专题02 空间向量基底的六大应用（专项训练）数学人教A版2019选择性必修第一册

专题02 空间向量基底的六大应用(解析版) 目录 A题型建模・专项突破 题型一、空间向量基底的概论及辨析 1 题型二、用空间基底表示向量 3 题型三、利用基底法的求线段模长（常考题） 6 题型四、利用基底法求两直线夹角或余弦值 10 题型五、利用基底法证平行或垂直 15 题型六、利用基底法求线面夹角或二面角 20 B综合攻坚・能力跃升 题型一、空间向量基底的概论及辨析 1．下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．任意两个空间向量不一定共面 B．模相等的两个向量是相等向量 C．平行于同一个平面的向量叫做共面向量 D．空间中任意三个向量都可以构成空间的一个基底 【答案】C 【详解】任意两个空间向量一定共面，A错误. 方向相同且模相等的两个向量是相等向量，B错误． 平行于同一个平面的向量叫做共面向量，C正确. 空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，D错误. 故选：C. 2．已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】D 【详解】对于A选项，因为，则、、共面， 所以，、、不能构成空间的一组基底； 对于B选项，因为，则、、共面， 所以，、、不能作为空间的一组基底； 对于C选项，因为，则、、共面， 所以，、、不能作为空间的一组基底； 对于D选项，假设、、共面， 则存在、使得， 由于为空间的一组基底，则，该方程组无解， 故假设不成立，即、、不共面， 所以，、、可以作为空间的一组基底. 故选：D. 3．若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ． 【答案】 【详解】由不能构成空间的一个基底，则存在，使得， 即， 所以，解得. 故答案为：. 4．(多选题) 若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由基底的概念逐项判断即可. 【详解】对于A：因为，共面，不能构成基底； 对于B：设，所以，无解， 所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确； 对于C：设，显然无解，所以能构成空间的一个基底，C正确； 对于D：设，则， 所以，无解， 所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故D正确； 故选：BCD 题型二、用空间基底表示向量 5．如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，点为中点， . 故选：D 6．图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为的中点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】因为点分别为的中点，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 又，则，所以. 故选：D. 7．如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，若，，，则下列说法正确的是（    ） A．若点为的重心，则 B．若，则四点不共面 C．若三棱锥各条棱长均等于，则相对棱之间的距离均等于 D．若与平面交于点，且，则为定值 【答案】D 【详解】 对于A，连接并延长，交于点， 由题意，可令作为空间向量的一组基底， 由，故A错误； 对于B，由， 则， 故，因此可得四点共面，故B错误； 对于C，若三棱锥各条棱长均等于，如图，将三棱锥放到正方体中， 由三棱锥的棱长为，可得正方体的棱长为， 所以相对棱之间的距离即为正方体的棱长，等于，故C错误； 对于D，由， 连接．因为点共面，所以存在唯一的实数对， 使，即， 所以． 由空间向量基本定理，知，，， 所以，则为定值，故D正确． 故选：D. 8．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则 . 【答案】1 【详解】正八面体ABCDEF中，不共面，而P，Q分别为棱AB，AD的中点， 有，，则， ， . 故答案为：1 题型三、利用基底法的求线段模长（常考题） 9．如图，在平行六面体中，，，则（    ） A．1 B． C．9 D．3 【答案】D 【详解】在平行六面体中， 有，， 由题知，，，，， 所以，，与的夹角为， 与的夹角为，与的夹角为， 所以 . 所以. 故选：D. 10．如图在一个的二面角的棱上有两点，线段分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱垂直，若，，，则的长为（    ）. A．2 B．3 C． D．4 【答案】B 【详解】解：， ， ，， ，， ． ， ， 故选：． 11．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，. （1）求证； （2）求BM的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【详解】（1）证明：是PC的中点，      ， ，， ，      又，，， .    （2）解：，， ，. ，，     ，.          由（1）知，                 ， ， 即BM的长等于. 12．如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，，设，，． (1)用，，表示，并求； (2)求． 【答案】(1)， (2)0 【详解】（1）因为，，，, 所以 ， 因为底面ABCD是边长为1的正方形，，， 所以 （2）因为，底面ABCD是边长为1的正方形，，， 所以 题型四、利用基底法求两直线夹角或余弦值 13．如图，在直三棱柱中，，，. (1)用表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）， 故 ； （2）由（1）知，，两边平方得 因为三棱柱为直三棱柱，， 所以，故， ， 所以， 故. 因为，故， 设直线与直线所成角为， ， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 14．