重难点培优01 抽象函数及其题型归纳（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优01 抽象函数及其题型归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 抽象函数中的定义域问题（★★★） 2 题型二 抽象函数中的值域问题（★★★） 4 题型三 抽象函数的解析式（★★★） 5 题型四 抽象函数中的单调性问题（★★★★） 7 题型五 抽象函数中比较函数值的大小关系（★★★★） 10 题型六 抽象函数中奇偶性问题（★★★★） 12 题型七 抽象函数中的周期性问题（★★★★） 15 题型八 抽象函数中的对称性问题（★★★★） 17 题型九 抽象函数中的函数性质综合（★★★★★） 19 题型十 抽象函数中的解不等式问题（★★★★★） 22 题型十一 抽象函数中的新定义问题（★★★★★） 24 03 实战检测・分层突破验成效 29 检测Ⅰ组 重难知识巩固 29 检测Ⅱ组 创新能力提升 36 一、周期性（差为常数有周期） ①若，则的周期为： ②若，则的周期为： ③若，则的周期为：（周期扩倍问题） ④若，则的周期为：（周期扩倍问题） 二、对称性（和为常数有对称轴） 轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 三、周期性对称性综合问题 ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 四、奇偶性对称性综合问题 ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 题型一 抽象函数中的定义域问题 【技巧通法·提分快招】 （1） 明确抽象函数的 “作用范围”，如(f(2x))中2x的取值范围与(f(x))中x的范围一致。 （2） 根据已知定义域，求中间变量（如2x）的取值范围，该范围即为外层函数的定义域。 （3）若含多层复合（如(f(g(h(x))))），逐层分析自变量范围，确保每一层符合函数定义。 1．已知函数的定义域为 ，则函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】解：因为的定义域为， 则，即， 所以的定义域为， 又， 所以函数的定义域为. 故答案为： 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为函数的定义域为， 所以，，即，解得， 所以，函数的定义域为 故选：C 3．已知函数的定义域是，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数的定义域是，所以， 所以，所以函数的定义域为， 所以要使函数有意义，则有，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A. 4．已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数的定义域是，所以， 所以的定义域为，又因为，即，所以， 所以函数的定义域为. 故选：A. 题型二 抽象函数中的值域问题 【技巧通法·提分快招】 （1） 利用单调性，找到定义域端点，端点处的函数值可能对应值域的最值。 （2） 通过赋值法（如令(x=0,1,-1)），结合已知条件推导函数值的范围。 （3）若函数有奇偶性或周期性，利用对称性缩小分析范围，再结合单调性确定值域。 1．函数的值域是，则函数的值域为 【答案】 【详解】因为函数的值域是，将函数图象向左平移一个单位，得到函数，其值域仍是，而函数是由函数中的值不变，值变为原来的2倍得到，所以其值域为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查由简单函数的值域求复合函数的值域． 2．若函数的值域是，则函数的值域是 . 【答案】 【详解】因函数的值域是，从而得函数值域为， 函数变为，，由对勾函数的性质知在上递减，在上递增， 时，，而时，，时，，即， 所以原函数值域是. 故答案为： 3．已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【详解】由函数的值域为，得， 由是定义在上的奇函数，得，由是定义在上的偶函数，得， 则，则，而函数与的值域相同， 所以函数的最大值为3. 故选：B 4．函数满足：①②，．则的最大值等于 ． 【答案】/0.5 【详解】解：设且， 令， 则有， 即， 设，则， 即， 所以有解，， 所以的最大值等于． 故答案为： 【点睛】方法点睛：解答与抽象函数有关的题目时，常用赋值法. 题型三 抽象函数的解析式 【技巧通法·提分快招】 （1） 赋值替换，如将x换为(-x)、(x+y)换为x等，构造新等式。 （2） 联立方程，通过消元法消去未知函数项，解出目标函数的解析式。 （3）验证解析式是否满足原抽象函数的所有条件（如赋值检验等式是否成立）。 1．设定义域为R的函数满足：，都有且（a为常数），则函数 ． 【答案】 【详解】由①， 在①中，令可得②， 在②中，令，则③， 由②可得，④， 由①可得，⑤， 由②可得，⑥， 则由③④⑤⑥可得，，即， 因，则. 故答案为： 2．已知定义在上的函数满足，则（    ） A．是奇函数且在上单调递减 B．是奇函数且在上单调递增 C．是偶函数且在上单调递减 D．是偶函数且在上单调递增 【答案】A 【详解】令，则，所以， 令，则，所以， 令，则， 所以， 令，则，所以， 因为，且定义域关于原点对称，所以函数是奇函数， 由反比例函数的单调性可得函数在上单调递减. 故选：A. 3．已知函数满足：，，成立，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则，所以， 令，则， 所以， 令，则，所以， 令，则， 所以， 则当时，， 则 ， 当时，上式也成立， 所以， 所以. 故选：C. 4．表示不小于的最小整数，如，已知定义在上的函数满足，且，则（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】A 【详解】定义在上的函数满足， 取，得，则， 取，得，于是， 而，则，当时，， 因此，，则， 所以，. 故选：A 【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解. 题型四 抽象函数中的单调性问题 【技巧通法·提分快招】 （1） 任取定义域内(x1 < x2)，计算f(x1) - f(x2)。 （2） 通过赋值或已知条件（如(f(x+y))的性质），将差值转化为可判断符号的形式。 （3）根据差值正负，确定函数的单调性（正为增，负为减）。 1．已知是定义在上的奇函数，当时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为当时，都有成立， 不妨令，则都有成立， 即对任意，且，都有成立， 所以函数在上单调递增， 因为是定义在上的奇函数， 所以，所以函数是偶函数， 所以函数在上单调递减， 又，则， 所以不等式或 或， 解得或. 所以不等式的解集为. 故选：B 2．已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】构造函数，其中，则， 故函数为偶函数， 当、且时，都有成立， 不妨设，则，即， 故函数在上为增函数，即该函数在上为减函数， 因为，则， 当时，由得，即，解得； 当时，由得，即，解得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：B. 3．定义在上的函数恒满足：①当时；②，若数列满足，且，则下列不等关系成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则，解得或， 若，当时，矛盾，所以， 令，则， 当时，，所以， 即，， ，则，而当时，，于是， 则， 即，所以函数在上R单调递减； 又，则，所以， ， 故是以3为最小正周期的周期数列， ，，，， ，，， 即， 在上单调递减，， 故选：C. 4．已知函数满足，则下列结论不正确的是（    ） A． B．的定义域为 C．若在上单调递增 D．若，则 【答案】B 【详解】令，可得，所以，A选项正确； 令，可得，所以不成立，所以的定义域不是，B选项不正确； 因为，所以，， 因为，所以，，， 当时，，在上单调递增，C选项正确； 若，令，可得， 所以，所以为等差数列， 所以，则，D选项正确； 故选：B. 题型五 抽象函数中比较函数值的大小关系 【技巧通法·提分快招】 （1） 利用奇偶性，将自变量转化到同一单调区间（如奇函数(f(-x)=-f(x))，偶函数(f(-x)=f(x))）。 （2） 根据单调性，比较转化后的自变量大小（增函数自变量大则函数值大，减函数相反）。 （3） 若有周期性，利用周期将大自变量化简为小范围自变量，再比较。 （4） 结合性质和抽象函数关系，赋值计算。 1．已知函数的定义域为，，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，令，则， 又，则，所以，故A错误； 对于B，令，则， 又，，所以，则，故B错误； 对于C，令，则， 又，则， 由上可知，故，， 所以，故C正确； 对于D，由，则， 所以， ， 由选项C中分析知，所以，故D错误. 故选：C. 2．已知函数的定义域为，且当时，，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意有，得，所以，故A错误； 因为 ，，由有， 所以，， 猜想，当时，显然成立， 假设时，猜想成立，即，当时，，即成立，所以， 所以，故D正确，B错误， 当时，，所以有，又，所以， ， ，故C错误. 故选：D. 3．已知任意正实数满足，则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令 ，对任意 ，有： 由此可得递推关系：，进而推出对于正整数，. 下面验证更一般情况. 假设，代入条件得.代入不等式得：   因此，且（因）. 例如，取，则，满足，但， 说明选项A不一定成立，但B成立. 若，满足，且对 有：   此时，选项B成立，但，选项C不成立. 下面严格证明选项B   对于满足条件的任意函数，令 ，则： 递推可得，因此选项B 一定正确. 综上，只有选项 B（）在所有情况下成立. 故选：B. 4．已知定义在上的函数满足：，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，，三式相加得， ， 即，又，所以，则， 所以 故A，B错误； ，故C正确，D错误. 故选：C． 题型六 抽象函数中奇偶性问题 【技巧通法·提分快招】 （1） 赋值(x=0)（定义域含 0 时），奇函数满足(f(0)=0)，辅助判断奇偶性。 （2） 赋值(x=-y)，结合已知条件（如(f(x+y)=f(x)+f(y))），推导(f(-x))与(f(x))的关系。 （3）根据(f(-x)=f(x))（偶）或(f(-x)=-f(x))（奇），确定函数奇偶性。 1．定义在上的函数，满足为偶函数，为奇函数，若，则 . 【答案】1 【详解】若为偶函数，为奇函数， 则，， 令，则，即， 令，则，即， 又因为，所以. 故答案为：1. 2．已知函数的定义域为，且为奇函数，，则一定正确的是（    ） A．的周期为2 B．图象关于直线对称 C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】D 【详解】为奇函数，得， 即，则为奇函数，故C错误； 且图象关于点中心对称，故B错误； 可知，函数周期为4，故A错误； ，又图象关于点中心对称，知， 所以，得关于点对称， 则关于点对称，所以为奇函数，故D正确. 故选：D. 3．对任意，都有，且不恒为0，函数，则（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【详解】令，可得，所以， 令，可得， 因为不恒为0，所以，所以是奇函数， 因为， 所以. 故选：B. 4．已知函数的定义域为R，对于任意实数x，y满足，且 ，则下列结论错误的是（    ） A． B．为偶函数 C．为奇函数 D． 【答案】C 【详解】因为，， 取，可得，又，所以；A对； 取，可得，因为，所以，所以为偶函数，C错，B对； 取，可得，又， ； 所以，D对； 故选：C. 5．已知定义域为的函数满足，，且当时，恒成立，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为奇函数 D．在区间是单调递增函数 【答案】C 【详解】令，则， 所以，因为当时，， 所以， 令，所以， 即，解得：，故A错误； 由题意，函数的定义域为，关于原点对称， 令，则，即 令代换，则，即， 所以，令代换，所以，故B错误； 由将代入， 可得，化简可得， 所以为奇函数，故C正确； 令，则，解得：，，故D错误. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的BC选项的关键点令，得到，令代换，得到，两式化简即可得出答案. 题型七 抽象函数中的周期性问题 1．已知定义在上的函数满足，且为奇函数，，则 （    ） A．4047 B．4048 C．4049 D．4050 【答案】C 【详解】由可得， 故的一个周期为4， 由为奇函数可得，得， 对于，令，得，则， 令，得，又，所以， 则， 故 . 故选：C. 2．已知函数的定义域为，，，，若，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】令，得，即， 令，得，得，所以函数为偶函数， 令，得， 令，得， ，或， 若，解得与已知矛盾， ，即，解得，， 令，得， ，，， ，所以函数的周期为4. . 故选：A. 3．若定义在R上的函数满足，是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，则，即函数的周期为4， 由是R上的奇函数，得，即， 于是，，即， 因此，AB错误； 由，取，得，则， 因此，取，得， 于是， 则，C错误，D正确. 故选：D 【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解. 4．已知函数满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取代入， 得即，由题解得， 令代入得， 故， 所以是周期为6的周期函数， 又，，所以， 所以， 故选：D. 【点睛】思路点睛：依次赋值和代入分别得到和，再依据所得条件推出即函数周期为6和，进而根据周期性和即可求解. 5．已知的定义域为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，函数的定义域为，且， 令，得，所以； 令，得，所以，所以是偶函数， 令，得①，所以②， 由①②知，所以， 所以，所以的一个周期是， 由②得，所以，同理，所以， 又由周期性和偶函数可得： 所以， 所以. 故选：B. 题型八 抽象函数中的对称性问题 1．已知函数为奇函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称 【答案】C 【详解】函数为奇函数，图象关于对称， 将函数向左平移一个单位可得函数， 则函数关于对称， 所以函数的图象关于对称. 故选：C. 2．已知函数满足:对任意的，若函数与图像的交点为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由对任意的， 可知函数的图象关于点对称， 又， 所以函数的中心对称点为， 所以两个函数图象的交点成对出现， 且每对交点都关于点对称， 则，， 所以. 故选：C 3．已知函数（）满足，若函数与图象的交点横坐标分别为，，…，，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以函数的图象关于对称，又函数关于对称， 则与的交点应为偶数个，且关于对称， 所以. 故选：B. 4．已知的定义域为，函数满足，图象的交点分别是，，则可能值为（    ） A．2 B．14 C．18 D．25 【答案】C 【详解】因为函数满足，所以的对称中心为， 注意到 ， 所以的对称中心也是， 故两个函数的图象交点关于对称， 故应为6的倍数，对比选项可知C选项符合题意. 故选：C. 5．已知定义在上的函数满足，且函数的图象与直线有个交点，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得直线恒过点，且关于对称． 函数满足，则函数的对称中心为， 所以，， 所以． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用函数对称性得出的对称中心为，再结合直线过定点即可求得结果. 题型九 抽象函数中的函数性质综合 【技巧通法·提分快招】 （1）先分析已知条件，确定函数的奇偶性、周期性、对称性等核心性质。 （2）利用性质关联（如周期 + 奇偶性推导对称性），整合信息缩小分析范围。 （3）结合单调性，解决函数值比较、解不等式等问题，综合运用各性质。 1．已知函数的定义域为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则且，可得，A错； 令，则，可得，即，B错； 由上分析，，，则， 所以，C对； 当且时，，所以，D错. 故选：C 【点睛】关键点点睛：根据递推式得到为关键. 2．已知可导函数的定义域为，且有，设是的导函数，若为偶函数，则（   ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 【答案】D 【详解】∵， ∴两边求导得， ∴，可知关于点对称， 又∵为偶函数，可知关于直线对称， 则，即， 由，可得， 因此，可得， 即，可知4为的周期， 因此，当，时，， 当，时，， ∵，∴， ∴，， 所以 . 故选：D 【点睛】方法点睛：抽象函数求值问题关键是找出抽象函数的周期和对称性. 3．已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于函数有，，则函数关于直线对称， 由，则函数关于点对称， 所以，所以得， 则，故函数的周期为，且，故函数为偶函数， 因为函数在区间上单调递增，则函数的大致图象如下图： 由对称性可得， 所以 ，故A错误； 由于，，所以，故B错误； 又，，所以，故C正确； ，且， 因为，所以，故， 所以，故D错误. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：抽象函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性，解决本题的关键是结合函数的性质确定函数的图象，从而可确定函数值的大小关系、对称关系. 4．若函数满足对任意，恒有，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以. 设，那么， 因此， 对任意的，，则， 因此， 所以，所以的最小值是， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于令，根据题意得出，进而结合赋值法推导出，进而求解. 5．