精品解析：2025年广东省广州市增城区中考二模数学试题

2025年初中毕业班综合测试（二） 数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共6页，满分120分，考试时间120分钟．注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名：填写考点考场号、座位号，再用2B铅笔把对应这两个号码的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡同时交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的） 1. 的绝对值为（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，掌握绝对值的意义是关键．因此此题根据绝对值的意义进行求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 2. 圆柱的高为，它的底面半径为，则这个圆柱的侧面积是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆柱的侧面积，圆柱的侧面积计算公式为底面周长乘以高，据此求解即可． 【详解】∵圆柱的高为，它的底面半径为， ∴ ∴这个圆柱的侧面积是． 故选C． 3. 某地3月1日至7日每天最高气温（单位：）依次为：10，8，9，9，10，10，11关于这组数据下列说法正确的是（ ） A. 中位数是9 B. 众数是10 C. 平均数是9 D. 方差是1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查众数，平均数，中位数，方差的概念，属于基础题． 由众数，平均数，中位数，方差的概念求解可得结论． 详解】解：整理：8，9，9，10，10，10，11， 中位数：10； 众数：10； 平均数：， 方差：； 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质、零指数幂、负整数指数幂等基本运算规则，根据二次根式的性质、零指数幂、负整数指数幂逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A、，不能合并，原计算错误，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集．分别解出每一个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”即可得出该不等式组的解集，最后在数轴上表示即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴该不等式组的解集为， ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图， 故选：C． 6. 反比例函数的图像与正比例函数的图像的一个交点为，则另一个交点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数和反比例函数的交点问题，根据两个交点关于原点对称解答即可． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的一个交点为， ∴另一个交点与点关于原点对称， ∴另一个交点是． 故选：A． 7. 如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若米，则点到直线距离为（ ） A. 米 B. 300米 C. 200米 D. 100米 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到，结合平行线性质得到和等腰三角形性质得到，再推出，进而得到，最后利用勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：如图，由题可知，，，， ，， ， 米， 米， ， ， 米， 米． 故选：A． 【点睛】本题考查的是方向角，平行线性质，等腰三角形性质，勾股定理，直角三角形性质，正确理解方向角是解题的关键． 8. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设规定时间为天，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设规定时间为天， 由题意得，， 故选：． 9. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）． A. 且 B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，熟悉利用根的判别式是解题的关键． 利用根的判别式进行判定即可． 【详解】解：一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得：，且， 故选：C． 10. 如图，是的切线，切点分别为A、B，是的直径，交于点E，连接交于点F，连接交于点D．下列结论错误的是（ ）． A. B. C. 平分 D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接根据切线长定理判断B；再说明是的垂直平分线，根据等弧所对的圆周角相等得，即可判断B；然后证明，可得，接下来说明是的中位线，根据中位线的性质判断D即可；最后证明，解答A即可． 【详解】解：如图所示，连接 ∵是的切线， ∴． 则B正确； ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴平分； 则C正确； ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴，即． 则D正确； ∵， ∴， 不能说明这两个三角形全等． 所以A不正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了切线长定理，线段垂直平分线的性质和判定，圆周角定理及推论，相似三角形的判定，中位线的定义和性质，灵活选择判定定理是解题的关键． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 我国自主研制的全球最大集装箱船“地中海泰莎”号的甲板面积近似于4个标准足球场，可承载吨的货物．数字用科学记数法可表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值． 根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1． 【详解】解：大于1，用科学记数法表示为，其中，， ∴用科学记数法表示为， 故答案为：． 12. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，直接提取公因式，即可求解． 【详解】解：． 故答案为: . 13. 抛物线的对称轴是直线________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，对称轴是直线，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．根据顶点式的对称轴是直线，即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 14. 在一个不透明的口袋中装有2个红球和3个白球，它们除颜色外其它都相同．从口袋中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，利用概率计算公式，用红球的个数除以球的总个数，算出概率即可． 【详解】解：∵有2个红球和3个白球， ∴任意摸出一个球是红球的概率． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，是的角平分线，，垂足为点．若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线性质，等腰三角形性质，勾股定理的应用，根据角平分线性质得出，求出，根据勾股定理求出，即可求出答案． 【详解】解：， ，， 是的角平分线，， ，， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，，点是的中点，点为直线下方一点，且以为斜边在矩形的外部作，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，取中点，连接，根据矩形的性质可求的长，根据勾股定理可求的长，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可求的长，根据三角形三边关系可求得当点，点，点共线时，有最大值，即． 详解】解：如图，取中点，连接， 四边形是矩形， ， 点是中点，点是的中点， ， ， 点是的斜边的中点， ， 根据三角形三边关系可得：， 当点，点，点共线时，最大，最大值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴， ∴或， 解得：， 18. 如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据平行线的性质可得，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】证明：∵， 在和中 ， ， ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）将向右平移5个单位长度后得到，请在图中画出； （2）将绕点B顺时针旋转后得到，请在图中画出； （3）在（2）的条件下，求线段扫过的扇形面积． 【答案】（1）见解析 （2） 见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变换、平移和旋转、勾股定理及求扇形面积，正确画出图形是解题的关键． （1）先找到点平移后的对应点，依次连接即可； （2）线段绕点B顺时针旋转得到，线段绕点B顺时针旋转得到，依次连接即可． （3）根据旋转的特点，求扇形即可得到答案． 【小问1详解】 解：点向右平移5个单位得，即，依次连接则就是所求的三角形，如图： 【小问2详解】 解：线段绕点B顺时针旋转得到，线段绕点B顺时针旋转得到，依次连接，则就是所求的三角形，如图： 【小问3详解】 解：画出三角形旋转时顶点的移动轨迹，见下图： ∵将绕着点B顺时针旋转后得到，线段旋转到线段， ， ∴线段BC扫过的扇形面积： 20. 已知． （1）化简T； （2）若a是关于x的不等式的正整数解，求T的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用分式的乘除混合运算化简，解答即可． （2）解不等式，确定整数解，结合分式有意义的条件，确定不能选的数，再选择适当数，求值即可． 本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，不等式的整数解，熟练掌握化简，解不等式是解题的关键． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， 是正整数解， ， 原式． 21. 学校记者站要招聘名小主持人，考查形象、知识面、表达能力项素质，按形象占，知识面占，表达能力占计算加权平均数作为最后评定的总成绩．甲、乙两位同学的各项成绩如下表（单位：分） 形象 知识面 表达能力 甲 乙 （1）计算甲同学的总成绩； （2）若乙同学要在总成绩上超过甲同学，则他的表达能力成绩应超过多少分？ 【答案】（1）甲同学的总成绩分； （2）他的表达能力成绩应超过分． 