第02讲 平面向量的数量积及其应用（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第02讲 平面向量的数量积及其应用 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 平面向量的数量积的定义及性质 3 知识点2 平面向量的夹角及其公式 4 知识点3 平面向量数量积的运算律 4 知识点4 平面向量数量积中的坐标运算 5 知识点5 投影向量 5 题型破译 6 题型1 求平面向量的数量积 6 【方法技巧】求平面向量的数量积 题型2 辨析数量积的运算律 7 【方法技巧】判辨析数量积的运算律 题型3 模长综合计算 8 【方法技巧】模长综合计算 题型4 夹角综合计算 9 【方法技巧】夹角综合计算 题型5 垂直综合计算 10 【方法技巧】垂直综合计算 题型6 求投影向量 11 题型7 求参数值或范围的综合计算 12 【方法技巧】求参数值或范围的综合计算 题型8 数量积范围的综合问题 13 【方法技巧】数量积范围的综合问题 04真题溯源·考向感知 15 05课本典例·高考素材 15 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）平面向量的线性运算及坐标表示 （2）数量积的运算律 （3）已知数量积求模 （4）向量的模 （5）垂直关系的向量表示 （6）数量积的坐标表示 单选题 填空题 解答题 北京卷T10（4分） 北京卷T5（4分） 北京卷T3（4分） 考情分析： 北京卷中，平面向量的数量积及其应用是重点内容，多以选择题（4分，中低档或压轴难度）考查。 核心考查：向量数量积的定义、运算律，数量积的坐标运算，向量的模、夹角与垂直、范围综合的相关计算及应 用。易错点：数量积运算时对夹角的判断错误，混淆向量运算与实数运算的规则，在利用数量积解决夹角、垂直等问 题时出现公式应用错误。 复习目标： 1.深刻理解向量数量积的定义，掌握其运算律，能熟练进行数量积的运算。 2.掌握向量数量积的坐标运算公式，会通过坐标求向量的模、夹角，判断向量垂直关系。 3.能运用向量数量积解决几何问题，如计算线段长度、判断三角形形状、求点到直线距离等，体会向量在几何与代数间的桥梁作用。 4.会将向量数量积与三角函数、解析几何等知识综合运用，解决相关综合问题。 5.会范围的综合求解。 知识点1 平面向量的数量积的定义及性质 （1）数量积的定义 一般地，当与都是非零向量时，称 为向量与的数量积（也称内积），记作，即 ． （2）数量积的性质 ① ② ，即 ③ ． 自主检测1已知，，和的夹角是，则（ ） A． B． C．24 D．-24 自主检测2若菱形的边长为2，，则（    ） A．4 B．2 C．1 D． 自主检测3已知，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 知识点2 平面向量的夹角及其公式 定义：已知两个非零向量，O是平面上的任意一点，作，，则 叫做向量与的夹角． 注意：①当时，向量与 ； ②当时，向量与 ，记作； ③当时，向量与 ． 注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，不是向量与的夹角．作，则才是向量与的夹角． 向量的夹角公式： . 自主检测已知向量，则（    ） A． B． C． D． 知识点3 平面向量数量积的运算律 已知向量和实数，则 （1）交换律： ； （2）数乘结合律： ； （3）分配律： ． 注意：（1）向量的数量积不满足消去律；若均为非零向量，且，但得不到． （2），因为，是数量积，是实数，不是向量，所以与向量共线，与向量共线，因此，在一般情况下不成立． （3）推论：． 自主检测下列命题正确的是（    ） A．或 B． C． D． 知识点4 平面向量数量积中的坐标运算 若，，与的夹角为.则： （1） ，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的 ； （2） ，或 ； （3） ； （4）若，为非零向量，则 = . 自主检测1已知平面向量，则（   ） A． B． C．10 D．15 自主检测2已知向量 ，若 ，则 （     ） A．2 B．-2 C．4 D．-4 知识点5 投影向量 向量的投影 ①定义：如图，设，是两个非零向量， ， ，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，则称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. ②计算：设与方向相同的单位向量为，与的夹角为θ，则向量在向量上的投影向量是||cosθ. 自主检测已知平面向量 则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 题型1 求平面向量的数量积 例1-1已知向量，在上的投影向量为，则（   ） A． B．8 C．4 D． 例1-2（2025·北京东城·一模）已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则 ； .    例1-3在中，已知，，，则（    ） A．36 B．18 C． D． 例1-4如图，已知矩形的边长满足，以为圆心的圆与相切于，则（    ） A． B． C．8 D． 方法技巧 （1）定义法：利用两向量的模与夹角的余弦值计算，即模相乘再乘夹角的余弦。 （2）坐标法：若向量有坐标，用对应坐标的乘积相加得到数量积。 （3）几何意义：通过一个向量在另一个向量上的投影（投影长乘另一向量的模）计算。 （4）特殊情况：垂直向量的数量积为 0；同向向量的数量积为模的乘积，反向为负的模乘积。 （5）结合线性运算：先将向量用已知向量表示（如拆分或合成），再用数量积运算律计算。 【变式训练1-1】已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量，则（ ） A．1 B． C． D． 【变式训练1-2】若，，，则（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 【变式训练1-3·变载体】如图，在四边形中，，，，为线段的中点，，则（   ） A．3 B． C． D． 题型2 辨析数量积的运算律 例2-1（2025·北京·三模）设是非零平面向量， 则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2-2（2025·北京海淀·二模）已知是非零平面向量，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 方法技巧 (1)交换律成立：两向量数量积交换顺序结果不变。 (2)分配律成立：向量与两个向量和的数星积，等于分别与两个向量的数量积之和。 (3)无结合律：三个向星的数星积不能随意结合（如与不一定相等) (4)数乘结合律：数与向量的乘积再与另一向量的数星积，等于数乘两向量的数量积。 (5)易错点：不能像实数那样约分（如不能直接得. 【变式训练2-1】对于非零向量，，“”是“与方向相反”的（   ）条件. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练2-2】已知，，是同一个平面内的三个向量，则“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练2-3】）“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练2-4】已知是两个不共线的单位向量，向量（）．“，且”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型3 模长综合计算 例3-1（2025·北京·三模）已知单位向量满足，则的模为 . 例3-2（2025·北京海淀·三模）已知为两个单位向量，且，是平面内的一个定点，是平面内的一个动点，，． （1）若，，则 ． （2）若，则点的轨迹围成的图形面积为 ． 例3-3已知向量，满足，且在上的投影向量为单位向量，则（   ） A．1 B． C．3 D．2 方法技巧 （1）基本方法：向量模的平方等于该向量与自身的数量积，据此转化为数量积计算。 （2）坐标计算：若有坐标，模长为坐标平方和的算术平方根；无坐标时用已知模和数量积表示。 （3）和差模长：向量和或差的模，先算模的平方（展开为各自模平方加或减两倍数量积），再开方。 （4）含参数模长：结合参数表示向量，通过数量积转化为关于参数的表达式，再求模长。 （5）几何转化：将模长对应线段长度，结合图形（如三角形、平行四边形）中的边长关系辅助计算。 【变式训练3-1】（2025·北京门头沟·一模）已知向量，满足，，且，的夹角为，则（   ） A． B． C．5 D．10 【变式训练3-2】已知向量，满足，，且，则（    ）． A． B．2 C． D．6 【变式训练3-3·变载体】已知单位圆上有两点，，设向量，，若，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 题型4 夹角综合计算 例4-1（2025·北京丰台·二模）已知向量满足，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 例4-2已知向量满足，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 例4-3若是夹角为的单位向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 例4-4已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 方法技巧 （1）基本公式：两向量夹角的余弦值等于数量积除以两向量模的乘积，据此求夹角。 （2）范围注意：夹角范围是 0 到 180 度的闭区间，需结合结果确定具体角度（如余弦为 0 对应直角，1 对应 0 度）。 （3）坐标计算：有坐标时，用坐标算数量积和模，再代入夹角公式，简化运算。 （4）特殊夹角条件：锐角需数量积为正且不共线；钝角需数量积为负且不共线，避免忽略共线情况。 （5）零向量处理：零向量与任一向量夹角不确定，解题时需先排除或单独说明。 【变式训练4-1】已知向量，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】已知均为单位向量.若，则与夹角的大小是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】已知向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 题型5 垂直综合计算 例5-1（2025·北京大兴·三模）已知平面向量，，若，则实数（    ） A． B．1 C．或1 D．4 例5-2已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 方法技巧 (1)核心条件：两向量垂直的充要条件是数量积为0，据此转化为数量积方程。 (2)坐标应用：坐标表示的向量垂直时，对应坐标的乘积之和为0，直接列方程。 (3)结合线性运算：若垂直向量是线性组合（如. 与垂直)，展开数星积得含参数方程。 (4)证明垂直步骤：先计算两向量的数星积，证明结果为0，再说明非零向量（零向量特殊处理）。 (5)多向量垂直：多个向量两两垂直时，每对数量积均为0，联立方程求解参数或关系。 【变式训练5-1】（2025·北京房山·一模）已知向量，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【变式训练5-2】已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 题型6 求投影向量 例6-1已知平面内三点，则向量在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 例6-2已知向量则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-1】已知点，，向量，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】已知向量，，若，则向量在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影向量坐标为（   ） A． B． C． D． 题型7 求参数值或范围的综合计算 例7-1（2025·北京·模拟预测）如图，，点P在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例7-2（2025·北京东城·二模）已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例7-3（2025·北京·二模）设圆的圆心为，直线与该圆相交于两点．若，则实数（   ） A．1 B．3或1 C．3 D．3或 例7-4（2025·北京通州·一模）已知平面向量，，若满足，设与夹角为，则（   ） A．有最大值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最小值为 方法技巧 （1）列等量关系：根据数量积、模长、夹角、垂直等条件，建立含参数的方程（如垂直时数量积为 0）。 （2）列不等关系：若涉及夹角（锐角、钝角）、模长范围，转化为含参数的不等式（如锐角时数量积 > 0 且不共线）。 （3）坐标转化：将向量坐标化，把问题转为代数方程或不等式，简化参数求解。 （4）范围求解：结合函数单调性（如二次函数最值）或不等式（如基本不等式）确定参数范围。 （5）验证条件：解出参数后，检验是否满足隐含条件（如模长非负、夹角范围、不共线等）。 【变式训练7-1·变载体】向量与在单位向量上的投影向量均为，且，当与的夹角最大时，（    ） A．8 B．5 C． D． 【变式训练7-2·变考法】如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【变式训练7-3·变题型】已知为坐标原点，与为单位向量，，在定直线上，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型8 数量积范围的综合问题 例8-1（2025·北京海淀·三模）已知中，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例8-2（2025·北京海淀·三模）已知为等腰直角三角形，为直角，直角边长为2，点P在三角形所在平面上，向量为单位向量，点D满足，则的最大值为（    ） A．4 B． C．5 D．6 例8-3（2025·北京西城·一模）蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．设为图中7个正六边形（边长为4）的某一个顶点，为两个固定顶点，则的最大值为（   ） A．44 B．48 C．72 D．76 方法技巧 (1) 几何意义分析：通过一个向量在另一向量上的投影范围（投影随向量位置变化）确定数星积范围。 (2)坐标转化：设向量坐标（如在特定轨迹上，如圆、线设），将数量积表示为坐标函数，求值域 (3)模长约束：利用已知向量的模长范围，结合数量积与模的关系（如确定范围。 (4)不等式应用：用柯西不等式或基本不等式，结合模长求数量积的最大或最小值。 (5)动态向量处理：向量端点在曲线（如圆、直线）上运动时，转化为动点坐标的函数，分析取值范围。 【变式训练8-1】（2025·北京丰台·一模）在平行四边形中，E为边上的动点，O为外接圆的圆心，，且，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式训练8-2】（2025·北京朝阳·一模）在中，，，点M为所在平面内一点且，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 【变式训练8-3】（2025·北京·模拟预测）如图所示，弧是以O为圆心，为半径的圆的一部分，满足，，是的中点，在弧上运动，则的最小值为（   ）    A．2 B．-2 C． D．-1 1．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 4．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2021·北京·高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 ； . 6．（2020·北京·高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则 ； ． 1．已知等边三角形的边长为1，设，，，那么（    ） A．3 B． C． D． 2．若，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角大小为 . 3．若平面向量，，，两两的夹角相等，且，，，则（    ）． A．2 B．4或 C．5 D．2或5 4．已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，向量与的夹角为，向量与的夹角为，计算： （1）； （2）． 6．已知中，，，当或时，试判断的形状． 7．已知，为单位向量，当向量，的夹角分别等于45°，90°，135°时，求向量在向量上的投影向量． 8．分别在平面直角坐标系中作出下列各组点，猜想以A，B，C为顶点的三角形的形状，然后给出证明： （1）； （2）； （3）. 9．如图，在中，是不是只需知道的半径或弦AB的长度，就可以求出的值？ 10．已知 （1）求与的夹角； （2）若，求实数的取值范围． 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 平面向量的数量积及其应用 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 平面向量的数量积的定义及性质 3 知识点2 平面向量的夹角及其公式 4 知识点3 平面向量数量积的运算律 5 知识点4 平面向量数量积中的坐标运算 6 知识点5 投影向量 6 题型破译 7 题型1 求平面向量的数量积 7 【方法技巧】求平面向量的数量积 题型2 辨析数量积的运算律 10 【方法技巧】判辨析数量积的运算律 题型3 模长综合计算 12 【方法技巧】模长综合计算 题型4 夹角综合计算 15 【方法技巧】夹角综合计算 题型5 垂直综合计算 17 【方法技巧】垂直综合计算 题型6 求投影向量 19 题型7 求参数值或范围的综合计算 21 【方法技巧】求参数值或范围的综合计算 题型8 数量积范围的综合问题 26 【方法技巧】数量积范围的综合问题 04真题溯源·考向感知 30 05课本典例·高考素材 33 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）平面向量的线性运算及坐标表示 （2）数量积的运算律 （3）已知数量积求模 （4）向量的模 （5）垂直关系的向量表示 （6）数量积的坐标表示 单选题 填空题 解答题 北京卷T10（4分） 北京卷T5（4分） 北京卷T3（4分） 考情分析： 北京卷中，平面向量的数量积及其应用是重点内容，多以选择题（4分，中低档或压轴难度）考查。 核心考查：向量数量积的定义、运算律，数量积的坐标运算，向量的模、夹角与垂直、范围综合的相关计算及应 用。易错点：数量积运算时对夹角的判断错误，混淆向量运算与实数运算的规则，在利用数量积解决夹角、垂直等问 题时出现公式应用错误。 复习目标： 1.深刻理解向量数量积的定义，掌握其运算律，能熟练进行数量积的运算。 2.掌握向量数量积的坐标运算公式，会通过坐标求向量的模、夹角，判断向量垂直关系。 3.能运用向量数量积解决几何问题，如计算线段长度、判断三角形形状、求点到直线距离等，体会向量在几何与代数间的桥梁作用。 4.会将向量数量积与三角函数、解析几何等知识综合运用，解决相关综合问题。 5.会范围的综合求解。 知识点1 平面向量的数量积的定义及性质 （1）数量积的定义 一般地，当与都是非零向量时，称 为向量与的数量积（也称内积），记作，即 ． （2）数量积的性质 ① ② ，即 ③ ． 自主检测1已知，，和的夹角是，则（ ） A． B． C．24 D．-24 【答案】C 【详解】. 故选：C. 自主检测2若菱形的边长为2，，则（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【详解】 如图，菱形中，,则. 故选：B. 自主检测3已知，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】， 故． 故选：D． 知识点2 平面向量的夹角及其公式 定义：已知两个非零向量，O是平面上的任意一点，作，，则 叫做向量与的夹角． 注意：①当时，向量与 同向 ； ②当时，向量与 垂直 ，记作； ③当时，向量与 反向 ． 注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，不是向量与的夹角．作，则才是向量与的夹角． 向量的夹角公式： . 自主检测已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为，所以， 所以． 故选：B． 知识点3 平面向量数量积的运算律 已知向量和实数，则 （1）交换律： ； （2）数乘结合律： ； （3）分配律： ． 注意：（1）向量的数量积不满足消去律；若均为非零向量，且，但得不到． （2），因为，是数量积，是实数，不是向量，所以与向量共线，与向量共线，因此，在一般情况下不成立． （3）推论：． 自主检测下列命题正确的是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【详解】A.当时，可得，故A不正确； B. 是与方向相同的向量，是与方向相同的向量，故B不正确； C. 向量数量积的分配律，故C正确； D. ，当与的夹角、与的夹角不同时不成立，故D不正确. 故选：C 知识点4 平面向量数量积中的坐标运算 若，，与的夹角为.则： （1） ，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的 乘积的和 ； （2） ，或 ； （3） ； （4）若，为非零向量，则 = . 自主检测1已知平面向量，则（   ） A． B． C．10 D．15 【答案】B 【详解】，， 则. 故选：B. 自主检测2已知向量 ，若 ，则 （     ） A．2 B．-2 C．4 D．-4 【答案】C 【详解】由题可知 ,所以 ,解得 . 故选：C 知识点5 投影向量 向量的投影 ①定义：如图，设，是两个非零向量， ， ，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，则称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. ②计算：设与方向相同的单位向量为，与的夹角为θ，则向量在向量上的投影向量是||cosθ. 自主检测已知平面向量 则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为所以在方向上的投影向量为: , 故选：A． 题型1 求平面向量的数量积 例1-1已知向量，在上的投影向量为，则（   ） A． B．8 C．4 D． 【答案】A 【详解】由得，根据在上的投影向量为，可知在上的投影的数量为， 故根据数量积的几何意义，等于与在上的投影的数量的乘积， 故． 故选：A． 例1-2（2025·北京东城·一模）已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则 ； .    【答案】 【详解】平移向量与共起点，易看出的夹角为， ； ，， ， 的夹角的余弦值，的夹角为， . 故答案为：；. 例1-3在中，已知，，，则（    ） A．36 B．18 C． D． 【答案】D 【详解】在中，已知，，， 由余弦定理得 . 故选：D． 例1-4如图，已知矩形的边长满足，以为圆心的圆与相切于，则（    ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【详解】由已知条件可知，，因此． 故． 故选：A 方法技巧 （1）定义法：利用两向量的模与夹角的余弦值计算，即模相乘再乘夹角的余弦。 （2）坐标法：若向量有坐标，用对应坐标的乘积相加得到数量积。 （3）几何意义：通过一个向量在另一个向量上的投影（投影长乘另一向量的模）计算。 （4）特殊情况：垂直向量的数量积为 0；同向向量的数量积为模的乘积，反向为负的模乘积。 （5）结合线性运算：先将向量用已知向量表示（如拆分或合成），再用数量积运算律计算。 【变式训练1-1】已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量，则（ ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】由在上的投影向量，得，则，而是单位向量， 因此，又是单位向量，所以. 故选：B 【变式训练1-2】若，，，则（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】B 【详解】令，，则， . 故选：B. 【变式训练1-3·变载体】如图，在四边形中，，，，为线段的中点，，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，由余弦定理可得， 则， 由，可得， 又为线段中点，则， 又，则，，且， 所以. 故选：D. 题型2 辨析数量积的运算律 例2-1（2025·北京·三模）设是非零平面向量， 则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】根据题意，若，则与共线， 不防假设，则对任意的都有，进而成立， 故无法判定，充分性不成立， 若，则，所以， 故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 例2-2（2025·北京海淀·二模）已知是非零平面向量，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，得，故必要性成立； 由，得，得， 不一定成立，故充分性不成立. 所以“”是“”必要不充分条件. 故选：B 方法技巧 (1)交换律成立：两向量数量积交换顺序结果不变。 (2)分配律成立：向量与两个向量和的数星积，等于分别与两个向量的数量积之和。 (3)无结合律：三个向星的数星积不能随意结合（如与不一定相等) (4)数乘结合律：数与向量的乘积再与另一向量的数星积，等于数乘两向量的数量积。 (5)易错点：不能像实数那样约分（如不能直接得. 【变式训练2-1】对于非零向量，，“”是“与方向相反”的（   ）条件. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由，得， 所以，于是与方向相反，充分性成立； 反之，若与方向相反，则，必要性成立. 故选：C 【变式训练2-2】已知，，是同一个平面内的三个向量，则“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当时，，可以是任意向量，因此是不充分条件； 当时，若，显然成立； 当，因为，所以， 因此，， 因此成立. 故“”是“”的必要条件. 故选：C 【变式训练2-3】）“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为，. 所以 . 综上所述，“”是“”的充分必要条件． 故选：C． 【变式训练2-4】已知是两个不共线的单位向量，向量（）．“，且”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当，且时， ，充分性满足； 当时， ，当，时， 是可以大于零的， 即当时，可能有，，必要性不满足， 故“，且”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 题型3 模长综合计算 例3-1（2025·北京·三模）已知单位向量满足，则的模为 . 【答案】 【详解】根据题意，， 即， 所以， 则. 故答案为： 例3-2（2025·北京海淀·三模）已知为两个单位向量，且，是平面内的一个定点，是平面内的一个动点，，． （1）若，，则 ． （2）若，则点的轨迹围成的图形面积为 ． 【答案】 【详解】（1）为两个单位向量，且， 故， ； （2）当，时，， 此时，点的轨迹表示以点，为端点的线段； 当，时，， 此时，点的轨迹表示以点，为端点的线段； 当，时，， 此时，点的轨迹表示以点，为端点的线段； 当，时，， 此时，点的轨迹表示以点，为端点的线段； 记点，，，，则点的轨迹为四边形； 因为，故四边形为矩形，且， 所以，点的轨迹围成的图形面积为， 故答案为：， 例3-3已知向量，满足，且在上的投影向量为单位向量，则（   ） A．1 B． C．3 D．2 【答案】D 【详解】因为在上的投影向量为单位向量，所以， 所以，所以， 设，，可得， 两边平方得，所以， 令，则，解得或， 当时，这时，此时，此时，不符合题意， 当时，即， 此时.故选：D. 方法技巧 （1）基本方法：向量模的平方等于该向量与自身的数量积，据此转化为数量积计算。 （2）坐标计算：若有坐标，模长为坐标平方和的算术平方根；无坐标时用已知模和数量积表示。 （3）和差模长：向量和或差的模，先算模的平方（展开为各自模平方加或减两倍数量积），再开方。 （4）含参数模长：结合参数表示向量，通过数量积转化为关于参数的表达式，再求模长。 （5）几何转化：将模长对应线段长度，结合图形（如三角形、平行四边形）中的边长关系辅助计算。 【变式训练3-1】（2025·北京门头沟·一模）已知向量，满足，，且，的夹角为，则（   ） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【详解】由题意得 . 故选：C. 【变式训练3-2】已知向量，满足，，且，则（    ）． A． B．2 C． D．6 【答案】C 【详解】由， 得，所以， 所以. 故选：C. 【变式训练3-3·变载体】已知单位圆上有两点，，设向量，，若，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】由题可得，，， 因为，，且， 所以， ，解得. 故选：B 题型4 夹角综合计算 例4-1（2025·北京丰台·二模）已知向量满足，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 则， 又， 所以，则， 因为，所以. 故选：B. 例4-2已知向量满足，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设，则， 所以，， 所以. 故选：B 例4-3若是夹角为的单位向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是夹角为的单位向量，，， 所以， ， 而，故， ，故， 所以， 而，解得， 则向量与的夹角为，故C正确. 故选：C 例4-4已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，故. 故选：A. 方法技巧 （1）基本公式：两向量夹角的余弦值等于数量积除以两向量模的乘积，据此求夹角。 （2）范围注意：夹角范围是 0 到 180 度的闭区间，需结合结果确定具体角度（如余弦为 0 对应直角，1 对应 0 度）。 （3）坐标计算：有坐标时，用坐标算数量积和模，再代入夹角公式，简化运算。 （4）特殊夹角条件：锐角需数量积为正且不共线；钝角需数量积为负且不共线，避免忽略共线情况。 （5）零向量处理：零向量与任一向量夹角不确定，解题时需先排除或单独说明。 【变式训练4-1】已知向量，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为向量，所以， 所以，所以， 设向量与的夹角为，， 所以. 故选：C. 【变式训练4-2】已知均为单位向量.若，则与夹角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，两边平方可得. 则，所以. 因为均为单位向量，所以. 根据，，. 将其代入可得：. 则. 设与的夹角为，，且，，可得，即. 因为，所以. 则与夹角的大小是. 故选：C. 【变式训练4-3】已知向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，得，，所以. 故选：B. 题型5 垂直综合计算 例5-1（2025·北京大兴·三模）已知平面向量，，若，则实数（    ） A． B．1 C．或1 D．4 【答案】C 【详解】因为， 所以. 因为，所以 所以. 解得. 故选：C. 例5-2已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知，，， ，， ，整理得， 故选：B． 方法技巧 (1)核心条件：两向量垂直的充要条件是数量积为0，据此转化为数量积方程。 (2)坐标应用：坐标表示的向量垂直时，对应坐标的乘积之和为0，直接列方程。 (3)结合线性运算：若垂直向量是线性组合（如. 与垂直)，展开数星积得含参数方程。 (4)证明垂直步骤：先计算两向量的数星积，证明结果为0，再说明非零向量（零向量特殊处理）。 (5)多向量垂直：多个向量两两垂直时，每对数量积均为0，联立方程求解参数或关系。 【变式训练5-1】（2025·北京房山·一模）已知向量，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】若，则， 即 又， . 故选：D. 【变式训练5-2】已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得， 因为，所以，即，解得， 则，则. 故选：A. 【变式训练5-3】已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】由题意有，又因为， 所以， 故选：B. 题型6 求投影向量 例6-1已知平面内三点，则向量在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以， 所以，， 所以向量在上的投影向量为. 故选：D. 例6-2已知向量则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因， 则，， 故在上的投影向量为. 故选：D. 【变式训练6-1】已知点，，向量，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，所以， 又，所以，， 所以向量在方向上的投影向量为. 故选：C. 【变式训练6-2】已知向量，，若，则向量在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，则，即， 所以向量在上的投影向量为. 故选：C 【变式训练6-3】已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影向量坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，， 所以，则， 所以向量在向量上的投影向量坐标为. 故选：A 题型7 求参数值或范围的综合计算 例7-1（2025·北京·模拟预测）如图，，点P在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，由于， 在的反向延长线上取点，使得，过作，分别交和的延长线于点， 则， 要使得点落在指定区域内，则点应落在上， 当点在点处时，， 当点在点处时，， 所以的取值范围是. 