第02讲 导数与函数的单调性（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第02讲 导数与函数的单调性 目录 01 考情解码・命题预警 1 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 2 知能解码 2 知识点1 导函数与原函数的关系 3 知识点2 利用导数判断函数单调性的步骤 4 题型破译 5 题型1 函数与导函数图象之间的关系 5 【方法技巧】函数与导函数图象之间的关系 题型2 利用导数求不含参函数的单调性 10 【方法技巧】利用导数求不含参函数的单调性 题型3 利用导数求可分离型含参函数的单调性 14 【方法技巧】利用导数求可分离型含参函数的单调性 题型4 利用导数求不可分离型含参函数的单调性 22 【方法技巧】利用导数求不可分离型含参函数的单调性 题型5 根据函数单调性求参数值或范围 28 【方法技巧】根据函数单调性求参数值或范围 04真题溯源·考向感知 30 05课本典例·高考素材 35 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）用导数研究函数的单调性 （2）求单调区间 单选题 填空题 解答题 北京卷T20 （15分） 北京卷T20 （15分） 北京卷T20 （15分） 考情分析： 北京卷中，导数与函数的单调性多在解答题中考查，难度中等偏上。核心考查：导数符号与单调性的关系（求 单调区间，含参讨论）、导数的求导运算等；易错点：忽略定义域限制，含参讨论不全面，单调区间写法错误（如 误用并集符号）。 复习目标： 1.理解函数的单调性与导数之间的关系 2能利用导数研究函数的单调性，并会求单调区间 3.能够利用导数解决与函数单调性的综合问题 知识点1 导函数与原函数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 ＞0 f(x)在(a，b)上单调递增 ＜0 f(x)在(a，b)上单调递减 ＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数 自主检测1已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【详解】由函数的导函数的图象可知， 当时，，所以在上单调递减，可排除AC； 当时，，所以在上单调递增，可排除B； 当时，，所以在上单调递减，D均符合，故D正确. 故选：D. 自主检测2已知函数（）的图象如图，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由的图象可知，在和上单调递增，在上单调递减， 则当时，，时，， 时，，所以不等式的解集为. 故选：C. 自主检测3函数在定义域内可导，记的导函数为，的图象如图所示，则的单调增区间为（   ） A．， B．， C．， D．，， 【答案】B 【详解】若要，则由图可知，， 故的单调增区间为，. 故选：B. 知识点2 利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导函数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性. [常用结论] 1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，恒成立. 2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，＞0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，＜0有解. 自主检测1函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的定义域为，解不等式，可得， 故函数的单调递减区间为. 故选：B. 自主检测2函数的单调减区间是 . 【答案】(a，a+1) 【详解】依题意，函数f(x)的定义域为R，， 由解得a<x<a+1，即f(x)在(a，a+1)上单调递减， 所以f(x)的单调减区间是(a，a＋1). 故答案为：(a，a＋1) 题型1 函数与导函数图象之间的关系 例1-1已知是函数的导函数，且的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数的图象，得当或时，；当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，选项ABC错误，D正确. 故选：D 例1-2设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由的图象可知，当时，函数单调递增，则，故排除C，D； 当时，先递增，再递减最后递增，所以所对应的导数值应该先大于0， 再小于0，最后大于0，排除B. 故选:A. 例1-3设函数的导函数为，若的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ）    A．和 B． C．和 D．和 【答案】A 【详解】根据的图象可知，当时，， 当时，， 所以在内单调递减，在内单调递增， 故BCD错误，A正确. 故选：A. 方法技巧 （1）看增减：原函数递增时，导函数图象在x轴上方；递减时在下方。 （2）找极值：原函数的极大 / 极小值点，对应导函数的零点（导数值由正变负或负变正）。 （3）析凹凸：导函数递增，原函数图象 “下凸”（越来越陡）；导函数递减，原函数 “上凸”（越来越平缓）。 【变式训练1-1】设函数可导，的图象如图所示，则导函数图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图象知，，的图象为增函数，则， 故排除B，D. 当时，的图象先增，后减，再增， 所以的图象先正，后负，再正，所以A正确，C错误. 故选：A 【变式训练1-2】已知函数的导函数为偶函数，图象如图所示，则函数的图象可能是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】当时，，所以在上单调递增，故排除BCD， 故选：A 【变式训练1-3·变载体】若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知的减区间为，，增区间为， 所以当时，，当时，， 又由图知，当时，，当时，， 所以的解集为， 故选：B. 【变式训练1-4·变载体】已知偶函数在上的导函数为，且在时满足以下条件：①导函数的图象如图所示；②唯一的零点是1．则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记在上的零点为， 由在上的图象，知当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 因为在唯一的零点是1，即， 所以当时，，当时，． 又为偶函数，所以当时，，当时，， 所以的解集为． 故选：B． 题型2 利用导数求不含参函数的单调性 例2-1函数．求函数的单调区间. 【答案】在上单调递减，在上单调递增 【详解】因为，所以， 令，，令，， 故在上单调递减，在上单调递增． 例2-2已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)若，不等式在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)增区间为，，减区间为； (2) 【详解】（1）的定义域为， ， 当时，则， 令，解得或，     和把函数定义域划分成三个区间，在各区间上的正负及的单调性如表： 单调递增 单调递减 单调递增 函数的增区间为，，减区间为； （2）当时，，， 在区间上，当时，，当时，， 当时， 函数在上有极小值也是最小值，并且最小值为，     在区间上恒成立， ，         故的取值范围为． 例2-3已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调递减区间； (3)若函数在区间上只有一个极值点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）当时，，则， 所以， 曲线在点处的切线方程为， （2）当时，， 所以该函数的定义域为， ， 由，解得或， 所以当时，求函数的单调递减区间为， （3）因为， 则， 令，因为函数在区间上只有一个极值点， 则函数在上有一个零点， 当时，对任意的，，不合乎题意； 当时，函数在上单调递增， 因为，只需，合乎题意； 当时，函数的图象开口向下，对称轴为直线， 因为，只需，不合乎题意，舍去. 综上所述，实数a的取值范围是. 方法技巧 （1） 看定义域 （2） 求导：对函数求导，化简导函数表达式。 （3） 解不等式：解导函数 “大于 0”（对应递增区间）和 “小于 0”（对应递减区间）的不等式。 （4） 写区间：结合定义域，将解集表示为单调递增 / 递减区间。 【变式训练2-1】已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若在区间上有2个极值点，求实数的取值范围． 【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【详解】（1）依题意，，， ， 故当时，，当时，， 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）依题意，， 令，得， 令，故问题转化为在区间上有两个不等的变号零点， 故 解得， 综上所述，实数的取值范围为． 【变式训练2-2】已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 【答案】(1) (2)递增区间为和，递减区间为和 【详解】（1）由题意知， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）的定义域为， 由（1）知， 令得或；令得，且， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和. 【变式训练2-3·变载体】设函数 ，且在处的切线方程为. (1) 求k的值； (2) 求的单调区间； (3) 设为在点切线方程，是否存在t使得函数单调？若存在，求出所有t的值；如不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为 (3) 【详解】（1）， 则， 解得； （2）， 令，得或， 当时，，所以函数在和上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 所以函数单调递增区间为和，单调递减区间为； （3）因为，所以，， 所以处切线方程为， 整理得：， 设， 则 ， 所以， 若在单调，则恒成立， 所以只有即或（舍）时，恒成立， 即在单调递增，所以. 题型3 利用导数求可分离型含参函数的单调性 例3-1已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有极小值，且极小值大于，求的取值范围． 【答案】(1)分类讨论，答案见解析； (2) 【详解】（1）的定义域为． ①时，，此时在上单调递减； ②时，令得，令得， 此时在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）知时，，整理得． 令，则，当且仅当即时取等号， 故在上单调递增，又，所以的取值范围为． 例3-2已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)当 时， 在上单调递减； 当 时， 在 是减函数，在 是增函数. (2). 【详解】（1）. ，，∴当 时，，∴ 在上单调递减； 当 时，. 令 ，解得：. 由，解得：；由，解得：. 时， 单调递减，单调递增； 综上可知：当 时， 在上单调递减； 当 时， 在 是减函数，在 是增函数. （2）由（1）知，当 时， 在 是减函数，在 是增函数， ， ∴， ∴（*）. 令，则， ∴在上单调递减， 又∵，∴不等式（*）的解集为，即的取值范围是. 例3-3已知函数． (1)讨论的单调性： (2)若恰有两个零点，且 （i）求的取值范围； （ii）设在定义域内单调递增，求出k与的函数关系式，并证明． 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）（ii），证明见解析 【详解】（1）因为的定义域为，所以， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递增， ，在上单调递减， 综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）（i）由（1）知，需满足，在处取得极大值，且， ，令，显然在上单调递减，， 所以，又因为，， 所以在和上各有一个零点，且， 综上所述，． （ii）， 所以恒成立， 当时，不能恒成立，所以， 由均值不等式知：，且时等号成立， 所以，（*） 当因为，则，所以不等式（*）要成立，则， 得，此时. 