专题 1.7 线段垂直平分线与角平分线（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（浙教版 2024）

专题 1.7 线段垂直平分线与角平分线 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）线段的垂直平分线 1 【题型1】利用线段垂直平分线性质求值 2 【题型2】利用线段垂直平分线性质证明 3 【题型3】利用线段垂直平分线判定求值 4 【题型4】利用线段垂直平分线判定证明 5 【题型5】尺规作图——作线段垂直平分线与求值证明 6 【题型6】尺规作图——作垂线与求值证明 7 知识点（二）角平分线 8 【题型7】利用角平分线性质求值 9 【题型8】利用角平分线性质证明 10 【题型9】利用角平分线判定求值 11 【题型10】利用角平分线判定证明 12 【题型11】尺规作图——作角平分线求值 13 【题型12】尺规作图——作垂直平分线与角平分线求值 14 二．同步练习 15 1. 基础夯实（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 15 2.能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 20 3. 直通中考（5题） 25 一.知识梳理与题型分类精析 知识点（一）线段的垂直平分线 1.定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也称为中垂线）；如图1，，为线段中点，则为线段垂直平份线. 图1 2. 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.​ 数学语言：点是线段的垂直平分线上一点（如图2）， （垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）. 图2 证明：直线是线段的垂直平分线， ， 在和中 【题型1】利用线段垂直平分线性质求值 【例题1】 （24-25八年级上·广东肇庆·期中）已知：如图，在中，，的垂直平分线分别交、于、． （1）若，，求的周长； （2）若，求的度数． 【变式1】（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，中，的平分线和边的垂直平分线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为 ． 【题型2】利用线段垂直平分线性质证明 【例题2】 （22-23八年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图，中，，是边上的中线，点在上，求证． 【变式1】（2025·山东威海·中考真题）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（21-22八年级上·江苏南通·期中）如图，已知点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE． （1）求证：BD＝CE； （2）若点D在线段AB的垂直平分线上，BD＝DE，求∠B的度数． 3.判定定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 图3 数学语言：（如图3）， 点是线段的垂直平分线上一点（到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 证明：过点作，垂直为， 在和中 （） 为线段的垂直平分线. 【题型3】利用线段垂直平分线判定求值 【例题3】 （24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． （1）若，求的度数； （2）若的周长为，求的长． 【变式1】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，，于点，点是上一点，连接，，若，则线段的长度为 ． 【变式2】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图中、，点D是的中点，过点D作交的延长线于点E，连接，若，，则的长为 ． 【题型4】利用线段垂直平分线判定证明 【例题4】 （24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，在四边形中，，，，E是的中点，． （1）求证：． （2）求证：是线段的垂直平分线． 【变式1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，连接、，，，则有（   ） A．与互相垂直平分 B．垂直平分 C．垂直平分 D．平分 【变式2】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，四边形中，连接交于点O，得到了如下结论，其中错误的是（   ） A． B． C． D． 4.尺规作图：分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段长度一半的长为半径画弧，两弧交于两点；​过这两个交点作直线，这条直线就是该线段的垂直平分线.如图4，的垂直平分线如图所示，作图中，要保留作图痕迹. 图4 【题型5】尺规作图——作线段垂直平分线与求值证明 【例题5】 （2025·广西南宁·二模）如图，在中，． （1）作线段的垂直平分线，交于点，交于点．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 【变式1】（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，在中，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，作直线分别交于点，连接．若，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（20-21八年级上·北京平谷·期末）在△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以A，C为圆心，以大于的同样长为半径画弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点D，连结CD． 请回答：若BC=DC，∠B=100°，则∠ACB的度数为 ． 【题型6】尺规作图——作垂线与求值证明 【例题6】 （24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，是的角平分线． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点E、G、F，连接．（保留作图痕迹，不要求写作法）． （2）在（1）问的条件下，求证：． 证明：是的角平分线， ① 垂直平分， 即，， ② ， ∴③ ， ④ ， ， 在和中， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）如图，点D是线段上一点，阅读以下作图步骤： （1）以点D为圆心，长为半径作弧，交于点M； （2）分别以B，M为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点N，作射线； （3）以D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连接； （4）连接，分别以E，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点P，Q，作直线交于F，连接． 根据以上作图步骤，判断下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D．的周长等于线段的长 【变式2】（2024·江苏南京·一模）如图，四边形是矩形，根据尺规作图痕迹，计算的大小为 ． 知识点（二）角平分线 1.定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线. 2.性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 图5 数学语言：为的角平分线（如图5），,, （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. 证明：为的角平分线， 又,, 在和中 （） 特别注意：解题过程中，学生容易漏掉“,”这个条件。 【题型7】利用角平分线性质求值 【例题7】 （24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在中，，，是的角平分线，于点E． （1）求的度数； （2）若，求 【变式1】（24-25八年级下·广西桂林·期中）如图，的周长是，，分别平分和，于，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，已知的周长是，，分别平分和，于点，且，的面积是 ． 【题型8】利用角平分线性质证明 【例题8】 （24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，是内部的一条射线，点D在上，连接、，，过点P作，，M，N分别是垂足，且，求证：平分． 【变式8】（24-25八年级上·江西上饶·期中）如图，已知平分，于，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的是（） A．①③④ B．①②③ C．②③ D．①②④ 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）如图，是的角平分线，、分别是和的高，连接交于点．给出下列结论：①垂直平分；②垂直平分；③平分；④当时，是等边三角形．其中正确的是 ．（填序号） 3.判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 数学语言：（如图5），点在内部，,, 为的角平分线（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上） 证明：,, 在和中 （） 【题型9】利用角平分线判定求值 【例题9】 （24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，，，平分交于点E，连接，若点E是边的中点，求的度数． 【变式1】（24-25八年级下·山西运城·阶段练习）如图，在中，，，点为上一点，连接，于点，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知：四边形中，对角线平分，，，并且，那么的度数为 ． 【题型10】利用角平分线判定证明 【例题10】 （24-25七年级下·福建福州·期末）如图，点E在的平分线上，过点E作于点F，于点G，且． （1）求证：是的平分线：（2）求证：． 【变式1】（24-25八年级下·江西吉安·阶段练习）如图，在中，的外角平分线与的外角平分线相交于点．则下列结论正确的是（　　） A．点平分 B．平分 C．平分 D． 【变式2】（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，中，，于点．于点，且，则下列结论中正确的有 ． ①平分；②；③；④．    4.尺规作图：以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两点；分别以这两个交点为圆心，以大于这两点间距离一半的长为半径画弧，在角的内部交于一点；过角的顶点和这个交点作射线，这条射线就是该角的平分线. 图6 特别注意：（1）作图中 “半径大于线段一半”、角平分线作图中 “在角内部交于一点” 不然就没有交点。​ （2） 角平分线作图和垂直平分线作图题是中考常考点. 【题型11】尺规作图——作角平分线求值 【例题11】 （24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）尺规作图（用无刻度直尺和圆规绘制几何图形）是一种古老而重要的几何作图技术，在现代科学研究中仍然发挥着重要的作用．用尺规作已知角的平分线是其中的一种基本作图． （1）如图1，由尺规作图痕迹，可推导出，继而得到，其中三角形全等的依据是________（单选题）； A．           B．        C．           D． （2）如图2，在射线上任取一点C，作，在射线上截取一点M，使，作射线．根据以上步骤，请说明是的平分线； 【变式1】（2025·内蒙古·中考真题）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则的度数是 ． 【题型12】尺规作图——作垂直平分线与角平分线求值 【例题12】（24-25八年级下·江西九江·期中）在中，小明利用尺规作了如图①所示的痕迹． （1）观察图①中的尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的______，射线是的______； （2）在图①中过点E作的垂线，垂足为G，如图②，若，求的面积． 【变式1】 （24-25七年级下·四川眉山·期末）如图，在中，，，按以下步骤作图：①分别以、两点为圆心，相同长（大于线段长的一半）为半径作弧，两弧分别交于点、；②作直线；③以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边、于点、；④分别以点、为圆心，相同长（大于长的一半）为半径作弧，两弧相交于点；⑤作射线，交于点，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·浙江丽水·期末）如图，是矩形的一条对角线，，依据尺规作图的痕迹，与的交点为，则的度数是 （用α的代数式表示）． 二．同步练习​ 1. 基础夯实（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于50，则的长是（   ）    A．22 B．23 C．32 D．33 2．（24-25八年级下·山东淄博·期末）已知：在中，为的平分线．已知，，，则的长为（    ） A． B． C． D．4 3．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，分别以、为圆心，大于的长为半径在两侧作弧，两弧相交于点、，作直线分别交于边，于点、，连接，若的长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，交于点F，分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，点T在射线上，过点T作，垂足分别为M，N，点G，H分别在边上，．若，则的值为（  ） A．12 B．8 C． D．10 5．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．若的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为（       ） A．11 B．12 C．13 D．14 二、填空题 7．（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，已知，，以A，B两点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线与相交于点D，则的周长为 ． 8．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）如图，在△ABC中，，边AC的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则的度数为 ．    9．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）如图，是的平分线，于点，，则的长为 ． 10．（24-25九年级下·吉林·期中）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧，交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接，交于点E．若的周长为21，，则的长为 ． 11．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，垂直平分，点是直线上的任意一点，则的最小值是 ． 12．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，是的角平分线，若，，则点到的距离是 ． 三、解答题 13．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，在中，，，是上一点，且． （1）尺规作图：过点作的垂线，交于点．（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母；如果完成有困难，可画出草图后解答第（2）题）． （2）求证：． 14．（20-21八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，于点A，于点F，若．求证： （1）平分； （2）． 15．（2025·山东威海·模拟预测）如图，已知中，在上有一点，连接，并延长至点E，使． （1）画图：作的平分线交于点（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，求证：． 16．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期中）如图，在中，的角平分线交于D． （1）若，求的度数； （2）过点D作于点E，过点D作于点F，若，，求的面积． 2.能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 一、单选题 1．（2025·安徽合肥·二模）如图，在中，，分别为边，上的高，，相交于点，，连接，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．若，则 2．（2025·安徽阜阳·三模）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点在上，点在上，与相交于点，以A，B为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点P，Q，作直线交直线于点，连接．若，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·广东深圳·期末）在中，，和的平分线相交于，于点，的面积是，的面积是，则为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在中，，平分，，，垂足分别为E，F，已知，．求阴影部分面积为（　　）      A．12 B．24 C．18 D．20 5．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·湖南·模拟预测）如图，在平行四边形中，，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点P，作射线，交于点G，交的延长线于点H．若，，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 7．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，于点D，且．若， ，则的周长为 8．（24-25七年级下·江西景德镇·期末）如图所示，线段，的垂直平分线相交于点O．若，则 ． 9．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知在中，点E在边上，垂直平分，垂足为点F，如果，，那么 ． 10．（2025·山东德州·一模）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，和交于点O；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D；③分别以点D，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接，和相交于点N，连接．若，，则的长为 ． 11．（2023·山东青岛·一模）如图，在等腰中，，，的平分线与的中垂线交于点，点沿折叠后与点重合，则的度数是 度． 12．（24-25七年级下·四川遂宁·期末）如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，以小于长为半径作弧，分别交 于点； ②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点； ③作射线，交于点， 若，则 ． 三、解答题 13．（24-25七年级下·全国·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，求的长． 14．（24-25八年级下·内蒙古包头·期中）如图，在中，，是边的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接，且平分． （1）求的度数； （2）若，求的长． 15．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，根据尺规作图的痕迹进行作答： （1）根据尺规作图可知：是的__________；（填“中线”“高线”或“角平分线”） （2）若，点B到边的距离是，求的面积． 16．（2018·福建龙岩·一模）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接． （1）若，则的度数是 度； （2）若，的周长是． ①求的长度； ②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 3. 直通中考（5题） 一、单选题 1．（2025·四川达州·中考真题）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ）    A．21 B．14 C．13 D．9 2．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（2023·贵州·中考真题）如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接并延长交于点G．则的长是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 4．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 5．（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 1.7 线段垂直平分线与角平分线 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）线段的垂直平分线 1 【题型1】利用线段垂直平分线性质求值 2 【题型2】利用线段垂直平分线性质证明 5 【题型3】利用线段垂直平分线判定求值 8 【题型4】利用线段垂直平分线判定证明 10 【题型5】尺规作图——作线段垂直平分线与求值证明 14 【题型6】尺规作图——作垂线与求值证明 16 知识点（二）角平分线 19 【题型7】利用角平分线性质求值 20 【题型8】利用角平分线性质证明 23 【题型9】利用角平分线判定求值 27 【题型10】利用角平分线判定证明 30 【题型11】尺规作图——作角平分线求值 33 【题型12】尺规作图——作垂直平分线与角平分线求值 35 二．同步练习 38 1. 基础夯实（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 38 2.能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 51 3. 直通中考（5题） 66 一.知识梳理与题型分类精析 知识点（一）线段的垂直平分线 1.定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也称为中垂线）；如图1，，为线段中点，则为线段垂直平份线. 图1 2. 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.​ 数学语言：点是线段的垂直平分线上一点（如图2）， （垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）. 图2 证明：直线是线段的垂直平分线， ， 在和中 【题型1】利用线段垂直平分线性质求值 【例题1】 （24-25八年级上·广东肇庆·期中）已知：如图，在中，，的垂直平分线分别交、于、． （1）若，，求的周长； （2）若，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质和三角形的内角和定理，属于基础题型，熟知等腰三角形和线段垂直平分线的性质定理是求解的关键. 根据线段垂直平分线的性质可得，根据三角形的周长公式求出结果即可； 先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出的度数，再利用等边对等角求出的度数，即可求出结果. 解：（1）解：是的垂直平分线， ， 的周长； （2）解：， ， ， ， ， ， ． 【变式1】（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，中，的平分线和边的垂直平分线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 连接、，由是的平分线，可得，，由线段垂直平分线的性质的得到，进而由“”可证，可得，即得到，据此即可求解． 解：连接、，如图所示， 是的平分线， ，， 是的垂直平分线， ， 在和中 ， ， ， ， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出全等三角形并理解线段垂直平分线的性质是解题关键．由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得，进一步求解即可． 解：为的中点， ， ， ，， 在与中， ， ， ，， ∵， ∴， ， ， 故答案为：． 【题型2】利用线段垂直平分线性质证明 【例题2】 （22-23八年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图，中，，是边上的中线，点在上，求证． 【答案】见分析 【分析】根据三线合一得出垂直平分，根据垂直平分线的性质即可得证． 解：证明：∵中，，是边上的中线， ∴， ∴垂直平分， ∵点在上， ∴ 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【变式1】（2025·山东威海·中考真题）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质以及全等三角形的判定与性质等知识； 根据线段垂直平分线的判定和性质可判断A选项，证明可判断B、C选项，由，不能判断，即可判断D选项，进而可得答案. 解：A、∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形是筝形； B、∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是筝形； C、∵，，， ∴， ∴，， ∴四边形是筝形； D、由，不能判断，，故不能判断四边形是筝形； 故选：D. 【变式2】（21-22八年级上·江苏南通·期中）如图，已知点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE． （1）求证：BD＝CE； （2）若点D在线段AB的垂直平分线上，BD＝DE，求∠B的度数． 【答案】（1）见分析；（2）∠B＝30°． 【分析】（1）作AF⊥BC于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF＝CF，DF＝EF，相减后即可得到正确的结论． （2）证明DA＝DE＝AE，得出△ADE是等边三角形，由等边三角形的性质得出∠ADE＝60°，由三角形外角的性质则可得出答案． 解：（1）证明：如图，过点A作AF⊥BC于F． ∵AB＝AC，AD＝AE． ∴BF＝CF，DF＝EF， ∴BD＝CE． （2）解：∵点D在线段AB的垂直平分线上， DA＝DB， ∵DB＝DE， ∴DA＝DE， ∵AD＝EA，   ∴DA＝DE＝AE， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠ADE＝60°， ∵∠ADE是△ADB的外角， ∴∠ADE＝∠B+∠BAD， ∵DA＝DB， ∴∠B＝∠BAD＝30°． 【点拨】本题考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，垂直平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 3.