第一章 空间向量与立体几何（知识清单）数学人教A版2019选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 清单01空间向量的加法、减法运算 1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即 4、空间向量的加法运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 清单02空间向量的数乘运算 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2：数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 清单03共线向量与共面向量 1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点： （1）零向量和空间任一向量是共线向量． （2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）． 2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 2.1共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作： 2.2拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 3.1共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 3.2空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 3.3拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 清单04空间两个向量的夹角 1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2、范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． 清单05空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3、向量的投影 3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． 3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 清单06空间向量基本定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 清单07空间向量运算的坐标表示 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 清单08空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了. 2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 4、两点间的距离公式 已知，则 清单09空间中直线、平面的平行 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 清单10空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 清单11点到线面距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 清单11用向量法求空间角 1、用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 2、用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 3、用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 易错点1 混淆异面直线所成角和向量的夹角 错误：易忽略异面直线夹角的范围为，而向量的夹角是 注意：注意向量法求异面直线所成角最后要考虑异面直线所成角范围 例题1-1如图，四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，点E为SC中点，，则异面直线EB与AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以D为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，求出、，再由向量的夹角公式计算可得答案. 【详解】因为平面，底面是正方形， 故以D为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，， 因为点E为SC中点，所以， 所以，， 设异面直线EB与AC所成角为， 则. 故选：A. 例题1-2在正四面体中，点M在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】在正方体中构造出正四面体，建立空间直角坐标系.设正方体边长为，求出向量和的坐标，根据向量法即可求解. 【详解】如图，在正方体中构造出正四面体，建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体边长为.因为， ∴，，，， ∴，， ， ∴异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 易错点2 混淆线面角与向量夹角关系 错误：若直线与平面所成的角为,直线的方向向量为,平面的法向量为,则。 容易出错的是：①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角;②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦,而忘了加绝对值③不清楚线面角的范围。 注意：线面角向量法公式中最后形式是正弦，注意公式中最后形式。 例题2-1若直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则l与α所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线l的方向向量与平面的法向量的夹角后可得. 【详解】由已知，，所以l与α所成的角为， 故选：A. 例题2-2正三棱锥的侧面都是直角三角形，E，F分别是棱，的中点，则与平面所成角的正弦值为 ． 【答案】 【分析】由已知可得两两垂直，设.以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，得到各点的坐标，通过向量求出平面的一个法向量，进而通过向量即可求出结果. 【详解】由已知可得，两两垂直，且. 设，由已知可得，，. 如图，连结.以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，如图建立空间直角坐标系. 则，，，，，，，，. 设是平面的一个法向量， 则，则，取，则. 所以， 与平面所成角的正弦值为. 故答案为：. 易错点3 混淆两个平面夹角与二面角平面角关系 错误：若两个平面的法向量分别为,若两个平面所成的锐二面角为,则;若两个平面所成二面角为钝角,则 两个平面的夹角范围：，二面角的平面角范围： 注意：两个平面的夹角范围：，二面角的平面角范围：，注意区分角的范围 例题3-1在空间中，已知平面的一个法向量和平面上一点，平面上任意一点的坐标满足的关系式为．则该方程称为这个平面的方程，若两平面的方程分别为和，则这两平面的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定两个平面的法向量，根据向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】因为两个平面的方程为和， 由题意可得，两个平面的法向量分别为， 故两平面夹角的余弦值为. 故选：D. 例题3-2已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】两平面所成的二面角的平面角与两平面的法向量所成的角相等或互补. 【详解】设两平面所成的二面角的平面角为，则. ,     或. 故选：C. 1．在正四棱台中，，，且该正四棱台的体积为28，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设该正四棱台的高为，上底面与下底面的中心分别为，，连接，由题知，得.由正四棱台的性质知平面， 以为坐标原点，过点分别与平行的直线为轴，轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，， 所以，，， 故异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 2．如图，在长方体中，，则异面直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算求解异面直线所成角得余弦值即可. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系， 则，， 故异面直线和夹角的余弦值为. 故选：B. 3．已知直线的方向向量与直线的方向向量，则直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与直线的夹角与两直线的方向向量的夹角关系，结合向量夹角公式求结论. 【详解】设直线与所成的角为， 因为，， 所以. 所以直线和所成角的余弦值为. 故选：C. 4．如图，已知在长方体中，，点E在棱上，且，则直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，进而得到向量和的坐标，再利用向量的夹角公式求出两向量夹角的余弦值，由于异面直线所成角的范围是，所以取其绝对值即为异面直线所成角的余弦值． 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系． 已知，，则，． 所以，，． 因为点在棱上，且，，所以，，则． 所以，． 根据向量的夹角公式． 先计算． ． ． 则． 因为异面直线所成角的范围是，所以直线与直线所成角的余弦值为． 直线与直线所成角的余弦值为． 故选：C． 5．如图，在三棱锥中，，且，，两两垂直，M，N分别为，的中点，则异面直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过已知条件建立空间直角坐标系，求出向量和的坐标，再利用向量夹角余弦值公式计算异面直线和夹角的余弦值. 【详解】因为，，两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 已知，则，，，. 因为为的中点，根据中点坐标公式可得点坐标为. 又因为为的中点，所以.   由坐标可得. .   先计算. 再计算，. 所以. 但异面直线夹角范围是，所以异面直线和夹角的余弦值为. 故选：D. 6．如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由面面垂直的性质定理结合题意可证得，，两两垂直，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别表示出，，再由异面直线所成角的向量公式代入即可得出答案. 【详解】取的中点，连接，，因为，所以． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面．又，所以， 可得，，两两垂直，所以以为坐标原点， ，，的方向分别为，，轴的正方向， 建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，，所以， ， 所以， 又异面直线所成角的取值范围为， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故选：C. 7．若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与平面所成角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值即可求解. 【详解】设向量与向量的夹角为，根据两向量夹角余弦值的公式可得： ， 则, 直线与平面所成角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值， 因此直线与平面所成角的余弦值为. 故选：D. 8.如图，在正方体中，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方体的棱长为，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值即可. 【详解】 设正方体的棱长为，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，所以，令，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：. 9．已知向量，分别是直线和平面的方向向量和法向量，若，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线面角、方向向量与法向量的夹角的关系求解. 【详解】设l与所成的角为，则. 因为，所以. 故选：A. 10．如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且．当MN的长最小时，二面角的平面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得的长及最小值，求出平面与平面的法向量，然后利用向量法求解二面角的平面角的余弦值即可. 【详解】由题意两个边长均为1的正方形与正方形所在的平面互相垂直. 可得， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 在平面上，直线方程为，可设， 在平面上直线方程为，设，因此得， 由得， 则，所以， 当且仅当时，取得最小值，此时分别是的中点， ，，，，， 设平面的一个法向量， 则，取得， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 所以，由图可知，二面角的平面角为钝角. 所以二面角的平面角的余弦值为. 故选：A 11．已知两平面的法向量分别为，，则两平面的夹角为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】通过向量夹角公式求出两平面法向量的夹角，再根据两平面夹角与法向量夹角的关系求出两平面的夹角. 【详解】因为两平面的法向量分别为，. 又，，. 所以. 所以两平面的夹角为. 故选：A. 12．如图，在正方体ABEF­DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，则平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值为（    ）    A．－ B． C．－ D． 【答案】B 【分析】法一：先利用二面角平面角的定义，在两个半平面内分别找到与二面角的棱垂直的两条直线，将问题转化为求两直线方向向量的夹角即可； 法二：直接转化为求两平面的法向量的夹角即可. 【详解】设正方体棱长为1，以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系B­xyz，则M ，N，. 解法一  取MN的中点G，连接BG，AG， 则G. 因为为等腰三角形，所以AG⊥MN，BG⊥MN，故∠AGB为两平面夹角或其补角． 又因为，， 所以，， 设平面MNA与平面MNB的夹角为θ， 则. 故所求两平面夹角的余弦值为.    解法二  设平面AMN的法向量 由于， ， 则，即， 令x＝1，解得y＝1，z＝1，于是， 同理可求得平面BMN的一个法向量 . 所以 ， 设平面MNA与平面MNB的夹角为θ， 则. 故所求两平面夹角的余弦值为. 故选：B. 13．已知平面与平面的法向量分别为与，平面与平面相交，形成四个二面角，约定：在这四个二面角中不大于的二面角称为两个平面的夹角，用表示这两个平面的夹角，且，如图，在棱长为2 的正方体中，点为棱的中点，为棱的中点，则平面与平面的夹角的余弦值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，写出，，点的坐标，分别求出平面和平面的法向量，再根据两个平面的夹角公式直接计算出结果即可. 【详解】以为坐标原点， 为轴，为轴，为轴，可得，，，所以，， 设平面的法向量为，则有，得，令， 所以，因为平面的法向量是，所以， 故选：B.    14．已知矩形ABCD，，，将沿AC折起到的位置若，则二面角平面角的余弦值的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作，垂足分别为，过点作交于点，可得即为二面角的平面角，再根据，两边平方求出，即可得解. 【详解】解：作，垂足分别为，过点作交于点，则， 所以即为二面角的平面角， 由矩形ABCD，可得， 则，所以， 因为， 所以， 即， 所以， 因为， 所以. 所以二面角平面角的余弦值的大小为. 故选：C. 15．如图，在四棱台体中，平面，底面为正方形，，则该四棱台的体积 ，直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】 【分析】（1）运用台体体积公式计算即可； （2）借助空间直角坐标系，求出关键点坐标，借助向量夹角公式计算即可. 【详解】（1）运用台体体积公式计算，. （2）建立如图空间直角坐标系，则，， 所以. 设平面的法向量为，则取， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 16.在正方体中，直线与平面所成角的大小为 ． 【答案】/ 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的大小. 【详解】解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，则、、、， ，，设平面的法向量为， 由，取，可得， ，， 因此，直线与平面所成角的大小为. 故答案为：. 17．如图，在三棱锥中，，，，则与平面所成角的大小是 ；与平面所成角的正弦值是 ． 【答案】 / 【分析】设，取的中点，连接、，证明出平面，，可得出与平面所成角的大小，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得与平面所成角的正弦值. 【详解】设，则，取的中点，连接、， ，， 所以，、均是边长为的等边三角形，所以，， ，，故是等腰直角三角形， 为的中点，则，且，同理可得，且， ，平面， ，，，平面， 所以，直线与平面所成的角为， 易知为等腰直角三角形，且， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、， 设平面的法向量为，，， 由得，取，可得， ，. 因此，与平面所成角的正弦值为. 故答案为：；. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 空间向量与立体几何 清单01空间向量的加法、减法运算 1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即 4、空间向量的加法运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 清单02空间向量的数乘运算 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2：数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向 ，其方向是 与向量的方向 清单03共线向量与共面向量 1、 共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相 ，则这些向量 叫做 或 ，若与是共线向量，则记为 在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点： （1）零向量和空间 是共线向量． （2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）． 2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是 ，使 2.1共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作： 2.2拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 3.1共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 3.2空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 3.3拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是 （其中 ）． 清单04空间两个向量的夹角 1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记 .（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2、范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相 ，记作 ． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量 ，夹角为 ；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． 清单05空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则 叫做，的数量积，记作；即 ．规定：零向量与任何向量的数量积都为 . 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3、向量的投影 3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． 3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影 的乘积或等于的长度与在方向上的投影 的乘积. 清单06空间向量基本定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 清单07空间向量运算的坐标表示 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 清单08空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了. 2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 4、两点间的距离公式 已知，则 清单09空间中直线、平面的平行 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔ () 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 清单10空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔ ⇔ 线面垂直 ⇔⇔ ⇔ 面面垂直 ⇔⇔ ⇔ 清单11点到线面距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 清单11用向量法求空间角 1、用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ② . 2、用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ② .（注意此公式中最后的形式是：） 3、用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则 ； 若二面角为顿二面角（取负），则 ； 易错点1 混淆异面直线所成角和向量的夹角 错误：易忽略异面直线夹角的范围为，而向量的夹角是 注意：注意向量法求异面直线所成角最后要考虑异面直线所成角范围 例题1-1 如图，四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，点E为SC中点，，则异面直线EB与AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 例题1-2在正四面体中，点M在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为 . 易错点2 混淆线面角与向量夹角关系 错误：若直线与平面所成的角为,直线的方向向量为,平面的法向量为,则。 容易出错的是：①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角;②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦,而忘了加绝对值③不清楚线面角的范围。 注意：线面角向量法公式中最后形式是正弦，注意公式中最后形式。 例题2-1 若直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则l与α所成的角为（   ） A． B． C． D． 例题2-2正三棱锥的侧面都是直角三角形，E，F分别是棱，的中点，则与平面所成角的正弦值为 ． 易错点3 混淆两个平面夹角与二面角平面角关系 错误：若两个平面的法向量分别为,若两个平面所成的锐二面角为,则;若两个平面所成二面角为钝角,则 两个平面的夹角范围：，二面角的平面角范围： 注意：两个平面的夹角范围：，二面角的平面角范围：，注意区分角的范围 例题3-1 在空间中，已知平面的一个法向量和平面上一点，平面上任意一点的坐标满足的关系式为．则该方程称为这个平面的方程，若两平面的方程分别为和，则这两平面的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 例题3-2已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为（    ） A． B． C．或 D． 1．在正四棱台中，，，且该正四棱台的体积为28，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在长方体中，，则异面直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．已知直线的方向向量与直线的方向向量，则直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知在长方体中，，点E在棱上，且，则直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在三棱锥中，，且，，两两垂直，M，N分别为，的中点，则异面直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 8.如图，在正方体中，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 9．已知向量，分别是直线和平面的方向向量和法向量，若，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 10．如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且．当MN的长最小时，二面角的平面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 11．已知两平面的法向量分别为，，则两平面的夹角为（ ） A． B． C．或 D． 12．如图，在正方体ABEF­DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，则平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值为（    ）    A．－ B． C．－ D． 13．已知平面与平面的法向量分别为与，平面与平面相交，形成四个二面角，约定：在这四个二面角中不大于的二面角称为两个平面的夹角，用表示这两个平面的夹角，且，如图，在棱长为2 的正方体中，点为棱的中点，为棱的中点，则平面与平面的夹角的余弦值为（    ）      A． B． C． D． 14．已知矩形ABCD，，，将沿AC折起到的位置若，则二面角平面角的余弦值的大小为（    ） A． B． C． D． 15．如图，在四棱台体中，平面，底面为正方形，，则该四棱台的体积 ，直线与平面所成角的正弦值为 . 16.在正方体中，直线与平面所成角的大小为 ． 17．如图，在三棱锥中，，，，则与平面所成角的大小是 ；与平面所成角的正弦值是 ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$