专题01 空间向量的线性运算与综合应用（专项训练）数学人教A版2019选择性必修第一册

专题01 空间向量的线性运算与综合应用(原卷版) 目录 A题型建模・专项突破 题型一、空间向量的线性运算 1 题型二、空间向量共线、共面问题 3 题型三、空间共线向量定理的推论及应用 6 题型四、空间共面向量定理的推论及应用 10 题型五、空间向量数乘运算的应用 13 题型六、空间向量数量积的综合应用 14 B综合攻坚・能力跃升 题型一、空间向量的线性运算 1．如图，在平行六面体中，AC与BD交于点M，设，，，则（    ） A． B． C． D． 2．如图1，已知分别是四面体的边的中点，且，若，则用表示为 A． B． C． D． 3．如图，在四面体中，，，，为的重心，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 4．已知四面体中，，，，，为中点，若，则（   ） A．3 B．2 C． D． 题型二、空间向量共线、共面问题 5．已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 6．已知不共线向量，，，，，，则一定共线的三个点是（    ） A． B． C． D． 7．已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（    ） A． B． C． D． 8．对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 9．在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 题型三、空间共线向量定理的推论及应用 10．在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 11．已知长方体，，，是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（    ） A．3 B． C． D．2 12.（多选题）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（　　） A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上 C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上 13. 四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 题型四、空间共面向量定理的推论及应用 14. 已知正四面体的棱长为1，空间中一点满足，其中，，，且.则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 15. （多选题）已知三棱锥如图所示，G为重心，点M，F为中点，点D，E分别在上，，（），以下说法正确的是（    ）    A．若，则平面∥平面 B． C． D．若M，D，E，F四点共面，则 16.已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是 . 题型五、空间向量数乘运算的应用 17.在空间四边形中，为中点，为的中点，若，则使、、三点共线的的值是 . 18. 已知三棱锥，空间内一点满足，则三棱锥与的体积之比为 ． 19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，则以下正确的是（    ）    A． B． C． D． 题型六、空间向量数量积的综合应用 20.我国古代数学名著《九章算术》商功中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．在堑堵中，，P为的中点，则（    ）． A．6 B． C．2 D． 故选：A． 21. 沼气是一种混合气体，其主要成分是甲烷，其分子式为，且分子结构是正四面体结构，其结构简式如图所示．记上顶点为，底面三个顶点分别为，设，则（    ） A． B． C． D． 22. 如图，在空间四边形中，，点E为的中点，设，，．    (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，求的值． 23. 从点引出三个不共面的向量，它们之间的关系和右手拇指、食指、中指相同，则这个标架构成右手标架，如图所示.规定：为一个向量，它的长度为，它的方向与向量均垂直，且使构成右手标架.该运算满足：.为单位正交基底，且符合右手标架，以的正方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，若，则记. (1)证明：； (2)已知向量，求的坐标表示； (3)①三棱锥中，，求三棱锥的体积； ②请结合“”与“数量积”的几何意义，用表示平行六面体的体积. 1. （2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2004·全国·高考真题）已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（    ） A． B． C． D．4 3． （2024·河北·模拟预测）1941年中国共产党在严重的困难面前，号召根据地军民，自力更生，艰苦奋斗，尤其是通过开展大生产运动，最终走出了困境．如图就是当时缠线用的线拐子，在结构简图中线段与所在直线异面垂直，分别为的中点，且，线拐子使用时将丝线从点出发，依次经过又回到点，这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”．