判定定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 图3 数学语言：（如图3）， 点是线段的垂直平分线上一点（到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 证明：过点作，垂直为， 在和中 （） 为线段的垂直平分线. 【题型3】利用线段垂直平分线判定求值 【例题3】 （24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． （1）若，求的度数； （2）若的周长为，求的长． 【答案】（1）；（2）4 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，三角形的外角： （1）先证明是的垂直平分线，等边对等角求出的度数，再结合三角形的外交以及中垂线的性质，等边对等角求出的度数即可； （2）先求出的长，再根据线段的转化，得到，进而求出的长即可． 解：（1）解：∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【变式1】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，，于点，点是上一点，连接，，若，则线段的长度为 ． 【答案】27 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，垂直平分线的判定与性质，先因为，于点，则，故是线段的垂直平分线，即可作答． 解：∵，于点， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 故答案为：27． 【变式2】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图中、，点D是的中点，过点D作交的延长线于点E，连接，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，根据点D是的中点，，推出是的垂直平分线，得到，再根据点D是的中点，得到，进而得到，即可求解． 解：∵在中，点D是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵点D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型4】利用线段垂直平分线判定证明 【例题4】 （24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，在四边形中，，，，E是的中点，． （1）求证：． （2）求证：是线段的垂直平分线． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）由，得，；再由得，即可得，利用即可证明； （2）由及E为中点可得；由及得平分，从而由等腰三角形的性质得是线段的垂直平分线． 解：（1）证明：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 在与中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴； ∵点E为的中点， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴平分； ∵， ∴是线段的垂直平分线． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定，平行线的性质等知识，灵活运用这些知识是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，连接、，，，则有（   ） A．与互相垂直平分 B．垂直平分 C．垂直平分 D．平分 【答案】B 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的判定，由，，得A与C在的垂直平分线上，进而解决此题． 解：∵，， ∴A与C在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴垂直平分， 故B选项符合题意； 由已知条件无法证明平分，平分， 故A、C、D选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，四边形中，连接交于点O，得到了如下结论，其中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定，全等三角形的判定， 先根据线段垂直平分线的判定得直线是线段的垂直平分线，可判断A，B，再根据“边边边”证明全等说明C，不能说明的关系，判断D即可． 解：∵， ∴点D在线段的垂直平分线上． ∵， ∴点B在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴． 则A，B正确； ∵， ∴． 可知C正确； 不能确定的关系， 所以D不正确． 故选：D． 4.尺规作图：分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段长度一半的长为半径画弧，两弧交于两点；​过这两个交点作直线，这条直线就是该线段的垂直平分线.如图4，的垂直平分线如图所示，作图中，要保留作图痕迹. 图4 【题型5】尺规作图——作线段垂直平分线与求值证明 【例题5】 （2025·广西南宁·二模）如图，在中，． （1）作线段的垂直平分线，交于点，交于点．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了作图﹣基本作图：作已知线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）利用基本作图作的垂直平分线； （2）根据线段垂直平分线的性质，得到，由等腰对等角得，由三角形的内角和得到，再由三角形的外角性质即可解答． 解：（1）解：如图所示，直线即为所求作图形； （2）解：由（1）知：直线是线段的垂直平分线， ， ， 在中，， 是的外角， ， ． 【变式1】（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，在中，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，作直线分别交于点，连接．若，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图——作垂直平分线，垂直平分线的性质，由作图可知是的边的垂直平分线，则有，，即，然后通过的周长为，则有，再代入即可求解，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 解：由作图步骤可得是的边的垂直平分线， ∴，，即， ∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为， 故选：． 【变式2】（20-21八年级上·北京平谷·期末）在△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以A，C为圆心，以大于的同样长为半径画弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点D，连结CD． 请回答：若BC=DC，∠B=100°，则∠ACB的度数为 ． 【答案】30° 【分析】依据等腰三角形的性质，即可得到∠BDC的度数，再根据线段垂直平分线的性质，即可得出∠A的度数，进而得到∠ACB的度数． 解：根据题意，如图： ∵BC=DC，∠ABC=100°， ∴∠BDC=∠CBD=180°100°=80°， 根据题意得：MN是AC的垂直平分线， ∴CD=AD， ∴∠ACD=∠A， ∴∠A=， ∴∠ACB=∠CBD∠A=80°50°=30°． 故答案为：30°． 【点拨】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．解题时注意线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 【题型6】尺规作图——作垂线与求值证明 【例题6】 （24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，是的角平分线． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点E、G、F，连接．（保留作图痕迹，不要求写作法）． （2）在（1）问的条件下，求证：． 证明：是的角平分线， ① 垂直平分， 即，， ② ， ∴③ ， ④ ， ， 在和中， ∴， ∴． 【答案】（1）作图见分析；（2）见分析 【分析】本题考查基本作图—作已知线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据基本作图—作已知线段的垂直平分线作出图形即可； （2）根据证明，推出，可得结论． 解：（1）解：如图，作图如下： （2）证明：是的角平分线， ①， 垂直平分， 即，， ②， ∴③， ④， ， 在和中， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）如图，点D是线段上一点，阅读以下作图步骤： （1）以点D为圆心，长为半径作弧，交于点M； （2）分别以B，M为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点N，作射线； （3）以D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连接； （4）连接，分别以E，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点P，Q，作直线交于F，连接． 根据以上作图步骤，判断下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D．