若定义在上的函数满足，是奇函数，，设函数，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【详解】因对于，，则， 故函数为周期函数，4是函数的一个周期， 又是上的奇函数，则，故的图象关于点对称， 于是，， 在，取，得， 因， 则 ， . 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用赋值，赋变量，转化抽象关系式，判断和利用函数的周期性和对称性解题. 题型十 抽象函数中的解不等式问题 【技巧通法·提分快招】 （1） 利用奇偶性，将不等式中自变量转化为绝对值形式。 （2） 根据单调性，将函数值不等式转化为自变量不等式。 （3）若有周期性，利用周期化简自变量范围，再结合定义域求解不等式。 1．若定义在上的增函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，即的图象关于点对称， 所以，而，即， 则，又在上为增函数， 故，即， ， 因在上单调递增，且， 由，可得， 即不等式的解集为. 故选：C. 2．已知函数是上的奇函数，且，对于任意的，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由函数是上的奇函数，得的定义域为， 且，函数也是上的奇函数， 对于任意的，都有， 得，即， 函数在上单调递增，又为奇函数，因此在上单调递增， 由，得， 由不等式，则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 3．已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且满足在区间上单调递减，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得的图象关于直线对称， 又，得，解得， 由在上单调递减，可知在上单调递增， 画出的大致图象如下所示， 结合图象及可得或， 解得或， 不等式的解集为. 故选：D. 4．函数定义域为，且满足，若是偶函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，且是偶函数， 所以， 所以，单调递减， 则不等式化简为， 所以，即， 所以或. 故选：B. 5．已知是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，，均有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为对任意的，均有成立，不妨设， 则，所以， 令，则在上递增， 因为是定义在R上的奇函数，所以是定义在R上的奇函数， 所以在上递增， 不等式化为， 因为，所以，即，所以， 则，即：，所以， 或，即：，所以， 所以不等式的解集为， 故选：A． 题型十一 抽象函数中的新定义问题 【技巧通法·提分快招】 （1）仔细阅读新定义特殊规则，明确规则细节。 （2）将新定义条件与抽象函数已知性质结合，推导函数的新性质（如单调性、奇偶性）。 （3）根据新性质，解决求值、证明、解不等式等问题，确保符合新定义约束。 1．若定义在上的函数满足对任意均有，则称为“函数”.已知为“函数”，且，，则（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【详解】令，则，所以； 令，则， 所以的图象关于直线对称； 令，则， 因为不恒成立，所以恒成立，所以为奇函数， 所以，所以， 所以是周期为8的周期函数，令，则， 解得，又为奇函数，所以， 所以. 故选：A. 2．已知定义在上的函数满足如下三个条件： ①，有； ②，有； ③，． 则下列说法正确的是（    ） A．，有， B．，有， C．函数的递减区间为， D．当时， 【答案】D 【详解】因，则，则， 即是的一个周期； 因，，则， 即关于直线对称， 对于A，因等价于， 即关于中心对称，故A错误； 对于B，等价于，即为偶函数，故B错误； 对于C，，， 则， 则在上单调递增， 因为为奇函数，则在上单调递增， 因为关于直线对称，则在上单调递减， 因是的一个周期，则的单调递减区间为， 单调递增区间为，故C错误； 对于D，因，则，结合单调性可知，故D正确. 故选：D 3．二元函数表示有两个自变量的函数，其中，如为一个二元函数．设为正整数，二元函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知， 则， ， 以此类推，，则， 又， 则， ， 以此类推，， 所以. 故选：B. 4．已知对任意正整数对，定义函数如下：，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， 令，则，，则A错误； ， 当， ，，，，， 累乘得：， ， ，， 而对于中令，得，矛盾，则B错误； ，则C正确； ， 令， 则， 所以 ， 所以， 所以， 则D错误． 故选：C． 5．高斯取整函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，．有如下四个结论： ①若，则； ②函数与函数无公共点； ③； ④所有满足的点组成区域的面积为． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【详解】对于①：若，则，则， ， 即，故①正确； 对于②：函数与函数的图象如图所示， 由图可得函数与函数无公共点，故②正确； 对于③：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ，故③错误； 对于④：当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为， 综上点组成区域的面积为，故④正确． 故答案为：①②④. 6．设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为＂严格增函数＂，对于＂严格增函数＂，有以下四个结论： ①＂－严格增函数＂一定在上严格增； ②＂－严格增函数＂一定是＂－严格增函数＂（其中，且） ③函数是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数） ④函数不是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数） 其中，正确的结论个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】①，对于，定义域为R， 存在，对于任意，都有， 但在上不单调递增，错误． ②，是＂严格增函数＂，存在，对任意，都有， 因为，所以，故， 即存在实数，使得对任意，都有， 所以是＂严格增函数＂，正确． ③，，定义域为，当时，对任意的，都有， 即，所以函数，＂严格增函数＂，正确． ④，对于函数，， 所以是周期为1的周期函数，， 若，则，不符合题意． 