精品解析：安徽省马鞍山市2024-2025学年高二下学期期末教学质量监测数学试题

马鞍山市2024～2025学年第二学期期末教学质量监测 高二数学试题 注意事项： 1.答卷前，务必将自己的姓名、考号和班级填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知是虚数单位，复数满足，则的虚部为（ ） A 3 B. 4 C. D. 3. 如果，是实数，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知两个非零向量与的夹角为，我们把数量叫作向量与的叉乘的模，记作，即.若向量，，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 5. 等差数列的前项和为，公差，，则使的的最大值为（ ） A. 1012 B. 1013 C. 2024 D. 2025 6. 圆锥的侧面积等于和它等高等底的圆柱的侧面积，则圆锥侧面展开图的圆心角为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上的所有极值点从小到大依次记为，，，，则（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 24 8. 已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线的渐近线上，且点在第一象限，线段的中点在的左支上，，则双曲线的离心率为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，则样本相关系数就越接近1 B. 已知随机变量，若，则 C. 数据，，，，，，，的第75百分位数为9 D. 若事件，满足，，则 10. 已知，则（ ） A. B. C D. 11. 已知平面直角坐标系中，动点到点和的距离的乘积为2，点的轨迹如图所示，则（ ） A. 过点 B. 关于直线和直线均对称 C. 到原点距离的最大值为 D. 直线与相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置. 12. 已知，且，则实数的取值范围是______. 13. 若把满足的正整数组称为“勾股数组”，则在不大于14的正整数中，随机选取3个不同的数，能组成“勾股数组”的概率为______. 14. 已知实数，满足，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内. 15. 已知中，角，，的对边分别为，，.当时，函数取得最大值. （1）求角的大小； （2）若边上中线，求面积最大值. 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形.平面，，分别是，的中点. （1）证明：平面平面； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求点到平面的距离. 17. 已知，. （1）曲线与直线相切，求的值； （2）若有两个零点，求实数取值范围. 18. 已知抛物线的焦点到椭圆右焦点的距离等于椭圆长半轴长. （1）求抛物线方程； （2）过点作抛物线的两条切线，切点分别为，（在的右侧）.点为线段上的动点（不含端点），过作抛物线的另一条切线，切点为，直线与交于点.求证：为定值，并求定值. 19. 在某项趣味篮球游戏中，每个参与者投篮若干次，根据投篮情况获取相应积分，得分规则如下：第一次投篮，投中得2分，未投中得1分；从第二次投篮开始，投中得上一次所得分数的2倍，未投中得1分.已知甲每次投篮投中的概率均为，且每次投篮结果互不影响. （1）求甲投篮3次得分总和为4分的概率； （2）记甲第次（）投篮的得分为，甲投（）次篮的得分总和为. （i）求，，，并写出（）时，与关系式（不需证明）； （ii）已知结论：，为两个随机变量，则.利用这个结论求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 马鞍山市2024～2025学年第二学期期末教学质量监测 高二数学试题 注意事项： 1.答卷前，务必将自己的姓名、考号和班级填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先求得集合，再进行集合交集即可. 【详解】由，， 则，有3个元素. 故选：C. 2. 已知是虚数单位，复数满足，则的虚部为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得的虚部. 【详解】由， 则， 所以的虚部为4. 故选：B. 3. 如果，是实数，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件. 【详解】当时，满足，而； 当时，若，则， 所以，而，则； 若，则， 所以，而，则. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 已知两个非零向量与的夹角为，我们把数量叫作向量与的叉乘的模，记作，即.若向量，，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据向量的坐标求以及，再代入叉乘公式，即可求解. 【详解】由，， 则， 由，所以，则， 所以. 故选：D. 5. 等差数列的前项和为，公差，，则使的的最大值为（ ） A. 1012 B. 1013 C. 2024 D. 2025 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列前项和公式和等差数列的性质求解即可. 