【解析】 【分析】（）按照各项目所占比，利用加权平均数求出甲同学的总成绩； （）利用题中乙同学要总成绩上超过甲同学，根据加权平均数列出不等式，然后求解即可； 本题考查了加权平均数，一元一次不等式的应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：（分）， 答：甲同学的总成绩分； 【小问2详解】 解：， 解得：， 答：他的表达能力成绩应超过分． 22. 近日，火爆全球，在国内外掀起下载热潮和热议，的出现，不仅为我国人工智能的发展注入了新的活力，更让全球见证了我国在领域的卓越创新与突破．某人工智能研发公司要购进甲、乙两种芯片共1000片，甲种芯片每片的价格是600元，乙种芯片每片的价格是550元，经过商议后，甲种芯片每片打九折，乙种芯片每片减40元． （1）设购买甲种芯片（片），购买甲、乙两种芯片所需的总费用为（元），求与之间的函数关系式； （2）若购买甲、乙两种芯片所需的总费用为522000元，求购买甲、乙两种芯片各多少片？ 【答案】（1） （2）购买甲种芯片 400 片，购买乙种芯片600片 【解析】 【分析】该题考查了一次函数的应用，解题的关键是列出函数关系式． （1）设购买甲种芯片片，则购买乙种芯片片，根据“甲种芯片每片的价格是600元，乙种芯片每片的价格是550元，甲种芯片每片打九折，乙种芯片每片减40元”即可求解； （2）将代入（1）中函数关系式求解即可． 【小问1详解】 解：设购买甲种芯片片，则购买乙种芯片片， ∴购买甲，乙两种芯片所需的总费用为：， 化简得：． 【小问2详解】 解： 将代入中，得：， 解得：， 因此，购买甲种芯片 400 片，购买乙种芯片片． 23. 如图，四边形中，，，于点． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，四边形的形状，并证明你的结论； （3）连接，若，求长． 【答案】（1）见解析； （2）是菱形，见解析； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了基本作图—作角平分线，菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键． （）利用基本作图作角平分线即可； （）由平分，则，再根据平行线的性质得出，故有，然后利用菱形的判定方法证明即可； （）根据菱形的性质和勾股定理求出长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解题即可． 【小问1详解】 解：如图， 【小问2详解】 解：四边形是菱形，理由如下， 如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∴四边形是菱形； 【小问3详解】 解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴． 24. 定义：把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”，例如，抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为，与轴交于点． （1）若点E的坐标为，求抛物线的解析式； （2）设的顶点为，若，求点的坐标； （3）当时，的最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】（1） （2）点的坐标为 （3）的值为或 【解析】 【分析】本题属于二次函数背景下新定义类问题，涉及等腰三角形以及两点间距离公式，二次函数的图象及性质，由“关联抛物线”的定义得出的解析式，掌握二次函数图象的性质是解题关键． （1）根据“关联抛物线”的定义可直接得出的解析式，再将该解析式化成顶点式，可得出的顶点坐标； （2）根据“关联抛物线”的定义可得的解析式，之后得到函数的顶点，过点作轴于点，连接，进而得到，，，于是根据即可得到结论； （3）当时得出的最大值和最小值，进而列出方程，可求出的值． 【小问1详解】 解： 与y轴交点的坐标为，，解得． 的解析式为； 【小问2详解】 解：根据“关联抛物线”的定义可得的解析式为， ，当时， 的顶点的坐标为，点， 过点作轴于点，连接． ，，， ， ，即． 解得． 点的坐标为； 【小问3详解】 的解析式为， 当时，， 当时，； 当时，． 根据题意可知，需要分三种情况讨论： I．当时，，且当时，函数最大值为；函数的最小值为．，解得或（舍）或（舍）； 当时，函数的最大值为，函数的最小值为． ，解得或（舍）或（舍）； Ⅱ．当时，，函数的最大值为；函数的最小值为， ，解得（舍）或（舍）； Ⅲ．当时，，不符合题意，舍去． 综上，的值为或． 25. 如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，沿边以每秒个单位长度的速度向终点运动，连接，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接．设点运动的时间为秒． （1）求的长度； （2）当的长度最小时，求的值； （3）连接，当点在的内部（包括边界）时，求点在上的运动长度． 【答案】（1） （2） （3）点的运动路径长为 【解析】 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查三角函数，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握分类讨论是解题的关键； （1）根据三角函数求出，再根据勾股定理进行计算即可； （2）根据题意证明是等腰直角三角形，当的长度最小时，的长度最小．当时，的长度最小，再根据三角函数计算结果即可； （3）分当点在上时，当点在上时两种情况进行分类讨论即可． 【小问1详解】 解：在中，， 根据勾股定理可得； 【小问2详解】 解：是的中点，， ，， 线段绕点逆时针旋转得线段， 是等腰直角三角形， ， ， 当的长度最小时，的长度最小． 当时，的长度最小， 此时， ， 解得； 【小问3详解】 解：点的运动路径长为． 如图，当点在上时， 是的中点，， ， ， 又， ， ， 解得， ， 当点在上时，， ， 又， ， ， 解得， 由图可知，当点在的内部（包括边界）时，点在上的运动长度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年初中毕业班综合测试（二） 数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共6页，满分120分，考试时间120分钟．注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名：填写考点考场号、座位号，再用2B铅笔把对应这两个号码的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡同时交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的） 1. 的绝对值为（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 圆柱的高为，它的底面半径为，则这个圆柱的侧面积是（ ）． A. B. C. D. 3. 某地3月1日至7日每天的最高气温（单位：）依次为：10，8，9，9，10，10，11关于这组数据下列说法正确的是（ ） A. 中位数是9 B. 众数是10 C. 平均数是9 D. 方差是1 4. 下列运算正确的是（ ）． A B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 反比例函数的图像与正比例函数的图像的一个交点为，则另一个交点是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若米，则点到直线距离为（ ） A. 米 B. 300米 C. 200米 D. 100米 8. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）． A. 且 B. 且 C. 且 D. 10. 如图，是的切线，切点分别为A、B，是的直径，交于点E，连接交于点F，连接交于点D．下列结论错误的是（ ）． A. B. C. 平分 D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 我国自主研制的全球最大集装箱船“地中海泰莎”号的甲板面积近似于4个标准足球场，可承载吨的货物．数字用科学记数法可表示为______． 12. 分解因式：________． 13. 抛物线的对称轴是直线________． 14. 在一个不透明的口袋中装有2个红球和3个白球，它们除颜色外其它都相同．从口袋中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是______． 15. 如图，在中，，，是的角平分线，，垂足为点．若，则________． 16. 如图，在矩形中，，，点是的中点，点为直线下方一点，且以为斜边在矩形的外部作，则的最大值为________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程：． 18. 如图，，，．求证：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将向右平移5个单位长度后得到，请图中画出； （2）将绕点B顺时针旋转后得到，请在图中画出； （3）在（2）的条件下，求线段扫过的扇形面积． 20. 已知． （1）化简T； （2）若a是关于x的不等式的正整数解，求T的值． 21. 学校记者站要招聘名小主持人，考查形象、知识面、表达能力项素质，按形象占，知识面占，表达能力占计算加权平均数作为最后评定的总成绩．甲、乙两位同学的各项成绩如下表（单位：分） 形象 知识面 表达能力 甲 乙 （1）计算甲同学的总成绩； （2）若乙同学要在总成绩上超过甲同学，则他的表达能力成绩应超过多少分？ 22. 近日，火爆全球，在国内外掀起下载热潮和热议，的出现，不仅为我国人工智能的发展注入了新的活力，更让全球见证了我国在领域的卓越创新与突破．某人工智能研发公司要购进甲、乙两种芯片共1000片，甲种芯片每片的价格是600元，乙种芯片每片的价格是550元，经过商议后，甲种芯片每片打九折，乙种芯片每片减40元． （1）设购买甲种芯片（片），购买甲、乙两种芯片所需的总费用为（元），求与之间的函数关系式； （2）若购买甲、乙两种芯片所需总费用为522000元，求购买甲、乙两种芯片各多少片？ 23. 如图，四边形中，，，于点． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，四边形形状，并证明你的结论； （3）连接，若，求长． 24. 定义：把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”，例如，抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为，与轴交于点． （1）若点E坐标为，求抛物线的解析式； （2）设的顶点为，若，求点的坐标； （3）当时，的最大值与最小值的差为，求的值． 25. 如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，沿边以每秒个单位长度的速度向终点运动，连接，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接．设点运动的时间为秒． （1）求的长度； （2）当的长度最小时，求的值； （3）连接，当点在的内部（包括边界）时，求点在上的运动长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$