因为，所以 整理得，即，又， 所以，由（1）得，． 例3-4已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1），， ，， 切线方程为，即. （2），. ①当时，， 当时，单调递减；当时，单调递增. ②当时， 当时，，， 当时，，，时等号成立， 所以在上单调递增. ③当时，， 当时，单调递增，当时，单调递减， 当时，单调递增. ④当时，， 当时，单调递增，当时，单调递减， 当时，单调递增. 综上所述：①当时，在上单调递减，在上单调递增； ②当时，在上单调递增； ③当时，在上单调递增，在上单调递减； ④当时，在上单调递增，在上单调递减. 方法技巧 （1）定义域 （2）求导、导函数分解 （3）求导函数零点，分类讨论 （4）有必要时对根进行二次讨论 【变式训练3-1】已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)证明：； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由，可得， 当时，，即函数在上为增函数； 当时，由，解得， 当时，，当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数在上为增函数； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）因函数的定义域为，， 令，则， 即函数在上单调递增，当时，，且， 故存在，使，则得. 当时，，即，故函数在上单调递减； 当时，，即，故函数在上单调递增. 故， 因，故得，即，故. （3）由可得，即， 设，则，故函数在上单调递增，则. 再设，则， 当时，，故函数在上单调递减； 当时，，故函数在上单调递增， 故，故得，即的取值范围是. 【变式训练3-2·变载体】已知函数，其中． (1)求的单调区间； (2)当时，设的两个零点为，求证：． 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【详解】（1）函数，求导得， 当时，的定义域为，则， 函数在上单调递减； 当时，的定义域为，， 由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数的递减区间为，无递增区间； 当时，函数的递增区间为，递减区间为. （2）当时，，由（2）知在上单调递增，在上单调递减， 又，是的一个较小的零点，不妨设， 要证，只需证，而，且在上单调递减， 则只需证，， 令函数，求导得，在上单调递增， 因此，即，则， 所以. 【变式训练3-3】已知函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得， ①若，即，函数在上单调递减； ②若，即，由，得；由，得或， 函数在上单调递增，在，上单调递减； ③若，即，由，得；由，得或， 函数在上单调递增，在，上单调递减， 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，函数的定义域为， 不等式， 设，求导得， 函数在上单调递增，当时，， 当时，， 则存在唯一的实数，使，即， 当时，；当时，，函数在上递减，在上递增， 因此， 而函数在上单调递减，当时，，即， 所以. 【变式训练3-4】已知函数. (1)讨论函数的单调性. (2)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，证明：只有一个零点. ①，；②，. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）解：由函数，可得的定义域为， 且， 若，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 若，则，在上单调递增； 若，则当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上所述，当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （2）解：选择条件①：，， 由（1）知当时，在，上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为， 令，则， 所以在上单调递增，则， 故，从而. 又由 ， 所以存在唯一的，使得，即只有一个零点. 选条件②：， 由（1）知当时，在，上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值为， 令，则， 所以在上单调递增，则， 所以，可得. 又， 根据零点的存在性定理，可得存在唯一的，使得，即只有一个零点. 【变式训练3-5】已知函数． (1)当时，讨论函数的单调区间； (2)当时，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为， 所以， 当时，令，得， ①若，即时， 则当或时，，在区间上单调递增， 当时，在区间单调递减； ②若，即时， 则当或时，在区间单调递增， 当时，在区间单调递减； ③若，即时， 此时，则在上单调递增． 综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间． （2）由（1）知，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以 ， 则要证明， 只需要证明． 构造函数，， 则， 又令，则， 所以在单调递增， 而， 故存在唯一的，使得，即． 当时，在单调递减； 当时，在单调递增． 所以当时，取得极小值，也是最小值， ， 所以， 故原不等式成立，结论得证． 题型4 利用导数求不可分离型含参函数的单调性 例4-1已知函数. (1)讨论的单调性； (2)求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1），， 对于方程， 当，即时，， 函数在上单调递减； 当，即时，方程有两个不相等的实数根， ，且， 当或时，；当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，. （2）由（2）知，当时，函数在上单调递减， 又，当时，，即当时，. ，， 即，当时，， 当时，，当时，， 当时，， 累加可得，， 即， 所以. 