详解】由， 则， 因为等差数列的公差，所以， 则，，即， 所以数列是前1012项为正数，从第1013项开始为负数的递减数列， 则使的的最大值为1012. 故选：A. 6. 圆锥的侧面积等于和它等高等底的圆柱的侧面积，则圆锥侧面展开图的圆心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥和圆柱的侧面展开图特征及侧面积公式求解即可. 【详解】由题意，设圆锥和圆柱的底面半径为，高为, 则圆锥母线长为， 则圆锥的侧面积为， 而圆柱的侧面积为，则， 即，则， 则圆锥侧面展开图的圆心角为. 故选：A. 7. 已知函数在上的所有极值点从小到大依次记为，，，，则（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得极值点满足或，由此画出图象，可得极值点有8个且两两互为相反数，进而可得，据此可得答案. 【详解】由， 则 ， 令，得或. 如图，画出图象， 结合图象可得函数的极值点有8个. 则互为相反数，因， 则，又注意到， 则. 故选：D. 8. 已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线的渐近线上，且点在第一象限，线段的中点在的左支上，，则双曲线的离心率为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出点的坐标，求出点的坐标，由已知建立方程组即可求得离心率. 【详解】双曲线的左焦点，渐近线， 依题意，点在直线上，设，则， 由点在的左支上，得，整理得， 由，得，整理得， 消去得，解得，所以双曲线的离心率. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，则样本相关系数就越接近1 B. 已知随机变量，若，则 C. 数据，，，，，，，的第75百分位数为9 D. 若事件，满足，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据相关系数的性质即可判断A；由正态分布对称性判断B；由百分位数的求法判断C；根据条件概率公式求解判断D. 【详解】对于A，两个随机变量的线性相关性越强， 则样本相关系数的绝对值就越接近1，故A错误； 对于B，由，则，因为， 所以，则，故B正确； 对于C，由，则第75百分位数为，故C错误； 对于D，由，则， 所以，故D正确. 故选：BD. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式求解判断AB；分别赋值，，，求解判断CD. 【详解】对于AB，展开式的通项公式为， ， 令，得， 所以，故A错误， 令，得， 所以， 令，得， 所以， 则，故B正确； 对于C，由， 令，得， 令，得， 则，故C正确； 对于D，令，得， 由C得， 两式相减得，， 所以，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知平面直角坐标系中，动点到点和的距离的乘积为2，点的轨迹如图所示，则（ ） A. 过点 B. 关于直线和直线均对称 C. 到原点距离的最大值为 D. 直线与相切 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意得到轨迹的方程为，进而验证并判断A；分别验证和是否满足轨迹的方程，即可判断B；结合图象及B求解判断C；结合BC分析可得直线与不相切，即可判断D. 【详解】由题意，， 化简得点的轨迹的方程为. 对于A，将点代入方程得， 则过点，故A正确； 对于B，将代入方程得 ， 将代入方程得， 所以关于直线和直线均对称，故B正确； 对于C，由B知，关于直线和直线均对称， 则的中心点为， 结合图象可知，当在直线上，且在右上角时， 到原点距离最大，设， 此时到原点距离为，到距离为， 由题意得，，解得（其它值舍去）， 则到原点距离的最大值为，故C正确； 对于D，由BC知，的中心点为，且在右上角处的点为， 则在点出的切线方程为， 由于，且直线与直线平行， 所以直线与不相切，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置. 12. 已知，且，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】分别分析两个不等式和，再取它们的交集. 【详解】分析， 即，根号下的数需非负：， 两边平方：， 结合对数函数的底数要求得：. 分析， 当时，对数函数单调递增，此时可转化为， 因为函数递增，真数的大小关系与对数的大小关系一致，即：， 结合前提，此情况的解为：； 当时，函数单调递减，此时，可转化为， 因为函数单调递减，真数关系与对数关系相反，即：， 结合前提，此情况的解为：； 综合以上信息可知当时，同时满足两个不等式. 故答案为：. 13. 若把满足的正整数组称为“勾股数组”，则在不大于14的正整数中，随机选取3个不同的数，能组成“勾股数组”的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据组合数求解总数，即可列举所有符合条件的事件，即可由古典概型的概率公式求解. 【详解】由题意可知基本事件的总数为， 能组成“勾股数组”的有，共3个， 故所求概率为. 故答案为：. 14. 已知实数，满足，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】构造向量，根据数量积的定义和性质可求最大值. 