的周长等于线段的长 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图、垂直平分线的性质，熟练掌握尺规作垂线的步骤是解题的关键．根据作图步骤可得，，点F在的垂直平分线上，得到，的周长，再结合选项分析即可得出答案． 解：由步骤（1）（2）可得， 由步骤（3）可得， 由步骤（4）可得点F在的垂直平分线上，则， ∴的周长， 由作图步骤无法判断， 结合选项可得，A、B、D选项的结论正确，不符合题意；C选项的结论不一定正确，符合题意； 故选：C． 【变式2】（2024·江苏南京·一模）如图，四边形是矩形，根据尺规作图痕迹，计算的大小为 ． 【答案】58 【分析】本题考查矩形的性质，尺规作角平分线，作垂线，利用矩形的性质，中垂线和角平分线和三角形的内角和定理，进行求解即可． 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由作图可知：，， ∴， ∴； 故答案为：58． 知识点（二）角平分线 1.定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线. 2.性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 图5 数学语言：为的角平分线（如图5），,, （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. 证明：为的角平分线， 又,, 在和中 （） 特别注意：解题过程中，学生容易漏掉“,”这个条件。 【题型7】利用角平分线性质求值 【例题7】 （24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在中，，，是的角平分线，于点E． （1）求的度数； （2）若，求 【答案】（1）；（2）27 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、直角三角形的两个锐角互余、角平分线的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键； （1）先根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，最后利用直角三角形的性质即可求解； （2）作于点F，如图，根据角平分线的性质可得，然后根据求解即可． 解：（1）解：∵在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴； （2）解：作于点F，如图， ∵是的角平分线，于点E， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·广西桂林·期中）如图，的周长是，，分别平分和，于，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的面积，角平分线的性质，过作于，于，连接，由角平分线的性质推出，由三角形的面积公式得到，代入数据计算即可．解题的关键是由角平分线的性质推出． 解：如图，过作于，于，连接， ∵，分别平分和，于， ∴，， ∵的周长是， ∴， ∴ ， 即的面积为． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，已知的周长是，，分别平分和，于点，且，的面积是 ． 【答案】42 【分析】本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的求法，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键． 根据角平分线的性质可得，从而可得到的面积等于周长的一半乘以2，代入求出即可． 解：如下图，连接，过作于，于， 、分别平分和， ∴是的平分线， ∵，， ∴， 的周长是， ， 故答案为：． 【题型8】利用角平分线性质证明 【例题8】 （24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，是内部的一条射线，点D在上，连接、，，过点P作，，M，N分别是垂足，且，求证：平分． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解题关键； 先由角平分线的性质定理得到，再证明，得到，即可证明结论． 解：证明：，，， 为的角平分线， ， ， 在和中， ， ， 平分． 【变式8】（24-25八年级上·江西上饶·期中）如图，已知平分，于，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的是（） A．①③④ B．①②③ C．②③ D．①②④ 【答案】B 【分析】此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明、是解题的关键．作交的延长线于点，则，，即可证明，得，所以，可推导出，则，可判断①正确；证明，得，，可判断③正确；由，得，所以，可判断②正确；由，，，可推导出，可判断④错误，于是得到问题的答案． 解：如图，作交的延长线于点， 平分，于， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故①正确； 在和中， ， ， ，， 故③正确； ， ， ， 故②正确； ，，， ， 故④错误， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）如图，是的角平分线，、分别是和的高，连接交于点．给出下列结论：①垂直平分；②垂直平分；③平分；④当时，是等边三角形．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】根据角平分线性质求出，证明得，再逐个判断即可． 解：∵是的角平分线，、分别是和的高， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴平分，故结论③正确； ∵，， ∴垂直平分，故结论①正确，结论②错误； ∵，， ∴是等边三角形，故结论④正确． 故答案为：①③④． 【点拨】本题考查角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，垂直平分线的判定，等边三角形的判定，能证明是解题的关键． 3.判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 数学语言：（如图5），点在内部，,, 为的角平分线（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上） 证明：,, 在和中 （） 【题型9】利用角平分线判定求值 【例题9】 （24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，，，平分交于点E，连接，若点E是边的中点，求的度数． 【答案】 【分析】过点E作于点F，利用角的平分线的性质和判定解答即可． 本题考查了角的平分线的性质和判定，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 解：如解图，过点E作于点F， ∵，平分， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·山西运城·阶段练习）如图，在中，，，点为上一点，连接，于点，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 利用三角形的内角关系求出的度数，再利用角平分线的判定方法判定出平分，即可求解． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴平分， ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知：四边形中，对角线平分，，，并且，那么的度数为 ． 【答案】/31度 【分析】延长和，过点作于点，过点作于点，根据是的平分线可得出，故，过点作于点，可得出，从而，进而得出为的平分线，得出，再根据即可得出结论． 本题考查了角平分线的性质和判定，以及三角形的全等和三角形的内角和定理，注意知识点的综合运用． 解：延长和，过点作于点，过点作于点， 是的平分线， 在与中， ， ， ， 又， ， ， 为的平分线， 过点作于点， ∵， ． ∴， 为的平分线， ∵， ， 在中，，， ， ， ， ． 故答案为：． 【题型10】利用角平分线判定证明 【例题10】 （24-25七年级下·福建福州·期末）如图，点E在的平分线上，过点E作于点F，于点G，且． （1）求证：是的平分线： （2）求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】此题考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）过点E作于点H，根据角平分线的性质定理和判定定理求解即可； （2）证明出，得到，同理可得，进而求解即可． 解：（1）过点E作于点H 点E在的平分线上， ， ， ． 又 是的平分线． （2）， 在和中 ， 同理可得， ． 【变式1】（24-25八年级下·江西吉安·阶段练习）如图，在中，的外角平分线与的外角平分线相交于点．则下列结论正确的是（　　） A．点平分 B．平分 C．平分 D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，解题的关键是熟知角平分线上的点到角两边的距离相等． 过点分别作的垂线，垂足分别为，然后根据角平分线的性质和判定即可求解． 解：过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵外角的平分线相交于点， ∴，， ∴， ∴点在平分线上， ∴平分， 故选：． 【变式2】（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，中，，于点．于点，且，则下列结论中正确的有 ． ①平分；②；③；④．    【答案】①②③ 【分析】根据角平分线的判定定理，得平分，根据三线合一得出其它相应结论． 解：∵于点．于点，且， ∴平分；故①正确； ∵，平分， ∴；；故②③正确； 由题目已知条件无法得证； 故答案为：①②③ 【点拨】本题考查角平分线的判定，等腰三角形三线合一性质；理解等腰三角形三线合一性质是解题的关键． 4.尺规作图：以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两点；分别以这两个交点为圆心，以大于这两点间距离一半的长为半径画弧，在角的内部交于一点；过角的顶点和这个交点作射线，这条射线就是该角的平分线. 图6 特别注意：（1）作图中 “半径大于线段一半”、角平分线作图中 “在角内部交于一点” 不然就没有交点。​ （2） 角平分线作图和垂直平分线作图题是中考常考点. 【题型11】尺规作图——作角平分线求值 【例题11】 （24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）尺规作图（用无刻度直尺和圆规绘制几何图形）是一种古老而重要的几何作图技术，在现代科学研究中仍然发挥着重要的作用．用尺规作已知角的平分线是其中的一种基本作图． （1）如图1，由尺规作图痕迹，可推导出，继而得到，其中三角形全等的依据是________（单选题）； A．           B．        C．           D． （2）如图2，在射线上任取一点C，作，在射线上截取一点M，使，作射线．根据以上步骤，请说明是的平分线； 【答案】（1）B；（2）见分析 【分析】本题考查角平分线的作图，平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质． （1）根据，可由证明两个三角形全等； （2）根据作图可得：，，根据等腰三角形的性质和外角的性质可得，从而得证． 解：（1）解：根据作图可得：， ， ， ， 射线就是的平分线， 用到的三角形全等的判定方法是， 故选：． （2）解：根据作图可得：， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， 射线就是的平分线． 【变式1】（2025·内蒙古·中考真题）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，熟练掌握角平分线的作法和平行线的性质是解题的关键．由作图可知，结合，求出，再利用平行线的性质即可求解， 解：由作图可知， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，与角平分线有关的三角形的内角和问题，由作图可知，平分，根据三角形的内角和定理，高线的定义，求出，的度数，再根据角平分线的定义和角的和差关系求出的度数即可． 解：∵， ∴， 由作图可知，平分， ∴， ∵为的高， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【题型12】尺规作图——作垂直平分线与角平分线求值 【例题12】（24-25八年级下·江西九江·期中）在中，小明利用尺规作了如图①所示的痕迹． （1）观察图①中的尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的______，射线是的______； （2）在图①中过点E作的垂线，垂足为G，如图②，若，求的面积． 【答案】（1）垂直平分线，角平分线；（2）2 【分析】本题考查了垂直平分线，角的平分线基本作图，角的平分线的性质，熟练掌握这些知识点是解题关键． （1）根据基本作图，可知，直线是线段的垂直平分线，射线是的角的平分线． （2）过点E作于点M，根据角的平分线性质，得，根据三角形面积公式解答即可． 解：（1）解：根据基本作图，可知，直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线， 故答案为：垂直平分线，角平分线； （2）解：过点E作于点M，如图． 因为射线是的平分线，， 所以， 所以． 【变式1】 （24-25七年级下·四川眉山·期末）如图，在中，，，按以下步骤作图：①分别以、两点为圆心，相同长（大于线段长的一半）为半径作弧，两弧分别交于点、；②作直线；③以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边、于点、；④分别以点、为圆心，相同长（大于长的一半）为半径作弧，两弧相交于点；⑤作射线，交于点，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图、角平分线的性质、中垂线的性质、三角形的内角和定理等知识点，熟悉掌握角平分线、中垂线的性质是解题的关键．根据三角形的内角和定理，得到，根据作图步骤，为角平分线，为的中垂线，所以，，最后根据三角形的内角和定理求解即可． 解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：． 【变式2】（23-24八年级下·浙江丽水·期末）如图，是矩形的一条对角线，，依据尺规作图的痕迹，与的交点为，则的度数是 （用α的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了作图—基本作图，角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、矩形的性质，设与交于点，由作图可得：平分，垂直平分，从而得出，，由矩形的性质得出，推出，即可得解． 解：如图，设与交于点， 由作图可得：平分，垂直平分， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 二．同步练习​ 1. 基础夯实（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于50，则的长是（   ）    A．22 B．23 C．32 D．33 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得到，再由三角形周长计算公式可得，进而可得，据此可得答案． 解：解；∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∵的周长等于50， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级下·山东淄博·期末）已知：在中，为的平分线．已知，，，则的长为（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查角平分线性质求线段长，过点作，，如图所示，由角平分线性质得到，由三角形面积公式分别由两种方法表示，进而由化简得到，代值求解即可得到答案．掌握角平分线性质，得到是解决问题的关键． 解：过点作，，如图所示： 为的平分线， ， ， 和若以上的线段为边，则高相等，设高为， ， ， ，即， ，，， ，解得， 故选：A． 3．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，分别以、为圆心，大于的长为半径在两侧作弧，两弧相交于点、，作直线分别交于边，于点、，连接，若的长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，由作图可知直线是线段的垂直平分线，进而由线段垂直平分线的性质即可求解，掌握线段垂直平分线的作法是解题的关键． 解：由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ∴， 故选：． 4．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，交于点F，分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，点T在射线上，过点T作，垂足分别为M，N，点G，H分别在边上，．若，则的值为（  ） A．12 B．8 C． D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图——角平分线，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据条件分别证明，，得出对应边相等，利用线段的和差求解即可． 解：根据尺规作图的操作可得，为的角平分线，且， ∴，， ∵，， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．若的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线上的点到两边距离相等．根据是的垂直平分线，是的垂直平分线，可得，，根据的周长，即可求解． 解：边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点， ，， 的周长为12cm， ， ， 故选：B． 6．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为（       ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出全等三角形并理解线段垂直平分线的性质是解题关键．由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得． 解：为的中点， ， ， ，， 在与中， ， ， ，， ， ，， ， 故选：C． 二、填空题 7．（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，已知，，以A，B两点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线与相交于点D，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，根据题意，得到是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长计算公式求解即可． 