图中，则丝线缠一圈长度为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，三棱锥中，，，分别为的中点，点在线段上，且，则（    ）    A． B． C． D． 5．（2025·江西·模拟预测）已知四棱锥的底面为平行四边形，过点的平面分别交侧棱，，于，，三点，若，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·上海奉贤·二模）如图，在平行六面体中，点在对角线上，点在对角线上，，，以下命题正确的是（    ） A． B．、、三点共线 C．与是异面直线 D． 7． (多选题)（2025·江苏苏州·模拟预测）在正四棱锥中，已知分别为的中点，，则下列说法正确的有（    ） A． B．不存在，使得平面 C．若平面平面，则 D．若四点共面，则 8．（2024·山东济南·一模）在三棱柱中，，，且平面，则的值为 . 9．（2024·上海黄浦·二模）在四面体中，，，，设四面体与四面体的体积分别为、，则的值为 . 10．（24-25高一下·浙江·期中）向量作为一种重要的数学工具，在代数与几何中发挥着重要桥梁作用，不仅在平面几何学中有着广泛的应用，在空间中、物理学、工程学和计算机科学等领域也同样发挥着重要的作用．它们通过向量的运算，使得我们能够描述和分析现实世界中的各种现象和问题．其中数量积的运算就很好的解决了物理中做功的概念，其运算结果是一个实数．向量在空间中还有一种运算，其运算结果仍是一个向量，即向量的叉积（外积），记作：．规定：①为同时与，垂直的向量，且与为相反向量；②（为向量与的夹角）； (1)证明：； (2)如图，已知棱长均为1的平行六面体，且，计算的值，并解释其几何意义． (3)有一正四面体的四个顶点分别在四个平行平面，，，上，且两相邻平行平面距离为1，求该四面体的棱长． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 空间向量的线性运算与综合应用(解析版) 目录 A题型建模・专项突破 题型一、空间向量的线性运算 1 题型二、空间向量共线、共面问题 3 题型三、空间共线向量定理的推论及应用 6 题型四、空间共面向量定理的推论及应用 10 题型五、空间向量数乘运算的应用 13 题型六、空间向量数量积的综合应用 14 B综合攻坚・能力跃升 题型一、空间向量的线性运算 1．如图，在平行六面体中，AC与BD交于点M，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据代入计算化简即可. 【详解】 故选：D 2．如图1，已知分别是四面体的边的中点，且，若，则用表示为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为 ， 故选B. 3．如图，在四面体中，，，，为的重心，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接，并延长交于点，连接， 则为的中点，且， . 故选：C 4．已知四面体中，，，，，为中点，若，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到，结合题意，列出方程，即可求解. 【详解】因为，所以， 依题意可得 ， 因为，所以，解得. 故选：D. 题型二、空间向量共线、共面问题 5．已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】因为三点共线， 所以， 即， 所以，解得， 所以， 故选：A 6．已知不共线向量，，，，，，则一定共线的三个点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，则存在唯一实数使得， 即， 所以，无解， 所以不共线，则三点不共线， 若，则存在唯一实数使得， 即， 所以，无解， 所以不共线，则三点不共线， ， 若，则存在唯一实数使得， 即， 所以，无解， 所以不共线，则三点不共线， ， 所以， 又点为两向量的公共端点，所以三点共线. 故选：D. 7．已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， ， ， 所以向量，，均与向量，共面，ABD均不合题意； 假设， 则，无解，所以与向量，不共面，C符合题意. 故选：C 8．对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 【答案】B 【详解】由，可得， 即，根据平面向量的基本定理，可得共面， 又因为三个向量有公共点，所以四点共面. 故选：B. 9．在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】∵， ∴． ∵， ∴． ∵四点共面， ∴，即． ∵，当且仅当时，等号成立， ∴的最小值为1． 故选：C 题型三、空间共线向量定理的推论及应用 10．在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图：连接交于H，则H为中点，连接, 因为平面，平面，设，则， 又平面，所以平面，故K为与平面的交点， 又因为与平面交于点F，所以F与K重合， 又E为的中点，G为平面的重心， 因为点A，F，G三点共线，则 又因为点E，F，H三点共线，则， , 所以，解得，即，故. 故选：C. 11．已知长方体，，，是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】A 【详解】在长方体中，由，，，得点在矩形及内部， 又平面，故点在过且平行于平面的平面内， 连接交于点，取中点，连接，在上取点，使得，连接，，， 由是长方体，可知对角面为矩形，且， 因为，， 所以且，四边形为平行四边形，可得， 因为平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 因为是平面内的相交直线， 故平面平面，即平面是过且平行于平面的平面， 所以点的轨迹是四边形截面与平面的交线，即线段. 