精品解析：辽宁省重点高中沈阳市郊联体2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

辽宁省重点高中沈阳市郊联体 2024～2025学年度下学期高二年级期末考试试题 数学 出题人：30中学 秦平 校题人：56中学 芦敏 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一个选项符合题目要求.） 1. 已知集合，，若，则（    ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 样本中心不一定在回归直线上 B. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数就越接近于1 C. 若所有样本点都在直线上，则 D. 以拟合一组数据时，经代换后的线性回归方程为，则 3. 已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）（是自然对数的底数） A. B. C D. 4. 已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则“”是“是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数，在其图象上任取两个不同的点、（），总能使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的图象上存在两对关于轴对称的点，则正实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若x，y，z∈R+，且3x=4y=12z，∈（n，n+1），n∈N，则n的值是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知数列 满足 ，则（ ） A. 数列 是等差数列 B C. 若 ，则 D. 10. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 的最小值为1 C. 若，则的最小值为8 D. 若恒成立，则k的最小值为 11. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ） A 当时， B. 函数有2个零点 C. 函数在点处的切线方程为 D. ，都有 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在题中横线上.） 12. 若命题“，都有”是假命题，则实数m的取值范围为______. 13. 已知函数（，）的图象经过点，则不等式的解集为__________. 14. 已知函数，若方程有4个不同的实数根，，，（），则的取值范围是______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数. （1）若函数的图象在点处的切线方程是，求和； （2）求函数的单调区间. 16. 已知数列是首项为1的等比数列，且是和的等差中项． （1）求数列的通项公式； （2）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题的解答．记 ，求数列的前项和． 17. 某企业有甲、乙两个车间生产某款产品，今年前5个月两个车间的产量（单位：万件）统计如下表.设月份为，甲、乙两个车间的月产量之和为. 月份 1 2 3 4 5 甲车间产量 0.7 0.9 1.6 3 6 乙车间产量 0.8 1.1 1.9 5 9 （1）求； （2）求与的相关系数（精确到0.01），并判断与的线性相关程度强弱； （3）从甲、乙两个车间生产产品中各随机抽取100件，其中优等品和一等品的数量如下表所示，根据小概率值的独立性检验，能否认为甲、乙两车间的优等品率有差异？ 甲车间 乙车间 优等品 40 45 一等品 60 55 参考数据：，，. 参考公式：①相关系数；②. 0.1 0.05 001 2.706 3.841 6.635 18. 已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． （1）求的值； （2）求证：在R上为增函数； （3）若，且关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 19. 已知函数． （1）求的解析式； （2）若在内有两个零点，求m的取值范围； （3）若对任意的，不等式恒成立，求整数k的值组成的集合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省重点高中沈阳市郊联体 2024～2025学年度下学期高二年级期末考试试题 数学 出题人：30中学 秦平 校题人：56中学 芦敏 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一个选项符合题目要求.） 1. 已知集合，，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由求出，进而得集合，根据集合的并集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以，所以. 故选：D. 2. 下列说法正确是（ ） A. 样本中心不一定在回归直线上 B. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数就越接近于1 C. 若所有样本点都在直线上，则 D. 以拟合一组数据时，经代换后的线性回归方程为，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据回归直线过样本中心点可判断A；根据相关系数的意义即可判断BC；根据指对数计算即可判断D. 【详解】选项A：回归直线必过样本中心，故A不正确； 选项B：两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值就越接近于1，故B不正确； 选项C：若所有样本点都在直线上，则，故C不正确； 选项D：以拟合一组数据时，经代换后的线性回归方程为，则，故D正确. 故选：D. 3. 已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）（是自然对数的底数） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象观察函数定义域和在处的函数值符号可排除错误选项. 【详解】由图知，，可排除BC；又由图可知，因为选项D中函数，则，故D错误. 故选：A 4. 已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式解得结构可得，且，不等式同时除以后即可得出解集. 【详解】由题知，方程的两个根分别为，且， 则， 又，即， 所以的解集为. 故选：A. 5. 已知，，则“”是“是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合奇函数的定义推理判断. 【详解】当时，，定义域为关于原点对称， 且，因此是奇函数； 如果是奇函数，则定义域必须关于原点对称，因此， 所以“”是“是奇函数”的充分必要条件． 故选：C 6. 已知函数，在其图象上任取两个不同的点、（），总能使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】等价变形给定不等式，构造函数，利用导数及函数单调性求出范围. 【详解】由及，得， 令函数，有，， 则函数在上为增函数，，， 当时，，当且仅当时取等号，则， 所以实数的取值范围是. 故选：A 7. 若函数图象上存在两对关于轴对称的点，则正实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知，方程在上有两个不等的实根，由参变量分离法可得，则直线与函数在上的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】在函数的图象上取点， 则点关于轴的对称点为，且，其中， 由，可得，则， 所以，直线与函数在上的图象有两个交点， 因为，令可得，列表如下： 减 极小值 增 所以，函数在上为减函数，在上为增函数， 所以，，且，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 8. 若x，y，z∈R+，且3x=4y=12z，∈（n，n+1），n∈N，则n的值是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】设，用表示出，然后根据对数的运算性质和换底公式进行变形求解可得所在的范围，进而得到答案． 【详解】设，则， ∴． ∵， ∴； 又， ∴，即． ∴． 故选C． 【点睛】本题考查对数的换底公式、对数的性质以及基本不等式，具有一定的灵活性和难度，解题的关键是用参数表示出，考查变换和计算能力． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知数列 满足 ，则（ ） A. 数列 是等差数列 B. C. 若 ，则 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由两边同时取倒数即可证明 是等差数列，判断选项A；从而得到的通项公式，即可判断选项B；由，裂项相消即可求解判断选项C；由 是等差数列，其前项和为，即可判断选项D. 【详解】因为，所以， 即，所以 是以为首项，为公差的等差数列，故A正确； ，所以，故B错误； 若 ， 所以，故C正确； ，故D错误； 故选：AC. 10. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 的最小值为1 C. 若，则的最小值为8 D. 若恒成立，则k的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用基本不等式可得，再解不等式即可；对于B，根据基本不等式，易知等号不成立；由代入式子中，再运用基本不等式处理即可；对于D，由即可解得. 【详解】，当时取等号， ， 解得，当时取等号，故A正确； ， 当时取等，又，所以等号不成立，故B错误； ， 当时取等，又，所以即时取等，故C正确； ，当时取等号， 所以，即，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ） A. 当时， B. 函数有2个零点 C. 函数在点处的切线方程为 D ，都有 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由奇函数性质验算即可；对于B，由零点定义解方程即可；对于C，只需求出即可；对于D，只需算出函数的值域即可. 【详解】对于A，当时，则，,因为是定义在R上的奇函数,所以，故A对. 对于B，时，令,解得，由是定义在R上的奇函数，所以时，又；故函数有3个零点，故B不对. 对于C，对求导得， 所以，故所求切线为，即，所以C对. 对于D，当时，，， 当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减， 且当时，，时，所以 由是定义在R上的奇函数，故当时，，因此对，都有，故D对. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在题中横线上.） 12. 若命题“，都有”是假命题，则实数m的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得 “都有”是真命题，讨论m的取值，结合二次不等式恒成立，即可求得答案． 【详解】若命题“，都有”是假命题, 则 “都有”是真命题， 当时，不等式为，恒成立，符合题意； 当时，要使得，则，解得， 综上，实数m的取值范围为. 故答案为：. 13. 已知函数（，）的图象经过点，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意建立方程，结合对数运算可得参数的值，根据对数函数的性质，建立不等式组，可得答案. 【详解】由题意可得，则，解得， 由函数在上单调递减， 则，可得，解得， 故答案为：. 14. 已知函数，若方程有4个不同的实数根，，，（），则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先作出函数的图象，把方程有4个不同的根转化函数的图象与直线有4个交点，结合二次函数和对数函数的性质即可求解． 【详解】由题意作出函数的图象，如图， 方程有4个不同的实数根，，，（）， 即函数的图象与直线有四个不同的交点， 易知，则，即， 由二次函数对称性可得且， 则， ，则，所以， 故答案为：． 【点睛】方法点睛：本题主要考查函数与方程的综合应用，解题方法是把方程有4个不同的实根转化为函数的图象与直线有4个不同的交点，作出函数图象及直线，由图可得交点的横坐标（方程的根）间的关系，范围，从而求得结论． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数. （1）若函数的图象在点处的切线方程是，求和； （2）求函数的单调区间. 【答案】（1） （2）递增区间为，递减区间为. 【解析】 【分析】（1）求得，得到且，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）求得，结合和的解集和定义域，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数，可得，则且， 因为函数的图象在点处的切线方程是， 可得 解得. 【小问2详解】 解：由函数的定义域为，且， 令，即，即，可得； 令，即，即，可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 16. 已知数列是首项为1的等比数列，且是和的等差中项． （1）求数列的通项公式； （2）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题的解答．记 ，求数列的前项和． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由条件可知，，再代入等比数列通项公式，即可求解； （2）若选①，利用裂项相消法求和；若选②，结合绝对值里面的正负，分情况求和；若选③，利用等差和等比数列求和公式，即可求解. 【小问1详解】 设数列的公比为， 由条件可知，， 即，得或（舍）， 所以； 【小问2详解】 若选①，，， 所以， 则； 若选②，， 数列是前项和是， 当时，数列的每一项都是非正数，所以， 当时，数列的每一项都是正数， 所以， 所以； 如选择③，则， 数列的前项和为，数列的前项和为， 则. 17. 某企业有甲、乙两个车间生产某款产品，今年前5个月两个车间的产量（单位：万件）统计如下表.设月份为，甲、乙两个车间的月产量之和为. 月份 1 2 3 4 5 甲车间产量 0.7 0.9 1.6 3 6 乙车间产量 0.8 1.1 1.9 5 9 （1）求； （2）求与的相关系数（精确到0.01），并判断与的线性相关程度强弱； （3）从甲、乙两个车间生产的产品中各随机抽取100件，其中优等品和一等品的数量如下表所示，根据小概率值的独立性检验，能否认为甲、乙两车间的优等品率有差异？ 甲车间 乙车间 优等品 40 45 一等品 60 55 参考数据：，，. 参考公式：①相关系数；②. 01 0.05 001 2.706 3.841 6.635 【答案】（1） （2），与具有较强的线性相关关系. （3）不能认为甲、乙两车间的优等品率有差异. 【解析】 【分析】（1）利用给定的数据结合公式计算即可； （2）利用题设中给出的数据结合（1）中结果计算可得，从而可判断与具有较强的线性相关关系. （3）计算后可得不能认为认为甲、乙两车间的优等品率有差异. 【小问1详解】 ，故. 【小问2详解】 由题设的数据可得， 故与具有较强的线性相关关系. 【小问3详解】 完善列联表如下： 甲车间 乙车间 合计 优等品 40 45 一等品 60 55 设甲、乙两车间的优等品率无差异， 则， 故肯定，不能认为甲、乙两车间的优等品率有差异. 18. 已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． （1）求的值； （2）求证：在R上为增函数； （3）若，且关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法，求； （2）设，是上任意两个实数，且，令，，通过函数的单调性的定义直接证明在R上为增函数； （3）由原不等式可化为，化为，对任意的恒成立，可得恒成立，通过对勾函数性质求解实数的取值范围 【小问1详解】 由， 故此令，则， 则； 【小问2详解】 设，是R上任意两个实数，且，令，， 则，所以， 由得，所以，故，即， 故此函数为R上增函数； 【小问3详解】 由已知条件得：， 故，，， ，由（2）可知在R上为增函数， ，即， 时，可得恒成立， 令， 由对勾函数性质可得在上单调递增， 所以， 所以 综上，. 19. 已知函数． （1）求的解析式； （2）若在内有两个零点，求m的取值范围； （3）若对任意的，不等式恒成立，求整数k的值组成的集合． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出导数并赋值求出，进而求出解析式. （2）求出及其导数，利用导数研究在上的单调性和最值，列出关于m的不等式组，即可得出答案. （3）利用分离变量法，分类讨论，构造函数，利用导数研究分别在x＜0，x＞0的单调性和最值，即可得出答案. 【小问1详解】 函数，求导得， 则， 解得，所以的解析式为. 【小问2详解】 由（1）得，则， 求导得，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最小值， 要使在内有两个零点，当且仅当，即， 解得， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 对任意的，不等式恒成立，转化为对任意的，恒成立， ①当时，，显然成立，此时； ②当时，恒成立，令， 求导得，而当时，恒成立， 由得；由得，在上单调递减，在上单调递增， 因此当时，取得最小值，则； ③当时， 恒成立，令，此时， 求导得，令，求导得， 函数在上单调递增，又， 由零点存在定理得存在，使得，即， 由，得，由，得，在上递增，在上递减， 当时，取得最大值，且，则， 于是实数k的取值范围为，所以整数k的值组成的集合为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $