江西省全南中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

江西省全南中学2024-2025学年度第二学期期末考试 高一年级数学试卷 一、单选题 1．（    ） A．2i B． C． D．0 2．使得等式有意义的实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知向量与共线，则实数（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则（   ） A． B． C． D． 5．把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D．. 6．已知一个圆柱形容器的轴截面是边长为4的正方形，往容器内注水后水面高度为3，若再往容器中放入一个半径为1的实心铁球，则此时水面的高度为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的部分图象如图所示，若，则（    ） A． B． C． D． 8．在△ABC中，若点满足，且，则的值为（    ） A． B．2 C． D．3 二、多选题 9．已知函数，下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．的一个对称中心为 C．在区间内单调递增 D．将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象 10．已知复数，则（    ） A． B． C．为纯虚数 D．在复平面内对应的点位于第四象限 11．已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 三、填空题 12．已知，则的值为 ． 13．已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为 .(用坐标表示) 14．已知，复数，，若为纯虚数，则的虚部为 . 四、解答题 15．已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求的单调递减区间． 16．（1）已知，且是第四象限的角．求及； （2）已知，求及． 17．如图所示的几何体的上部是一个正四棱锥，下部是一个正方体，其中正四棱锥的高为是等边三角形，. (1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积. 18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，. (1)求B； (2)若，，求a、c. 19．如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点在侧棱SD上，且． (1)求证：； (2)求二面角的平面角的正切值； (3)侧棱SC上是否存在一点，使得平面PAC．若存在，求的值；若不存 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 江西省全南中学2024-2025学年度第二学期高一数学期末考试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B A B A A B ACD ABD 题号 11 答案 CD 1．A 【分析】根据复数的乘法运算，计算结果. 【详解】由题意得. 故选：A. 2．D 【详解】由得．因为，所以，解得． 3．B 【分析】根据向量共线的坐标公式，即可求解. 【详解】因为与共线，所以，得. 故选：B. 4．A 【分析】将题给等式两边同时平方得到，结合范围可判断的符号，再利用同角三角函数基本关系可即求得. 【详解】， 故， 又且，故， ，故. 故选：A. 5．B 【分析】求出把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）后的函数，求出再将图象上所有的点向右平移个单位长度后的函数. 【详解】把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）后的函数为， 再将图象上所有的点向右平移个单位长度后的函数为. 故选：B. 6．A 【分析】根据已知条件，容器中放入铁球后，总体积为水体积和球体积，由此列方程求解即可. 【详解】由已知可得圆柱的底面半径为2，往容器内注水后水面高度为3，此时放入一个半径为1的实心铁球，铁球的直径为2，所以铁球完全没入水中， 设此时水面的高度为，则，解得， 故选：A. 7．A 【分析】由函数的图象求得函数的解析式，再由余弦的二倍角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题图可知相邻对称轴间的距离为，可得， 因此，， 当时，，，故，． 由可得， 由函数的最大值为3可得，因此， 由，得， 所以． 故选：A． 8．B 【分析】根据平面向量的基本定理求解. 【详解】如图， ， 又， ∴，故． 故选：B． 9．ACD 【分析】辅助角公式化简函数，根据三角函数的基本性质即可求解. 【详解】因为， A选项，的最小正周期为，故A选项正确； B选项，，故B选项错误； C选项，因为，则， 所以函数在区间内单调递增，故C选项正确； D选项，将函数的图象上所有点向右平移个单位长度得，的图象，故D选项正确； 故选：ACD 10．ABD 【分析】根据复数的乘法求出复数，再根据复数的相关知识逐项判断即可. 【详解】， ，A正确； ，B正确； 不是纯虚数，C错误； 在复平面内对应的点位于第四象限，D正确. 故选：ABD. 11．CD 【分析】根据线线关系，线面关系分别判断各个选项即可. 【详解】对于A，若，，则或n与m异面，所以A错误. 对于B，若，，，，没有m，n是相交直线这个条件，不能得到，所以B错误. 对于C，由，得存在过直线m的平面与平面相交，令交线为c，则，而，，则，，因此，C正确. 对于D，若，，则，又，所以，D正确. 故选：CD. 12． 【详解】因为，所以，所以． 13． 【分析】根据向量投影的计算公式求出向量在向量方向上的投影，再结合投影向量的定义求出投影向量. 【详解】根据向量投影的计算公式，向量在向量方向上的投影为. 已知，，则. . 所以向量在向量方向上的投影为. 根据投影向量的定义，向量在向量方向上的投影向量为. 将，，代入可得： . 故答案为：. 14． 【分析】先应用复数乘法及除法运算，再结合复数类型计算求参即可. 【详解】依题意可知为纯虚数，故，解得，所以虚部为. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据余弦函数周期公式求解； （2）根据余弦函数的单调递减区间求解. 【详解】（1）的最小正周期为. （2）令，，解得：，， 所以的单调递减区间为，. 16．答案见解析 【分析】（1）先根据象限角判断，然后根据同角三角函数的关系求解； （2）先根据判断角所在象限，然后根据同角三角函数的关系求解 【详解】（1）是第四象限的角，则，于是，则； （2），则是第二或四象限的角， 当是第二象限角时，，由，解得； 当是第四象限角时，，由，解得； 17．(1) (2) 【分析】（1）设是的中点，连接，进而可证明，从而可得计算正四棱锥的侧面积与正方体的五个面积求解； （2）根据锥体与正方体体积求解即可. 【详解】（1）设是的中点，连接. 因为是边长为6的正三角形， 所以，且， 所以该几何体的表面积. （2）连接，设交点为，连接，则是四棱锥的高， 则，所以. 又正方体的体积为， 所以该几何体的体积. 18．(1) (2)，或， 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式求出，即可得解； （2）首先求出，由数量积的定义求出，再由余弦定理求出，最后解得即可. 【详解】（1）因为， 即， 即， 由正弦定理可得， ，， ，，， ，； （2）由（1）可得. ，， ，又， 即， ，由，解得或. 19．(1)证明见解析 (2) (3)存在，，理由见解析 【分析】（1）连接，连接，利用正四棱锥的结构特征，结合线面垂直的性质判定推理即得； （2）过作于，过作于，连接，即可得到是二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得； （3）过点作一平面平行于平面，再确定该平面与的交点即可得解. 【详解】（1）在正四棱锥中，连接，设， 连接，则点是正方形的中心，根据正四棱锥的性质可得平面，而平面，则， 又，平面，，于是平面，而 平面， 所以. （2）过作于，过作于，连接， 在三角形中，，又平面，所以平面， 因为平面，所以， 又平面，所以平面， 平面，所以，于是是二面角的平面角， 令正方形边长为2，则，， 因为， 所以，， 在直角三角形中，， 所以二面角的正切值为． （3）在上取点，使得，过作交于点，连接， 由平面平面PAC，得平面PAC，由是的中点，得， 而平面平面PAC，得平面PAC， 又平面，因此平面平面PAC，而平面， 则平面，由（2）知，，即点是中点，故， 于是，所以侧棱上存在一点，使得平面PAC，此时． $$