因为矩形中，，，可知， 所以，可得中，， 所以，即动点的轨迹所形成的轨迹长度为3. 故选：A 12.（多选题）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（　　） A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上 C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上 【答案】BCD 【详解】当时，，所以， 则，即P在棱上，故A错误； 同理当时，则，故P在棱上，故B正确； 当时，，所以，即， 故点P在线段上，故C正确； 当时，，故点在线段上，故D正确． 故选：BCD． 13. 四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【答案】(1)， 【详解】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ，且， 所以，即、、三点共线． 题型四、空间共面向量定理的推论及应用 14. 已知正四面体的棱长为1，空间中一点满足，其中，，，且.则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】因为，， 所以， ， 所以， 所以， 因为不共线，所以共面， 所以点在平面内， 所以当平面时，最小， 取的中点，连接，则点在上，且， 所以， 即的最小值为. 故选：B 15. （多选题）已知三棱锥如图所示，G为重心，点M，F为中点，点D，E分别在上，，（），以下说法正确的是（    ）    A．若，则平面∥平面 B． C． D．若M，D，E，F四点共面，则 【答案】ABC 【详解】对于A，若，即分别为的中点，又点为的中点， 所以， 又面，面， 所以面，同理可证面， 又面， 所以平面∥平面，故A正确； 对于BCD，如图所示：    设中点为，连接，因为点G为重心， 所以点在线段上面， 所以 ，故B正确； 对于C， ，故C正确； 因为， 所以， 若M，D，E，F四点共面，则，解得，故D错误. 故选：ABC. 16.已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是 . 【答案】10 【详解】 因为，则， 即， 即，所以， 因为，由空间向量基本定理可知，在平面内存在一点， 使得成立，即， 所以，即，则， 又三棱锥的体积为15， 则. 故答案为：10 题型五、空间向量数乘运算的应用 17.在空间四边形中，为中点，为的中点，若，则使、、三点共线的的值是 . 【答案】/ 【详解】由题意可知， ，，则， ， ，，三点共线，，． 故答案为：. 18. 已知三棱锥，空间内一点满足，则三棱锥与的体积之比为 ． 【答案】 【详解】由空间内一点满足， 可得， 因为，根据空间向量的基本定理，可得在平面内存在一点， 使得，所以，即点为的中点， 可得，所以三棱锥和的体积比值为. 故答案为：. 19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，则以下正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， . 故选：D. 题型六、空间向量数量积的综合应用 20.我国古代数学名著《九章算术》商功中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．在堑堵中，，P为的中点，则（    ）． A．6 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】根据堑堵的几何性质知：，，． 因为，， 所以. 故选：A． 21. 沼气是一种混合气体，其主要成分是甲烷，其分子式为，且分子结构是正四面体结构，其结构简式如图所示．记上顶点为，底面三个顶点分别为，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为甲烷的结构为正四面体，所以， 又，同理可得， 所以． 故选：C 22. 如图，在空间四边形中，，点E为的中点，设，，．    (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 所以， 因为点E为的中点，所以. （2）因为，， 所以 . 23. 从点引出三个不共面的向量，它们之间的关系和右手拇指、食指、中指相同，则这个标架构成右手标架，如图所示.规定：为一个向量，它的长度为，它的方向与向量均垂直，且使构成右手标架.该运算满足：.为单位正交基底，且符合右手标架，以的正方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，若，则记. (1)证明：； (2)已知向量，求的坐标表示； (3)①三棱锥中，，求三棱锥的体积； ②请结合“”与“数量积”的几何意义，用表示平行六面体的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)①；② 【详解】（1）若与共线时，； 若与不共线时， 即与的模相等； 根据定义知与同时垂直于，因此与共线； 由于按顺序与分别构成右手标架与， 所以与方向相反，因此. （2） ， 由定义知，，， 代入上式得，因此的坐标表示为 （3）①的几何意义为：以，为邻边的平行四边形的面积. ∴， 在方向上的投影长度为 ∴ ②由的几何意义可得平行六面体的底面的面积为. 点到底面的距离为在底面的法向量的投影的长度. 因此. 【点睛】思路点睛：本题主要考查关于空间向量的新定义运算，属于难题. 