因为的周期为1，故不妨设， 设，则， 而，此时，矛盾； 所以函数不是＂严格增函数＂，正确． 故选：C 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．已知定义在上的函数满足，且，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】令，则，可得， 令，则，可得， 令，则，可得， 令，则，可得， 令，则，可得， 令，则，可得， 可得是以4为周期的周期函数， 则. 故选：D. 2．函数与都为奇函数，且对，都有，则（   ） A．2525 B．2526 C．5049 D．5050 【答案】D 【详解】由与都为奇函数， 则，， 又，所以，， 所以，即， 所以，即， 又，，得， 所以，，…，， 所以. 故选：D. 3．已知函数满足：，，，若，则（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【详解】依题意，因为，则， 令，则，因为，所以， 又因为，则，即， 令，则，即， 令，则，所以，故得， 又； 又， 所以，即． 故选：C． 4．已知函数满足，且对，，则满足的正整数n的最大值为（   ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【答案】C 【详解】由题，， ， 所以函数是周期为3的周期函数， 又，，， ，， ，， 所以满足的正整数n的最大值为2028． 故选：C． 5．已知函数和的定义域均为为偶函数，为奇函数，若，则（    ） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】A 【详解】因为为偶函数，故， 所以的图象关于对称，因此. 因为为奇函数，故， 整理得， 当时，， 当时，， 由得，， 当时，由得 ， 所以，即， 因为 所以解得，所以. 故选：A. 6．已知定义域为 的连续函数 满足： ① 为偶函数； ② ； ③ ． 则 的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由①，有关于直线对称； 由②，令，则，有关于点对称； 则，又因为，则， 则，则，则， 则的周期为12，故； 由③，知在单调递增，关于点对称， 在单调递增，又在上连续， 在单调递增，故有， 即． 故选：C. 7．已知是定义在上的函数，则“其图象关于点成中心对称图形”是“函数为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若函数的图象关于点成中心对称图形，且函数的定义域为， 则，即， 设，则函数的定义域为， 则，即函数为奇函数， 因此，“的图象关于点成中心对称图形”是“函数为奇函数”的充要条件. 故选：C. 8．已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则有， 所以，由此可知为周期为的周期函数， 又因为是奇函数，所以， 因为，所以； 对于A选项，根据，将代入， 得，解得，A正确； 对于B选项，根据，将代入， 得，B正确； 对于C选项，根据，将代入， 得，C正确； 对于D选项，根据，有， 又根据，将代入， 得，由A选项可知， 所以，所以D错误. 故选：D 9．已知函数的定义域为R，，且，，则（    ） A．是奇函数 B． C． D．是周期为2的函数 【答案】B 【详解】函数，， 对于A，取，，则， 解得，不是奇函数，A错误； 对于B，，取，则， 即，B正确； 对于C，取，则，即，C错误； 对于D，由，得，即， 因此2不是的周期，D错误. 故选：B 10．若函数满足：存在非零常数，对任意，，则称是“衰减函数”．已知函数为上的奇函数，且当时，，若为“衰减函数”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当，即时， ； 当，即时，， 所以当时， ，因为为奇函数，所以其图象关于原点对称， 作出的大致图象，如图所示， 因为为“衰减函数”，所以在上恒成立， 所以将的图象向右平移个单位长度后得到的图象不在图象的上方， 由图象知点向右平移6个单位长度后得点不在点的左边， 所以 ，解得． 故选：D． 11．已知偶函数满足：，且，若，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由，用代换，可得， 联立方程组，可得，即， 又由函数为偶函数，且，可得与同号， 所以，可得函数是周期为的函数， 因为，与同号，则， 令，可得，所以， 则. 故选：C. 12．已知函数的定义域为，函数是奇函数，函数的图象关于直线对称，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D． 【答案】B 【详解】因为是奇函数，所以为偶函数， 所以，即，故的图象关于直线对称， 由的图象关于直线对称得， 即， 即，所以关于对称， 所以，所以， 故是奇函数，所以B选项正确； 因为，又，所以， 即，所以，故C选项错误； 不能得到的奇偶性与的值，故A，D选项错误. 故选：B 13．已知定义在上的函数满足：，且，都有 恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，原不等式可化为： ，代入， 化简可得：， 令，得到， 再令，可得：， 由对勾函数的单调性，可知在上单调递减， 所以当时，取得最小值， 所以的最大值为，也即的最大值为， 所以的最大值为， 故选：A 14．已知函数，的定义域为，，且满足，，则（   ） A． B．1 C．2025 D．2026 【答案】D 【详解】由可得：，又因为..， 所以，即的对称中心为； 由可得：， 即（常数）， 令，则，所以，即的对称轴为； 所以，，故，， 所以，的周期. 因为，所以； 因为，令代入，所以； 根据对称性可知：，，，， 所以. 故选：D 15．设，是定义在上的两个周期函数，的周期为8，的周期为4，且是奇函数．当时，，，若在区间上，函数恰有8个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，令，即且， 故图象是以为圆心，2为半径的半圆， 又的周期为8，若直线过时，即， 在同一坐标系，在区间上的图象如下，恰有8个交点， 当直线与半圆且相切时，， 所以，可得，结合图知， 当与半圆且相交时，只有一个交点， 此时，上，恰有5个交点， 综上，实数的取值范围是. 故选：C 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．已知是定义域为的单调递减函数，且存在函数使得.若分别是方程和的根，则（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】A 【详解】因为，且， 所以， 即. 因为是定义域为的单调递减函数， 所以函数单调递减， 又因， 故，即. 故选：A. 2．函数满足，且，若，则可以取到的最大值为（   ） A．60 B．61 C．62 D．63 【答案】B 【详解】因为函数满足，且， 所以数列为正项递增数列，满足， 若要使得取到最大值，则要尽可能取最小，所以， 又，满足取到最大值，则， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 则，满足此式的最大的为61. 故选：B. 3．中国茶文化博大精深，茶水的口感与水的温度有关.一杯的热红茶置于的房间里，茶水的温度（单位：）与时间（单位：）的函数的图象如图所示.下列说法正确的是（    ）      A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】因为，所以，    因为图象是上凹函数，所以，即故A正确； 由A知，使，则，即， 由，则，，故无法判断，的大小关系，故B错误； 由A知，使，可得，结合，可得， 由的单调递减可得，故，故C错误； 由A知，存在，使，可得， 故存在，使， 由函数的单调性可知时，， 当时，， 当时，， 当时，，故D错误. 故选：A. 4．已知函数是定义域为且周期为4的奇函数，当时，，，则下列结论错误的是（    ） A． B．函数的图象关于对称 C．的值域为 D．函数有9个零点 【答案】C 【详解】由于是定义域为且周期为4的奇函数，对称中心为原点，对称轴为，， 故，， 同理，故正确； 是定义域为且周期为4的奇函数，当时，， 当时，，， 当时，，， 则当，， ； 当，， ； 当，， ； 当，， ； 因为是周期为4的函数，故也是周期为4的函数，因此也是周期为4的函数，函数图像如图所示 此时在处有最大值，故，故C错误；     函数图像对称轴为，，易知，时，B正确； 作出与的图像，其中，当时，，，，此时两函数图像不相交；当时，，时，；如图所示，与共由9个交点，故D正确． 故选：C． 5．已知函数的定义域为，且满足下列性质： ①；② 则下列说法一定正确的为（   ） A．在上无最小值 B．在上单调递减 C．在上有最小值 D．在上单调递增 【答案】C 【详解】由于函数的定义域为，且， 令，则， 得，抛物线对称轴为 由可得， 解之得，则， 故在上不一定单调递增或单调递减，选项不确定， 由于表示开口向上的抛物线， 故函数在取得最小值，即在上有最小值. 故选项C正确，选项A错误． 故选：C 6．记关于的代数式为，它满足以下关系：①；②；③；④，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，令，得 得， 由，令可得， 由，令，，得， 即有，即，同理可得， 由，令， 则. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于结合题目所给条件，得到，即可得，从而得解. 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点培优01 抽象函数及其题型归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 抽象函数中的定义域问题（★★★） 2 题型二 抽象函数中的值域问题（★★★） 3 题型三 抽象函数的解析式（★★★） 3 题型四 抽象函数中的单调性问题（★★★★） 4 题型五 抽象函数中比较函数值的大小关系（★★★★） 5 题型六 抽象函数中奇偶性问题（★★★★） 6 题型七 抽象函数中的周期性问题（★★★★） 6 题型八 抽象函数中的对称性问题（★★★★） 7 题型九 抽象函数中的函数性质综合（★★★★★） 7 题型十 抽象函数中的解不等式问题（★★★★★） 8 题型十一 抽象函数中的新定义问题（★★★★★） 9 03 实战检测・分层突破验成效 10 检测Ⅰ组 重难知识巩固 10 检测Ⅱ组 创新能力提升 12 一、周期性（差为常数有周期） ①若，则的周期为： ②若，则的周期为： ③若，则的周期为：（周期扩倍问题） ④若，则的周期为：（周期扩倍问题） 二、对称性（和为常数有对称轴） 轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 三、周期性对称性综合问题 ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 四、奇偶性对称性综合问题 ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 题型一 抽象函数中的定义域问题 【技巧通法·提分快招】 （1） 明确抽象函数的 “作用范围”，如(f(2x))中2x的取值范围与(f(x))中x的范围一致。 （2） 根据已知定义域，求中间变量（如2x）的取值范围，该范围即为外层函数的定义域。 （3）若含多层复合（如(f(g(h(x))))），逐层分析自变量范围，确保每一层符合函数定义。 1．已知函数的定义域为 ，则函数的定义域为 ． 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域是，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 题型二 抽象函数中的值域问题 【技巧通法·提分快招】 （1） 利用单调性，找到定义域端点，端点处的函数值可能对应值域的最值。 （2） 通过赋值法（如令(x=0,1,-1)），结合已知条件推导函数值的范围。 （3）若函数有奇偶性或周期性，利用对称性缩小分析范围，再结合单调性确定值域。 1．函数的值域是，则函数的值域为 2．若函数的值域是，则函数的值域是 . 3．已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 4．函数满足：①②，．则的最大值等于 ． 题型三 抽象函数的解析式 【技巧通法·提分快招】 （1） 赋值替换，如将x换为(-x)、(x+y)换为x等，构造新等式。 （2） 联立方程，通过消元法消去未知函数项，解出目标函数的解析式。 （3）验证解析式是否满足原抽象函数的所有条件（如赋值检验等式是否成立）。 1．设定义域为R的函数满足：，都有且（a为常数），则函数 ． 2．已知定义在上的函数满足，则（    ） A．是奇函数且在上单调递减 B．是奇函数且在上单调递增 C．是偶函数且在上单调递减 D．是偶函数且在上单调递增 3．已知函数满足：，，成立，且，则（    ） A． B． C． D． 4．表示不小于的最小整数，如，已知定义在上的函数满足，且，则（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 题型四 抽象函数中的单调性问题 【技巧通法·提分快招】 （1） 任取定义域内(x1 < x2)，计算f(x1) - f(x2)。 （2） 通过赋值或已知条件（如(f(x+y))的性质），将差值转化为可判断符号的形式。 （3）根据差值正负，确定函数的单调性（正为增，负为减）。 1．已知是定义在上的奇函数，当时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．定义在上的函数恒满足：①当时；②，若数列满足，且，则下列不等关系成立的是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数满足，则下列结论不正确的是（    ） A． B．的定义域为 C．若在上单调递增 D．若，则 题型五 抽象函数中比较函数值的大小关系 【技巧通法·提分快招】 （1） 利用奇偶性，将自变量转化到同一单调区间（如奇函数(f(-x)=-f(x))，偶函数(f(-x)=f(x))）。 （2） 根据单调性，比较转化后的自变量大小（增函数自变量大则函数值大，减函数相反）。 （3） 若有周期性，利用周期将大自变量化简为小范围自变量，再比较。 （4） 结合性质和抽象函数关系，赋值计算。 1．已知函数的定义域为，，，且，则（   ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为，且当时，，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知任意正实数满足，则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知定义在上的函数满足：，且，则（    ） A． B． C． D． 题型六 抽象函数中奇偶性问题 【技巧通法·提分快招】 （1） 赋值(x=0)（定义域含 0 时），奇函数满足(f(0)=0)，辅助判断奇偶性。 （2） 赋值(x=-y)，结合已知条件（如(f(x+y)=f(x)+f(y))），推导(f(-x))与(f(x))的关系。 （3）根据(f(-x)=f(x))（偶）或(f(-x)=-f(x))（奇），确定函数奇偶性。 1．定义在上的函数，满足为偶函数，为奇函数，若，则 . 2．已知函数的定义域为，且为奇函数，，则一定正确的是（    ） A．的周期为2 B．图象关于直线对称 C．为偶函数 D．为奇函数 3．对任意，都有，且不恒为0，函数，则（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 4．已知函数的定义域为R，对于任意实数x，y满足，且 ，则下列结论错误的是（    ） A． B．为偶函数 C．为奇函数 D． 5．已知定义域为的函数满足，，且当时，恒成立，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为奇函数 D．在区间是单调递增函数 题型七 抽象函数中的周期性问题 1．已知定义在上的函数满足，且为奇函数，，则 （    ） A．4047 B．4048 C．4049 D．4050 2．已知函数的定义域为，，，，若，则（    ） A． B． C．2 D．4 3．若定义在R上的函数满足，是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数满足，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知的定义域为，且，则（    ） A． B． C． D． 题型八 抽象函数中的对称性问题 1．已知函数为奇函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称 2．已知函数满足:对任意的，若函数与图像的交点为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数（）满足，若函数与图象的交点横坐标分别为，，…，，则（    ） A． B． C． D．0 4．已知的定义域为，函数满足，图象的交点分别是，，则可能值为（    ） A．2 B．14 C．18 D．25 5．已知定义在上的函数满足，且函数的图象与直线有个交点，则（    ） A．0 B． C． D． 题型九 抽象函数中的函数性质综合 【技巧通法·提分快招】 （1）先分析已知条件，确定函数的奇偶性、周期性、对称性等核心性质。 （2）利用性质关联（如周期 + 奇偶性推导对称性），整合信息缩小分析范围。 （3）结合单调性，解决函数值比较、解不等式等问题，综合运用各性质。 1．已知函数的定义域为，，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知可导函数的定义域为，且有，设是的导函数，若为偶函数，则（   ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 3．已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，，则（   ） A． B． C． D． 4．若函数满足对任意，恒有，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．若定义在上的函数满足，是奇函数，，设函数，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型十 抽象函数中的解不等式问题 【技巧通法·提分快招】 （1） 利用奇偶性，将不等式中自变量转化为绝对值形式。 （2） 根据单调性，将函数值不等式转化为自变量不等式。 （3）若有周期性，利用周期化简自变量范围，再结合定义域求解不等式。 1．若定义在上的增函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数是上的奇函数，且，对于任意的，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且满足在区间上单调递减，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．函数定义域为，且满足，若是偶函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．已知是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，，均有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型十一 抽象函数中的新定义问题 【技巧通法·提分快招】 （1）仔细阅读新定义特殊规则，明确规则细节。 （2）将新定义条件与抽象函数已知性质结合，推导函数的新性质（如单调性、奇偶性）。 （3）根据新性质，解决求值、证明、解不等式等问题，确保符合新定义约束。 1．若定义在上的函数满足对任意均有，则称为“函数”.已知为“函数”，且，，则（    ） A． B．0 C． D．1 2．已知定义在上的函数满足如下三个条件： ①，有； ②，有； ③，． 则下列说法正确的是（    ） A．，有， B．，有， C．函数的递减区间为， D．当时， 3．二元函数表示有两个自变量的函数，其中，如为一个二元函数．设为正整数，二元函数满足，则（    ） A． B． C． D． 4．已知对任意正整数对，定义函数如下：，，，则（    ） A． B． C． D． 5．高斯取整函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，．有如下四个结论： ①若，则； ②函数与函数无公共点； ③； ④所有满足的点组成区域的面积为． 其中所有正确结论的序号是 ． 6．设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为＂严格增函数＂，对于＂严格增函数＂，有以下四个结论： ①＂－严格增函数＂一定在上严格增； ②＂－严格增函数＂一定是＂－严格增函数＂（其中，且） ③函数是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数） ④函数不是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数） 其中，正确的结论个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．已知定义在上的函数满足，且，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．函数与都为奇函数，且对，都有，则（   ） A．2525 B．2526 C．5049 D．5050 3．已知函数满足：，，，若，则（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 4．已知函数满足，且对，，则满足的正整数n的最大值为（   ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 5．已知函数和的定义域均为为偶函数，为奇函数，若，则（    ） A．4 B．2 C．0 D． 6．已知定义域为 的连续函数 满足： ① 为偶函数； ② ； ③ ． 则 的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 7．已知是定义在上的函数，则“其图象关于点成中心对称图形”是“函数为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 9．已知函数的定义域为R，，且，，则（    ） A．是奇函数 B． C． D．是周期为2的函数 10．若函数满足：存在非零常数，对任意，，则称是“衰减函数”．已知函数为上的奇函数，且当时，，若为“衰减函数”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．已知偶函数满足：，且，若，则（   ） A．1 B． C． D． 12．已知函数的定义域为，函数是奇函数，函数的图象关于直线对称，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D． 13．已知定义在上的函数满足：，且，都有 恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 14．已知函数，的定义域为，，且满足，，则（   ） A． B．1 C．2025 D．2026 15．设，是定义在上的两个周期函数，的周期为8，的周期为4，且是奇函数．当时，，，若在区间上，函数恰有8个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．已知是定义域为的单调递减函数，且存在函数使得.若分别是方程和的根，则（    ） A．3 B． C．6 D． 2．函数满足，且，若，则可以取到的最大值为（   ） A．60 B．61 C．62 D．63 3．中国茶文化博大精深，茶水的口感与水的温度有关.一杯的热红茶置于的房间里，茶水的温度（单位：）与时间（单位：）的函数的图象如图所示.下列说法正确的是（    ）      A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．已知函数是定义域为且周期为4的奇函数，当时，，，则下列结论错误的是（    ） A． B．函数的图象关于对称 C．的值域为 D．函数有9个零点 5．已知函数的定义域为，且满足下列性质： ①；② 则下列说法一定正确的为（   ） A．在上无最小值 B．在上单调递减 C．在上有最小值 D．在上单调递增 6．记关于的代数式为，它满足以下关系：①；②；③；④，则（    ） A． B． C． D． 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$