【详解】， 设向量，则， 则，当且仅当时取等号，， 所以的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内. 15. 已知中，角，，的对边分别为，，.当时，函数取得最大值. （1）求角的大小； （2）若边上中线，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据二倍角公式、辅助角公式将函数化简得，再根据正弦函数性质求最大值，进而确定角的大小； （2）根据题意可得，进而结合平面向量数量积的运算律、基本不等式可得，再根据三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 由， 因为，所以， 则，即时，取得最大值，则. 【小问2详解】 因为为边的中线，则， 则， 则， 即，当且仅当时等号成立， 所以， 则面积的最大值为. 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形.平面，，分别是，的中点. （1）证明：平面平面； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，先证明，可得平面，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，设，，利用空间向量结合题设可得，再利用点到面的距离的空间向量公式求解即可. 【小问1详解】 连接交于点，连接， 在正方形中，为的中点， 因为为的中点，所有， 又平面，所有平面， 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设，，则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 易得平面的一个法向量为， 则，解得， 则，，即， 所以点到平面的距离为. 17. 已知，. （1）曲线与直线相切，求的值； （2）若有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义及点在切线上和曲线上可得，，设，利用导数分析其单调性，进而得到，进而求解即可； （2）分与，结合题设及函数单调性可得，再结合零点存在性定理得到答案. 【小问1详解】 由，，则， 设切点为，， 则，则， 又，所以， 则，即， 设， 则， 因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减，又 则时，；时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以，则. 【小问2详解】 由，，则， 当时，，则在单调递增，此时至多有一个零点，不符合题意； 当时，， 令，解得；令，解得， 故上单调递减，在上单调递增， 要使有两个零点，需， 则，解得， 而，， 当时，令， 则，所以函数在上单调递增， 故，则， 所以， 由零点存在性定理可知，在与上分别存在唯一零点. 综上所述，实数的取值范围为. 18. 已知抛物线的焦点到椭圆右焦点的距离等于椭圆长半轴长. （1）求抛物线方程； （2）过点作抛物线的两条切线，切点分别为，（在的右侧）.点为线段上的动点（不含端点），过作抛物线的另一条切线，切点为，直线与交于点.求证：为定值，并求定值. 【答案】（1） （2）证明见解析，定值为 【解析】 【分析】（1）先求出抛物线和椭圆的焦点坐标以及椭圆的长半轴长，进而列方程可求得，进而求解即可； （2）利用判别式求出切线的斜率，求出切点的坐标以及直线的方程，表示出，的坐标，即可证明为定值. 【小问1详解】 抛物线的焦点为， 由椭圆，则，即右焦点为，长半轴长为， 由题意，得，解得， 则抛物线方程为. 【小问2详解】 设过点与抛物线相切的直线方程为， 由，可得， 则，解得， 则，解得，则， 则直线：，直线：， 设，，设直线：，， 由，可得， 由，则， 可得或（舍去）， 则，解得， 则，直线：． 由，解得，即， 故为定值． 19. 在某项趣味篮球游戏中，每个参与者投篮若干次，根据投篮情况获取相应积分，得分规则如下：第一次投篮，投中得2分，未投中得1分；从第二次投篮开始，投中得上一次所得分数的2倍，未投中得1分.已知甲每次投篮投中的概率均为，且每次投篮结果互不影响. （1）求甲投篮3次得分总和为4分的概率； （2）记甲第次（）投篮的得分为，甲投（）次篮的得分总和为. （i）求，，，并写出（）时，与的关系式（不需证明）； （ii）已知结论：，为两个随机变量，则.利用这个结论求. 【答案】（1）； （2）（ⅰ），，，；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，分析甲前三次答题得分之和为4分的事件，再利用独立重复试验的概率公式计算作答. （2）（ⅰ）依次求出得分分别为的可能值及对应的概率，再利用期望的定义求解；分析3个期望的关系，探求与的关系即可；（ⅱ）由（ⅰ）的递推公式，求出，再利用给定等式，结合等比数列前项和公式求解. 【小问1详解】 甲投篮3次得分总和为4分的事件，即为学生甲前三次投篮中仅投中一次的事件， 所以. 【小问2详解】 （ⅰ）学生甲第1次投篮得2分、1分的概率分别为，，所以； 甲第2次投篮得4分、2分、1分的概率分别为，，，所以； 甲第3次投篮得8分、4分、2分、1分的概率分别为，，，， 所以； 显然，， 当时，甲第次投篮所得分数的期望为， 则第次投中所得分数，没投中所得分数为1，其概率分别为，， 于是甲第次投篮所得分数的期望为， 即，，． （ⅱ）由（ⅰ）得，即数列是首项为，公比为的等比数列， 则，即， 总得分，由，得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$