故选：D. 例7-2（2025·北京东城·二模）已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为向量为单位向量，且， 所以，即， 化简得， 因为向量的夹角， 所以. 故选：B. 例7-3（2025·北京·二模）设圆的圆心为，直线与该圆相交于两点．若，则实数（   ） A．1 B．3或1 C．3 D．3或 【答案】D 【详解】将直线代入圆的方程可得：， ， 设， 所以， ，则， 所以 ， 化简得：， 解得：或， 故选：D 例7-4（2025·北京通州·一模）已知平面向量，，若满足，设与夹角为，则（   ） A．有最大值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最小值为 【答案】C 【详解】设， 由得，故,因此， 故， 由于 ，则， 则， 令， 故在上单调递增，由于， 故当在上恒成立，在上恒成立， 故在单调递减，在单调递增， 故当时，取到极小值也是最小值，因此 因此， 故由于恒成立，故， 故选：C 方法技巧 （1）列等量关系：根据数量积、模长、夹角、垂直等条件，建立含参数的方程（如垂直时数量积为 0）。 （2）列不等关系：若涉及夹角（锐角、钝角）、模长范围，转化为含参数的不等式（如锐角时数量积 > 0 且不共线）。 （3）坐标转化：将向量坐标化，把问题转为代数方程或不等式，简化参数求解。 （4）范围求解：结合函数单调性（如二次函数最值）或不等式（如基本不等式）确定参数范围。 （5）验证条件：解出参数后，检验是否满足隐含条件（如模长非负、夹角范围、不共线等）。 【变式训练7-1·变载体】向量与在单位向量上的投影向量均为，且，当与的夹角最大时，（    ） A．8 B．5 C． D． 【答案】D 【详解】 设为轴正半轴上的单位向量， 令，，， 如图所示，设与的夹角为，若， 在中，由余弦定理有：则， 而， 所以，所以， 因为，所以， 有根据正弦定理有：，即， 整理有：，所以， 当与的夹角最大时，最大，取最小值， 因为， 当且仅当时，取等号，所以当与的夹角最大时，. 故选：D 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于建立适当的平面直角坐标系，把向量的数量积用坐标表示，结合二次函数性质求值. 【变式训练7-2·变考法】如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】由共线，则，， 所以①， 由共线，则，， 所以②， 由①②知：，则，故， 由，则， 由共线，则，可得. 故选：A 【点睛】关键点点睛：令、，利用不同参数及表示出为关键. 【变式训练7-3·变题型】已知为坐标原点，与为单位向量，，在定直线上，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为与为单位向量， ， ∴. 又，，即的夹角为. ∴点是以原点为圆心的单位圆上的动点，且. 令，则， 易知点是以原点为圆心，为半径的圆上的动点， ∴. 如图1，设直线，过点作直线于点，作直线于点. 则. 又， 可知如图2，当点在点处，点在线段上时，取得最小值 此时，最小值为. ∴. 故选：B. 题型8 数量积范围的综合问题 例8-1（2025·北京海淀·三模）已知中，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设，外接圆半径为， 如下图，外接圆中连接，可得，， 所以， 当反向共线时最小，最小值为；当同向共线时最大，最大值为20， 所以. 故选：D 例8-2（2025·北京海淀·三模）已知为等腰直角三角形，为直角，直角边长为2，点P在三角形所在平面上，向量为单位向量，点D满足，则的最大值为（    ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】C 【详解】如图建立直角坐标系， 则， 设，则，即， 所以点P的轨迹是以A为圆心，以1为半径的圆， 又，所以，所以， 所以, 所以， 又点P在上，所以， 所以， 所以的最大值为5， 故选：C 例8-3（2025·北京西城·一模）蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．设为图中7个正六边形（边长为4）的某一个顶点，为两个固定顶点，则的最大值为（   ） A．44 B．48 C．72 D．76 【答案】B 【详解】设点，正六边形的边长为4， 所以， 所以， 所以， 设点到原点的距离为，则的最大值为， 由图可知，离原点距离最远的正六边形顶点为最外围的顶点， 如图，可取， 所以， 即的最大值为48. 故选：. 方法技巧 (1) 几何意义分析：通过一个向量在另一向量上的投影范围（投影随向量位置变化）确定数星积范围。 (2)坐标转化：设向量坐标（如在特定轨迹上，如圆、线设），将数量积表示为坐标函数，求值域 (3)模长约束：利用已知向量的模长范围，结合数量积与模的关系（如确定范围。 (4)不等式应用：用柯西不等式或基本不等式，结合模长求数量积的最大或最小值。 (5)动态向量处理：向量端点在曲线（如圆、直线）上运动时，转化为动点坐标的函数，分析取值范围。 【变式训练8-1】（2025·北京丰台·一模）在平行四边形中，E为边上的动点，O为外接圆的圆心，，且，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】由可知O为的中点，又因为O为外接圆的圆心， 所以为直角三角形，，所以， 又因为所以所以， 又因为E为边上的动点，所以 ， 因为，所以即 所以的最大值为6. 故选：C 【变式训练8-2】（2025·北京朝阳·一模）在中，，，点M为所在平面内一点且，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】在三角形中，由余弦定理，故为钝角； 又，故点在三角形底边的高线上， 则以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系如下所示： 又，则， 故，； 则，设，， 故，当且仅当时取得等号； 也即的最小值为. 故选：C. 【变式训练8-3】（2025·北京·模拟预测）如图所示，弧是以O为圆心，为半径的圆的一部分，满足，，是的中点，在弧上运动，则的最小值为（   ）    A．2 B．-2 C． D．-1 【答案】C 【详解】由题意可知，，， 则， 因为点在弧上运动，所以， 而余弦函数在内单调递减， 所以当时，取得最小值. 故答案为：C. 1．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 由平方可得，，所以． ，， 所以， ， 又，即， 所以，即， 故选：D. 2．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 3．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【详解】向量满足， 所以. 故选：B 4．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以，即； 故选：D 5．（2021·北京·高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 ； . 【答案】 0 3 【详解】以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示： 则， ，， . 故答案为：0；3. 6．（2020·北京·高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则 ； ． 【答案】 【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则点、、、， ， 则点，，， 因此，，. 故答案为：；. 【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题. 1．已知等边三角形的边长为1，设，，，那么（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】在等边三角形中， 有． 故选：D． 2．若，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角大小为 . 【答案】 【详解】因为，是夹角为的两个单位向量， 所以， 所以， ， ， 所以， 又，所以， 即与的夹角大小为. 故答案为：. 3．若平面向量，，，两两的夹角相等，且，，，则（    ）． A．2 B．4或 C．5 D．2或5 【答案】D 【详解】因为平面向量，，两两的夹角相等，所以夹角有两种情况， 即，，两两的夹角为或, 当夹角为时，， 当夹角为时， ， 所以或. 故选：D． 4．已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以O是的中点，所以,可得 因为，所以. 故选：D. 5．已知，，，向量与的夹角为，向量与的夹角为，计算： （1）； （2）． 【答案】（1）（2） 【解析】（1）由平面向量的数量积运算及向量的数乘运算即可得解； （2）由平面向量的数量积运算及向量的数乘运算即可得解. 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算及向量的数乘运算，属基础题. 6．已知中，，，当或时，试判断的形状． 【答案】钝角三角形或直角三角形． 【解析】由平面向量数量积公式，结合向量夹角的余弦值的符号判断即可得解. 【详解】解：当时，有， 即，所以为钝角，为钝角三角形； 当时，有，即，为直角三角形． 故为钝角三角形或直角三角形． 【点睛】本题考查了平面向量数量积公式，重点考查了向量夹角的运算，属基础题. 7．已知，为单位向量，当向量，的夹角分别等于45°，90°，135°时，求向量在向量上的投影向量． 【答案】见解析 【解析】由在上的投影向量为，再将已知条件代入运算即可得解. 【详解】解：当时，在上的投影向量为， 当时，在上的投影向量为， 当时，在上的投影向量为． 【点睛】本题考查了向量的投影的运算，重点考查了运算能力，属基础题. 8．分别在平面直角坐标系中作出下列各组点，猜想以A，B，C为顶点的三角形的形状，然后给出证明： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）直角三角形，证明见解析；（2）直角三角形，证明见解析；（3）直角三角形，证明见解析 【详解】解：（1）如图，为直角三角形，证明如下：   , . 为直角三角形. （2）如图，△ABC为直角三角形，证明如下：    为直角三角形. （3）如图，△ABC为直角三角形，证明如下：    为直角三角形. 【点睛】此题考查平面向量的数量积运算的坐标表示，通过非零向量数量积为零判定向量垂直得三角形形状. 9．如图，在中，是不是只需知道的半径或弦AB的长度，就可以求出的值？ 【答案】只与弦AB的长度有关，与半径无关 【详解】只与弦AB的长度有关，与半径无关.理由如下： 设的半径为r，AB的长度为2a，取AB的中点D，连接CD，则. 在中，， . 【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及三角函数中，角与边的关系，属于基础题. 10．已知 （1）求与的夹角； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【详解】解：（1）； ； ; ; ， . （2）， 两边平方可得， 即， 解得 或； 的取值范围为 【点睛】考查向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，以及绝对值不等式的解法． 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$