第1章 集合与逻辑（知识清单）数学沪教版2020必修第一册

第一章 集合与逻辑 清单01 集合的含义 集合是一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做 ，简称 ，其中各事物叫做集合的 或简称 ，是具有某种特定性质的事物的总体．集合通常用大写字母 表示.集合的元素通常用小写字母 表示. 清单02 元素与集合 1、元素与集合的关系： 一般地，我们把研究对象称为 ，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母 ，集合一般用大写字母 表示，两者之间的关系是 与 关系，符号表示如：a∈A或a∉A． 2、集合中元素的三大特征： （1） ：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2） （考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3） ：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 3.集合相等 若，且，则. ①若，且，则. ②欲证，只需证，且. 清单03 集合的表示方法 1.常用数集及其记法 ①自然数集 （包含和正整数） ②正整数集 ③整数集 ④有理数集 ⑤实数集 2.集合的表示方法 将集合中的元素 （不考虑元素的顺序），并且写在 ，这种表示集合的方法叫做 ，例如，方程的解的集合，可表示为，也可表示为 在大括号内先写出这个集合的 ，再划一条 ，在竖线后面写上集合中元素所 ，即：（集合中的元素都具有性质，而且凡具有性质的元素都在集合中），这种表示集合的方法叫做 ．例如，方程的解的集合可表示为． 集合可以用封闭的图形或数轴表示，有限集一般用文氏图表示，无限集一般用数轴表示． 区间：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成 的集合．为了方便起见，我们引入区间（ｉｎｔｅｒｖａｌ）的概念． 闭区间在数轴上表示 开区间在数轴上表示 半开半闭区间在数轴上表示 这里的实数a,b统称为这些区间的端点． 清单04 图（维恩图） 在数学中，我们经常用平面上 的内部代表集合，这种图形称为 。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 清单05 子集 1子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中 都是集合中的元素，我们就说这两个集合 有 关系，称集合为集合的 （1）记法与读法：记作 ，读作 （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 清单06集合相等 一般地,如果集合的 都是集合的元素,同时集合的 都是集合的元素,那么集合与集合 ,记作 .也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 清单07 真子集的含义 如果集合，但 元素 ，且 ，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作 ，读作 （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 清单08 空集的含义 我们把 的集合，叫做 ，记作： 规定：空集是任何集合的子集，即 ; 性质：①空集只有一个子集，即它的本身， (2)，则 清单09 交集 一般地，由 集合又 集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的 ，记作 .记作： . 交集的性质：,,,,. 清单10 并集 一般地，由所有属于集合 属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的 ，记作 .记作： . 并集的性质：,,,,. 清单11全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的 ，记作 . 补集的性质： , , . 清单12 有关命题的概念 一般地，我们把可以判断 的语句叫做命题。 命题通常用陈述句表示，判断为 的命题叫做 ，判断为 的命题叫做 。 定义：如果命题“若，则”是真命题，那么就称 ，记作 . 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若 ，则 它是逻辑推理的基础. 清单13充分条件，必要条件、充要条件 【定义】1.对于两个陈述句与，如果，就称是的 ，亦称是的 . 【定义】2.对于两个陈述句与，如果 ，又有 ，就称是的 条件，简称充要条件，记作，读作与等价或者成立当且仅当成立 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. （6）判断命题与命题所表示的范围，再根据“小范围推的出大范围，大范围推不出小范围”的原则，判断命题与命题的关系． 清单14 反证法 要判断一个命题“若，则”是假命题，只要存在一个满足条件但不满足结论的对象就行；但是要判断命题“若，则”是真命题，就需要证明 满足的对象都满足结论，但有时直接验证这一点并不是一件容易的事. 我们可以首先假设结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出的与已知条件或（已学）定理等相矛盾的结论，从而说明“为假”是不可能发生的，即结论是正确的，这样的证明方法叫反证法. 易错点1 忽略集合元素互异性 错误：元素与集合关系中，求解出参数忽视了回代检验集合元素的互异性 注意：集合元素互异性是集合的重要特征，求解时要特别注意代入参数检验是否满足集合元素的互异性 例题1-1已知集合，若，求实数的值. 