精品解析：吉林省友好学校2024-2025学年高二下学期第七十九届期末联考数学试题

友好学校第七十九届期末联考 高二数学 本试卷共19题，满分150分，共4页.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码贴在条形码区域内. 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色中性笔书写，字体工整，笔记清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸、试题卷上答题无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某省专家组为评审某市是否达到“生态园林城市”的标准，从6位专家中选出2位组成评审委员会，则组成该评审委员会的不同方式共有（ 　） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 2. 设，则（ ） A. B. C. 3 D. 12 3. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. 15 C. D. 30 4. 已知某种产品的合格率是，合格品中的一级品率是.则这种产品的一级品率为（　　） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2025 6. 已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，则图中阴影部分的面积为（ ） 附：若随机变量，则，， A. 0.1359 B. 0.7282 C. 0.8641 D. 0.93205 7. 十二生肖作为中国民俗文化的代表，是中国传统文化的精髓，很多人把生肖作为春节的吉祥物，以此来表达对新年的祝福.某课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型（如图），并在十二个面分别雕刻了十二生肖的图案，作为春节的吉祥物.2021年春节前，其中2个兴趣小组成员将模型随机抛出，希望能抛出牛的图案朝上（即牛的图案在最上面），2人各抛一次，则恰好出现一次牛的图案朝上的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知变量x与y，且观测数据如下表（），则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是（ ） x 1 2 3 4 5 y 6.5 a 4 b 1 A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一袋中装有10个大小相同的小球，其中6个黑球，编号为1，2，3，4，5，6，4个白球，编号为7，8，9，10，下列结论中正确的是（ ） A. 若有放回地摸取4个球，则取出的球中白球个数X服从二项分布 B. 若一次性地摸取4个球，则取出的球中白球个数Y服从超几何分布 C. 若一次性地取4个球，则取到2个白球的概率为 D. 若一次性地摸取4个球，则取到的白球数大于黑球数的概率为 10. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 在处的切线方程为 B. 的单调递减区间为 C. 的极大值为 D. 方程有两个不同的解 11. 某校团委对“学生性别和喜欢运动是否有关”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生喜欢运动的人数占男生人数的，女生喜欢运动的人数占女生人数的，若有95%的把握，但没有99%的把握认为“是否喜欢运动和性别有关”，则被调查人中男生可能有（ ） 临界值参照表： A. 25人 B. 45人 C. 60人 D. 75人 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则_________. 13. 为研究变量x，y的相关关系，收集得到如下数据： x 1 2 3 4 5 y 60 若由最小二乘法求得y关于x的线性回归方程为，并据此计算在样本点处的残差为0，则______． 14. “布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加A、B、C三个智力竞赛项目，每个人都要报名参加.分别求在下列情况下的不同报名方法的种数. （1）甲、乙报同一项目，丙不报A项目； （2）甲不报A项目，且B、C项目报名的人数相同. 16. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 17. 某同学参加篮球投篮测试，罚球位上定位投中的概率为，三步篮投中的概率为，测试时罚球位上投篮投中得2分，三步篮投中得1分，不中得0分，每次投篮的结果相互独立，该同学罚球位上定位投篮1次，三步上篮2次. （1）求“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”的概率； （2）求该同学的总得分X的分布列和数学期望. 18. 2020年3月，由于疫情的影响，各地学生在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为，男生中有30人对线上教育满意，女生中有15人表示对线上教育不满意. （1）完成下面的列联表，并依据的独立性检验，分析对线上教育是否满意与性别是否有关： 单位：人 满意 不满意 合计 男生 女生 合计 120 （2）从被调查的对线上教育满意的学生中，利用分层随机抽样抽取8名学生，再在这8名学生中抽取3名学生作线上学习的经验介绍，其中抽取男生的人数为，求的分布列及期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 已知函数，（）. （1）若，求的图象在处的切线方程； （2）若对于任意的恒成立，求a的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 友好学校第七十九届期末联考 高二数学 本试卷共19题，满分150分，共4页.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码贴在条形码区域内. 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色中性笔书写，字体工整，笔记清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸、试题卷上答题无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某省专家组为评审某市是否达到“生态园林城市”的标准，从6位专家中选出2位组成评审委员会，则组成该评审委员会的不同方式共有（ 　） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用组合的定义直接列式作答. 【详解】依题意，从6位专家中选出2位组成评审委员会是组合问题， 所以组成该评审委员会的不同方式共有种. 故选：B 2. 设，则（ ） A. B. C. 3 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的定义进行转化即可. 【详解】，. 故选：B 3. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. 15 C. D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】由二项展开式通项公式求解． 【详解】， 令，得， ∴常数， 故选：B． 4. 已知某种产品的合格率是，合格品中的一级品率是.则这种产品的一级品率为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率公式直接求解即可. 【详解】设事件为合格品，事件为一级品，则，，则. 故选：A. 5. 已知，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2025 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，再赋值即可求解. 【详解】函数，求导得， 当时，，解得. 故选：D 6. 已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，则图中阴影部分的面积为（ ） 附：若随机变量，则，， A. 0.1359 B. 0.7282 C. 0.8641 D. 0.93205 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布密度曲线的对称性，可求出阴影部分的面积， 【详解】根据题意，随机变量满足正态分布， 得，，则对称轴为，且， 根据正态分布密度曲线的性质，可得阴影部分的面积 ． 故选：A 7. 十二生肖作为中国民俗文化的代表，是中国传统文化的精髓，很多人把生肖作为春节的吉祥物，以此来表达对新年的祝福.某课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型（如图），并在十二个面分别雕刻了十二生肖的图案，作为春节的吉祥物.2021年春节前，其中2个兴趣小组成员将模型随机抛出，希望能抛出牛的图案朝上（即牛的图案在最上面），2人各抛一次，则恰好出现一次牛的图案朝上的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知得1人抛一次抛出牛的图案朝上的概率是，由此可求得选项. 【详解】因为1人抛一次抛出牛的图案朝上的概率是， 所以2人各抛一次，则恰好出现一次牛的图案朝上的概率为， 故选：C. 8. 已知变量x与y，且观测数据如下表（），则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是（ ） x 1 2 3 4 5 y 6.5 a 4 b 1 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数据的变化趋势排除A、B；再由样本中心在回归直线求，结合判断C、D. 【详解】由题设，随变大而变小，故回归方程一次项的系数为负数，排除A、B； ，，又， C：，则，符合， D：，则，不符， 故选：C 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一袋中装有10个大小相同的小球，其中6个黑球，编号为1，2，3，4，5，6，4个白球，编号为7，8，9，10，下列结论中正确的是（ ） A. 若有放回地摸取4个球，则取出的球中白球个数X服从二项分布 B. 若一次性地摸取4个球，则取出的球中白球个数Y服从超几何分布 C. 若一次性地取4个球，则取到2个白球的概率为 D. 若一次性地摸取4个球，则取到的白球数大于黑球数的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接利用二项分布和超几何分布的应用，排列数和组合数的应用直接判断. 【详解】对A，取出白球和取出黑球的概率分别为和，符合二项分布，故A正确； 对B，一次性地摸取4个球，则取出的球中白球个数的分布列，符合超几何分布，故B正确； 对C，一次性地取4个球，则取到2个白球的概率为，故C错误； 对D，取出的白球为3和4，故，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是正确理解二项分布和超几何分布的概念. 10. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 在处的切线方程为 B. 的单调递减区间为 C. 的极大值为 D. 方程有两个不同的解 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用导数的几何意义求解，对于B，求导后，由导数小于零求解，对于C，求导后求极值，对于D，函数与的交点个数判断 【详解】对于A，由（），得，，则，所以在处的切线方程为，所以A错误， 对于B，由，得，，所以的单调递减区间为，所以B正确， 对于C，由，得，当时，，当时，，所以当时，取得极大值，所以C正确， 对于D，由C选项可知的最大值为，且当时，，当时，， 所以函数与的交点个数为1，所以有1个解，所以D错误， 故选：BC 11. 某校团委对“学生性别和喜欢运动是否有关”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生喜欢运动的人数占男生人数的，女生喜欢运动的人数占女生人数的，若有95%的把握，但没有99%的把握认为“是否喜欢运动和性别有关”，则被调查人中男生可能有（ ） 临界值参照表： A. 25人 B. 45人 C. 60人 D. 75人 【答案】BC 【解析】 【分析】设男生人数为，写出列联表，计算出，根据临界值列不等式求解. 【详解】设男生人数为，则女生人数也为，列联表如下： 喜欢运动的人数 不喜欢运动的人数 合计 男生 女生 合计 ， 由题意，解得， 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则_________. 【答案】3 【解析】 【分析】应用排列公式解排列数方程即可. 【详解】由题设，且，， 则， 所以，则， 所以，可得（非整数解舍）. 故答案为：3 13. 为研究变量x，y的相关关系，收集得到如下数据： x 1 2 3 4 5 y 60 若由最小二乘法求得y关于x的线性回归方程为，并据此计算在样本点处的残差为0，则______． 【答案】290 【解析】 【分析】先利用残差的计算公式求出，再根据回归直线过样本点的中心求出，即可得解． 【详解】因为在样本点处的残差为0， 所以，得， 则y关于x的线性回归方程为． 因为，所以， 所以． 故答案为： 14. “布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】定义从出发最终从1号口出的概率为，结合独立乘法、互斥加法列出方程组即可求解. 【详解】设从出发最终从1号口出的概率为，所以，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加A、B、C三个智力竞赛项目，每个人都要报名参加.分别求在下列情况下的不同报名方法的种数. （1）甲、乙报同一项目，丙不报A项目； （2）甲不报A项目，且B、C项目报名的人数相同. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）按分步计数原理去求解即可解决； （2）先分类再分步去求甲不报A项目，且B、C项目报名的人数相同的方法数即可. 【小问1详解】 甲、乙报同一项目，可以在A、B、C三个智力竞赛项目中任选一个，有种方法， 接下来丁可以在A、B、C三个智力竞赛项目中任选一个，有种方法， 最后丙不报A项目，共有种方法. 则甲、乙报同一项目，丙不报A项目共有种报名方法. 【小问2详解】 由题意，若B、C项目各有一人，先在乙、丙、丁三名同学中任选一人，有种方法，此人与甲在B、C项目中全排列，有种方法，余下的二人去参加A项目，有1种方法.则方法总数为种报名方法； 若B、C项目各有两人，则先给B项目选人，有种方法，再给C项目选人，有种方法，则方法总数为种报名方法. 所以甲不报A项目，且B、C项目报名的人数相同的报名方法共有种. 16. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果. 【详解】（1）当时，，则，，， 此时，曲线在点处的切线方程为，即； （2）因为，则， 由题意可得，解得， 故，，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，单调递减区间为. 当时，；当时，. 所以，，. 17. 某同学参加篮球投篮测试，罚球位上定位投中的概率为，三步篮投中的概率为，测试时罚球位上投篮投中得2分，三步篮投中得1分，不中得0分，每次投篮的结果相互独立，该同学罚球位上定位投篮1次，三步上篮2次. （1）求“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”的概率； （2）求该同学的总得分X的分布列和数学期望. 【答案】（1）； （2）分布列： X 0 1 2 3 4 P 数学期望为3.1分. 【解析】 【分析】（1）设该同学“罚球位上定位投中”为事件A，“三步篮投中”为事件B，“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”为事件C，根据独立事件乘法原理可求得答案； （2）X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出随机变量取每一个值的概率，得出随机变量的分布列，从而再由数学期望公式可求得答案. 【详解】（1）设该同学“罚球位上定位投中”为事件A，“三步篮投中”为事件B，“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”为事件C， 则， 所以； （2）X的可能取值为0，1，2，3，4， 所以， ， ， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 故， 则该同学得分的数学期望是3.1分. 18. 2020年3月，由于疫情的影响，各地学生在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为，男生中有30人对线上教育满意，女生中有15人表示对线上教育不满意. （1）完成下面的列联表，并依据的独立性检验，分析对线上教育是否满意与性别是否有关： 单位：人 满意 不满意 合计 男生 女生 合计 120 （2）从被调查的对线上教育满意的学生中，利用分层随机抽样抽取8名学生，再在这8名学生中抽取3名学生作线上学习的经验介绍，其中抽取男生的人数为，求的分布列及期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表如下：单位：人 满意 不满意 合计 男生 30 25 55 女生 50 15 65 合计 80 40 120 认为对线上教育是否满意与性别有关 （2）的分布列为 0 1 2 3 数学期望： 【解析】 【分析】（1）由题意，根据比例求出男女生满意和不满意的人数，即可完成列联表；写出零假设，由定义计算并与比较即可得出结果； （2）由男女满意人数比例求出男生的人数及的可能取值，服从超几何分布，即可由超几何分布概率公式求出概率，得到分布列，最后根据定义求出期望即可 【小问1详解】 男生人数为， 所以女生人数为，于是可完成列联表如下： 单位：人 满意 不满意 合计 男生 30 25 55 女生 50 15 65 合计 80 40 120 零假设为：对线上教育是否满意与性别无关. 计算可得 ， 依据的独立性检验，推断不成立，即认为对线上教育是否满意与性别有关. 【小问2详解】 由（1）可知男生抽取3人，女生抽取5人，依题可知的可能取值为0，1，2，3， 并且服从超几何分布，，即 ，， ，. 所以的分布列为 0 1 2 3 可得. 19. 已知函数，（）. （1）若，求的图象在处的切线方程； （2）若对于任意的恒成立，求a的取值范围； 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）讨论、，并应用导数研究不等式恒成立求参数范围. 【小问1详解】 由题设，则， 所以，，则的图象在处的切线方程为， 所以切线方程为； 【小问2详解】 对恒成立，， 设（），则， 当，即时，在上单调递增， 且，所以， 即，此时在上单调递增，且， 所以对恒成立. 当，即时，令，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，又，在上恒有，即， 函数在上单调递减，且，在上有，不符合题意. 综上，，即实数a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $