专题03 空间向量与坐标法在立体几何中的应用（专项训练）数学人教A版2019选择性必修第一册

专题03 空间向量与坐标法在立体几何中的应用(原卷版) 目录 A题型建模・专项突破 题型一、向量夹角为锐角或钝角用坐标法求参数范围（易错题型） 1 题型二、用坐标法解四点共面问题 2 题型三、用坐标法解空间向量的夹角和模的问题 3 题型四、寻找合适的方向建立空间直角坐标系 4 题型五、用坐标法解决平行或垂直问题 5 题型六、利用线段中点或向量相等准确标出点坐标 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、向量夹角为锐角或钝角用坐标法求参数范围（易错题型） 1．已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 ． 2．已知向量，，且，夹角为钝角，则m的取值范围为 ； 3．（多选题）在空间直角坐标系中，为坐标原点．若、、，下列说法正确的是（   ） A．存在实数，使 B．存在实数，使 C．若为锐角，则 D．若为一组基底，则 4．（多选题）下面四个结论正确的是（    ） A．若为平面外任意一点，，则四点共面 B．若平面的法向量分别为，，且，则 C．若向量，且，则为钝角 D．若为平面法向量，为直线的方向向量，且，则与所成角为 题型二、用坐标法解四点共面问题 5．在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则 ． 6．在空间直角坐标系中，，，，点H在平面内，则当取最小时，点H的坐标是 ． 7．（2025·福建龙岩·二模）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为，的中点． (1)设，且，，，四点共面，求实数的值； (2)若平面和平面所成角的余弦值为，求三棱锥的体积． 8．（2025·四川绵阳·三模）如图1，等腰梯形中，分别为的中点，且，将梯形沿翻折至梯形，使得平面平面，得到如图的多面体，且.    (1)证明：四点共面； (2)求的长； (3)在上取一点，使得平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 题型三、用坐标法解空间向量的夹角和模的问题 9．如图，在棱长为的正方体中，为的中点.，分别在棱，上，，. (1)求线段的长. (2)求异面直线与所成角的余弦值. 10．如图，正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为3，E为棱的中点，点F，G分别在棱，BC上（含端点），若，则线段FG长度的最小值为 ． 11．（2018·上海宝山·二模）设向量，，其中，则下列判断错误的是 A．向量与轴正方向的夹角为定值（与、之值无关） B．的最大值为 C．与夹角的最大值为 D．的最大值为l 12．空间直角坐标系中，任意直线由直线上一点及直线的一个方向向量唯一确定，其标准式方程可表示为.若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，整理成一般式方程为.若直线与平面相交，则可以通过联立直线和平面的方程求出交点坐标.若两个平面相交，则交线的方向向量可由两个平面的法向量确定.已知直线的方向式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为 (1)求直线与平面所成角的余弦值； (2)求与所成角的正弦值； (3)已知三棱柱的顶点，平面的方程为，直线的方程为，平面的方程为.求点坐标及直线与直线所成角的余弦值. 题型四、寻找合适的方向建立空间直角坐标系 13．（2025·湖北黄冈·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面平面，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 14．如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，侧面底面，底面为矩形，，，分别为，的中点． (1)求证：直线∥平面； (2)若，求侧面与底面所成角的余弦值． 15．如图，在圆锥中，为底面圆的内接四边形，对角线过圆心，圆锥母线长为，，. (1)若，平面与平面的交线为，证明：； (2)若，求平面与平面所成角的正弦值. 16．如图，在四棱锥中，，，，平面. (1)求证：平面平面； (2)若E是的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 题型五、用坐标法解决平行或垂直问题 17．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．    (1)证明：； (2)点在棱上，当二面角为时，求． 18．如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．建立适当的空间直角坐标系，用空间向量方法解决如下问题：    (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 19．如图，在棱长为1的正方体 中，E是棱 的中点，F为的中点.    (1)求证: 平面 (2)求平面与平面夹角的余弦值. 20．如图，在长方体中，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 题型六、利用线段中点或向量相等准确标出点坐标 21．如图，在三棱柱中，D为边上（异于A，C两点）的动点，平面与边交于点E. (1)请判断四边形的形状，并说明理由； (2)已知侧面底面，，，，求直线与平面所成角的大小. 22．如图，在所有棱长都为2的三棱柱中，点E是棱的中点，． (1)求证：平面平面； (2)若，点P满足，求直线与平面所成角的正弦值． 23．（2021·浙江杭州·模拟预测）已知三棱锥中，，且，长度为1的线段的端点在上，端点在侧面内运动，若的中点为，的重心为，则的最小值是 . 24．如图，已知平行六面体的底面是菱形，，，. (1)证明：； (2)若，，点在平面内，且平面，求与平面所成角的正弦值. 