第12章 全等三角形（单元测试·提升卷）数学华东师大版2024八年级上册

2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第12章 全等三角形·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A C A B A D C A C 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11． 12．/132度 13．/20度 14．8 15．②④ 16． 17． ①②③④ 18． 三、解答题（共7小题，共78分） 19．（10分） 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，平行线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． （1）取格点E，D，连接，交于N，点N即为所求； （2）过点C任作一条直线交直线于E，再作即可． 【详解】解：（1）如图所示，取格点E，D，连接，交于N，点N即为所求； 由网格的特点可得，则，由垂线段最短可得，点N即为所求； （5分） （2）如图所示，过点C任作一条直线交直线于E，再作即可． （10分） 20．（10分） 【答案】(1)与全等．理由见解析 (2)华华是在距离地面的地方接住红红的． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． （1）根据证明与全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，求出，据此求出结果即可． 【详解】（1）解：与全等． 理由如下： 由题意可知，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴；（5分） （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 答：华华是在距离地面的地方接住红红的．（10分） 21．（10分） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）求出，根据角平分线定义，得，，得，； （2）连接，判定也是角平分线，∴，证明 ，得，即得． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵分别是的平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数为；（5分） （2）证明：如图，连接， ∵F是角平分线交点， ∴也是角平分线， ∴， ∵ 由（1）知，， ，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴．（10分） 【点睛】本题考查了三角形角平分线．熟练掌握角平分线定义和性质，三角形内角和定理，直角三角形角性质，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，是解题关键． 22．（12分） 【答案】(1) (2)①能密铺，理由见解析；②至少需要块 【分析】（1）先利用平行线的性质得出．再证明是等腰直角三角形，从而可得，再利用垂直平分的性质，得出，进而求得的度数； （2）①先判断能密铺，再说理，根据每块砖的四个角分别为， 相邻砖可交替拼接，正好满足密铺条件，从而可得能够密铺； ②先说明四边形是梯形，且是梯形的高，再利用梯形面积求得，并求得长，宽的房间面积，房间面积除以梯形面积即可求解． 【详解】（1）解：， ． 又， ， ， 是等腰直角三角形， ． 垂直平分， ∴ ， ．（6分） （2）①能密铺． 理由是：由（1）可知，每块砖的四个角分别为， 相邻砖可通过交替拼接，正好满足密铺条件， ∴能够密铺；（9分） ②∵， ∴四边形是梯形，且是梯形的高， ∴． ∵长，宽的房间面积 ， ∵地砖取整数， ∴至少需要块．（12分） 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质，垂直平分的性质，求梯形的面积，等边对等角，多边形密铺问题，解题关键掌握上述知识点，并能熟练运用求解． 23．（12分） 【答案】[初步思考]；[深入探究]；[拓展提升]； 【分析】（1）根据 证明，得出，根据三角形的内角和定理即可得到，进而可得答案； （2）根据证明，得出，根据三角形的内角和定理即可得到，进而可得答案； （3）当交点F在线段上，结合图形，仿照（2）小题的证明解答即可． 【详解】解：【探索发现】∵ ∴ 在和 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：；（4分） 【深入探究】∵ ∴ 在和 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：；（8分） 【拓展提升】①当交点F在线段上时，如图， ∵ ∴ 在和 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 综上，．（12分） 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、三角形的内角和定理等知识，正确分类、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 24．（12分） 【答案】(1)或 (2)存在， (3)或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，垂线段最短，一元一次方程的应用，运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）分三种情况讨论，根据线段和差以及速度路程的关系建立方程求解即可； （2）设，当时，则，由三角形内角和定理表示出，则，由邻补角可得，再分三种情况讨论，当点在上时，不存在；当点在上时，证明，则，则，即可求解； （3）设点的速度为，分四种情况讨论，根据全等三角形的性质建立方程求解，注意点Q的速度小于点P的速度． 【详解】（1）解：如图， ∵，，， ∴， 当点在上时， 根据垂线段最短可得， ∴点在上时不成立； 当点在上时，， ∵， ∴， 解得：； 当点在上时，， ∵， ∴， 解得：， 综上：当或秒时，， 故答案为：或．（4分） （2）解：存在，理由如下： 设， 当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ①当点在上时，， ∵， ∴， 故不成立， ∴不存在； 当点在上时，如图： ∵，， ∴， ∵点Q是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 当点在上时，显然不成立， ∴综上，存在，．（8分） （3）解：设点的速度为， 当点在上，在上，时，如图： 则， ∴， 解得：（舍）； 当点在上，在上，时，如图： 则， ∴， 解得：； 当点在上，在上，时，如图： 则， ∴点运动的路程为，点运动的路程为， ∴， 解得：； 当点在上，在上，时，如图： 则， ∴点运动的路程为，点运动的路程为， ∴， 解得：（舍）， 综上所述：线段分割所形成的三角形恰好与全等，点Q的运动速度为或． 故答案为：或．（12分） 25．（12分） 【答案】(1)② (2)证明见解析 (3)，或 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用相关性质进行推理证明，利用分类讨论的思想求角的大小． （1）根据邻等对补四边形的定义，从对角是否互补，是否有一组邻边相等逐个验证，可得结果； （2）过点A作于E，作，交延长线于F，先后证明，，可得，所以平分； （3）先根据邻等对补四边形的对角互补，推出，，再根据邻等对补四边形有一组邻边相等，分类讨论，求出每一种情况下的度数，综合可得结果． 【详解】（1）解：①，不满足对角互补，所以该四边形不是邻等对补四边形； ②，，满足对角互补，且有两组邻边相等，所以该四边形是邻等对补四边形； ③，不满足对角互补，所以该四边形不是邻等对补四边形； ④该四边形没有相等的两条邻边，所以不是邻等对补四边形； 综上可知，是邻等对补四边形的有②．（4分） （2）证明：过点A作于E，作，交延长线于F，如图1.1所示： 则， 四边形是邻等对补四边形， ， 又， ， 又由题知， ， ， 又， ， ， 平分．（8分） （3）解：在中，， ∴， 四边形是邻等对补四边形， ，， ，． 根据邻等对补四边形至少有一组邻边相等，可得 当时，如图2.1： 结合，可得， ． 当时，如图2.2： ， ， ． 当时，如图2.3： ， ． 当时，如图2.4： 结合，可得， ． 综上可知，大小为或或．（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第12章 全等三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列命题：①如果，那么；②同位角相等；③如果，那么；④平行于同一条直线的两条直线平行；其中假命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在 中，，将 绕点 按逆时针方向旋转得到 ．若点 恰好落在 边上，且 ，则 的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，是的中线，下列说法错误的是（    ） A．和全等 B．若平分，则是等腰三角形 C．若，则是等腰三角形 D．若点到和的距离相等，则 5．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（    ） A． B．或 C． D．或 6．如图，在中，为内一点，平分，，垂足为，交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在长方形中，，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点匀速运动；点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点匀速运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动．连接，．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则的值为（    ） A．2或3 B．3或5.5 C．2或 D．2或 8．如图，点位于内部，点和分别在射线，上．若，，点到的距离为，到的距离为，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在锐角中，，的垂直平分线，相交于点O，连接，，，延长交于点D，于点E，交于点G．若，，则的长为 （    ） A． B．12 C． D．16 10．如图，，连接，且的延长线交于点F，连接，则下列说法中正确的有（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．如图，在中，点D在边上，，，则 ． 12．如图，平分，，若，则的度数是 13．如图，，若和分别垂直平分和，则 ． 14．如图，在中，，，，平分，平分，将平移使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为 ． 15．在中，是边上的两点，且，有下列四个推断： ①若是的高，则可能是的中线； ②若是的中线，则可能是的高； ③若是的角平分线，则可能是的中线； ④若是的高，则不可能是的角平分线． 上述推断中所有正确结论的序号是 ． 16．如图，在长方形中，，，点F在上，，动点P从点F出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点C；动点E从点D出发，以每秒的速度沿运动，最终回到点D；过点P作垂直直线于点M，在整个运动过程中，若点P运动的时间为x，则当 秒时，与全等． 17．如图，点为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下四个结论①；②；③平分；④，其中正确结论的序号为 ． 18．