例题1-2已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 易错点2 混淆点集，数集 错误：在用描述法表示集合时特别注意判断一般元素代表：如表示的是数集，表示的是点集 注意：注意看清一般元素代表 例题2-1下列集合中表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 例题2-2下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 易错点3 忽视了空集 错误：包含关系，最容易忽视空集，空集是任何集合的子集 注意：包含关系，空集优先 例题3-1 ，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例题3-2 设集合，已知，求实数a的取值范围． 易错点4 集合运算时混淆了端点可取等（不可取等） 错误：在包含关系中，最容易混淆端点是否可以取到等号 注意：可采用①先确定大范围②单独验证端点能否取到 例题4-1已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ） A． B．或 C． D．或 例题4-2已知集合，非空集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 易错点5 充分必要性中混淆“是”字正序和“的”字倒序 错误：混淆了“是”字正序和“的”字倒序 注意：①是的充分不必要条件等价于：且 ②的充分不必要条件是等价于：且 例题5-1 已知是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 ． 例题5-2 集合，，则的一个充分不必要条件为 .（用表示） 1．若，则a的值为 . 2．已知集合，集合，若，那么a的取值是 ． 3．若集合，且则的所有可能的值组成的集合为 . 4．已知集合，若，则实数的取值范围是 . 5．已知集合，，且满足，则实数的取值范围是 ． 6．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的最小值是 ． 7．若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值是 ． 8．使方程有实根的一个充分而不必要条件的a的范围是 . 9．若集合，且，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1 10．已知集合，若，求实数的值． 11．下面选项中的两个集合相等的是（    ） A． B． C． D． 12．下列表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 13．设集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．已知，，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．已知集合，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．使成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与逻辑 清单01 集合的含义 集合是一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元，是具有某种特定性质的事物的总体．集合通常用大写字母表示.集合的元素通常用小写字母表示. 清单02 元素与集合 1、元素与集合的关系： 一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A． 2、集合中元素的三大特征： （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 3.集合相等 若，且，则. ①若，且，则. ②欲证，只需证，且. 清单03 集合的表示方法 1.常用数集及其记法 ①自然数集 （包含和正整数） ②正整数集 或 ③整数集 ④有理数集 ⑤实数集 2.集合的表示方法 将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法，例如，方程的解的集合，可表示为，也可表示为 在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：（集合中的元素都具有性质，而且凡具有性质的元素都在集合中），这种表示集合的方法叫做描述法．例如，方程的解的集合可表示为． 集合可以用封闭的图形或数轴表示，有限集一般用文氏图表示，无限集一般用数轴表示． 区间：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成 的集合．为了方便起见，我们引入区间（ｉｎｔｅｒｖａｌ）的概念． 闭区间在数轴上表示 开区间在数轴上表示 半开半闭区间在数轴上表示 这里的实数a,b统称为这些区间的端点． 清单04 图（维恩图） 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 清单05 子集 1子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 清单06集合相等 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 清单07 真子集的含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 清单08 空集的含义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集，即; 性质：①空集只有一个子集，即它的本身， (2)，则 清单09 交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 清单10 并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 清单11全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 清单12 有关命题的概念 一般地，我们把可以判断真假的语句叫做命题。 命题通常用陈述句表示，判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题。 定义：如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）. 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则. 它是逻辑推理的基础. 清单13充分条件，必要条件、充要条件 【定义】1.对于两个陈述句与，如果，就称是的充分条件，亦称是的必要条件. 【定义】2.对于两个陈述句与，如果，又有，就称是的充分必要条件，简称充要条件，记作，读作与等价或者成立当且仅当成立 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. （6）判断命题与命题所表示的范围，再根据“小范围推的出大范围，大范围推不出小范围”的原则，判断命题与命题的关系． 清单14 反证法 要判断一个命题“若，则”是假命题，只要存在一个满足条件但不满足结论的对象就行；但是要判断命题“若，则”是真命题，就需要证明所有满足的对象都满足结论，但有时直接验证这一点并不是一件容易的事. 我们可以首先假设结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出的与已知条件或（已学）定理等相矛盾的结论，从而说明“为假”是不可能发生的，即结论是正确的，这样的证明方法叫反证法. 易错点1 忽略集合元素互异性 错误：元素与集合关系中，求解出参数忽视了回代检验集合元素的互异性 注意：集合元素互异性是集合的重要特征，求解时要特别注意代入参数检验是否满足集合元素的互异性 例题1-1已知集合，若，求实数的值. 【答案】实数a的值为－1或0. 【分析】分三种情况讨论即可. 【详解】①若，则a＝－2， 此时A＝{1，1，2}，不符合集合中元素的互异性，舍去. ②若，则a＝0或a＝－2. 当a＝0时，A＝{3，1，2}，满足题意； 当a＝－2时，由①知不符合条件，故舍去. ③若，则a＝－1， 此时A＝{2，0，1}，满足题意. 综上所述，实数a的值为－1或0. 【点睛】本题考查的是集合的基本知识，较简单. 例题1-2已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系列式求解，再代入检验即可. 【详解】因为集合，且， 则或，所以或； 当时，不合题意舍； 当时，符合题意； 故选：B. 易错点2 混淆点集，数集 错误：在用描述法表示集合时特别注意判断一般元素代表：如表示的是数集，表示的是点集 注意：注意看清一般元素代表 例题2-1下列集合中表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合相等的概念逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，； 对于B选项，； 对于C选项，为点集，为数集，则； 对于D选项，为数集，为点集，则. 故选：B. 例题2-2下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据同一集合的概念可知，两个集合中的元素应一样. 【详解】A：根据集合元素具有无序性，则，故A正确； B：和是不同元素，故B错误； C：图为中的元素是有序实数对，而中的元素是实数，所以C错误； D：因为中有两个元素，即4，3，而中有一个元素，即，所以D错误. 故选：A 易错点3 忽视了空集 错误：包含关系，最容易忽视空集，空集是任何集合的子集 注意：包含关系，空集优先 例题3-1 ，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据可得，从而可讨论B是否为空集建立不等关系解出的范围即可． 【详解】已知集合，， ，， ①当时，满足，此时，故； ②当时，因，则，解得． 综上，． 故选：A. 例题3-2 设集合，已知，求实数a的取值范围． 【答案】，或 【分析】已知，要根据是否为空集分两种情况来讨论. 【详解】当时，，解得； 当时，解得； 综上所述，的取值范围为，或． 易错点4 集合运算时混淆了端点可取等（不可取等） 错误：在包含关系中，最容易混淆端点是否可以取到等号 注意：可采用①先确定大范围②单独验证端点能否取到 例题4-1已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据，列不等式组，求解即可. 【详解】因为，又 ，且 ， 所以需满足， 解得 . 故选：C 例题4-2已知集合，非空集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合关系列出不等式组求解即可. 【详解】因为集合，非空集合，且， 所以，解得：． 故选：C． 易错点5 充分必要性中混淆“是”字正序和“的”字倒序 错误：混淆了“是”字正序和“的”字倒序 注意：①是的充分不必要条件等价于：且 ②的充分不必要条件是等价于：且 例题5-1 已知是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据必要不充分条件列式求出参数范围. 【详解】因为是的必要不充分条件， 所以是的真子集，所以， 故答案为：. 例题5-2 集合，，则的一个充分不必要条件为 .（用表示） 【答案】（的范围为集合的真子集即可） 【分析】（只要能推出即可）. 【详解】因为集合，，且，则， 故使得的一个充分不必要条件为“”. 故答案为：（的范围为集合的真子集即可）. 1．若，则a的值为 . 【答案】 【分析】集合中的元素依次取，求出a值，利用集合元素的性质验证作答. 【详解】因为，则当，即，此时，矛盾， 若，解得，此时，，符合题意，即， 而，即， 所以a的值为. 故答案为： 2．已知集合，集合，若，那么a的取值是 ． 【答案】0或 【分析】由，，，三种情况分别讨论即可. 【详解】， 因为， 所以的所有可能为， 当，可得， 当，可得， 当，可得， 故答案为：0或 3．若集合，且则的所有可能的值组成的集合为 . 【答案】 【分析】由题意算出，由分别计算即可. 【详解】， ①若； ②； ③. 故答案为：. 4．已知集合，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分和，得到不等式，求出的取值范围. 【详解】，若，则，解得， 若，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 5．已知集合，，且满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合，分，两种情况讨论求解即可. 【详解】当时，，即，满足； 当时，有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 6．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的最小值是 ． 【答案】2 【详解】由，得．因为“”是“”的必要不充分条件，所以，所以，即实数的最小值为2． 7．若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值是 ． 【答案】 【分析】设或，，由题意可得是的真子集，即可得实数的取值范围，可得的最大值. 【详解】设或，， 因为“或”是“”的必要不充分条件， 所以是的真子集，则， 即实数的最大值是. 故答案为：. 8．使方程有实根的一个充分而不必要条件的a的范围是 . 【答案】(答案不唯一). 【分析】由方程有实根，可得判别式非负，当时方程有实根，而方程有实根时不一定有，从而可得到其一个充分不要条件. 【详解】因为方程有实根， 所以，即，解得， 当时，方程有实根， 而当方程有实根时不一定是， 所以是方程有实根的一个充分不要条件. 故答案为： (答案不唯一). 9．若集合，且，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1 【答案】B 【分析】根据集合的元素不重复可解得. 【详解】因为，所以或，解得，或或， 当时，，又集合中不能有相同的元素，所以 故选：B 10．已知集合，若，求实数的值． 【答案】 【分析】根据集合元素的互异性原则分类讨论即可. 【详解】分情况讨论： ①若，则，，，不符合集合元素的互异性原则； ②若，则，，， 此时，符合题意； ③若，则或， 当时，，，不符合集合元素的互异性原则； 当时，，，不符合集合元素的互异性原则. 综上：. 11．下面选项中的两个集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，相等集合的定义，即可判断. 【详解】A.两个集合都是点集，两个集合的元素不相同，所以不是相等集合，故A错误； B.集合表示数集，有2个元素，分别是1和0，集合是点集，只有1个元素，为，所以不是相等集合，故B错误； C.，得，即，故C正确； D.集合是空集，但集合是非空集，里面有1个元素，所以不是相等集合，故D错误. 故选：C 12．下列表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据集合的概念及相同集合的性质判断各选项集合是否相同即可. 【详解】A：集合中的元素不为同一个点，不是同一集合，故A错误； B、D：集合的元素不同，一个是数，一个是实数对，不是同一集合，故BD错误； C：根据集合元素的无序性，可知集合，即为同一集合，故C正确； 故选：C 13．设集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意和子集的概念列出不等式组，求解即可. 【详解】由题意可得，，且， 因此，解得． 故选：B． 14．已知，，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式求出集合A，进而根据集合的包含关系即可求解． 【详解】因为，且， 若，则， 故选：D 15．已知集合，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算出集合、后借助集合间的关系计算即可得. 【详解】由，可得，故， 由，可得，故， 由，则有. 故选：C. 16．使成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于选项A，是成立的一个既不充分也不必要条件，故A错误；对于选项B，是成立的一个充分条件，故B正确；对于选项C，是成立的一个必要条件，故C错误；对于选项D，是成立的一个既不充分也不必要条件，故D错误． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$