1．（2023·河南·模拟预测）已知在空间直角坐标系中，，，，点在平面内，则的最小值为 ． 2．(多选题)（24-25高二下·福建漳州·期末）如图，正方体的棱长为1，下列说法正确的是（   ） A．直线与所成的角为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．点到平面的距离为 D．二面角的大小为 3．（17-18高二下·上海·期末）已知点，若的夹角为锐角，则的取值范围为 ． 4．（多选题）关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 B．若空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C．若空间向量，满足，则与夹角为钝角 D．若空间向量，，则在上的投影向量为 5．（2025高二下·浙江·学业考试）在三棱柱中，已知，E是的中点，D是的中点，与相交于点F，，，则与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 6．（2006·北京·高考真题）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点E是的中点. (1)求证：； (2)求证：平面； (3)求二面角的大小. 7．（2023·河南·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，为等边三角形，分别为棱的中点. (1)棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (2)若，当二面角为时，证明：直线与平面所成角的正弦值小于. 8．（2025·广东惠州·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，、分别是、的中点，是的中点. (1)判断、、、四点是否共面（结论不要求证明）； (2)证明：平面； (3)求异面直线与所成角的余弦值. 9．（2024·全国·模拟预测）如图，在正三棱柱中，，，是的中点，，点在上，且．    (1)是否存在实数，使四点共面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； (2)若二面角的大小为，求异面直线与所成角的正切值． 10．（24-25高二下·贵州铜仁·期末）在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，与平面所成角为，是的中点，点且． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求平面与平面的夹角的大小． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 空间向量与坐标法在立体几何中的应用(解析版) 目录 A题型建模・专项突破 题型一、向量夹角为锐角或钝角用坐标法求参数范围（易错题型） 1 题型二、用坐标法解四点共面问题 3 题型三、用坐标法解空间向量的夹角和模的问题 9 题型四、寻找合适的方向建立空间直角坐标系 14 题型五、用坐标法解决平行或垂直问题 20 题型六、利用线段中点或向量相等准确标出点坐标 26 B综合攻坚・能力跃升 题型一、向量夹角为锐角或钝角用坐标法求参数范围（易错题型） 1．已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由，得，解得， 由，得， 因为与的夹角为锐角，故， 故的取值范围为. 故答案为：. 2．已知向量，，且，夹角为钝角，则m的取值范围为 ； 【答案】且 【详解】由向量与夹角为钝角，得，且与不共线， 则，解得且， 所以m的取值范围为且. 故答案为：且 3．（多选题）在空间直角坐标系中，为坐标原点．若、、，下列说法正确的是（   ） A．存在实数，使 B．存在实数，使 C．若为锐角，则 D．若为一组基底，则 【答案】BD 【详解】对于A选项，，， 所以，， 因此，不存在实数，使得，A错； 对于B选项，若存在实数，使， 即，解得，B对； 对于C选项，由题意可得， 若为锐角，则，解得， 且、不共线，若、共线，则，解得， 所以，当、不共线时，， 因此，若为锐角，则且，C错； 对于D选项，若、、共面，则存在、，使得， 则，解得， 因此，若为一组基底，则，D对. 故选：BD. 4．（多选题）下面四个结论正确的是（    ） A．若为平面外任意一点，，则四点共面 B．若平面的法向量分别为，，且，则 C．若向量，且，则为钝角 D．若为平面法向量，为直线的方向向量，且，则与所成角为 【答案】ABC 【分析】由四点共面的向量表示判断A；由两平面法向量的位置关系判断两平面的位置关系，可判断B；根据两向量的数量积的符号判断两向量夹角的范围，可判断C；根据线面角的概念判断D. 【详解】对A：因为，，所以四点共面，故A正确； 对B：因为，所以，所以，所以B正确； 对C：因为，所以，且与不共线，所以为钝角，故C正确； 对D：因为，所以与所成角为，故D错误. 故选：ABC 题型二、用坐标法解四点共面问题 5．在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则 ． 【答案】-1 【详解】依题意，得，，． 若四点共面，则，即， 所以，所以． 故答案为：-1 6．在空间直角坐标系中，，，，点H在平面内，则当取最小时，点H的坐标是 ． 【答案】 【详解】不妨设点H的坐标是，则， 因为，，， 所以， 由题意若要取最小，则只需平面， 只需，即， 不妨令，所以解得， 且注意到点H在平面内， 所以由四点共面的充要条件有， 即，解得， 所以，所以此时点H的坐标是. 综上所述：当取最小时，点H的坐标是. 故答案为：. 7．（2025·福建龙岩·二模）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为，的中点． (1)设，且，，，四点共面，求实数的值； (2)若平面和平面所成角的余弦值为，求三棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）方法一：坐标法（利用共面向量基本定理） 在平面内作，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，，，， ，，，，， 又，分别为，的中点， ，， ， ，，共面，存在实数，，使得， 即， ，解得； 方法二：坐标法（利用法向量） 在平面内作，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，，，， ，，，，， ， 又，分别为，的中点， ，， 设平面的法向量为， ，，令得， ， 又，，共面， ，解得； 方法三：几何法：延长交于，连接， ，分别为，的中点，， 平面，平面， 平面， 又平面平面， ，，又， 四边形是平行四边形， ，， 过作交于，， 又，； （2）方法一：由（1）得， 又，， 设平面的法向量为， ，解得，令得， ， 设平面和平面所成的角为， ， 整理得， ，，即； 方法一：利用向量法求三棱锥的高， 平面的法向量为，， 设点到平面的距离为，， 平面，又平面，， 又，，、平面， 平面， 又，分别为，的中点， ，， 平面，又平面，， 又，，， 则， 所以； 方法二：几何法：，分别为，的中点，， 平面，平面，平面， ， ，平面， ， . 8．（2025·四川绵阳·三模）如图1，等腰梯形中，分别为的中点，且，将梯形沿翻折至梯形，使得平面平面，得到如图的多面体，且.    (1)证明：四点共面； (2)求的长； (3)在上取一点，使得平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由平面平面可得平面，建立空间直角坐标系，设，由，结合空间向量可得，进而得到，即可求证； （2）由（1）得，即可求解； （3）利用空间向量求解即可. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 且，平面， 所以平面，又， 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设，易得， 则， 由，则，解得（舍去）或， 则， 则，则， 即，所以四点共面. （2）由（1）知，. （3）由（1）知，，，，， 设，则，则， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 由平面平面，则，解得， 则，则，又， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 易得平面的一个法向量为， 则， 则平面与平面夹角的余弦值为. 题型三、用坐标法解空间向量的夹角和模的问题 9．如图，在棱长为的正方体中，为的中点.，分别在棱，上，，. (1)求线段的长. (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 所以，即线段的长为. （2），，，， 所以，， 所以. 所以异面直线与所成角的余弦值为． 10．如图，正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为3，E为棱的中点，点F，G分别在棱，BC上（含端点），若，则线段FG长度的最小值为 ． 【答案】 【详解】设为下底面中心，构建如下图示的空间直角坐标系， 结合题设知，，且，， 所以，，故， 所以，可得， 而，则， 又，故时，. 故答案为： 11．（2018·上海宝山·二模）设向量，，其中，则下列判断错误的是 A．向量与轴正方向的夹角为定值（与、之值无关） B．的最大值为 C．与夹角的最大值为 D．的最大值为l 【答案】B 【详解】解：由向量，，其中，知： 在A中，设z轴正方向的方向向量， 向量与z轴正方向的夹角的余弦值： ， ∴向量与z轴正方向的夹角为定值45°（与c，d之值无关），故A正确； 在B中，， 且仅当a＝c，b＝d时取等号，因此的最大值为1，故B错误； 在C中，由B可得：， ， ∴与的夹角的最大值为，故C正确； 在D中，， ∴ad−bc的最大值为1．故D正确． 故选：B． 12．空间直角坐标系中，任意直线由直线上一点及直线的一个方向向量唯一确定，其标准式方程可表示为.若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，整理成一般式方程为.若直线与平面相交，则可以通过联立直线和平面的方程求出交点坐标.若两个平面相交，则交线的方向向量可由两个平面的法向量确定.已知直线的方向式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为 (1)求直线与平面所成角的余弦值； (2)求与所成角的正弦值； (3)已知三棱柱的顶点，平面的方程为，直线的方程为，平面的方程为.求点坐标及直线与直线所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）设直线与平面所成角为， 因为直线的方向式方程为，平面的一般式方程为， 所以直线的一个方向向量为， 平面的一个法向量为. 所以. 所以. （2）设平面和所成角为， 因为平面的一般式方程为， 平面的一般式方程为， 所以平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 所以， 所以. （3）联立解得即. 又，所以. 由平面的方程知，其法向量为. 直线是平面与平面的交线， 所以设直线的一个方向向量为，平面的法向量为. ，，得 取直线的一个方向向量为. 则， 即直线与直线所成角的余弦值为. 题型四、寻找合适的方向建立空间直角坐标系 13．（2025·湖北黄冈·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面平面，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点，连接，如图所示， 因为，是的中点， 所以，且， 又平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 由，得， 因为，所以，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 又在三棱柱中，， 所以四边形是菱形，所以， 又，平面， 所以平面． （2）以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，所以， 则， 设平面的法向量为，所以 令，解得，故， 由（1）知，平面， 所以平面的一个法向量为， 记平面与平面的夹角为， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为． 14．如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，侧面底面，底面为矩形，，，分别为，的中点． (1)求证：直线∥平面； (2)若，求侧面与底面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）解法1：取的中点，连接，， 因为为的中点，所以且， 因为底面为矩形，为的中点， 所以且， 故且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面； 解法2：取的中点，连接，， 因为为的中点，所以， 又为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面，同理平面， 因为平面，平面，直线直线， 所以平面平面，又平面，所以平面． （2）解法1：取的中点，的中点，连接，， 因为为正三角形，所以， 因为侧面底面，交线为，平面， 所以底面， 又，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 又，故，，， 故，，，，， 设平面的法向量为， 则即 解得，令，则，所以， 又底面的法向量为， 设侧面与底面所成角大小为， 所以， 所以侧面与底面所成角余弦值为． 解法2：取的中点，的中点，连接，，， 由题意易得，， 因为是的中点，所以， 又，所以是二面角的平面角， 因为为正三角形，所以， 又因为侧面底面，交线为，平面， 所以底面，， 又，所以，，， 所以由余弦定理得， 所以侧面与底面所成角余弦值为． 15．如图，在圆锥中，为底面圆的内接四边形，对角线过圆心，圆锥母线长为，，. (1)若，平面与平面的交线为，证明：； (2)若，求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明，平面，平面， 平面， 平面平面，平面， . （2）由题意知，，， ，，，， 方法一：向量法 为矩形，因此可建立如图所示空间直角坐标系，过点平行于竖直向上为轴， ，，，，， ，，，， 设平面的法向量为，平面的法向量为. 则，所以，令，， ，所以，令，可得， ， 平面与平面所成角的正弦值为. 方法二：几何法： 过点分别向、引垂线，垂足分别为、，连接， 由（1）知，所以，， 为平面与平面所成角的平面角， ，， 根据余弦定理得：， 平面与平面所成角的正弦值为. 16．如图，在四棱锥中，，，，平面. (1)求证：平面平面； (2)若E是的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为平面，平面，所以 因为，，， 所以，，， 所以，所以， 又，平面，所以平面 因为平面，所以平面平面. （2）因为平面，， 所以以为原点，以，，分别为x，y，z轴正方向建立如图空间直角坐标系， 则，，，，， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，得平面的一个法向量， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为. 题型五、用坐标法解决平行或垂直问题 17．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．    (1)证明：； (2)点在棱上，当二面角为时，求． 【答案】(1)证明见解析； (2)1 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，    则， ， ， 又不在同一条直线上， . （2）设， 则， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， ， 化简可得，， 解得或， 或， . 18．如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．建立适当的空间直角坐标系，用空间向量方法解决如下问题：    (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）在直三棱柱中，有，，， 以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，， ，， ， ，即． （2）由（1）得，， ，，， 设平面的法向量为， 则即令，即， 设平面的法向量为， 则即令，即， ． 平面与平面夹角的余弦值为． 19．如图，在棱长为1的正方体 中，E是棱 的中点，F为的中点.    (1)求证: 平面 (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）以为原点，所在直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系． 依题意，得， 则， 设平面的法向量， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，所以， 所以，又平面，所以平面.    （2）由（1）可得，所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 由（1）可得平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 20．如图，在长方体中，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图，以点为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，， ，，. 因为，， 所以，. 因为，平面，， 所以平面. （2）由（1）得是平面的一个法向量，. 