精品解析：安徽省马鞍山市2023～2024学年高二下学期期末教学质量监测数学试题

马鞍山市2023~2024学年第二学期期末教学质量监测 高二数学试题 注意事项： 1．答卷前，务必将自己的姓名、考号和班级填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的图象在点处切线的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 六一儿童节，西湖小学举办欢乐童年联欢会，原定的7个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为（ ） A. 180种 B. 336种 C. 720种 D. 1440种 3. 在的展开式中，项的系数为（ ） A. 10 B. C. 20 D. 4. 已知函数，的导函数的图象如图，那么，的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 假设A，B是两个事件，且，，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 小明用摸球的方式决定周末去A或B地游玩，规则如下；箱子里装有质地和大小完全相同的4个红球和3个白球，从中任取4个小球，若取出的红球个数不少于白球个数，则去A地，否则去B地，则小明去A地游玩的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 随机变量的分布列如下所示则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，满足（是自然对数的底数），则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 两个随机变量的线性相关越强，则相关系数越接近于1 B. 用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越大的模型拟合的效果越好 C. 随机变量，，则 D. 随机变量，则当时，最大 10. 甲乙两人进行投篮比赛，共比赛局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为，如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛．记甲赢得比赛的概率为，则（ ） A B. C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，和都是奇函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 关于点对称 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12 若，则________． 13. 如果一个四位数各个位数上的数字之和为8，则称这个四位数为“幸运数”，那么总共有________个“幸运数”． 14. 如图，一点从正方形的顶点处出发在各顶点间移动，每次移动要么以的概率沿平行于方向（正、反方向均可）移动一步；要么以的概率沿平行于方向（正、反方向均可）移动一步．设移动步后回到点的概率为，到达点的概率为，则________，________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在时取得极小值． （1）求实数，的值； （2）求在区间上的最值． 16. 某企业为了打开产品销路，斥资摄制了一部广告宣传片，于2024年1月1日开始在各电视媒体投放，统计该企业2024年前5个月的销售收入，获得数据如下： 月份 1 2 3 4 5 销售收入/万元 380 460 580 670 860 （1）已知与呈线性相关关系，求经验回归方程，并据此预测该企业2024年7月份的销售收入 （2）为了解此次广告投放的效果，该企业随机抽取60名消费者进行问卷调查，得到如下不完整的列联表： 观看广告 未观看广告 总计 购买 30 45 未购买 10 总计 请将上表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，能否认为购买产品与观看广告有关联？ 参考数据：． 参考公式：最小二乘法估计，． ，其中． 0.10 0.05 0.001 0.005 2.706 3841 6.635 7.879 17. 已知函数． （1）证明：； （2）设为方程的两个根，且，求证：． 18. 2024年5月18日世界博物馆日中国主会场活动在陕西历史博物馆举办，同时“秦汉文明”系列展览开幕．某校组织学生参加志愿者服务，志愿活动共有特展讲解、秩序维持、少儿手绘培训三项．志愿者参加特展讲解可获得3个志愿积分，参加秩序维持、少儿手绘培训可获得2个志愿积分，凭积分可在博物馆领取相应纪念品．某班有6名学生（男生2人，女生4人）参加志愿活动，每个人的选择互不影响． （1）若每个人等可能的选择一项活动参加，求在男生甲选择了秩序维持的条件下，男生乙也选择秩序维持的概率； （2）若两个男生都只参加秩序维持，每个女生从特展讲解、少儿手绘培训中选择一项或两项参加，且选择一项参加和选择两项参加的概率都为．现从6人中随机选取两人，记两人积分之和为X，求X的分布列和期望． 19. 定义一：整数排列称为级排列，例如：2431是一个4级排列．定义二：在一个级排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，那么它们就称为一个逆序．