（多选题）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（    ） A．长为 B．异面直线与所成角的余弦值为 C． D． 【答案】ACD 【详解】由题意有：，所以 ，所以，故A正确； ，所以，所以 ， 所以，故B错误； 由，， 所以 ，所以，故C正确； 由，所以，故D正确； 故选：ACD. 15．已知在三棱柱中，，记，. (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由已知该几何体是三棱柱， 所以四边形为平行四边形， 又， 所以， 故，即. 所以四边形为矩形. （2）由已知， 又， ； 同理， ， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 16．如图，在三棱锥中，，，记二面角的平面角为． (1)若，，求三棱锥的体积； (2)若M为BC的中点，求直线AD与EM所成角的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）取AC的中点F，连接FD，FE，由BC=2，则，故DF⊥AC，EF⊥AC，故∠DFE即为二面角的平面角，即，连接DE，作DH⊥FE，因为，所以平面DEF，因为DH平面DEF，所以AC⊥DH，因为，所以DH⊥平面ABC，因为，由勾股定理得：，，又，由勾股定理逆定理可知，AE⊥CE，且∠BAC=，，在△ABC中，由余弦定理得：，解得：或（舍去），则，因为，，所以△DEF为等边三角形，则，故三棱锥的体积； （2）设，则，，由（1）知：，，取为空间中的一组基底，则，由第一问可知： ， 则 其中，且，，故， 由第一问可知，又是的中点，所以，所以， 因为三棱锥中，所以，所以，故直线AD与EM所成角范围为. 题型五、利用基底法证平行或垂直 17．如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点． (1)若为的中点，用向量法证明：； (2)若，问是否存在点使得，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【详解】（1）当为的中点时， ， ， 所以． （2）设，则 ， 由于，， 所以 ， 即，故不存在点使得． 18．如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且． (1)用向量表示向量； (2)求证：共面； (3)当为何值时，． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)1 【详解】（1）． （2）证明：，， ，共面． （3）当，， 证明：设， 底面为菱形，则当时，， ，， ， ， ． 19．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是. (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平面向量转化基底，以及加减运算和数量积的运算性质，得到，即可证得； （2）根据平面向量转化基底，求出、、，再利用夹角公式即可求解. 【详解】（1）证明：∵以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是， ∴， ∴ ， ∴. （2）∵，， ∴ ， ， ， ∴， ∴异面直线与所成角的余弦值为. 20．如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.    (1)求证：共面； (2)当为何值时，； (3)若，且，求的长. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【详解】（1）在平行六面体中，连接， 因为， 所以， ， 所以，即且， 所以四边形为平行四边形，即共面. （2）当时，，理由如下， 设，且与、与、与的夹角均为， 因为底面为菱形，所以， ， ，                     若，则， 即， 即， 解得或舍去， 所以时，    （3）， ， ， 所以 ，所以的长为 题型六、利用基底法求线面夹角或二面角 21．正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等．它有4个面，6条棱，4个顶点．正四面体ABCD中，E，F分别是棱AD、BC中点．求： （1）AF与CE所成角的余弦值； （2）CE与底面BCD所成角的正弦值． 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）不妨设正四面体的边长为， 设，两两成角， 则， ， 设所成角为， 所以， （2） 连接，由为中点，则， 所以平面，所以平面平面， 作于，则平面， 由对称性为的中心， 由棱长为，所以，， ， 作于，由为中点，， 连接，， CE与底面BCD所成角的正弦值为. 22．如图所示，在棱长为2的正四面体中，为等边三角形的中心，分别满足.    (1)用表示，并求出； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）连接并延长交于，则为中点， 则， ， 则    （2）根据题意，平面，因此，直线与平面所成角的正弦值 即为直线与直线所成角的余弦值的绝对值. ， 且 故. 则直线与平面所成角的正弦值为. 23．如图，平行六面体中，，，， (1)求对角线的长度； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知， 在中，，，以向量，，为基底，①，， 同理可得， ①式平方，得， ，同理可得， 所以. （2）在中，，， 又，所以为等边三角形， 所以，故为等边三角形， 取中点，连接，则，又，②， 设二面角为，则， ②式两边同时平方， 得， 所以，. 所以二面角的余弦值为. 一、单选题 1．（24-25高二上·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知， 因为，，，四点共面， 所以存在实数，使， 所以， 所以 ， 所以 ，所以． 故选：B. 2．（2024·河南信阳·模拟预测）已知三棱柱满足，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，， 则，， 则，由得,即， 又，由得， 因为，所以， 即，即， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C 二、多选题 3．（22-23高二上·浙江·期中）在四面体中，分别是棱的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则四边形为矩形 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【详解】由于分别是棱的中点， 所以，所以四边形是平行四边形. A选项，， 所以A选项错误. B选项，设是的中点， 若，则， 由于平面，所以平面， 由于平面，所以， 所以，所以四边形是矩形，B选项正确. C选项，若，则四边形是矩形，所以，所以， 所以C选项正确. D选项，若， ，所以； ，所以； ，所以. 故选：BCD 4．（24-25高二上·河北石家庄·期末）三棱锥，PA，PB，PC两两垂直，G为的重心，E，F，H分别为棱PA，AB，AC的中点，，，，下列叙述正确的是（    ） A． B．在面PAB上的投影向量为 C．异面直线PH与EF所成的角为 D．点G到平面PAB的距离为 【答案】BD 【详解】对于A，因为G为的重心，则， 可得， 整理可得，故A错误； 对于B，因为，，，平面PAB， 可知平面PAB，所以在平面PAB上的投影向量为，故B正确； 对于C，因为E，F分别为棱PA，AB的中点，， 所以异面直线PH与EF所成的角也就是BP与PH成的角， 又因为，，，平面PAC， 可知平面PAC，且平面PAC，则， 所以异面直线PH与EF所成的角为，故C错误； 对于D，因为平面PAB，则就是C到平面PAB的距离，， 又因为C，F，G共线，G是的重心，， 所以点G到平面PAB的距离为点C到平面PAB的距离的，故D正确. 故选：BD. 5．如图，在三棱柱中，M，N分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，根据题意可得，又，， 所以可得 ， 即，可知A错误； 对于B，由（1）知，所以 ， 所以，即可知B正确； 对于C，易知， 此时 ，所以与不垂直，即C错误； 对于D，由选项C可得，且，即； ，即； 所以可得，即D正确. 故选：BD 三、填空题 6．（2024·河南开封·三模）在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，当点B与点D之间的距离为3时 ． 【答案】 【详解】分别作，，垂足为，，则． 由，可得，所以． 因为，则 ， 故， 故答案为：． 四、解答题 7．（23-24高二上·陕西咸阳·期末）如图，在平行六面体中，，．设，，． (1)用基底表示向量，，； (2)证明：平面． 【答案】(1)，，． (2)证明见解析 【详解】（1）已知，，， 得：，， ． （2）证明：设， 又， 则，且， 则， 得， 即， 同理可得， 因为，，平面，平面，且， 所以平面． 8．（24-25高二上·江西宜春·期中）在平行六面体中，，，.    (1)求的长； (2)求到直线的距离； (3)动点在线段上运动，求的最小值. 【答案】(1) (2)2 (3). 【详解】（1）如图所示：    由题知，， 因为，所以， ， 而， ， ， 所以，即的长度为. （2）因为，所以， 所以， 在中，， 所以，即，又因为，平面， 所以平面， 而平面，所以，即为到直线的距离， 而，所以三角形为等边三角形，即， 即到直线的距离为. （3）设，则 ， 当时，这时的最小，且为. 9．（22-23高二上·福建厦门·阶段练习）在平行六面体中，，， (1)求证：直线平面． (2)求到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）设，，，则为空间的一个基底，且，，， ，， ，， 在平面上，取为基向量，则对于平面上任意一点，存在唯一的有序实数对，使得， ， 是平面的法向量，平面． （2）设到平面的距离为，则， ，， . 10．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）如图，在平行六面体中，，． (1)若空间有一点P满足：，求点P到直线BD的距离； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）法一：因为，∴， 所以， 在菱形ABCD中，， 则为等边三角形，所以， 所以 ， 则点P到直线BD的距离． 法二：连接，，，AC，设，由， ，可得，从而三棱锥为正四面体， 故顶点在底面ABCD的射影落在直线AC上，且垂足为底面外心H，可求得． 故平面平面ABCD，在平面内引直线，即得平面ABCD， 又由菱形ABCD可知，如图以O为原点建立空间直角坐标系， 则：，，，，所以， 因为， 所以， 所以， 在菱形ABCD中，， 则为等边三角形，所以， 所以， 则点P到直线BD的距离． （2）法一：如图，取的中点E，的中点F，连接CE，EF，CF， 由等角定理可知，又， 所以为等边三角形，所以， 另设，，，则为空间的一个基底， ，故，所以， 又，，所以，所以为二面角的平面角， 又在中，，，，由余弦定理得， 所以平面与平面所成夹角的余弦值为． 法二：由第（1）问法二空间直角坐标系， 可得，，， 设平面的法向量为， 则，得为平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 则，得为平面的一个法向量， 设平面与平面所成夹角为， 则． 所以平面与平面所成夹角的余弦值为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 空间向量基底的六大应用(原卷版) 目录 A题型建模・专项突破 题型一、空间向量基底的概论及辨析 1 题型二、用空间基底表示向量 2 题型三、利用基底法的求线段模长（常考题） 3 题型四、利用基底法求两直线夹角或余弦值 4 题型五、利用基底法证平行或垂直 6 题型六、利用基底法求线面夹角或二面角 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、空间向量基底的概论及辨析 1．下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．任意两个空间向量不一定共面 B．模相等的两个向量是相等向量 C．平行于同一个平面的向量叫做共面向量 D．空间中任意三个向量都可以构成空间的一个基底 2．已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 3．若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ． 4．(多选题) 若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 题型二、用空间基底表示向量 5．如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 6．图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为的中点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 7．如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，若，，，则下列说法正确的是（    ） A．若点为的重心，则 B．若，则四点不共面 C．若三棱锥各条棱长均等于，则相对棱之间的距离均等于 D．若与平面交于点，且，则为定值 8．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则 . 题型三、利用基底法的求线段模长（常考题） 9．如图，在平行六面体中，，，则（    ） A．1 B． C．9 D．3 10．如图在一个的二面角的棱上有两点，线段分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱垂直，若，，，则的长为（    ）. A．2 B．3 C． D．4 11．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，. （1）求证； （2）求BM的长. 12．如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，，设，，． (1)用，，表示，并求； (2)求． 题型四、利用基底法求两直线夹角或余弦值 13．如图，在直三棱柱中，，，. (1)用表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 14．（多选题）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（    ） A．长为 B．异面直线与所成角的余弦值为 C． D． 15．已知在三棱柱中，，记，. (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求异面直线与所成角的余弦值. 16．如图，在三棱锥中，，，记二面角的平面角为． (1)若，，求三棱锥的体积； (2)若M为BC的中点，求直线AD与EM所成角的取值范围． 题型五、利用基底法证平行或垂直 17．如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点． (1)若为的中点，用向量法证明：； (2)若，问是否存在点使得，并说明理由． 18．如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且． (1)用向量表示向量； (2)求证：共面； (3)当为何值时，． 19．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是. (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 20．如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.    (1)求证：共面； (2)当为何值时，； (3)若，且，求的长. 题型六、利用基底法求线面夹角或二面角 21．正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等．它有4个面，6条棱，4个顶点．正四面体ABCD中，E，F分别是棱AD、BC中点．求： （1）AF与CE所成角的余弦值； （2）CE与底面BCD所成角的正弦值． 22．如图所示，在棱长为2的正四面体中，为等边三角形的中心，分别满足.    (1)用表示，并求出； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 23．如图，平行六面体中，，，， (1)求对角线的长度； (2)求二面角的余弦值. 一、单选题 1．（24-25高二上·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·河南信阳·模拟预测）已知三棱柱满足，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（22-23高二上·浙江·期中）在四面体中，分别是棱的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则四边形为矩形 C．若，则 D．若，则 4．（24-25高二上·河北石家庄·期末）三棱锥，PA，PB，PC两两垂直，G为的重心，E，F，H分别为棱PA，AB，AC的中点，，，，下列叙述正确的是（    ） A． B．在面PAB上的投影向量为 C．异面直线PH与EF所成的角为 D．点G到平面PAB的距离为 5．如图，在三棱柱中，M，N分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则（    ）    A． B． C． D． 三、填空题 6．（2024·河南开封·三模）在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，当点B与点D之间的距离为3时 ． 四、解答题 7．（23-24高二上·陕西咸阳·期末）如图，在平行六面体中，，．设，，． (1)用基底表示向量，，； (2)证明：平面． 8．（24-25高二上·江西宜春·期中）在平行六面体中，，，.    (1)求的长； (2)求到直线的距离； (3)动点在线段上运动，求的最小值. 9．（22-23高二上·福建厦门·阶段练习）在平行六面体中，，， (1)求证：直线平面． (2)求到平面的距离. 10．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）如图，在平行六面体中，，． (1)若空间有一点P满足：，求点P到直线BD的距离； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$