例4-2已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调递增区间； (3)若，方程有三个不相等的实数根且，证明：． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【详解】（1）由题意得，定义域为， ， 可得曲线在点处的切线的斜率为0． ， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）， 易知，且． 令，则． 当，即时，在上恒成立，且等号不恒成立， 即在上恒成立，且等号不恒成立，因此在上单调递增． 当，即时， 由解得或， ， 当时，；当时，， 因此在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为，. （3）由（2）可知，当时，在上单调递增，在上单调递减． ． 令， 则在上恒成立， 在上单调递增，则当时，， 在上恒成立． ，且． 由于在上单调递减，． 令， 则在上恒成立， 在上单调递增，则当时，， 在上恒成立． 且． 在上单调递增，． 由和可得． 例4-3已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若存在两个极值点，，且，求的最大值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）函数的定义域为， ， 令，， ①当时，，， 所以函数在上单调递减． ②当时，，， 所以函数在，上单调递减， 在上单调递增． （2）由（1）可知当时，函数存在两个极值点，， 且满足，， 所以 ， 令，所以， ，所以在单调递增， ，所以的最大值为． 方法技巧 （1）定义域 （2）求导、导函数不可分解 （3）应用判别式和求根公式表示 【变式训练4-1】已知函数．讨论的单调性. 【答案】答案见解析 【详解】，则， 令，，则， 因，故， 当，即时，，则在上单调递减； 当时，令，，，，，， 在和单调递减，在单调递增; 当时，，，则在上单调递增，在单调递减; 综上所述，当时，则在上单调递减， 当时，在和单调递减，在单调递增； 当时，在上单调递增，在单调递减. 【变式训练4-2】已知函数，其中为常数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在区间内存在两个不同的极值点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）当时，，， ，此时， 因此曲线在点处的切线方程为． （2）函数的定义域为，， 当，即时，，令，解得， 令得，令得， 此时函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，中，， 当，即时， 方程在上仅有一个正根， 令得，令得， 此时函数在上单调递增，在上单调递减； 当，即时， 方程在上有两个不等正根， 分别为，， ， 故， 令令得，令得， 此时函数在和上单调递增， 在上单调递减． 综上，当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在和上单调递增， 在上单调递减； （3）由（2）可知，若函数在区间内存在两个不同的极值点，则， 函数的对称轴为，且， 故，且，解得． 【变式训练4-3】已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）由已知，，则，， 当时，由恒成立，即恒成立，即在上单调递增； 当时，令，解得，，， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 综上所述， 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； （2）由已知，即，又， 所以恒成立，设，， 则， 设，，则恒成立， 即函数在上单调递增，且， 当时，，即，在上单调递减； 当时，，即，在上单调递增； 所以， 所以，即. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 题型5 根据函数单调性求参数值或范围 例5-1已知函数是上的增函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 得， 因为是上的增函数，则恒成立， 即恒成立， 当时，，此时不恒成立，不满足题意； 当时，等价于对恒成立， 则. 故选：C. 例5-2已知函数在区间上单调递增，则实数a的最小值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为函数在上单调递增，所以对恒成立， 即恒成立，设，， 当时，，所以，则， 所以实数a的最小值为. 故选：B. 例5-3已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， 要使在上存在单调递减区间，只需存在区间，使得当时，， 当时，，显然不存在满足条件的区间； 当时，的解集为，因为， 所以要使在上存在单调递减区间，则，解得； 当时，的解集为，因为， 所以要使在上存在单调递减区间，则，解得. 综上，的取值范围为. 故选：A. 方法技巧 （1）求导：得到含参数的导函数。 （2）转条件：函数单调递增则 “导函数≥0” 恒成立，递减则 “导函数≤0” 恒成立（注意定义域限制）。 （3）解参数：用 “分离参数求最值” 或 “二次函数判别式、端点分析” 等方法，求解参数范围。 【变式训练5-1】若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数在上存在单调递增区间， 所以存在，使成立，即存在，使成立， 令，， 变形得，因为，所以， 所以当，即时，，所以， 故选：D． 【变式训练5-2】已知函数在上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，故在上有零点，令，令，得，令， 则，由，得，单调递增，又由，得， 故，所以，的取值范围 故选：A 【变式训练5-3】设，若函数在区间上单调，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】， 设，则， 故在上单调递减，又，可知在区间上单调递增， 在区间上单调递减，故，的取值范围是. 故答案为： 【变式训练5-4】已知函数在，上为增函数，在（1，2）上为减函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， ∵在，上为增函数；上为减函数, ∴两根分别位于和中， 得，即，解得. 故选：B 1．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． (1)求的最大值； (2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； (3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）设，， 由可得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的最大值为. （2）因为，所以直线的方程为，即， 设，， 由（1）可知，在上单调递增，而， 所以，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，且， 而当时，，所以总有，单调递增 故，从而命题得证； （3）解法一：由题意，直线，直线， 所以，， 当时，，在上单调递增， 所以， 所以 ， 由（1）可得当时，， 所以， 所以. 解法二：由可设，又，所以，即， 因为直线的方程为，易知， 所以直线的方程为, ，. 所以 ,由（1）知,当时，，所以, 所以. 2．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间. (2)求证：不经过点. (3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？ （参考数据：，，） 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为. (2)证明见解析 (3)2 【详解】（1）， 当时，；当，； 在上单调递减，在上单调递增. 则的单调递减区间为，单调递增区间为. （2），切线的斜率为， 则切线方程为， 将代入则， 即，则，， 令， 假设过，则在存在零点. ，在上单调递增，， 在无零点，与假设矛盾，故直线不过. （3）时，. ，设与轴交点为， 时，若，则此时与必有交点，与切线定义矛盾. 由（2）知.所以， 则切线的方程为， 令，则. ，则， ，记， 满足条件的有几个即有几个零点. ， 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 因为， ， 所以由零点存在性定理及的单调性，在上必有一个零点，在上必有一个零点， 综上所述，有两个零点，即满足的有两个. 【点睛】 关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题. 3．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)3个 【详解】（1）因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以. （2）由（1）得， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. （3）由（1）得，， 由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，，即 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，在上单调递减， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减； 所以在上有一个极大值点； 当时，在上单调递增， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，， 所以，则单调递增， 所以在上无极值点； 综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点. 【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断与的正负情况，充分利用的单调性，寻找特殊点判断即可得解. 1．利用导数判断下列函数的单调性: （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）递增；（2）递减；（3）和上单调递增. 【详解】（1）因为， 所以 所以在R上单调递增. （2）因为， 所以 所以，函数在 上单调递减. （3）因为， ，所以 所以，函数在 和上单调递增. 2．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)当时，求函数的值域. 【答案】(1)单调递增区间（−∞，−1）和（4，＋∞），单调递减区间（−1，4） (2) 【详解】（1）由函数得 ， 令，解得x＜−1或x＞4，； 令，解得−1＜x＜4， 故函数f（x）的单调递增区间为（−∞，−1）和（4，＋∞），单调递减区间为（−1，4）； （2）由（1）可知，当x∈[−3，−1）时，，f（x）单调递增， 当x∈（−1，4）时，，f（x）单调递减， 当x∈（4，6]时，，f（x）单调递增， 所以当x＝−1时，函数f（x）取得极大值f（−1）＝， 当x＝4时，函数f（ x）取得极小值f（4）＝， 又， 所以当x∈[−3，6]时，函数f（x）的值域为 3．证明函数在区间上单调递减． 【答案】证明见解析 【详解】因为，所以， 当时，， 所以函数在区间上单调递减． 4．用导数判断下列函数的单调性，并求出单调区间. (1)； (2)； (3)； (4)，. 【答案】(1)的递减区间为，无递增区间； (2)的递减区间为，递增区间为； (3)的递增区间为和，无递减区间； (4)的递减区间为，无递增区间. 【详解】（1）函数的定义域为R，， 所以函数的递减区间为，无递增区间； （2）函数的定义域为R，， 令，令， 所以函数的递减区间为，递增区间为； （3）函数的定义域为，， 所以函数的递增区间为和，无递减区间； （4）函数的定义域为，， 所以函数的递减区间为，无递增区间. 5．求函数的单调区间． 【答案】递增区间为，递减区间为. 【详解】函数的定义域为R，时，， 由得，由得，即在上单调递增，在上单调递减， 所以的递增区间为，递减区间为. 6．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【详解】（1）函数的定义域为R， 求导得， 令，求导得，当时，，当时，， 函数在上递减，在上递增， ，即， ①当时，，恒成立，在R上单调递减； ②当时，由，得，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，在R上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，当时，在R上单调递减，在R上至多一个零点，不满足条件， 当时，，令， 则， 令，求导得，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，即， 于是，函数在R上单调递增，而， 则当时，，当时，，当时，， ①若，则，故恒成立，无零点； ②若，则，仅有一个实根，不满足条件； ③若，则， 注意到，， 于是在上有一个实根，又， 且 ， 令，则，当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，， 则，又，即，则有， 即，于是在上有一个实根， 又在上单调递减，在上单调递增，因此在R上至多两个实根， 又在及上均至少有一个实根，则在R上恰有两个实根， 所以时，在R上恰有两个实根. 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： ①转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； ②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； ③得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 导数与函数的单调性 目录 01 考情解码・命题预警 1 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 2 知能解码 2 知识点1 导函数与原函数的关系 3 知识点2 利用导数判断函数单调性的步骤 4 题型破译 4 题型1 函数与导函数图象之间的关系 4 【方法技巧】函数与导函数图象之间的关系 题型2 利用导数求不含参函数的单调性 7 【方法技巧】利用导数求不含参函数的单调性 题型3 利用导数求可分离型含参函数的单调性 8 【方法技巧】利用导数求可分离型含参函数的单调性 题型4 利用导数求不可分离型含参函数的单调性 10 【方法技巧】利用导数求不可分离型含参函数的单调性 题型5 根据函数单调性求参数值或范围 11 【方法技巧】根据函数单调性求参数值或范围 04真题溯源·考向感知 12 05课本典例·高考素材 13 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）用导数研究函数的单调性 （2）求单调区间 单选题 填空题 解答题 北京卷T20 （15分） 北京卷T20 （15分） 北京卷T20 （15分） 考情分析： 北京卷中，导数与函数的单调性多在解答题中考查，难度中等偏上。核心考查：导数符号与单调性的关系（求 单调区间，含参讨论）、导数的求导运算等；易错点：忽略定义域限制，含参讨论不全面，单调区间写法错误（如 误用并集符号）。 复习目标： 1.理解函数的单调性与导数之间的关系 2能利用导数研究函数的单调性，并会求单调区间 3.能够利用导数解决与函数单调性的综合问题 知识点1 导函数与原函数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 ＞0 f(x)在(a，b)上单调递增 ＜0 f(x)在(a，b)上单调递减 ＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数 自主检测1已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 自主检测2已知函数（）的图象如图，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 自主检测3函数在定义域内可导，记的导函数为，的图象如图所示，则的单调增区间为（   ） A．， B．， C．， D．，， 知识点2 利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导函数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性. [常用结论] 1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，恒成立. 2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，＞0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，＜0有解. 自主检测1函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 自主检测2函数的单调减区间是 . 题型1 函数与导函数图象之间的关系 例1-1已知是函数的导函数，且的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 例1-2设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 例1-3设函数的导函数为，若的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ）    A．和 B． C．和 D．和 方法技巧 （1）看增减：原函数递增时，导函数图象在x轴上方；递减时在下方。 （2）找极值：原函数的极大 / 极小值点，对应导函数的零点（导数值由正变负或负变正）。 （3）析凹凸：导函数递增，原函数图象 “下凸”（越来越陡）；导函数递减，原函数 “上凸”（越来越平缓）。 【变式训练1-1】设函数可导，的图象如图所示，则导函数图象可能为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】已知函数的导函数为偶函数，图象如图所示，则函数的图象可能是（   ）    A．   B．   C．   D．   【变式训练1-3·变载体】若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-4·变载体】已知偶函数在上的导函数为，且在时满足以下条件：①导函数的图象如图所示；②唯一的零点是1．则的解集为（    ） A． B． C． D． 题型2 利用导数求不含参函数的单调性 例2-1函数．求函数的单调区间. 例2-2已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)若，不等式在上恒成立，求的取值范围． 例2-3已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调递减区间； (3)若函数在区间上只有一个极值点，求a的取值范围． 方法技巧 （1） 看定义域 （2） 求导：对函数求导，化简导函数表达式。 （3） 解不等式：解导函数 “大于 0”（对应递增区间）和 “小于 0”（对应递减区间）的不等式。 （4） 写区间：结合定义域，将解集表示为单调递增 / 递减区间。 【变式训练2-1】已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若在区间上有2个极值点，求实数的取值范围． 【变式训练2-2】已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 【变式训练2-3·变载体】设函数 ，且在处的切线方程为. (1) 求k的值； (2) 求的单调区间； (3) 设为在点切线方程，是否存在t使得函数单调？若存在，求出所有t的值；如不存在，说明理由. 题型3 利用导数求可分离型含参函数的单调性 例3-1已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有极小值，且极小值大于，求的取值范围． 例3-2已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当，恒成立，求的取值范围． 例3-3已知函数． (1)讨论的单调性： (2)若恰有两个零点，且 （i）求的取值范围； （ii）设在定义域内单调递增，求出k与的函数关系式，并证明． 例3-4已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 方法技巧 （1）定义域 （2）求导、导函数分解 （3）求导函数零点，分类讨论 （4）有必要时对根进行二次讨论 【变式训练3-1】已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)证明：； (3)若，求的取值范围． 【变式训练3-2·变载体】已知函数，其中． (1)求的单调区间； (2)当时，设的两个零点为，求证：． 【变式训练3-3】已知函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 【变式训练3-4】已知函数. (1)讨论函数的单调性. (2)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，证明：只有一个零点. ①，；②，. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【变式训练3-5】已知函数． (1)当时，讨论函数的单调区间； (2)当时，证明：． 题型4 利用导数求不可分离型含参函数的单调性 例4-1已知函数. (1)讨论的单调性； (2)求证：. 例4-2已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调递增区间； (3)若，方程有三个不相等的实数根且，证明：． 例4-3已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若存在两个极值点，，且，求的最大值． 方法技巧 （1）定义域 （2）求导、导函数不可分解 （3）应用判别式和求根公式表示 【变式训练4-1】已知函数．讨论的单调性. 【变式训练4-2】已知函数，其中为常数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在区间内存在两个不同的极值点，求的取值范围． 【变式训练4-3】已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围. 题型5 根据函数单调性求参数值或范围 例5-1已知函数是上的增函数，则（   ） A． B． C． D． 例5-2已知函数在区间上单调递增，则实数a的最小值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 例5-3已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 （1）求导：得到含参数的导函数。 （2）转条件：函数单调递增则 “导函数≥0” 恒成立，递减则 “导函数≤0” 恒成立（注意定义域限制）。 （3）解参数：用 “分离参数求最值” 或 “二次函数判别式、端点分析” 等方法，求解参数范围。 【变式训练5-1】若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】已知函数在上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】设，若函数在区间上单调，则的取值范围是 ． 【变式训练5-4】已知函数在，上为增函数，在（1，2）上为减函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． (1)求的最大值； (2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； (3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围． 2．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间. (2)求证：不经过点. (3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？ （参考数据：，，） 3．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 1．利用导数判断下列函数的单调性: （1）； （2）； （3）. 2．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)当时，求函数的值域. 3．证明函数在区间上单调递减． 4．用导数判断下列函数的单调性，并求出单调区间. (1)； (2)； (3)； (4)，. 5．求函数的单调区间． 6．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求a的取值范围. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$