一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数，记为．例如：4级排列2431中的逆序有21，43，41，31，所以． （1）求6级排列215643的逆序数； （2）称逆序数是偶数的排列为偶排列，逆序数是奇数的排列为奇排列 ①判定级排列，的奇偶性； ②现将一个级排列：中的任意两个数交换位置，其余数位置不变，得到一个新的级排列，证明：与的奇偶性不同． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 马鞍山市2023~2024学年第二学期期末教学质量监测 高二数学试题 注意事项： 1．答卷前，务必将自己的姓名、考号和班级填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的图象在点处切线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数求导公式求出函数的导数即可求解. 【详解】，当时，， 所以函数的图象在点处切线的斜率为. 故选：A. 2. 六一儿童节，西湖小学举办欢乐童年联欢会，原定的7个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为（ ） A. 180种 B. 336种 C. 720种 D. 1440种 【答案】C 【解析】 【分析】分个新节目在一起、个新节目有两个相邻、个新节目都不相邻三种情况讨论，利用插空法计算可得. 【详解】①若个新节目在一起，则有种插法； ②若个新节目有两个相邻，则有种插法； ③若个新节目都不相邻，则有种插法； 综上一共有种不同的插法. 故选：C 3. 在的展开式中，项的系数为（ ） A. 10 B. C. 20 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式即可求解. 【详解】展开式的通项公式为， 当时，. 故选：B. 4. 已知函数，的导函数的图象如图，那么，的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由导数符号与函数单调性的关系即可逐一判断各个选项. 【详解】由题意恒成立，且只有一个点使得，所以在实数域上单调递增，由此可排除BC， 设的根为，则当时，，当时，，即先单调递减再单调递增，故排除D，经检验A符合题意. 故选：A. 5. 假设A，B是两个事件，且，，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率的性质以及条件概率公式即可判断ABC；举例判断D. 【详解】对于A，由于，则，A正确； 对于B，由于，，而，不一定相等，故不一定成立，B错误； 对于C，当相互独立时，，而，则，C错误； 对于D，不妨举例抛掷一枚质地均匀的骰子，设A：向上点数为偶数，B：向上点数不小于4， 则，，则，D错误， 故选：A 6. 小明用摸球的方式决定周末去A或B地游玩，规则如下；箱子里装有质地和大小完全相同的4个红球和3个白球，从中任取4个小球，若取出的红球个数不少于白球个数，则去A地，否则去B地，则小明去A地游玩的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当抽到的红球个数为2个，3个或4个可去地游玩，根据概率公式即可求解. 【详解】设小明去A地游玩为事件，则事件发生的情况是抽到的红球个数为2个，3个或4个， 故. 故选：D. 7. 随机变量的分布列如下所示则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由分布列的性质可得的关系，再由期望公式求，由方差公式求，利用导数求的最大值. 【详解】由题可知，，， 所以，， ， ， 则， 令， 则， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以的最大值为． 故选：D． 8. 已知，满足（是自然对数的底数），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题知，令，进而构造函数，再根据函数的单调性得，，再与求和整理即可判断A、B，再由零点存在性定理判断C、D. 【详解】因为，所以，即，也即， 即， 令， 由，即，所以， 即， 令，，恒成立， 所以函数在定义域上单调递减， 由，， 所以，，所以，则，所以，故A错误； 又因为，得，所以，解得， 所以，故B错误； 令，则在定义域上单调递减， 又，， ， 则在上存在唯一零点，又，所以，故C错误； 因为， 因为，所以，所以， ， 所以在上存在唯一零点，即，则，又， 则，所以，故D正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键是构造函数，以及引入变量，满足. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 两个随机变量的线性相关越强，则相关系数越接近于1 B. 用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越大的模型拟合的效果越好 C. 随机变量，，则 D. 随机变量，则当时，最大 【答案】CD 【解析】 【分析】两个随机变量的线性相关越强，相关系数的绝对值越接近于1，残差平方和越小的模型拟合的效果越好，根据正态分布的对称性可判断C，根据二项分布的知识可判断D. 【详解】两个随机变量的线性相关越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故A错； 用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好，故B错； 因为随机变量，，所以 所以，故，C正确； 随机变量，当满足不等式组时，最大，解不等式组可得，因为为整数，所以，故D正确. 故选：CD. 10. 甲乙两人进行投篮比赛，共比赛局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为，如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛．记甲赢得比赛的概率为，则（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】要使甲赢得比赛，则甲至少赢局，进而表达出，结合组合数的公式求解可得，再逐个选项判断即可. 【详解】由题意知：要使甲赢得比赛，则甲至少赢局， 故， 而， 且， ； 对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C、D：因为， 又， 故，故随着的增大而增大， 故的最小值为，无最大值，故D正确，C错误. 故选：AD 11. 已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，和都是奇函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 关于点对称 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由为奇函数，可得的图象关于点对称，判断A；由已知条件结合函数奇偶性定义，可得判断B；由导数与原函数的关系，可判断C；由已知可得4是的一个周期，进而计算可得判断D. 【详解】对于A：由为奇函数，则， 则，即的图象关于点对称，故A正确； 对于B：由为奇函数，则，即， 即得为常数，令，即得，则， 故，即，则， 又为奇函数，所以， 即，可得，故， 故，即，即是奇函数，故B正确； 对于C：由于，故，即， 故是的一个周期， 又，即，所以为周期为的周期函数， 因为，所以，即， 所以，故C错误； 对于D：因为是R上的奇函数，故，，结合得， ，， 故，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：解答此类抽象函数的问题，解决的关键是利用赋值法或者变量代换，推出函数的性质，比如对称性，奇偶性以及周期性，进而可求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】令求出，令求出，即可得解. 【详解】因为， 令可得， 令可得， 所以. 故答案为： 13. 如果一个四位数各个位数上的数字之和为8，则称这个四位数为“幸运数”，那么总共有________个“幸运数”． 【答案】 【解析】 【分析】对的个数分四种情况讨论，再确定另外的数字，最后再排列. 【详解】①若有个，则为，共个； ②若有个，则另外两个数为，，，，则有个； ③若有个，则另外三个数为，，，，， 则有个； ④若没有，则为，，，，， 则有个； 综上一共有个. 故答案为： 14. 如图，一点从正方形的顶点处出发在各顶点间移动，每次移动要么以的概率沿平行于方向（正、反方向均可）移动一步；要么以的概率沿平行于方向（正、反方向均可）移动一步．设移动步后回到点的概率为，到达点的概率为，则________，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据相互独立事件及互斥事件概率公式求出，，再由、，即可得到是以为首项、公比的等比数列，从而求出的通项公式. 【详解】依题意，， 又， ， 所以， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列，所以. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出、，再结合等比数列的定义求出的通项公式. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在时取得极小值． （1）求实数，的值； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1）， （2）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，解得、的值，再代入检验； （2）由（1）可得函数解析式，再利用导数说明函数的单调性，求出区间端点的函数值与极小值，即可得解. 【小问1详解】 因， 所以， 依题意，即， 解得或， 若，则，则无极值点，不满足题意， 经检验符合题意，所以，. 【小问2详解】 由（1）知， 则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，上单调递增， 则在处取得极小值， 又，，， 所以在上的最小值为，最大值为. 16. 某企业为了打开产品销路，斥资摄制了一部广告宣传片，于2024年1月1日开始在各电视媒体投放，统计该企业2024年前5个月的销售收入，获得数据如下： 月份 1 2 3 4 5 销售收入/万元 380 460 580 670 860 （1）已知与呈线性相关关系，求经验回归方程，并据此预测该企业2024年7月份的销售收入 （2）为了解此次广告投放的效果，该企业随机抽取60名消费者进行问卷调查，得到如下不完整的列联表： 观看广告 未观看广告 总计 购买 30 45 未购买 10 总计 请将上表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，能否认为购买产品与观看广告有关联？ 参考数据：． 参考公式：最小二乘法估计，． ，其中． 0.10 0.05 0.001 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1），预测年月份该公司销售金额约为万元 （2）列联表见解析，可以认为购买产品与观看广告有关联 【解析】 分析】（1）计算出，，，即可求出，，从而求出回归直线方程，再令计算可得； （2）完善列联表，计算出卡方，即可判断. 【小问1详解】 因为，， ，又， 所以，， 所以经验回归方程为，当时，（万元）， 所以预测年月份该公司销售金额约为万元； 【小问2详解】 补全列联表如下： 观看广告 未观看广告 总计 购买 30 15 45 未购买 5 10 15 总计 35 25 60 零假设：购买产品与观看广告无关， 根据以上数据，经计算得到， 根据小概率值的独立性检验我们推断不成立， 认为购买产品与观看广告有关联，此推断犯错误的概率不大于. 17. 已知函数． （1）证明：； （2）设为方程的两个根，且，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由得出的最大值，即可证明； （2）利用导数研究函数的性质可得由题意可得，原不等式变形为，利用分析法，构造函数设，证明，即，结合即可证明. 【小问1详解】 证明：函数求导， 令，得， 当时，在单调递增； 当时，在单调递减； 所以当时，函数在定义域内有最大值， 因此 【小问2详解】 由（1）得，在单调递增，在单调递减； 方程的两个不相等的实根为，且， 且， 所以 要证，即证， 即证，即证， 由，得. 设，则， 令，令，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值，则，即， 所以，则， 即，即证. 18. 2024年5月18日世界博物馆日中国主会场活动在陕西历史博物馆举办，同时“秦汉文明”系列展览开幕．某校组织学生参加志愿者服务，志愿活动共有特展讲解、秩序维持、少儿手绘培训三项．志愿者参加特展讲解可获得3个志愿积分，参加秩序维持、少儿手绘培训可获得2个志愿积分，凭积分可在博物馆领取相应的纪念品．某班有6名学生（男生2人，女生4人）参加志愿活动，每个人的选择互不影响． （1）若每个人等可能的选择一项活动参加，求在男生甲选择了秩序维持的条件下，男生乙也选择秩序维持的概率； （2）若两个男生都只参加秩序维持，每个女生从特展讲解、少儿手绘培训中选择一项或两项参加，且选择一项参加和选择两项参加的概率都为．现从6人中随机选取两人，记两人积分之和为X，求X的分布列和期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据条件概率的计算公式，即可求得答案； （2）确定X可能取值，求出每个值相应的概率，即可得分布列，继而求得期望. 【小问1详解】 由题意可知男生甲选择了秩序维持的条件下，其他同学共有种选择， 而此时男生乙也选择秩序维持时其他同学的选择共有种， 故在男生甲选择了秩序维持的条件下，男生乙也选择秩序维持的概率为； 【小问2详解】 若选2男生，则积分和为4分；若选一男一女，则积分和可能为4，5，7分； 若选2女生，则积分和可能为4，5，6，7，8，10分； 故X的所有可能取值为4，5，6，7，8，10分， 则， , , , , 故X的分布列为： X 4 5 6 7 8 10 P 则. 【点睛】难点点睛：解答本题难点在于确定X的可能取值后，计算概率时，要明确X的每个值相应的情况，继而根据乘法公式进行求解. 19. 定义一：整数的排列称为级排列，例如：2431是一个4级排列．定义二：在一个级排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，那么它们就称为一个逆序．一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数，记为．例如：4级排列2431中的逆序有21，43，41，31，所以． （1）求6级排列215643的逆序数； （2）称逆序数是偶数的排列为偶排列，逆序数是奇数的排列为奇排列 ①判定级排列，的奇偶性； ②现将一个级排列：中的任意两个数交换位置，其余数位置不变，得到一个新的级排列，证明：与的奇偶性不同． 【答案】（1） （2）①答案见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）写出排列的所有逆序，即可得解； （2）①由逆序的定义可得，再对分四种情况讨论，即可得解；②设将排列中的与，交换，其余数位置不变，分与相邻和与不相邻两种情况讨论，即可证明. 【小问1详解】 级排列的逆序有：，，，，，， 所以； 【小问2详解】 ①由逆序数定义， 当，时，为偶数，排列是偶排列； 当，时，为奇数，排列是奇排列． ②证明：设将排列中的与，交换，其余数位置不变， （i）如果与相邻，即，则除与外其余元素的逆序数不变， 故当时，；当时，． 所以与奇偶性不同． （ii）如果与不相邻，记， 则可将排列经过次相邻变换将移动到之前， 得到排列， 再经过次相邻变换，将移动到之后，得到， 从而排列可经过次相邻元素之间的变换得到排列， 每一次相邻元素间的变换奇偶性都改变一次，所以与奇偶性不同． 综上：排列与排列奇偶性不同． 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是对题干所给定义理解并应用，第二问关键是证明出与相邻时奇偶性不同，然后推导出与不相邻时奇偶性也不相同. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$