少选1门，至多选3门， 则每位同学每年所修课程数可以分为1，2，3或2，2，2． 若按1，2，3选择6门课程， 则先将6门必修课分成三组，有种不同方式， 再分配到三个学年，共有种不同的分配方式， 由分步乘法计数原理可得共有种不同的选择方式； 若按2，2，2选择6门课程， 则先将6门必修课分成三组，有种不同方式， 再分配到三个学年，共有种不同的分配方式， 由分步乘法计数原理可得共有种不同的选择方式． 综上所述，每位同学的不同选择方式有种． 故选：C． 6. 函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到函数定义域，变形得到在上恒成立，分析出，与两函数零点相同，从而得到，故，构造函数，，求导，得到其单调性和最值，从而得到答案. 【详解】的定义域为， 由题意得，即在上恒成立， 由于在上单调递增，故需在上单调递增， 且与两函数零点相同时， 可保证在上恒成立， 令得，令得， 即，且，所以， ， 令，， 则， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，又时，， 所以. 故选：B 7. 函数的图象经过四个象限的一个充分必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的导数可得有极值点，，进而可得，即得. 【详解】当时，显然不合题意； 当时，， 若，或时，，时，， 若，当时，，当或时， ， 故有极值点，， 若的图象过四个象限，则， 所以 解得 . 故选：D. 8. 若函数单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，把问题转化成在上恒成立，再分离参数，借助基本不等式求参数的取值范围. 【详解】因为（），所以（）. 问题转化为在上恒成立. 由（）. 又（当且仅当即时取“”）. 所以. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. ，则 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用导数的运算法则和初等函数的导数对每一个选项逐一求导. 【详解】对于选项A： ，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确； 故选：BD. 10. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共项 B. 各项系数的和为1 C. 项的系数为 D. 二项式系数最大的项为第项 【答案】BD 【解析】 【分析】由二项式展开式的项数即可判断A，由赋值法代入计算，即可判断B，由展开式的通项公式即可判断C，由二项式系数的性质即可判断D. 【详解】对于A，的展开式中共项，故A错误； 对于B，令可得，则各项系数的和为1，故B正确； 对于C，二项式展开式的通项公式为， 令，则该项系数为，故C错误； 对于D，因为二项式的指数为偶数，展开式有项， 则二项式系数最大的项为中间一项，即第项，故D正确； 故选：BD 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数的最小值为 B. 当时，函数的极大值点为 C. 存在实数使得函数在定义域上单调递增 D. 若恒成立，则实数的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】由函数极值的求解以及极值点的辨析即可判断AB，由在上恒成立即可判断C，分离参数，构造函数求得其最小值，即可判断D. 【详解】因为函数，则，其中， 当时，则，令，可得， 当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 当时，有极小值，即最小值，故A正确； 当时，则，令，可得， 当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 当时，函数有极小值，则为极小值点，故B错误； 假设存在实数使得函数在定义域上单调递增， 则在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立，因为的值域为， 所以函数无最小值， 故不存在实数使得函数在定义域上单调递增，故C错误； 若恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则，令，则， 当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 当时，有极小值，即最小值，所以，故D正确； 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡的相应位． 12. 设为正整数，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用排列数和组合数公式可得出关于的等式，解之即可. 【详解】由题意可知且，由可得， 整理可得，解得. 故答案为：. 13. 已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先证，当时，在上单调递增，可得恒成立；当时，可得，即可求解结果． 【详解】由题意可知，令， 当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，则恒成立； 由， 则当时，，即在上单调递增，则对恒成立，满足题意； 当时，由得或 又因为且函数为奇函数， 所以可得，解得，则， 综上，实数的取值范围为． 故答案为： 14. 从公比不为1的正项等比数列的前8项中任取三项，则这3项能构成等比数列的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，可知任取3项能构成等比数列共有12种取法，根据计数原理，前8项中任取三项，共有种取法，结合古典概型可得答案. 【详解】从公比不为1的正项等比数列的前8项中任取三项，共有种取法， 其中能构成等比数列的有，，，，，，，，，，，，共12种取法， 假设任取三项并能构成等比数列为事件A，所以． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5∶2. （1）求n的值； （2）求展开式中含的项的系数； （3）设，则当时，求a除以15所得余数. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数的比值，列式计算即可； （2）写出通项公式，通过赋值，即可求得含项的系数； （3）将改写为，将其展开，即可求得除以所得余数. 【小问1详解】 根据题意，，即，又，故. 【小问2详解】 ， 其展开式的通项公式，， 令，解得，则， 故展开式中含的项的系数为：. 【小问3详解】 当时，， ， 而能够被整除， 故a除以15所得余数为. 16. 已知数列满足对任意m，都有，数列是等比数列，且，，. （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件证得数列是等差数列，再由已知求得数列的公差、的公比，写出通项公式即可； （2）使用错位相减求和. 【小问1详解】 因为对任意m，，，所以， 所以数列是公差的等差数列，. 设等比数列的公比为q，因为，，， 所以. 又因为，解得，， 所以，. 【小问2详解】 因为， 所以， ， 两式相减，得 ， 所以. 17. 已知函数在处的切线和直线垂直. （1）求实数的值； （2）若对任意的，，都有成立（其中为自然对数的底数），求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得，得到，根据题意得到，即可求解； （2）不妨设，根据题意转化为，设，转化为在单调递增，即在上恒成立，设，利用导数求得函数的单调性和最小值，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数，可得，可得 因为函数在处的切线l和直线垂直，所以， 即，解得. 【小问2详解】 解：不妨设，则， 因为对任意的，，都有成立， 可得，即， 设，则，故在单调递增， 从而有，即在上恒成立， 设，则， 因为， 令，即，解得， 令，即，解得， 所以在单调递减，在单调递增， 又因为，故在上最小值，所以， 实数的取值范围是. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 18. 已知，函数，. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：存在唯一的极值点； （3）若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 证明：由，， ①当时，，则在上单调递增， ②当时，设，则， 所以，故在上单调递减， 又，， 所以由零点存在性定理可知，存在唯一，使得，即. 所以当时，，即；当时，，即， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综述：在上单调递增，在上单调递减，存在唯一，使得. 故存在唯一的极值点. （3） 【解析】 【分析】（1）求，代入计算即为斜率，求的值，结合点斜式即可求得切线方程. （2）①研究当时，的单调性，②研究当时，令，运用导数研究单调性，结合零点存在性定理可知存在唯一，使得，即，进而可证得的单调性，进而可证得结果. （3）将问题转化为，由（2）可知， ，，进而可得存在，使得，设，，进而将问题转化为求，运用导数求即可. 【小问1详解】 由题意知，， 所以， 又， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知，在上单调递增，在上单调递减， 故， 因为，所以， 由题意知，， 即， 化简得，， 设，， 由题存在，使得， 所以，. 又 设，，则， 所以在上单调递减， 故， 当时，，；当时，，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以. 故的取值范围为. 【点睛】方法点睛：恒成立（能成立）问题解题策略： 方法1：分离参数法求最值： (1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题； (2)恒成立⇔； 恒成立⇔； 能成立⇔； 能成立⇔； 方法2：根据不等式恒成立（能成立）构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解． 19. 已知函数.（注：…是自然对数的底数） （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若只有一个极值点，求实数m的取值范围； （3）若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)根据导数的几何意义，结合点斜式求切线方程； (2)讨论的符号，判断的单调性，进而确定的零点； (3)要使取到最小值，则取最大，分析可得，结合零点代换处理即可. 【小问1详解】 （1）当时，， 故， 故在点处的切线方程为； 【小问2详解】 解：由题意知有且只有一个根且有正有负， 构建，则. ①当时，当时恒成立，在上单调递增， 因为， 所以有一个零点，即为的一个极值点； ②当时，在上恒成立，即无极值点； ③当时，当；当， 所以在单调递减，在上单调递增， 故， 若，则，即. 因为，所以当时，， 当时，， 令，则，故， 故在上为增函数. 故， 故， 故当时，有两个零点，此时有两个极值点， 当时，当时恒成立，即无极值点； 综上所述：. 【小问3详解】 解：由题意知，对于任意的，使得恒成立， 则当取最大值时，取到最小值. 当时，因为，故当时，的最小值为； 当时，当时，， 所以无最小值，即无最小值； 当时，由（2）得只有一个零点，即且， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，， 此时， 因为，所以， 代入得， 令， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，此时， 所以的最小值为. 【点睛】方法点睛：对于利用导数求参数时，常采用分离常数法，转化求函数的最值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $