精品解析：2024年广东省广州市增城区中考二模数学试题

2024年增城区初中毕业生学业综合测试试题（二） 九年级 数学 （本试卷共三大题25小题，共6页，满分120分．考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级、座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，涉及作图的题目，用于2B铅笔画图；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、涂改液和修改带．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 5．考试时不可使用计算器． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 如图所示的几何体是由5个相同的小正方体搭成的，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各点在函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，AB//CD，点E在CA的延长线上 若∠BAE =50°，则∠ACD的大小为（ ） A. 120 B. 130 C. 140 D. 150 6. 某种电器的电阻R（单位：Ω）为定值，使用此电器时，电压U（单位：V）与电流I（单位：A）是正比例函数关系．当时，，则当时，I的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 10 D. 15 7. 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？设绳子长x尺，长木长y尺，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图， 在中，，，， 是的高， 则的值是 （ ） A B. C. D. 9. 如图，是的直径，直线与相切于点C，过A，B分别作，，垂足为点D，E，连接，若，，则的面积为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 10. 二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，交y轴于点，有如下结论：①；②；③，都在该函数的图像上，则；④关于x的不等式的解集为或．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 12. 如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若周长为4，则的周长为______． 13. x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax﹣2b＝0的解，则2a﹣4b的值为 ___． 14. 如图，从一块直径为2m圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形BAC，围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是________m． 15. 如图，在中，，是的平分线，若，，则的面积为______． 16. 如图，正方形的边长为4，对角线相交于点O，点E，F分别在的延长线上，且，G为的中点，连接，交于点H，连接，则的长为________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 18. 如图，B、C、E三点在同一直线上，，，．求证：． 19. 已知 （1）化简A； （2）若，求A值． 20. 为培养学生的阅读兴趣，某校提供了四类适合学生阅读的书籍：A文学类，B科幻类，C漫画类，D数理类．为了解学生的阅读兴趣，学校随机抽取了部分学生进行调查（每位学生仅选一类），根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表： 书籍类别 学生人数 A文学类 24 B科幻类 m C漫画类 16 D数理类 8 （1）本次抽查的学生总人数是______，统计表中的______； （2）在扇形统计图中，求“C漫画类”对应扇形的圆心角度数； （3）学校决定成立“文学”“科幻”“漫画”“数理”四个阅读社团，小文、小明同时报名了四个社团中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求小文、小明选择同一社团的概率． 21. 某校数学实践小组利用数学知识测量某塔的高度．下面是两个方案及测量数据： 项目 测量某塔AB的高度 方案 方案一：测量标杆长，影长，塔影长． 方案二：测量距离，仰角，仰角． 测量 示意图 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量 数据 （1）根据“方案一”的测量数据，此塔的高度为______米． （2）根据“方案二”测量数据，求出此塔的高度．（参考数据：，，，，，） 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象交，两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）请分别求出一次函数和反比例函数的解析式； （2）把一次函数的图象向下平移t个单位，当平移后的直线与反比例函数的图象有且只有一个交点时，求t的值． 23. 如图，是等边三角形，． （1）尺规作图：将绕点A逆时针旋转得到，点B旋转后的对应点为点C（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形是菱形； （3）连接，交于点O，过点O的直线交线段于点E，当是等腰三角形时，求的长． 24. 已知二次函数的图象为抛物线C，一次函数的图象为直线l． （1）求抛物线C的顶点坐标（用含m的式子表示）； （2）若直线l与抛物线C有唯一交点，且该交点在x轴上，求k的值； （3）当时，直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线与抛物线C有两个交点，其中在抛物线对称轴左侧的交点记为点P，当为钝角三角形时，求m的取值范围． 25. 如图，在矩形中，，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点P的运动时间为t秒． （1）若． ①当点落在上时，求此时t的值； ②是否存在t，使得？若存在，求t的值？若不存在，请说明理由； （2）当点P不与C重合时，若直线与直线相交于点M，且当时存在结论“”成立，试探究：对于的任意时刻，结论“”是否总是成立？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年增城区初中毕业生学业综合测试试题（二） 九年级 数学 （本试卷共三大题25小题，共6页，满分120分．考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级、座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，涉及作图的题目，用于2B铅笔画图；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、涂改液和修改带．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 5．考试时不可使用计算器． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可． 【详解】解：有理数2024的相反数是， 故选：B． 2. 如图所示的几何体是由5个相同的小正方体搭成的，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了小立方体堆砌成的几何体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从正面看，看到的图形分为上下两层，共三列，从左边数，下面一层每一列都有一个小正方形，上面一层第二列有一个小正方形，即看到的图形如下： 故选：A． 3. 下列各点在函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将选项中的各点分别代入函数解析式，进行计算即可得到答案． 【详解】解：一次函数图象上的点都在函数图象上， 函数图象上的点都满足函数解析式， A.当时，，故本选项错误，不符合题意； B当时，，故本选项错误，不符合题意； C.当时，，故本选项错误，不符合题意； D.当时，，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上的点都在函数图象上，是解题的关键． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加法，同底数幂的除法，积的乘方和合并同类项，根据相关运算法则计算出各选项结果后再判断即可 【详解】解：A. 与不是同类二次根式，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意； B. ，故此选项计算错误，不符合题意； C. ,计算正确，符合题意； D. 与不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意； 故选：C 5. 如图，AB//CD，点E在CA的延长线上 若∠BAE =50°，则∠ACD的大小为（ ） A. 120 B. 130 C. 140 D. 150 【答案】B 【解析】 【分析】先根据补角的定义求出∠BAC的度数，再由平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵∠BAE=50°， ∴∠CAB=180°-50°=130°． ∵AB∥CD， ∴∠BAC=∠ACD=130°． 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等． 6. 某种电器的电阻R（单位：Ω）为定值，使用此电器时，电压U（单位：V）与电流I（单位：A）是正比例函数关系．当时，，则当时，I的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 10 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的定义及应用，掌握正比例函数的关系式为是解题的关键，先设电压U（单位：V）与电流I（单位：A）的关系式为，求出函数关系式，再代入求解即可． 【详解】设电压U（单位：V）与电流I（单位：A）关系式为， 当时，， ∴，， 当，， 解得： 故选：C． 7. 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？设绳子长x尺，长木长y尺，则所列方程组正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：∵用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺， ∴x-y=4.5； ∵将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺， ∴x+1=y． ∴所列方程组为． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 8. 如图， 在中，，，， 是的高， 则的值是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求余弦值，先根据条件求出，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，解得：， ∴， 故选：A． 9. 如图，是的直径，直线与相切于点C，过A，B分别作，，垂足为点D，E，连接，若，，则的面积为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线的定义，解直角三角形，直径所对的圆周角，解题的关键是掌握切线的定义，熟记各个特殊角度的三角函数值，以及直径所对的圆周角是直角． 连接，得出，易得，，推出，则是等边三角形，进而得出，再根据圆周角定理得出，根据勾股定理得出，即可得出． 【详解】解：连接， ∵直线与相切于点C， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴的面积， 故选：D． 10. 二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，交y轴于点，有如下结论：①；②；③，都在该函数的图像上，则；④关于x的不等式的解集为或．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数图象判断式子正负，二次函数图象与系数的关系． 根据图象得出，即可判断①；根据对称轴推出，再根据图象得出当时，函数值大于0，即可判断②；根据二次函数的性质和开口方向得出离对称轴越远函数值越大，即可判断③；根据二次函数的对称性得出抛物线经过，即可判断④． 【详解】解：由图可知，该抛物线开口向上，对称轴y 左侧，与y轴相交于负半轴， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ∵其对称轴为直线 ∴，则， 由图可知，当时，函数值大于0， ∴，故②正确，符合题意； ∵抛物线开口向上， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵点A到对称轴距离为，点B到对称轴距离为，， ∴ ；故③不正确，不符合题意； ∵对称轴为直线，交y轴于点， ∴抛物线经过， ∴当或时，， 即当或时，，故④正确，符合题意； 综上：正确的有①②④，共3个， 故选：C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：若代数式有意义，则， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为零是解题的关键． 12. 如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为4，则的周长为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，进而得到，则，根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵与是位似图形， ∴，， ∴， ∵， ∴的周长：的周长， ∵的周长为4， ∴的周长为8， 故答案为：8． 13. x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax﹣2b＝0的解，则2a﹣4b的值为 ___． 【答案】－2 【解析】 分析】将x＝1代入原方程即可求出，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵ x＝1是关于x的一元二次方程x2＋ax﹣2b＝0的解， ∴， 即：， ∴， 故填：－2． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的概念，属于基础题型． 14. 如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形BAC，围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是________m． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆周角定理得BC为⊙O的直径，即BC=2，所以AB= ，设该圆锥的底面圆的半径为rm，根据弧长公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：∵∠BAC=90°， ∴BC为⊙O的直径，即BC=2m， ∵AB=AC， ∴AB= ， 设该圆锥的底面圆的半径为r， 根据题意得，解得r= ， 即该圆锥的底面圆的半径为m． 故答案为． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．解题的关键是弄清扇形弧长和底面圆的周长的关系． 15. 如图，在中，，是的平分线，若，，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查角平分线的性质定理，等腰三角形三线合一，直角三角形的性质以及勾股定理．直角三角形30度角所对直角边长度是斜边的一半，角平分线上的点到角两边的距离相等，综合运用以上知识是解题的关键． 先过D点作于E，再利用角平分线的性质定理得，然后根据等腰三角形的性质得到，计算得出，得到的长，再由勾股定理得到的长，即可求解． 【详解】解：过D点作于E，如图所示， ， ， 又，是的角平分线，， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：． 16. 如图，正方形的边长为4，对角线相交于点O，点E，F分别在的延长线上，且，G为的中点，连接，交于点H，连接，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】先作辅助线构造直角三角形，求出CH和MG的长，再求出MH的长，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解:如图,作OK⊥BC，垂足为点K， ∵正方形边长为4， ∴OK=2，KC=2， ∴KC=CE， ∴CH是△OKE的中位线 ∴， 作GM⊥CD，垂足为点M， ∵G点为EF中点， ∴GM是△FCE的中位线， ∴，， ∴， 在Rt△MHG中，， 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了正方形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等内容，解决本题的关键是能作出辅助线构造直角三角形，得到三角形的中位线，利用三角形中位线定理求出相应线段的长，利用勾股定理解直角三角形等． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握不等式的性质，以及解不等式组的方法和步骤． 先分别求解两个不等式，再在数轴上表示出两个不等式的解集，找出其公共部分，即可解答． 【详解】解：， 由①可得：， 由②可得：， 在数轴上表示如图所示： 由数轴可知，原不等式组的解集为． 18. 如图，B、C、E三点在同一直线上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，也考查了三角形内角和定理．根据平行的性质可得,再根据三角形内角和定理可以得到，即可证明，故得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 19. 已知 （1）化简A； （2）若，求A的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查异分母分式的减法运算，负整数指数幂； （1）通分，化成同分母，进行计算即可； （2）根据负整数指数幂的运算法则计算a的值，代入（1）中结果进行求解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 ∴原式 20. 为培养学生的阅读兴趣，某校提供了四类适合学生阅读的书籍：A文学类，B科幻类，C漫画类，D数理类．为了解学生的阅读兴趣，学校随机抽取了部分学生进行调查（每位学生仅选一类），根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表： 书籍类别 学生人数 A文学类 24 B科幻类 m C漫画类 16 D数理类 8 （1）本次抽查的学生总人数是______，统计表中的______； （2）在扇形统计图中，求“C漫画类”对应扇形的圆心角度数； （3）学校决定成立“文学”“科幻”“漫画”“数理”四个阅读社团，小文、小明同时报名了四个社团中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求小文、小明选择同一社团的概率． 【答案】（1）80，32 （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了树状图或列表法求概率、样本估计总体、扇形统计图等相关知识，读懂题意，熟练掌握树状图或列表法求概率和准确计算是解题的关键． （1）利用A文学类的人数除以对应的百分比即可得到本次抽查的学生人数，用抽查总人数乘以B科幻类的百分比即可得到m的值； （2）用乘以“C漫画类”对应的百分比即可得到“C漫画类”对应的圆心角的度数； （3）画出树状图，找到等可能情况总数和小文、小明选择同一社团的情况数，利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，本次抽查的学生人数是（人）， 统计表中的， 故答案为：80，32 【小问2详解】 在扇形统计图中，“C漫画类”对应的圆心角的度数是： ； 【小问3详解】 树状图如下： 从树状图可看出共有16种等可能的情况，小文、小明选择同一社团的情况数共有4种， ∴P（小文、小明选择同一社团）． 21. 某校数学实践小组利用数学知识测量某塔的高度．下面是两个方案及测量数据： 项目 测量某塔AB的高度 方案 方案一：测量标杆长，影长，塔影长． 方案二：测量距离，仰角，仰角． 测量 示意图 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量 数据 （1）根据“方案一”的测量数据，此塔的高度为______米． （2）根据“方案二”的测量数据，求出此塔的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】（1）52 （2）塔的高度为米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和锐角三角函数的实际应用 （1）由题意可知，从而得出，代入测量的平均值进行求解即可； （2）根据锐角三角函数的正切值分别得出，，再根据进行求解即可 【小问1详解】 解：如图， 由题意可知， ∴，即， 解得， ∴塔的高度为米； 故答案为：52； 【小问2详解】 解：如图， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，即． ∴米 ∴塔的高度为米． 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象交，两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）请分别求出一次函数和反比例函数的解析式； （2）把一次函数的图象向下平移t个单位，当平移后的直线与反比例函数的图象有且只有一个交点时，求t的值． 【答案】（1）； （2）1 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由已知可得只有一个解，化为一元二次方程，用根的判别式解答即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象过， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，， ∴点， 把A、B的坐标代入得， 解得， 故一次函数表达式为：； 【小问2详解】 把一次函数的图象向下平移t个单位得直线， 根据题意可得只有一组解， 即只有一个解， ∴有两个相等实数根， ∴，即， 解得或（因反比例函数在第一象限，舍去）， ∴t的值为1． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，以及一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握待定系数法，函数图象交点坐标与方程组的解的关系等知识． 23. 如图，是等边三角形，． （1）尺规作图：将绕点A逆时针旋转得到，点B旋转后的对应点为点C（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形是菱形； （3）连接，交于点O，过点O的直线交线段于点E，当是等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）证明见解析 （3）或3 【解析】 【分析】（1）作，然后截取，连接即可完成作图； （2）由（1）可得，，根据是等边三角形，即可解决问题； （3）分两种情况讨论：①当时，②当时，③当时，利用等边三角形的性质证明即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 证明：在和 ∴ ∴绕点A逆时针旋转得到； 【小问2详解】 证明：由（1）可知：，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问3详解】 解：如图， 分两种情况讨论： ①当时， ∵是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ③当时，点E不在线段上， 故此种情况不存在； 综上所述：当是等腰三角形时，的长为或3． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了尺规作图，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是利用分类讨论思想． 24. 已知二次函数的图象为抛物线C，一次函数的图象为直线l． （1）求抛物线C的顶点坐标（用含m的式子表示）； （2）若直线l与抛物线C有唯一交点，且该交点在x轴上，求k的值； （3）当时，直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线与抛物线C有两个交点，其中在抛物线对称轴左侧的交点记为点P，当为钝角三角形时，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）k的值为2或 （3）或时，为钝角三角形 【解析】 【分析】（1）将解析式化为顶点式即可求解； （2）由题意可知两个函数与x轴的交点重合，即可求出m与k的关系式，再联立两个方程，由即可求k的值； （3）分别求出当为直角三角形时m的值，以此为界点，确定为钝角三角形时m的取值范围即可． 【小问1详解】 解： ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：根据题意得：与x轴交点， ∵直线l与抛物线C有唯一交点，且该交点在x轴上， 令，则， 解得：或， 联立：， 整理得：， ∴， 当时， ，即， ， 当时， ，即， ， 综上，k的值为2或； 【小问3详解】 解：当时，直线解析式为， 令，则， 令，则， 解得， ∴， 令， ∴或， ∵在抛物线对称轴左侧的点记为P， ∴， 当时，此时，此时是直角三角形， 当时，即，此时为钝角三角形； 当时，，此时是直角三角形； 当时，即，此时为钝角三角形； ∵，，点到x轴的距离为3， ∴P点在以为直径的圆外或圆上， ∴始终为锐角或直角； 综上所述：当或时，为钝角三角形． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质是解题的关键． 25. 如图，在矩形中，，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点P的运动时间为t秒． （1）若． ①当点落在上时，求此时t的值； ②是否存在t，使得？若存在，求t的值？若不存在，请说明理由； （2）当点P不与C重合时，若直线与直线相交于点M，且当时存在结论“”成立，试探究：对于的任意时刻，结论“”是否总是成立？请说明理由． 【答案】（1）①；②t的值为2或6； （2）成立，理由见解析 【解析】 【分析】（1）①先利用勾股定理求出长，再根据，得出， ，再证明，根据相似三角形的性质求解即可；②分如图1-1所示，当时，此时点落在上，如图1-2所示，当时，此时点在的延长线上，如图1-3所示，当时，三种情况求出对应的的长即可得到答案； （2）如图2-1，根据以及翻折的性质可以证明得到，从而可得，如图2-2所示，设，则，则，证明，得到，再由折叠的性质可得，由此即可证明． 【小问1详解】 解：①∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即； ②如图1-1所示，当时，此时点落在上， 由折叠的性质可得，由矩形的性质得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得； 如图1-2所示，当时，此时点在的延长线上， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得； 综上所述，t的值为2或6； 【小问2详解】 解：对于的任意时刻，结论“”总是成立，理由如下： 如图2-1所示， ∵， ∴， ∴ 由折叠的性质可得，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 如图2-2所示， 设，则， ∴， ∵ ∴， ∴， 由折叠的性质可得 ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，涉及了矩形的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定，勾股定理的应用，翻折的性质等，综合性较强，有一定的难度，正确画出符合题意的图形，熟练运用相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$