精品解析：2025年甘肃省武威市凉州区凉州区金羊、金沙九年制学校中考三模数学试题

2024—2025学年第二学期九年级第三次模拟考试数学试卷 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，和都是直角三角形，，，，点在上．若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，，点是边上一点，点为边上的动点，点，分别为，的中点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 1.2 C. 1.5 D. 1.8 5. 如图，在中，点是的中点，点在上，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，点在轴上，为边上的点．若，则的值为（ ） A. B. 3 C. 6 D. 12 7. 如图，在等腰三角形中，，，是上的动点，连接，以为斜边在右侧作，且点在下方，，，为的中点，连接，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 8. 如图，在Rt中，，点在边上，若，，则为（　　） A. B. C. D. 9. 几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④点，在抛物线上，且，当时，；⑤函数的最大值大于．其中正确结论的个数为（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 2的平方根是_________. 12. 因式分解：___________． 13. 已知点在一次函数的图像上，那么的值是__________. 14. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为_____． 15. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，点D恰好落在线段上．若，，则的长为______． 16. 如图，为的直径，点C在上，点B在劣弧上．若，则的度数为______． 17. 布袋中有6个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，如果从布袋中随机摸出球，摸出的是白球的概率是，那么布袋中白球的个数是________． 18. 如图，是的直径，C为上一点，点D在的延长线上，，的半径为．当时，图中阴影部分的面积是______． 三、解答题（共66分） 19. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点O对称的，并写出点A、C的对应点、的坐标； （2）请画出绕点逆时针旋转后的，并写出点、的对应点、的坐标． 20. （1）计算：． （2）解方程： 21. 如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 开展丰富多样的教育活动是教育强国的一项重要措施，为了增强学生的社会责任感和公民意识，某市组织全市初中部分学生参加“环保小卫士”知识竞赛活动．随机抽取部分学生的测试成绩进行整理和分析（测试满分为100分，成绩得分用表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．）．下面给出了部分信息： 信息一： 信息二：学生竞赛成绩在C组的数据（单位：分）如下： 80，82，83，83，84，85，86，87，87，89． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求本次抽取的学生人数，并补全频数分布直方图； （2）求所抽取的学生成绩的中位数； （3）该市共有3000名初中学生，请估计该市初中学生成绩在A组的人数． 23. 如图，P是的直径延长线上的一点，与分别相交于点E和点C，过点C作，交于点F，交于点D，连接． （1）求证：； （2）若的长等于的半径，，求的度数． 24. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点作轴的平行线，交的图象于点． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求的面积． 25. 如图，为的直径，点在上，过点作的切线，交的延长线于点，过点作延长线的垂线，垂足为，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径及的长． 26. 在数学综合实践活动中，同学们准备测量学校旗杆的高度．如图，甲、乙两同学分别站在处和处，和为测角仪，两测角仪高度分别为，，甲同学在处测得旗杆的仰角为；乙同学在处测得旗杆的仰角为．甲、乙两同学所处位置的水平距离，求旗杆的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 27. 已知抛物线，与轴交于点和点（在的左侧），与轴交于点，且，抛物线的顶点为． （1）直接写出这条抛物线的解析式_____和顶点的坐标_____； （2）若点在此抛物线上，轴于点，与直线相交于点，设点的横坐标为，且，求点的坐标； （3）在（2）的基础上，在直线上是否存在一点，使直线与直线的夹角等于的2倍．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期九年级第三次模拟考试数学试卷 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，掌握其概念，数形结合，找出对称轴，对称中心是关键． 轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴；中心对称，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心；结合图形分析即可． 【详解】解：A、有对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； B、有对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； C、有对称轴，是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，符合题意； D、有对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C ． 2. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数． 根据负数的相反数是正数求解即可． 【详解】解：的相反数是． 故选C． 3. 如图，和都是直角三角形，，，，点在上．若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理求出，平行求出，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选D． 4. 如图，在中，，，，点是边上一点，点为边上的动点，点，分别为，的中点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 1.2 C. 1.5 D. 1.8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的面积、勾股定理、三角形的中位线等知识点，掌握三角形的中位线等于第三边的一半成为解题的关键．如图：连接，根据三角形的中位线可得，当时，的值最小，此时的值也最小，根据勾股定理求出，根据三角形的面积求出即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵点，分别为，的中点， ∴， 当时，的值最小，此时的值也最小， ∵，，， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5. 如图，在中，点是的中点，点在上，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，弧，弦，圆心角之间的关系，先证明，再结合点是的中点，进一步可得答案. 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴； 故选：B 6. 如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，点在轴上，为边上的点．若，则的值为（ ） A. B. 3 C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数比例系数的几何意义，根据矩形对边平行和平行线的性质可得，再由反比例函数比例系数的几何意义即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵矩形的顶点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，在等腰三角形中，，，是上的动点，连接，以为斜边在右侧作，且点在下方，，，为的中点，连接，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质．作于点，连接，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，，求得，，证得，求得，推出点在射线上，延长交于点，作点关于直线的对称点，当点共线时，有最小值，最小值为的长，再利用三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：作于点，连接， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在射线上，延长交于点，作点关于直线的对称点，连接，， ∵，， ∴， ∴点在上， ∴，， 此时点是的中点， ∵， ∴当点共线时，有最小值，最小值为的长， ∵为的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 8. 如图，在Rt中，，点在边上，若，，则为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，由得，由勾股定理得，根据即可作答． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9. 几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图，该几何体的主视图可确定该几何体的形状，据此求解即可． 【详解】解：根据A，B，C，D三个选项的物体的主视图可知，与题图有吻合的只有C选项， 故选：C． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，熟练掌握三视图并能灵活运用，是解题的关键． 10. 如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④点，在抛物线上，且，当时，；⑤函数的最大值大于．其中正确结论的个数为（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，熟练运用数形结合的方法解决问题．根据二次函数的对称性，开口方向等来判断结论①②，根据二次函数与一元二次方程的关系来判断结论③，根据函数的增减性，函数值判断结论④⑤即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ， ，即，故①正确； 抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点的横坐标在2和3之间， 抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在和0之间， ∴方程一定有一个根在和0之间，故②错误； ∵抛物线图象与轴交点的纵坐标是2， ， ， ， 令，得， 或， ， ， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确； 抛物线的开口向下， 抛物线上的点距离对称轴越远y值越小，距离对称轴越近y值越大， ， ， ， ， ， 点到对称轴的距离是，点到对称轴的距离是， ，故④正确； 如图，当时，， ， ， ， 当时，， 函数的最大值大于，故⑤正确， 综上所述，正确的结论有：①③④⑤，共4个， 故选：B． 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 2的平方根是_________. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据平方根的定义求解即可（需注意一个正数有两个平方根）． 【详解】解：2的平方根是故答案为． 【点睛】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 12. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，提公因式法进行因式分解即可．找出公因式，即可得答案． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 已知点在一次函数的图像上，那么的值是__________. 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．直接把点代入一次函数，求出的值即可． 【详解】解：点在一次函数的图像上， ． 解得：， 故答案为：3． 14. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为_____． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．根据定义可得且，再进一步解答即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 15. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，点D恰好落在线段上．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．由旋转得，，，，求出，根据勾股定理求出的长． 【详解】解：由旋转得，，，， ∴， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴， ∴ 故答案为：． 16. 如图，为的直径，点C在上，点B在劣弧上．若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，连接，圆周角定理得到，进而求出的度数，再根据圆内接四边形的对角互补，即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 17. 布袋中有6个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，如果从布袋中随机摸出球，摸出的是白球的概率是，那么布袋中白球的个数是________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了概率的概念：所有等可能的结果有n个，其中某事件占m个，则这个事件的概率．根据概率的概念建立等量关系，解方程即可． 【详解】解：设布袋中有n个白球， 根据题意，得， 解得：， 则布袋中白球有4个； 故答案为：4． 18. 如图，是的直径，C为上一点，点D在的延长线上，，的半径为．当时，图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，求扇形面积，解直角三角形．连接，根据是的直径，得出，易得，结合，推出，则，过点C作于点E，求出，，再求出，则，根据三角形面积公式和扇形面积公式得出和，最后根据即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 过点C作于点E， ∵，， ∴， ∴，， ∵的半径为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点O对称的，并写出点A、C的对应点、的坐标； （2）请画出绕点逆时针旋转后的，并写出点、的对应点、的坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所求作： ， （2） 解：如图，即为所求作： ， 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换-旋转，理解旋转性质是作图关键． （1）根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数得到对应点，再顺次连接即可作出对称图形； （2）根据旋转性质得到对应点，再顺次连接即可作出图形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. （1）计算：． （2）解方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，分式方程的解法； （1）先化简绝对值，计算零次幂，代入特殊角的三角函数值，分母有理化，再合并即可； （2）先去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可． 【详解】解：（1） ； （2）； 去分母得：， 整理得：， 解得：，， 经检验：是增根，是原方程的解． 21. 如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在与中 ， ∴． （2）4 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，根据平行线的性质证明是解题的关键． （1）由，得，而，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得，则，即可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 22. 开展丰富多样的教育活动是教育强国的一项重要措施，为了增强学生的社会责任感和公民意识，某市组织全市初中部分学生参加“环保小卫士”知识竞赛活动．随机抽取部分学生的测试成绩进行整理和分析（测试满分为100分，成绩得分用表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．）．下面给出了部分信息： 信息一： 信息二：学生竞赛成绩在C组的数据（单位：分）如下： 80，82，83，83，84，85，86，87，87，89． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求本次抽取的学生人数，并补全频数分布直方图； （2）求所抽取的学生成绩的中位数； （3）该市共有3000名初中学生，请估计该市初中学生成绩在A组的人数． 【答案】（1）本次抽取的学生人数为50人， 补全频数分布直方图如下： （2）中位数为分 （3）估计该市初中学生成绩在A组的人数约为300人 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，求中位数，正确读懂统计图是解题的关键． （1）用D组的人数除以其人数占比可求出参与调查的人数，再求出B组的人数即可补全统计图； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）用3000乘以样本中A组的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：（人）． ∴本次抽取的学生人数为50人． ∴B组的人数为（人）． 【小问2详解】 解：共抽取了50人， 所抽取的学生成绩的中位数是第25，26个数的平均值（把50人成绩按照从低到高排列）． 成绩在组的有5人，组的有15人，组的有10人， 中位数在组． 中位数为（分）． 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计该市初中学生成绩在A组的人数约为300人． 23. 如图，P是的直径延长线上的一点，与分别相交于点E和点C，过点C作，交于点F，交于点D，连接． （1）求证：； （2）若的长等于的半径，，求的度数． 【答案】（1） 证明：是直径，， ， 是的垂直平分线， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，三角形外角的性质等； （1）由垂径定理得，由线段垂直平分线的判定及性质，即可得证； （2）连接，由圆的定义得，由等腰三角形的性质得，由三角形的外角性质得，，即可求解； 掌握垂径定理，线段垂直平分线的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，三角形外角的性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ， 的长等于的半径， ， ， ， ， ． 24. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点作轴的平行线，交的图象于点． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）反比例函数的表达式为 （2）面积为 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的表达式，坐标与图形，利用待定系数法求出反比例函数的表达式是解题的关键． （1）利用正比例函数求出点的坐标，再代入反比例函数的表达式即可求解； （2）分别求出、的坐标，得到的长度，再根据坐标与图形以及三角形的面积公式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 把 代入 中，得， ， 轴， ∴点的横坐标为 把代入，， ∴ ∴面积为． 25. 如图，为的直径，点在上，过点作的切线，交的延长线于点，过点作延长线的垂线，垂足为，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径及的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． 为的切线， ． ， ． ． ， ． ． （2）半径为， 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，勾股定理和相似三角形的判定与性质． （1）根据切线的性质可得，结合题意及圆的基本性质即可证明； （2）由勾股定理得．设的半径为，则，．易得，根据相似三角形的性质得，所以，连接，证明，再根据相似三角形的性质得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ． 设的半径为，则，． ， ． ，即，解得． 的半径为． ． 如图，连接． 为的直径， ． ． ． ． ，即，解得． ． 26. 在数学综合实践活动中，同学们准备测量学校旗杆的高度．如图，甲、乙两同学分别站在处和处，和为测角仪，两测角仪高度分别为，，甲同学在处测得旗杆的仰角为；乙同学在处测得旗杆的仰角为．甲、乙两同学所处位置的水平距离，求旗杆的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】旗杆的高度为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，过点，分别作，．则四边形、均为矩形，得出，，设，求出，，，最后解直角三角形即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点，分别作，． ， 则， ∴四边形、均为矩形， ∴，， 设，在中，． ∵，， ， ， ， ， 解得， ． 答：旗杆的高度为． 27. 已知抛物线，与轴交于点和点（在的左侧），与轴交于点，且，抛物线的顶点为． （1）直接写出这条抛物线的解析式_____和顶点的坐标_____； （2）若点在此抛物线上，轴于点，与直线相交于点，设点的横坐标为，且，求点的坐标； （3）在（2）的基础上，在直线上是否存在一点，使直线与直线的夹角等于的2倍．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）存在点的坐标为， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定与性质，两点间距离公式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先求出，再将其代入，即可求解，得到抛物线解析式，再配方求解顶点坐标即可； （2）先求出 设，则，由建立方程求解即可； （3）先求，设，当时，导角得到，由两点间距离公式建立方程求解；当时，则，由两点间距离公式建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：当， ∴， ∴， ∵， ∴， 将代入， 则： 解得：或（舍）， ∴抛物线解析式为； 而， ∴； 【小问2详解】 解：当，则， 解得：， ∴， 设直线表达式为：， 代入点得， ， 解得：， ∴ 设，则 ， ， 解得：，（舍） ； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： ∵，， ∴同理可求，设， 如图：当时， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得： ∴； ②当时， 即， ∴， ∴， 解得：（舍）， ∴ 综上所述，存在点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $