第01讲 平面向量的概念、线性运算、基本定理及其坐标运算（专项训练）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第01讲 平面向量的概念、线性运算、基本定理及其坐标运算 目录 01 常考题型过关练 题型01 平面向量基本概念的综合考查 题型02 平面向量线性运算的综合考查 题型03 平面向量共线定理及平行向量（共线向量）坐标运算的综合考查 题型04 平面向量的基本定理综合考查 题型05 “爪子定理”的综合应用 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 平面向量基本概念的综合考查 1．关于平面向量，下列正确的是（    ） A．若是单位向量，零向量，则 B．若向量与不共线，则存在一对实数，使 C．海拔、温度、角度都是向量 D．若，则四边形ABCD是菱形 2．设，为非零向量：，，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知平面向量，，则“或”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设是非零向量，则“”是“共线”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知平面向量均为非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 02 平面向量线性运算的综合考查 7．化简下列各式： (1)； (2)． (3)． 8．化简下列各式： (1)； (2)（m，n为实数）． 9．化简：（1）； （2）. 03 平面向量共线定理及平行向量（共线向量）坐标运算的综合考查 10．已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 11．已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 12．已知是平面内两个不共线的向量，，，则三点共线的充要条件是（   ） A． B． C． D． 13．已知向量不平行，向量与平行，则的值是（   ） A． B． C． D． 14．已知向量，不共线，，，如果，那么（    ）． A．且与同向 B．且与反向 C．且与同向 D．且与反向 15．已知，，，则（    ）三点共线 A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 16．已知向量，向量满足，，则（　　） A． B． C． D． 17．在中，内角A，B，C所对的边分别为，，.向量，.若，则角的大小为（   ） A． B． C． D． 04 平面向量的基本定理综合考查 18．如图，在菱形中，，且，，若，则（    ）    A． B． C． D． 19．在中，为中点，，，若，则（   ） A． B． C． D． 20．在平行四边形中，分别在边上，，相交于点，则（   ） A． B． C． D． 21．在中，是BC上一点，是线段AD上一点， ，则（   ） A． B． C． D． 22．已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 23．如图，在中，点分别在边上，且，点为中点，则（    ）    A． B． C． D． 24．如图，在中，是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 05 “爪子定理”的综合应用 25．在中，点D是AB的中点，.设，，则（    ） A． B． C． D． 26．所在平面内一点满足，若，则（    ） A． B． C． D． 27．设为所在平面内一点，，则（   ） A． B． C． D． 28．如图，在中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 1．已知P，Q分别为的边，的中点，若，，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．若点A在点O的正北方向，点B在点O的南偏西方向，且，则向量表示（    ） A．从点O出发，朝北偏西方向移动 B．从点O出发，朝北偏西方向移动 C．从点O出发，朝北偏西方向移动2km D．从点O出发，朝北偏西方向移动2km 3．已知，是两个不共线的向量，，，，则（    ） A． B． C． D． 4．将向量的起始点平移至同一点，即两个向量都是从点A出发的，从点A出发任意方向作一个向量，从的终点处分别作向量的平行线，形成一个平行四边形，那么由向量相加的平行四边形法则可知，向量可以表示成分别与共线的两个向量之和，即. 问题: 已知向量､､在正方形网格中的位置如图所示，若（），则（ ） A． B． C． D． 5．下列有关四边形的形状判断错误的是（    ） A．若，则四边形为平行四边形 B．若，则四边形为梯形 C．若，且，则四边形为菱形 D．若，且，则四边形为正方形 6．五角星是指有五只尖角､并以五条直线画成的星星图形，有许多国家的国旗设计都包含五角星，如中华人民共和国国旗.如图在正五角星中，每个角的角尖为36°，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 7．已知三点A，B，C共线，不共线且A在线段BC上（不含BC端点），若，则的最小值为（    ） A．不存在最小值 B． C．4 D． 8．已知为等边三角形，分别以CA，CB为边作正六边形，如图所示，则（    ） A． B． C． D． 9．已知平行四边形，若点是边的三等分点（靠近点处），点是边的中点，直线与相交于点，则（    ） A． B． C． D． 10．在矩形中，，点E为线段的中点，与交于点F．设，其中分别是与方向相同的单位向量，则（    ） A． B． C． D． 1．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（   ） 等级 风速大小m/s 名称 2 1.6~3.3 轻风 3 3.4~5.4 微风 4 5.5~7.9 和风 5 8.0~10.7 劲风 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 2．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为 ． 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 平面向量的概念、线性运算、基本定理及其坐标运算 目录 01 常考题型过关练 题型01 平面向量基本概念的综合考查 题型02 平面向量线性运算的综合考查 题型03 平面向量共线定理及平行向量（共线向量）坐标运算的综合考查 题型04 平面向量的基本定理综合考查 题型05 “爪子定理”的综合应用 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 平面向量基本概念的综合考查 1．关于平面向量，下列正确的是（    ） A．若是单位向量，零向量，则 B．若向量与不共线，则存在一对实数，使 C．海拔、温度、角度都是向量 D．若，则四边形ABCD是菱形 【答案】B 【详解】对于A，因是单位向量，零向量，则，故A错误； 对于B，因向量与不共线，则与可作为一组基底，则由平面向量基本定理可得： 存在一对实数x，y，使，故B正确； 对于C，向量为既有大小，又有方向的量，则海拔、温度、角度都不是向量，故C错误； 对于D，因，则，则四边形ABCD是平行四边形，条件不足，无法判断是否是菱形，故D错误. 故选：B. 2．设，为非零向量：，，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，，不一定，结论不成立，命题为假； 对于B，当与方向相反时，结论不成立，命题为假； 对于C，当与共线时，结论不成立，命题为假； 对于D，若，则，即，则， 所以，命题为真． 故选：D 3．已知平面向量，，则“或”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若或，则，反过来，若，两个向量的方向不确定，不能推出或， 所以“或”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4．设是非零向量，则“”是“共线”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，得，整理得， 而向量均为非零向量，则反向共线且，有； 反之，若，可能同向共线，也可能反向共线，即， 所以“”是“共线”的充分而不必要条件. 故选：A 5．已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若，则存在唯一的实数，使得， 故， 而， 存在使得成立， 所以“”是“存在，使得’的充分条件， 若且，则与方向相同， 故此时，所以“”是“存在存在，使得”的必要条件， 故“”是“存在，使得”的充分必要条件. 故选：C. 6．已知平面向量均为非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】，则，整理得， 而向量均为非零向量，则反向共线且，有； 反之，若，可能同向共线，也可能反向共线，即， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 02 平面向量线性运算的综合考查 7．化简下列各式： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）． （2）. （3） . 8．化简下列各式： (1)； (2)（m，n为实数）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式； （2）原式 ． 9．化简：（1）； （2）. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）. （2）原式. 03 平面向量共线定理及平行向量（共线向量）坐标运算的综合考查 10．已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】向量，，则， 由，得，所以. 故选：D 11．已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，解得. 故选：C. 12．已知是平面内两个不共线的向量，，，则三点共线的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由三点共线的充要条件是且， 即，由是两个不共线向量， 所以，故. 故选：C. 13．已知向量不平行，向量与平行，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于与平行，故存在实数，使得， 由于向量不平行，故，解得， 故选：C 14．已知向量，不共线，，，如果，那么（    ）． A．且与同向 B．且与反向 C．且与同向 D．且与反向 【答案】D 【详解】由，不共线可知，，∴， ∵，， ∴存在实数，使得，即， ∴，∴． 综上，，与反向， 故选：D． 15．已知，，，则（    ）三点共线 A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 【答案】A 【详解】对于A，因为， 所以，所以A、B、D三点共线，故A正确； 对于B，因为，， 所以不存在，使得，所以A、B、C三点不共线，故B错误； 对于C，因为，， 所以不存在，使得，所以B、C、D三点不共线，故C错误； 对于D，因为，， 所以不存在，使得，所以A、C、D三点不共线，故D错误. 故选：A. 16．已知向量，向量满足，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则， 由，得， 又，得，即， 联立，解得. . 故选：C. 17．在中，内角A，B，C所对的边分别为，，.向量，.若，则角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为向量，， 因为， 所以，即， 由余弦定理可得. 因为，所以， 故选：B. 04 平面向量的基本定理综合考查 18．如图，在菱形中，，且，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，以向量作为基底， 因为，且, 则, 所以， , 所以 , 又因为, 所以，解得， 所以. 故选：B. 19．在中，为中点，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】选择为平面向量的一组基底. 因为为中点，所以； 又 . 由 . 故选：C 20．在平行四边形中，分别在边上，，相交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】    由题意可得：， ， 设， 则, 又三点共线，所以， 解得， 所以， 故选：A 21．在中，是BC上一点，是线段AD上一点， ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 . ， 由是线段AD上一点，设，其中， 所以解得 故选：D. 22．已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，取为基底， 因为点分别为的中点，， 所以， 所以. 故选：A. 23．如图，在中，点分别在边上，且，点为中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由点为中点得：，因为，所以， 因为， 所以. 故选：C 24．如图，在中，是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 因为是的中点，所以， 所以， 又，所以，即. 故选：D. 05 “爪子定理”的综合应用 25．在中，点D是AB的中点，.设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，点D是AB的中点，，可得，， 则 ， 故选：A 26．所在平面内一点满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 所以， 因为， 所以，， 则. 故选：D. 27．设为所在平面内一点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，则，即. 故选：A. 28．如图，在中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知. 故选：C. 1．已知P，Q分别为的边，的中点，若，，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由P，Q分别为的边，的中点，，得， 点为坐标原点，，因此， 所以点C的坐标为. 故选：A 2．若点A在点O的正北方向，点B在点O的南偏西方向，且，则向量表示（    ） A．从点O出发，朝北偏西方向移动 B．从点O出发，朝北偏西方向移动 C．从点O出发，朝北偏西方向移动2km D．从点O出发，朝北偏西方向移动2km 【答案】C 【详解】以O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系， 依题意可得， 设，因为，所以四边形OACB为菱形， 则，则为正三角形，所以， 故向量表示从点O出发，朝北偏西方向移动2km. 故选：C 3．已知，是两个不共线的向量，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，是两个不共线的向量，设， 则， 即，解得， 所以. 故选：C 4．将向量的起始点平移至同一点，即两个向量都是从点A出发的，从点A出发任意方向作一个向量，从的终点处分别作向量的平行线，形成一个平行四边形，那么由向量相加的平行四边形法则可知，向量可以表示成分别与共线的两个向量之和，即. 问题: 已知向量､､在正方形网格中的位置如图所示，若（），则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图建立平面直角坐标系，设每个格子长度为1， 则， 由得， 解得， 所以. 故选：B. 5．下列有关四边形的形状判断错误的是（    ） A．若，则四边形为平行四边形 B．若，则四边形为梯形 C．若，且，则四边形为菱形 D．若，且，则四边形为正方形 【答案】D 【详解】A选项，，则，所以四边形为平行四边形，A正确. B选项，，则，所以四边形为梯形，B正确. C选项，，则，四边形是平行四边形；由于，所以四边形是菱形，C正确. D选项，，则，所以四边形为平行四边形；由于，所以四边形为菱形，D选项错误. 故选：D 6．五角星是指有五只尖角､并以五条直线画成的星星图形，有许多国家的国旗设计都包含五角星，如中华人民共和国国旗.如图在正五角星中，每个角的角尖为36°，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A，由图可知与相交，所以与不是相反向量，故A错误； B，与共线，所以与不共线，所以与不共线，故B错误； C，，故C错误； D，连接，由五角星的性质可得为平行四边形， 根据平行四边形法则可得，故D正确. 故选：D 7．已知三点A，B，C共线，不共线且A在线段BC上（不含BC端点），若，则的最小值为（    ） A．不存在最小值 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】设，因为A在线段BC上（不含BC端点）， 所以由向量共线定理设， 所以， 由题意有，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 故选：D. 8．已知为等边三角形，分别以CA，CB为边作正六边形，如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】选取为基底， ， ， ， 设 ， ，， 即. 故选：A 9．已知平行四边形，若点是边的三等分点（靠近点处），点是边的中点，直线与相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】    设，则，， 设，， 则，， 因为， 所以，解得， 所以，即. 故选：C. 10．在矩形中，，点E为线段的中点，与交于点F．设，其中分别是与方向相同的单位向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 在矩形中，因为点E为线段的中点，所以， 则有， 因为，分别是与方向相同的单位向量, 所以， 则， 又因为，所以， 故选：B. 1．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（   ） 等级 风速大小m/s 名称 2 1.6~3.3 轻风 3 3.4~5.4 微风 4 5.5~7.9 和风 5 8.0~10.7 劲风 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 【答案】A 【详解】由题意及图得， 视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ， ∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A. 2．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为 ． 【答案】15 【详解】，，解得． 故答案为：15． 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$