解题思路即是理解并弄清新定义运算的结果性质，按照规定进行相应的计算或判断，并把运算结果换成生活语言解决实际问题. 1. （2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得， 即， 由空间向量共面定理的推论可知，，解得. 故选：B. 2．（2004·全国·高考真题）已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【详解】由题意可得， . 故选：C 3． （2024·河北·模拟预测）1941年中国共产党在严重的困难面前，号召根据地军民，自力更生，艰苦奋斗，尤其是通过开展大生产运动，最终走出了困境．如图就是当时缠线用的线拐子，在结构简图中线段与所在直线异面垂直，分别为的中点，且，线拐子使用时将丝线从点出发，依次经过又回到点，这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”．图中，则丝线缠一圈长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，， 所以，，， 又， 所以 ， 所以，同理可得， 所以丝线缠一圈长度为. 故选：C 4．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，三棱锥中，，，分别为的中点，点在线段上，且，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用空间向量的线性运算得到，再利用模长公式及数量积的运算，即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 又，， 则 ， 所以， 故选：D. 5．（2025·江西·模拟预测）已知四棱锥的底面为平行四边形，过点的平面分别交侧棱，，于，，三点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图， 设， 则． 又，，，四点共面，所以，解得， 所以，，得． 故选：B 6．（2025·上海奉贤·二模）如图，在平行六面体中，点在对角线上，点在对角线上，，，以下命题正确的是（    ） A． B．、、三点共线 C．与是异面直线 D． 【答案】B 【分析】以为基底结合图形，利用空间向量的线性运算推理作答. 【详解】在平行六面体中，令，，， 则，， ， ，因为不共线所以与不平行，故A错误. ， ，即有，，有公共点， 所以、、三点共线，B选项正确. 因为点在直线上，点也在直线上所以与是相交直线， 故C选项错误. 因为，所以，故D选项错误. 故选：B 7． (多选题)（2025·江苏苏州·模拟预测）在正四棱锥中，已知分别为的中点，，则下列说法正确的有（    ） A． B．不存在，使得平面 C．若平面平面，则 D．若四点共面，则 【答案】ACD 【详解】对A，连接交于点，连接， 因为在正四棱锥中，底面为正方形， 所以， 又因为，为中点，所以， 又因为，平面， 所以平面， 又因为平面，所以，A正确； 对B， 因为，为中点，所以， 因为为正方形，所以， 又因为，平面，所以平面， 则平面，所以当，即点与重合时，平面，B错误； 对C，连接，因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以根据面面平行的性质定理可知， 又因为分别为的中点，所以为中点，所以，C正确； 对D，因为四点共面，所以四边形为平面四边形， 所以连接交于点， 在中，因为共线， 所以， 由于对称性可知，为中点， 又因为所以, 所以， 所以，解得，D正确； 故选：ACD. 8．（2024·山东济南·一模）在三棱柱中，，，且平面，则的值为 . 【答案】 /0.5 【详解】 如图，不妨设，依题意，, ， 因，则 又因平面，故必共面， 即存在，使，即， 从而有，解得. 故答案为：. 9．（2024·上海黄浦·二模）在四面体中，，，，设四面体与四面体的体积分别为、，则的值为 . 【答案】/ 【详解】由，，，则； 由，，，则； 由，，，则； 显然四面体与四面体共顶点且底面共面，则其高相同可设为， 结合题意可作图如下： 在底面连接，作图如下： 由，即，则，易知； 由，即，则，易知； 由，即，则； 由，，则，易知； ，； . 故答案为：. 10．（24-25高一下·浙江·期中）向量作为一种重要的数学工具，在代数与几何中发挥着重要桥梁作用，不仅在平面几何学中有着广泛的应用，在空间中、物理学、工程学和计算机科学等领域也同样发挥着重要的作用．它们通过向量的运算，使得我们能够描述和分析现实世界中的各种现象和问题．其中数量积的运算就很好的解决了物理中做功的概念，其运算结果是一个实数．向量在空间中还有一种运算，其运算结果仍是一个向量，即向量的叉积（外积），记作：．规定：①为同时与，垂直的向量，且与为相反向量；②（为向量与的夹角）； (1)证明：； (2)如图，已知棱长均为1的平行六面体，且，计算的值，并解释其几何意义． (3)有一正四面体的四个顶点分别在四个平行平面，，，上，且两相邻平行平面距离为1，求该四面体的棱长． 【答案】(1)证明见解析； (2)，几何意义为以向量构成的平行六面体的体积； (3). 【详解】（1）左边由定义可得：， 右边左边． 故等式得证. （2）设，由定义可得底面的面积为：， 又因为同时与垂直的向量，故为底面的法向量， 则平行六面体的体高为：， 所以平行六面体的体积为：， 又因，故点在底面的投影为的重心，易得， 所以． 所以，，其几何意义为以向量构成的平行六面体的体积． （3）如图，设正四面体的棱长为，其中 设，且平面与交于，与交于， 故有，又由（2）可得： ， ， 同理， 由（1）可得：， 所以， ， 所以，即． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$