设直线与平面所成的角为， 则， 故， 则直线与平面所成角的正弦值为. 题型六、利用线段中点或向量相等准确标出点坐标 21．如图，在三棱柱中，D为边上（异于A，C两点）的动点，平面与边交于点E. (1)请判断四边形的形状，并说明理由； (2)已知侧面底面，，，，求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)平行四边形，理由见解析 (2) 【详解】（1） 在三棱柱中，，又平面，平面， 所以平面，又平面平面，平面， 所以, 又平面平面， 平面平面，平面平面， 所以. 所以四边形为平行四边形. （2）取的中点O，连接，. 在中，因为，所以， 因为侧面底面，底面侧面，底面， 所以平面，又侧面，所以. 在中，由，，可知， 在Rt中，因为，，所以， 所以，所以， 从而，，两两垂直. 以O为原点，以，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，.     所以，. 设平面的法向量为，则     令，得.又， 设直线与平面所成角为，且， 则， 所以直线与平面所成角的大小为. 22．如图，在所有棱长都为2的三棱柱中，点E是棱的中点，． (1)求证：平面平面； (2)若，点P满足，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点O，连接，，． 因为E为中点，O为中点，所以． 在三棱柱中，，则四边形是菱形，得， 则，又，，，平面， 所以平面．又因为平面，所以． 因为是等边三角形，O为中点，所以． 又因为，，平面， 所以平面．又因为面， 所以平面平面． （2）连接． 因为，，所以是等边三角形，所以． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面．由平面，得，又， 如图，以O为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 则，，，，． 设，又，即，得， 所以，则， 易知平面的一个法向量，所以， 设直线与平面所成角为θ，则． 23．（2021·浙江杭州·模拟预测）已知三棱锥中，，且，长度为1的线段的端点在上，端点在侧面内运动，若的中点为，的重心为，则的最小值是 . 【答案】 【详解】因，则平面PBC，在平面PBC内过点P作Pz⊥PC，则Pz⊥平面PAC 以点P为原点，射线PA，PC，Pz分别为x，y，z轴非负轴建立空间直角坐标系，如图： 因，则有，设，，则的中点， 连BG并延长交AC于点D，因G(m，n，p)是的重心，则D是BC中点，且， 而,，，则，即， 因，即，则，即， 所以点T的轨迹是以P为球心，为半径的球面在三棱锥内的部分(含边界)， 而，点G在上述轨迹外，且线段GP与上述轨迹必相交， 所以 故答案为： 【点睛】结论点睛：在空间，球面外一点M与球面上点的距离最小值为点M到球心距离减去球半径；球面外一点M与球面上点的距离最大值为点M到球心距离加上球半径. 24．如图，已知平行六面体的底面是菱形，，，. (1)证明：； (2)若，，点在平面内，且平面，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接，， 是菱形，，， ，与全等，， 为的中点，， ，平面，平面， 又平面，； （2）是菱形，，， ，，， ，，， 由（1）知，，又，平面， 平面， 以为原点，以，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，， ， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，则，， ， 平面，（）， 易知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 1．（2023·河南·模拟预测）已知在空间直角坐标系中，，，，点在平面内，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】依题意，，设平面的法向量为， 则，令，得，依题意，，则， 则，当且仅当时取等号， 由，解得， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 2．(多选题)（24-25高二下·福建漳州·期末）如图，正方体的棱长为1，下列说法正确的是（   ） A．直线与所成的角为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．点到平面的距离为 D．二面角的大小为 【答案】ABC 【详解】以点为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 对于A：，， ， 直线与所成角的范围为，故直线与所成角为，A正确； 对于B：，显然是平面的一个法向量，设直线与平面所成角为， 所以， 直线与平面所成角范围为，则，B正确； 对于C：，设平面的一个法向量，则， 即，，解得， 故点到平面的距离，C正确； 对于D：显然是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量，则， 即，，解得， 设二面角的大小为， ， 因此二面角的大小为，D错误. 故选：ABC. 3．（17-18高二下·上海·期末）已知点，若的夹角为锐角，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】，， 的夹角为锐角，，且不能同向共线． 解得，．则的取值范围为． 故答案为:． 4．（多选题）关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 B．若空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C．若空间向量，满足，则与夹角为钝角 D．若空间向量，，则在上的投影向量为 【答案】AB 【分析】由线面位置关系的向量法判断A，由共面定理的推论判断B，由向量数量积的定义判断C，求出投影向量判断D． 【详解】选项A，因为，所以，A正确； 选项B，，而，∴共面，B正确； 选项C，时，也有，C错误； 选项D，在上的投影向量，D错． 故选：AB． 5．（2025高二下·浙江·学业考试）在三棱柱中，已知，E是的中点，D是的中点，与相交于点F，，，则与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，， 所以， 由于在平面内，所以的纵坐标为0， 且直线方程满足，满足，联立，解得， 所以， 因为， 所以与所成的角的余弦值为， 所以与所成的角的大小为. 故选：B. 6．（2006·北京·高考真题）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点E是的中点. (1)求证：； (2)求证：平面； (3)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【详解】（1）证明：由题意可知：平面建立如图所示的平面直角坐标系：以A为坐标原点，以AC方向为轴，AB方向为轴，AP方向为轴建立直角坐标系O-xyz 设 故，，， ， 故，故可知 （2）证明：设平面的法向量为 因为底面为平行四边形，所以， 故D点坐标为：，点E是的中点，故点 所以 于是 设，于是可得： 故可知：平面的一个法向量为 故和平面的一个法向量垂直，而平面，故平面 （3）由题意可知平面的一个法向量为 由（1）（2）可知 ，故两法向量的夹角为 故二面角的平面角为. 7．（2023·河南·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，为等边三角形，分别为棱的中点. (1)棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (2)若，当二面角为时，证明：直线与平面所成角的正弦值小于. 【答案】(1)时，平面 (2)证明见解析 【详解】（1） 当点为的中点时，平面，此时 如图，取的中点，连接. 因为为的中点， 所以. 又平面平面， 所以平面. （2） 如图，连接. 由条件可知. 又，所以. 因为为等边三角形，为的中点， 所以. 故为二面角的平面角， 所以. 又平面， 所以平面. 又平面，所以平面平面. 在平面内，过点作，交于点， 则平面， 所以两两垂直. 以为坐标原点，所在直线分别为， 轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 设，则， ， 所以. 设平面的法向量为， 则，解得，令，得，则平面的一个法向量为. 设直线与平面所成的角为， 则 故直线与平面所成角的正弦值小于. 8．（2025·广东惠州·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，、分别是、的中点，是的中点. (1)判断、、、四点是否共面（结论不要求证明）； (2)证明：平面； (3)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)、、、四点不共面 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）、、三个不共线的点确定平面，显然平面， 所以、、、四点不共面. （2）方法一：如图，以为原点，，，分别为，，轴，建立如图空间直角坐标系， 则，，故 又平面的法向量为 所以，故. 又平面，故平面. 方法二： 如图，取中点，再取中点，连接、和. 由为中点，则，且. 在正方体中，为中点， 故，且， 所以且， 则四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，故平面. 方法三：如图，取中点，连接、. 在梯形中，为中点，则. 因为平面，平面，所以平面. 在正方体中，为中点，则， 因为平面，平面， 所以平面. 因为，，平面，所以平面平面， 又平面，故平面. （3）由（2）方法一可知， 又，，故， 所以， 故异面直线与所成角的余弦值为. 9．（2024·全国·模拟预测）如图，在正三棱柱中，，，是的中点，，点在上，且．    (1)是否存在实数，使四点共面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； (2)若二面角的大小为，求异面直线与所成角的正切值． 【答案】(1)存在， (2) 【详解】（1）假设存在实数，使四点共面． 由正三棱柱的性质可知为正三角形，取的中点，连接，则． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，在平面内，以过点且垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，，， 则，，，． 因为， 所以． 若四点共面，则存在满足， 又，所以解得 故存在实数，使四点共面． （2）由（1）得，， 设平面的法向量为， 则即 则，令，得，则． 易知平面的一个法向量为， 则， 解得或（舍），则， 所以． 设异面直线与所成角为，又， 则，所以，， 故异面直线与所成角的正切值为． 10．（24-25高二下·贵州铜仁·期末）在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，与平面所成角为，是的中点，点且． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求平面与平面的夹角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）连接，交于点，再连接． 因为底面是正方形，所以点是的中点． 又是的中点，所以． 而平面且平面． 因此平面． （2）由底面，底面是正方形且与平面所成角为，又，可知是等腰直角三角形，即． 现以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 设，则，，，， 且．． ． ，． 同理．则. 又,平面,平面； （3）由（2）的结论平面，可知且，结合图形特点可知是平面与平面的夹角，亦可记为． 在等腰直角三角形中，为中点，所以． 又，即且． 于是，且． 又． 所以，即与平面的夹角大小为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$