解：由题意得是的垂直平分线， ， ， 的周长． 故答案为：． 8．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）如图，在△ABC中，，边AC的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则的度数为 ．    【答案】 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质可得，进而可得，由等腰三角形的性质可得，由外角的性质和三角形内角和定理可求解． 解：如图，连接，    ∵边的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的性质是本题的关键． 9．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）如图，是的平分线，于点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并列出方程是解题的关键．过点作于点，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，再根据列方程计算即可得解． 解：如图，过点作于点， 为的平分线，，， ， ， ， 即， 解得 ． 故答案为：． 10．（24-25九年级下·吉林·期中）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧，交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接，交于点E．若的周长为21，，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，线段垂直平分线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 根据尺规作图可知，垂直平分线段，利用线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式进行求解即可 解：根据尺规作图可知，垂直平分线段 ∵的周长为21， 故答案为：12． 11．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，垂直平分，点是直线上的任意一点，则的最小值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，明确线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 由线段垂直平分线的性质可得，可得当点A，M，B在一条直线上时，有最小值，最小值为的长． 解：如图，连接， 因为垂直平分， 所以， 所以， 所以当点，，三点共线时，有最小值，最小值是， 故答案为：8 12．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，是的角平分线，若，，则点到的距离是 ． 【答案】2 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出结果． 解：∵， ∴的长为点到的距离， ∵是的角平分线， ∴点到的距离等于点到的距离，即为的长， ∵， ∴点到的距离等于2； 故答案为：2． 三、解答题 13．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，在中，，，是上一点，且． （1）尺规作图：过点作的垂线，交于点．（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母；如果完成有困难，可画出草图后解答第（2）题）． （2）求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了作图、全等三角形的性质与判定： （1）利用过直线上一点作直线高的方法作图即可； （2）连接，先证明，得出，再利用线段的和差即可证明． 解：（1）解：如解图，即为所求．         （2）证明：如解图，连接． 由（1），得． ．         ， ．     ． 在和中， ， 又 14．（20-21八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，于点A，于点F，若．求证： （1）平分； （2）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）证推出即可求证； （2）证即可求解． 解：（1）证明：∵于点A，于点F， ∴ ∴． ∴． ∵，，， ∴平分． （2）解：∵平分， ∴ ∴． ∵， ∴． ∵， ∴ 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的证明．熟记相关几何结论进行推理是解题关键． 15．（2025·山东威海·模拟预测）如图，已知中，在上有一点，连接，并延长至点E，使． （1）画图：作的平分线交于点（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据尺规作角平分线即可； （2）根据题意证明，即可求解． 解：（1）解：如图，即为所求； （2）证明：∵， ∴， 由（1）知：平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 16．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期中）如图，在中，的角平分线交于D． （1）若，求的度数； （2）过点D作于点E，过点D作于点F，若，，求的面积． 【答案】（1）；（2）的面积是12 【分析】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出解答． （1）根据三角形内角和定理得出，进而利用角平分线的定义得出即可； （2）根据角平分线的性质得出，进而利用三角形面积公式解答即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∵的角平分线交于D， ∴， ∴； （2）∵，，的角平分线交于D， ∴， ∴的面积． 2.能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题） 一、单选题 1．（2025·安徽合肥·二模）如图，在中，，分别为边，上的高，，相交于点，，连接，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】C 【分析】延长交于，先利用证明，得出，可判断A正确；由，得出，再由三角形外角的性质，可判断C错误；由，得出，得出，可判断B正确；由，可证明垂直平分，得出，可判断D正确；进而可以解决问题． 解：如图，延长交于， ∵分别为边上的高， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，故A正确； ， ， ， ，故C错误； ， ， ∴， ∴，故B正确； ， ， ， ， ∴垂直平分， ∴，故D正确； 故选：C． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，得到是解决问题的关键． 2．（2025·安徽阜阳·三模）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点在上，点在上，与相交于点，以A，B为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点P，Q，作直线交直线于点，连接．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质，结合角平分线的定义进行求解即可． 解：由题意知，是的垂直平分线， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故选B． 3．（24-25七年级下·广东深圳·期末）在中，，和的平分线相交于，于点，的面积是，的面积是，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点作，，连接，由角平分线性质可得，然后通过，，则，由，则，最后代入求值即可，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 解：如图，过点作，，连接， ∵和的平分线相交于，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在中，，平分，，，垂足分别为E，F，已知，．求阴影部分面积为（　　）      A．12 B．24 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．在上取点G，使得，连结，根据角平分线的性质定理证明，得到，再证明，即可根据三角形面积公式求解． 解：在上取点G，使得，连结， ，，， ， ， 平分，，， ，， ， ，，， ， ， ， ， 即阴影部分面积为12． 故选：A． 5．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由尺规作图的痕迹可得，平分，根据同角的余角相等，角平分线的性质，由于不是的垂直平分线，不能证明解答即可． 解：根据基本作图，得平分，故， 故C选项正确，不符合题意； 根据基本作图，得， 故， 故A选项正确，不符合题意； 根据题意，得， 故D选项正确，不符合题意； 无法证明，故无法证明， 故B选项错误，符合题意； 故选：B． 【点拨】本题考查了角的平分线的基本作图，垂线的基本作图，角的平分线的性质定理，余角的性质，熟练掌握性质，正确理解作图是解题的关键． 6．（2025·湖南·模拟预测）如图，在平行四边形中，，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点P，作射线，交于点G，交的延长线于点H．若，，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了作图-基本作图，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由作图过程可知平分，得到，在平行四边形中，，，得到，得出，得到，继而得到，即可得到答案． 解：由作图过程可知平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 7．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，于点D，且．若， ，则的周长为 【答案】32 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．连结，设，根据线段垂直平分线的性质可逐步求得，，，再计算，即可求得答案． 解：连结， 设，则，， 垂直平分， ，， ，， ， ， 的周长为． 故答案为：32． 8．（24-25七年级下·江西景德镇·期末）如图所示，线段，的垂直平分线相交于点O．若，则 ． 【答案】/64度 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，解题的关键是正确作出辅助线． 由线段垂直平分线的性质，可得线段长度相等，从而可得角相等，根据三角形外角的性质，进行角之间的运算即可． 解：如图，连接并延长，点为延长线上的一点， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴ ∴， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知在中，点E在边上，垂直平分，垂足为点F，如果，，那么 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得，再由线段和差可得结论． 解：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 10．（2025·山东德州·一模）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，和交于点O；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D；③分别以点D，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接，和相交于点N，连接．若，，则的长为 ． 【答案】2.5 【分析】本题考查作图基本作图，三角形中位线定理，线段的垂直平分线的性质等知识，利用三角形中位线定理以及线段的垂直平分线的性质求解． 解：由作图可知垂直平分线段，平分，， ，， ， ，， ， ． 故答案为：． 11．（2023·山东青岛·一模）如图，在等腰中，，，的平分线与的中垂线交于点，点沿折叠后与点重合，则的度数是 度． 【答案】 【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出，求出即可解决问题． 解：如图，连接， ∵等腰中，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 又∵是的中垂线， ∴ ∴， ∴， ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴ ∵点沿折叠后与点重合， ∴垂直平分线段， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了折叠问题，三角形的内角和定理，中垂线及等腰三角形的性质，解题的关键是能正确作出辅助线． 12．（24-25七年级下·四川遂宁·期末）如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，以小于长为半径作弧，分别交 于点； ②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点； ③作射线，交于点， 若，则 ． 【答案】65 【分析】本题考查了角平分线的定义、尺规作图、三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由三角内角和定理可得，由尺规作图可得平分，即，然后根据三角形外角的性质求解即可． 解：如图，在中，，， ∴ 由作图可得：平分，即， ∴． 故答案为：65． 三、解答题 13．（24-25七年级下·全国·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键． （1）由垂直平分线的性质可得，，即可得到结论； （2）由题意可得，再结合，求解即可． 解：（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ． 14．（24-25八年级下·内蒙古包头·期中）如图，在中，，是边的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接，且平分． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边对等角、直角三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角结合角平分线的定义可得，再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）由直角三角形的性质得出，从而可得，即可得解． 解：（1）解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴． 15．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，根据尺规作图的痕迹进行作答： （1）根据尺规作图可知：是的__________；（填“中线”“高线”或“角平分线”） （2）若，点B到边的距离是，求的面积． 【答案】（1）中线；（2） 【分析】本题考查了尺规作图——垂线，三角形的中线，点到直线的距离，根据作图的痕迹得出所作线段垂直平分是解题关键． （1）根据尺规作图求解即可； （2）过B作，垂足为H，先求出，再根据三角形的中线求解即可． 解：（1）解：由作图的痕迹可知，所作线段垂直平分， 则点是的中点， 是的中线， 故答案为：中线 （2）解：如图，过B作，垂足为H， 点B到边的距离是， ， ， 是边上的中线， ． 16．（2018·福建龙岩·一模）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接． （1）若，则的度数是 度； （2）若，的周长是． ①求的长度； ②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可求解； （）①根据线段垂直平分线的性质可得，然后求出的周长，再代入数据进行计算即可得解；②当点与重合时，周长的值最小，据此解答即可求解； 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的三边关系掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵，的周长是， ∴； ②当点与重合时，周长的值最小， 理由：∵，， ∴与重合时，，此时最小， ∴周长的最小值． 3. 直通中考（5题） 一、单选题 1．（2025·四川达州·中考真题）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ）    A．21 B．14 C．13 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴的周长， 故选：C． 2．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长为， 故选：C． 3．（2023·贵州·中考真题）如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接并延长交于点G．则的长是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先根据作图过程判断平分，根据平行线的性质和角平分线的定义可得，进而可得，由此可解． 解：由作图过程可知平分， ， ， ， ， ， ， 故选A． 【点拨】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是根据作图过程判断出平分． 二、填空题 4．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是轴对称—最短路线问题，直角三角形的性质，角平分线的性质，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值，再根据是的平分线可知，再含30度角的直角三角形的性质即可得出结论． 解：如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值． 是的平分线， ， 是点到直线的最短距离（垂线段最短）， ， ． 的最小值是， 故答案为：． 5．（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知平分，根据角平分线的性质可知，结合求出，． 解：作图可知平分， ∵是边上的高，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$