第1章 勾股定理能力提升卷- 【千里马·单元测试卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学(北师大版2024)

参考答案及解析 第一章 基础测试卷 1.A 2.B 3.A 4.C 5.C 6.A 7.A 8.C 9.B 10.D [解析]分两种情况：①当MN为最大线段时，因为点 M,N是线段AB的勾股分割点，所以BN2=MN2-AM2= 32-22=5;②当BN为最大线段时，因为点M,V是线段 AB的勾股分割点，所以BN2=MN2+AM2=32+22=13. 综上所述，BN2的值为5或13.故选D. 11.16 12.100 13.4.8 14.15 15.60 cm [解析]因为a:b=5:12,所以设a=5k cm,则b =12k cm.因为∠C=90°,c=26cm,所以a2+b2=c2,所 以(5k)2+(12k)2=262,解得k=2或k=-2(舍去),所 以a=10cm,b=24cm,所以△ABC的周长=a+b+c= 10+24+26=60(cm).故答案为60 cm. 16.解：(1)因为∠A=90°, 所以BC2=AB2+AC2=92+122=225, 即BC=15. (2)△BCD是直角三角形，理由： 因为BC2=152=225, BD2=82=64,CD2=172=289, 所以BC2+BD2=CD2, 所以△BCD是直角三角形. 17.解：因为BD⊥AD,所以∠ADB=90°. 在Rt△ABD中，由勾股定理，得 AD2=AB2-BD2=502-302=1 600, 所以AD=40 cm. 答：点B离墙的距离AD为40cm. 18.解：在Rt△AEB中， AB2=AE2+BE2,AE=3米，BE=4米， 所以AB=5米， 所以长方形ABCD的面积=10×5=50(平方米). 答：阳光透过的最大面积是50平方米. 19.解：如答图，把圆柱的侧面展开得到长方形，则这圈金属 丝的周长最小为2AC的长度. 因为圆柱底面的周长为6 dm, 圆柱的高为4 dm, 所以AB=4 dm,BC=BC′=3 dm, 所以AC2=42+32=25, 所以AC=5, 所以2AC=10 dm, 所以这圈金属丝的周长最小为10 dm. A C B C′ 19题答图 20.解：因为S大正方形=4×S直角三角形+S小正方形 =4×2ab+(b-a)2 =2ab+b2+a2-2ab =a2+b2, 又因为S大正方形=c2,所以a2+b2=c2. 21.解：根据题意，得OA=6×1.5=9(海里), OB=8×1.5=12(海里), 所以OB2+OA2=122+92=225. 因为AB=15海里，所以AB2=152=225, 所以OB2+OA2=AB2,所以∠AOB=90°. 因为∠AOD=60°,所以∠BOD=30°, 即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西30°. 22.解：(1)在Rt△CDB中，由勾股定理，得 CD2=BC2-BD2=172-82=225, 所以CD=15米， 所以CE=CD+DE=CD+AB=15+1.5=16.5(米), 所以风筝的垂直高度CE为16.5米. (2)如答图，由题意，得CM=9米，所以DM=6米. 在Rt△BMD中， 由勾股定理，得BM2=DM2+BD2=62+82=102, 则BM=10米，所以 BC-BM=17-10=7(米), 所以他应该往回收线7米. C M B& DE 22题答图 23.解：(1)所画正方形如答图①所示(答案不唯一). A C 23题答图① 23题答图② 23题答图③ (2)所画三角形如答图②所示(答案不唯一). (3)连接AC,如答图③. B 由勾股定理，得AC2=BC2=5,AB2=10. 因为AC2+BC2=5+5=10=AB2, 所以△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°, 所以∠ABC=45°. 第一章 能力提升卷 1.C 2.A 3.D 4.C 5.C 6.C 7.D 8.A [解析]因为车宽为2.4米，所以欲通过隧道，只要比 较距隧道中线1.2米处的高度与车高.在Rt△OCD中，由 勾股定理可得CD2=0C2-OD2=22-1.22=1.62,所以 CD=1.6米，所以CH=CD+DH=1.6+2.5=4.1(米), 所以卡车的外形高必须低于4.1米. 9.A 10.B [解析]设绳索AC的长是xm,则AB=x m.因为DE =FC=3m,BE=1m,所以AD=AB+BE-DE=x+1- 3=(x-2)m.因为AC2=AD2+CD2,所以x2=(x- 2)2+42,所以x=5,所以AC=5m.故选B. 11.61225 13.10 14.m2+1 15.101寸 [解析]设OA=OB=AD=BC=r寸，过点D作 DE⊥AB于点B,则 DE=10寸，OE= CD=1寸，AE= (r-1)寸.在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2,即(r-1)2+ 102=r2,解得2r=101.故门的宽度(两扇门宽度的和)AB为 101寸. DC A E0 B 15题答图 16.解：(1)△ACD是直角三角形. 理由：在Rt△ABC中，∠B=90°,AB=8,BC=6, 所以AC2=AB2+BC2=82+62=100, 所以AC=10. 因为CD=26,AD=24, 所以CD2-AD2=262-242=100=AC2, 所以△ACD是直角三角形. (2)由(1)知△ACD是直角三角形，且∠CAD=90°. 因为 S△AcD=2AC·AD=2AE·DC, 所以AE=ACA=10×624=13 17.解：(1)因为AB=10,BD=6,AD=8, 所以BD2+AD2=62+82=102=AB2, 所以△ABD是直角三角形，∠ADB=90°. (2)因为∠ADB=90°,所以∠ADC=90°. 在Rt△ACD中，AC=17,AD=8, 所以CD2=AC2-AD2=225,所以CD=15. 八年级数学 北师版上册 18.解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC2=AB2-AC2, 所以BC=16cm. 由折叠的性质可知DC=DE,AC=AE=12cm, ∠DEA=∠C=90°, 所以BE=AB-AE=8cm,∠DEB=90°. 设DC=DE=x cm,则BD=(16-x)cm. 在Rt△BDE中，由勾股定理，得BE2+ED2=BD2, 即82+x2=(16-x)2, 解得x=6,所以CD=6cm. 19.解：如答图，连接AC. 由勾股定理可知AC2=AD2+CD2=42+32=25, 即AC=5米. 又因为AC2+BC2=52+122=132=AB2, 所以△ABC是直角三角形， 所以这块地的面积=△ABC的面积-△ACD的面积 ×5×12-2×3×4=24(平方米) C D A B 19题答图 20.解：由题意，得蚂蚁爬行的最短路径为AB,如答图所示. 因为AC=1+3+1+3=8,BC=6, 则AB2=AC2+BC2=100, 所以AB=10,即蚂蚁爬行的最短距离为10. C_ D EA B 20题答图 21.解：(1)由题意可知AD=60km,AD⊥BC. 在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2, 所以602+BD2=1002, 所以BD=80 km. 因为BC=125 km, 所以CD=BC-BD=125-80=45(km), 所以AC2=CD2+AD2=452+602=752, 所以AC=75 km, 75÷25=3(h), 所以轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为3h. (2)因为AB2+AC2=1002+752=15625, BC2=1252=15625, 所以AB2+AC2=BC2, 所以∠BAC=90°, 所以∠NAC=180°-90°-48°=42°, 所以C岛在A港的北偏西42°方向上. ·43· 见此图标品抖音/微信扫码 AI伴学助手在线答疑解惑 22.解：(1)如答图，点P即为所求. 理由：作点A关于河岸CD的对称点A',连接 BA'交河岸 于点P,连接PA,则PA=PA'. 因为PB+PA=PB+PA'=BA', 此时路程最短， 所以牧人应将马赶到河边的点P处. (2)如答图，过点A'作A'B'⊥BD,交BD的延长线于点B', 易得DB'=CA'=CA=500m,B'A'=CD=500 m. 在Rt△BB'A'中，BB′=BD+DB′=1200m, A'B2=B'B2+A'B'2, 所以A'B=1300 m, 所以牧人要走的最短路程是1 300 m. B'. A' D C A B 22题答图 23.解：(1)因为∠ACB=90°, 在Rt△ABC中，BC2=AB2-AC2=52-32=16, 所以 BC=4cm. (2)由题意，知BP=t cm. ①如答图①,当∠APB为直角时，点P与点C重合， BP=BC=4cm,即t=4; ②如答图②,当∠BAP为直角时，CP=(t-4)cm. 在Rt△ACP中，AP2=32+(t-4)2, 在Rt△BAP中，AB2+AP2=BP2, 即52+[32+(t-4)2]=t2,解得；1=2 A B C(P) A① B C P 23题答图① 23题答图② 综上所述，当△ABP为直角三角形时，t=4或1=25 (3)①如答图③,当BP=AB时，t=5; ②如答图④,当AB=AP时，BP=2BC=8cm,所以t=8; ③如答图⑤,当BP=AP时， AP=BP=tcm,CP=(4-t)cm. 在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2, 即P2=32+(4-1)2,解得1=-8 A B C P A B C P 23题答图③ A B P C 23题答图④ 23题答图⑤ 综上所述，当△ABP为等腰三角形时，t=5或t=8或1=8 第二章 基础测试卷 1.B 2.C 3.B 4.D 5.C 6.C 7.C 8.A 9.C [解析]因为正方形ABCD的面积为12,正方形BEFG 的面积为6,所以AB=AD=2√3,BG=√6,所以S△ADP= AD·AG=2×2√3×(2√3-√6)=6-3√2. 10.C [解析]由题意可分两种情况讨论：①当3≥m时，有 9m=36,解得m=4,不符合3≥m,所以此种情况不符合 题意；②当3<m 时，有3m2=36,解得m=±2√3.因为 3<m,所以m=-2√3舍去，即m=2√3.故选C. 11.2 12.π 13.2 14.4 15.1 [解析]当n=2时， 原式=[(15)-(1? 方(1+/5+1-5(1+5-1+5 方×√5=1. 16.解：(1)原式=4-1-4+√3=√3-1. (2)原式=√16+2√6-(8+4√6+3) =4+2√6-11-4√6 =-7-2√6. 17.解：(1)因为4(x-3)2=9, 所以(x-3)2=2, 所以x-3=2或x-3=-2, 解得x=2或x=2 (2)因为(x+10)3+125=0, 所以(x+10)3=-125, 所以x+10=3-125, 所以x+10=-5, 解得x=-15. 18.解：有理数集合 {,0,314,0.313 131 8,-√64,} 无理数集合 {晋，-√5,7.15151·相邻两个1之间5的个数逐次 加1),} 正数集合 “,号，3.14,0.313131 38,7.151551-(相邻两个 1之间5的个数查次加1)} 负数集合{-√5,-√64,⋯}. 19.解：因为一个正数的平方根为k-1和2, 所以k-1+(-2)=0, 所以k=2 这个正数为((一2)-49 故k的值为92,这个正数为44 20.解：梯子的顶端不能到达8.5m高的墙头. 理由：因为当梯子稳定摆放时，梯子的底端离墙的距离 为梯子长度的13,且梯子的长度为9m, 所以梯子的底端离墙的距离为!9×3=3(m), 所以梯子的顶端离地面的距离为√92-32=√72(m). 因为8.52=72.25>72, 所以梯子的顶端不能到达8.5m高的墙头. 21.解：(1)△ABC是直角三角形.理由如下： 如答图，在Rt△ABF中，AB2=32+22=13. 在Rt△AEC中，AC2=82+12=65. 在Rt△BDC中，BC2=62+42=52, 所以AB2+BC2=AC2, 所以△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°. C AK F B D 21题答图 (2)由(1)可得AB=√13,BC=2√13. 因为△ABC是直角三角形， 所以 S△ABc=2AB·BC=2×√13×2√13=13. 22.解：(1)根据题意，知p=a+2t=9, 所以S△ABCc=√P(p-a)(p-b)(p-e) =√9×(9-8)×(9-4)×(9-6)=3√15. (2)因为SABc=—2ch?=2b2=2ah?=3√15, 所以-2×6h,=2×4h?=2×8h,=3√15, 所以h?=√15,h?=3√215,n=3√45, 所以h?+h?+h?=13√15 23.解：(1)m2+3n2 2mn [解析]因为a+b√3=(m+n√3)2, 所以a+b√3=m2+3n2+2mn√3, 所以a=m2+3n2,b=2mn. (2)13 4√3 1 2(答案不唯一) (3)因为a+4√3=(m+n√3)2, 所以a+4√3=m2+3n2+2mn√3, 所以a=m2+3n2,4=2mn. 因为m,n均为正整数， 所以m=2,n=1或m=1,n=2, 所以a=22+3×12=7或a=12+3×22=13, 即a的值为7或13. 第二章 能力提升卷 1.A 2.B 3.C 4.A 5.A 6.D 7.C 8.A 9.B [解析]由题意，得Sm影=2×2×2×2+÷×2×2=6, 所以a2=6.因为a>0,所以a=√6,所以4-a=4-√6=1+ 3-√6,所以x=1,y=3-√6,所以x(x-y)=1×(1-3+√6) =-2+√6. 10.B [解析]Same=3×4-2×2×2-2×4×1-2× 3×2=5,AB=√22+32=√13.设AB边上的高为h, 所以AB=h=5,所以h=13=10133 11.5 12.2 13.9 14.1 15.255 [解析]因为[√3]=1,[√15]=3,[√255]=15, 所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大 的是255.故答案为255. 16.解：(1)原式=(2×厚一吾)×(2×2√2+) =(16-2)×(2+) =2√5+2-1-353+1. ·44· 考号 班级 姓名_ 装，⋯⋯订-线，⋯内⋯⋯不⋯要⋯⋯-答⋯⋯题⋯⋯ 第一章 能力提升卷 [答案：P43] 答题卡 【考查范围：勾股定理】 时间：120分钟 满分：120分 题 号 一 二 三 总 分 得 分 第一部分 选择题(共30分) 一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,且a2-b2= c2,则下列说法正确的是 ( ) A.∠C是直角 B.∠B是直角 C.∠A是直角 D.∠A是钝角 2.新考向(长沙中考)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数 书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中 小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何?”这道题 讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里、12里、 13里(1里=500米),问这块沙田面积有多大?则该沙田的 面积为 ( ) A.7.5平方千米 B.15平方千米 C.75平方千米 D.750平方千米 3.(河南周口期末)如图，以Rt△ABC的三边为边分别向外作 正方形，它们的面积分别为S?,S?,S?,若S?+S?+S?=50,则 S?的值为 ( ) A.10 B.15 C.20 D.25 A A S? S? B S? C B 3题图 5题图 4.一个直角三角形的周长为48,一条直角边与斜边长度的比值 是35,则另一条直角边的长度为 ( ) A.4 B.8 C.16 D.20 5.如图，有一个圆锥，高为8cm,直径为12cm.在圆锥的底边点 B处有一只蚂蚁，它想吃掉圆锥顶部A处的食物，则它需要 爬行的最短路程是 ( ) A.8 cm B.9 cm C.10 cm D.11 cm 6.(甘肃兰州期末)如图，两艘航母护卫舰从同一港口0同时出 发，一号舰沿南偏西30°方向以12海里/时的速度航行，二号舰 以16海里/时的速度航行，离开港口1.5小时后，它们分别到 达A,B两点，相距30海里，则二号舰航行的方向是( ) A.南偏东30° B.北偏东30° C.南偏东60° D.南偏西60° C ↑N 0 E 0 B 2.5米 B H A D 4米- 6题图 8题图 7.若△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足(a-b)(a2+b2- c2)=0,则△ABC是 ( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 8.(山东青岛期中)一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过 如图所示的半圆形隧道，则卡车的外形高必须低于( ) A.4.1米 B.4.0米 C.3.9米 D.3.8米 9.新情境某数学兴趣小组开展了探究“笔记本电脑的张角大 小”的实践活动.如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处到 桌面的距离BC为7cm,此时底部边缘A处与C处间的距离 AC为24 cm,小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现 当张角为∠DAF时(D是B的对应点),顶部边缘D处到桌 面的距离DE为20cm,则底部边缘A处与E处间的距离AE 为 ( ) A.15 cm B.18 cm C.21 cm D.24 cm D A B、 C D C E A F FL BE 9题图 10题图 10.新考法(内蒙古包头期中)勾股定理是人类数学文化的一 颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也 是数形结合的纽带之一.如图，当秋千静止时，踏板离地的 垂直高度BE=1m,将它往前推4m至C处时(即水平距离 CD=4m),踏板离地的垂直高度CF=3m,它的绳索始终拉 直，则绳索AC的长是 ( ) A.4m B.5m C.6m D.8 m 八年级数学 北师版上册 第二部分 非选择题(共90分) 二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分) 11.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,已知∠C= 90°,a:b=3:4,c=10,则a=____. 12.如图，△ABC中，∠ACB=90°,AC=3,AB=5,P,Q分别为 AB,BC边上的动点，则CP+PQ的最小值为_______. A 具 D I L G E J K B F C 13题图 A P C QB 12题图 D C A 0 B 15题图 13.新考向我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一 幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”.如图是由弦图变化得 到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，若图中正方形 ABCD的边长为14,正方形IJKL的边长为2,且IJ//AB,则 正方形EFGH的边长为_______. 14.新情境(黄冈、孝感、咸宁中考)勾股定理最早出现在商高 的《周髀算经》:“勾广三，股修四，径隅五.”观察下列勾股 数：3,4,5;5,12,13;7,24,25;⋯这类勾股数的特点：勾为奇 数，弦与股的差为1.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股的差为 2的一类勾股数，如：6,8,10;8,15,17;⋯·若此类勾股数的 勾为2m(m≥3,m为正整数),则其弦是____.(结果用 含m的式子表示) 15.[传统文化]在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一 题：“今有开门去阃(kǔn)一尺，不合二寸，问门广几何.”大意 是说：如图，推开两扇门(AD和BC),门边缘D,C两点到门槛 AB的距离为1尺(1尺=10寸),两扇门间的缝隙CD 为2寸，那么门的宽度(两扇门宽度的和)AB为____. 三、解答题(本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演 算步骤或推理过程) 16.(10分)(河南焦作期末)如图，四边形 ABCD中，∠B=90°, AC为对角线，AE⊥CD于点E,已知AB=8,BC=6,CD=26, AD=24. (1)请判断△ACD的形状并说明理由； (2)求线段AE的长. A Br C E D 16题图 ·3· 见此图标品抖音/微信扫码 AI伴学助手在线答疑解惑 17.(8分)(河南鹤壁期末)如图，在△ABC中，D是BC边上一 点，连接AD,AB=10,AC=17,BD=6,AD=8. (1)求∠ADB的度数； (2)求CD的长. A B D C 17题图 18.(8分)如图，有一个直角三角形纸片，∠ACB=90°,AC= 12 cm,AB=20 cm,现将直角三角形纸片沿直线AD折叠，使 点C落在斜边AB上的点E处，连接DE,求CD的长. C D B E A 18题图 19.(8分)如图，学校有一块空地ABCD,准备种草皮绿化.已知 ∠ADC=90°,AD=4米，CD=3米，AB=13米，BC=12米， 求这块地的面积. C D A B 19题图 20.(8分)如图，六块完全相同的长方体砖整齐地摆放在一起， 其中AE=1,DE=3,BC=6.若一只蚂蚁要从点A处爬到点 B处，则蚂蚁爬行的最短距离为多少? A E D C B 20题图 21.(8分)(四川成都期中)一艘轮船从A港向南偏西48°方向 航行100 km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125 km到 达C岛，A港到航线 BM的距离是60 km. (1)若轮船速度为25km/h,求轮船从C岛沿CA返回A港 所需的时间； (2)C岛在A港的什么方向? M C 北 4N Dp A 东 B 21题图 22.(12分)如图，一牧人在A处牧马，牧人的家在B处，A,B处 距河岸的距离分别是AC=500 m,BD=700 m,且C,D两地 间的距离为500 m,牧人准备从A处出发将马牵到河边去饮 水，再赶回家. (1)为了使所走的路程最短，牧人应将马赶到河边什么地 点?请你在图中画出来并说明理由； (2)请求出牧人要走的最短路程. D C A B 22题图 23.(13分)[核心素养](山东济南期中)如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°,AB=5 cm,AC=3cm,动点P从点B出发沿射 线BC以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s. (1)求BC边的长； (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值； (3)当△ABP为等腰三角形时，求t的值. A B P C 23题图 ·4·