已知，如图，长方形，，．N为上一点，，M为上一动点，将绕点N顺时针旋转得线段，连接，则当周长最小时，的度数为 ． 三、解答题（共7小题，共78分） 19．（10分）（1）如图，方格纸中有一条直线和一格点C．在直线上找一点N，使得最小； （2）如图，已知点是直线外一点，用尺规作直线，使． 20．（10分）周末，红红、青青与华华三人在公园玩荡秋千，发现荡秋千的过程中蕴含着很多数学知识，于是，三人把荡秋千的过程抽象为数学模型进行探讨．如图，红红坐在秋千的起始位置处，与地面垂直于，两脚在地面上用力一蹬，青青在距地面高的处接住红红后用力一推，华华在处接住红红，若青青与华华到的水平距离、分别为和， (1)与全等吗？请说明理由； (2)华华是在距离地面多高的地方接住红红的？ 21．（10分）如图，在中，，是角平分线，与相交于点F，，垂足分别为M，N． (1)求的度数； (2)求证：． 22．（12分）如图，一种地砖形如四边形，其中,．已知．E，F分别是上的点，连接恰好垂直平分． (1)求的度数． (2)用该型号地砖给长，宽的房间铺地面． ①能否实现无缝隙密铺？请说明理由； ②如果要用该型号地砖无缝隙密铺（可以切割铺设），请直接写出至少需要多少块． 23．（12分）【问题情境】在数学课上，同学们开展了探究两角之间数量关系的数学活动 点C为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作和，且，．，直线与交于点F． 【探索发现】如图1，若，则_______ 【深入探究】如图2，若，则的度数为多少？ 【拓展提升】将图2中的绕点C顺时针旋转任意角度，的延长线与交于点F，如图3，试探究与a的数量关系，并加以说明理由． 24．（12分）如图1，在与中，，，，，，点D在的延长线上，点E在的上方．现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为t秒． (1)如图1，请连接，当_______秒，． (2)如图2，若点Q是的中点，连接、，是否存在，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． (3)如图3，若点Q是动点，与P点同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止（点Q的速度小于点P的速度）．在两点运动过程中，若线段分割所形成的三角形恰好与全等，直接写出点Q的运动速度_______． 25．（12分）在学习等腰三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作理解 小明用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有___________；（填序号） (2)性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图1，四边形是邻等对补四边形，是它的一条对角线． 求证：平分； (3)拓展应用 如图2，在中，，分别在边上取点，使四边形是邻等对补四边形，则的大小为___________度． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第12章 全等三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列命题：①如果，那么；②同位角相等；③如果，那么；④平行于同一条直线的两条直线平行；其中假命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在 中，，将 绕点 按逆时针方向旋转得到 ．若点 恰好落在 边上，且 ，则 的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，是的中线，下列说法错误的是（    ） A．和全等 B．若平分，则是等腰三角形 C．若，则是等腰三角形 D．若点到和的距离相等，则 5．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（    ） A． B．或 C． D．或 6．如图，在中，为内一点，平分，，垂足为，交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在长方形中，，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点匀速运动；点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点匀速运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动．连接，．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则的值为（    ） A．2或3 B．3或5.5 C．2或 D．2或 8．如图，点位于内部，点和分别在射线，上．若，，点到的距离为，到的距离为，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在锐角中，，的垂直平分线，相交于点O，连接，，，延长交于点D，于点E，交于点G．若，，则的长为 （    ） A． B．12 C． D．16 10．如图，，连接，且的延长线交于点F，连接，则下列说法中正确的有（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．如图，在中，点D在边上，，，则 ． 12．如图，平分，，若，则的度数是 13．如图，，若和分别垂直平分和，则 ． 14．如图，在中，，，，平分，平分，将平移使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为 ． 15．在中，是边上的两点，且，有下列四个推断： ①若是的高，则可能是的中线； ②若是的中线，则可能是的高； ③若是的角平分线，则可能是的中线； ④若是的高，则不可能是的角平分线． 上述推断中所有正确结论的序号是 ． 16．如图，在长方形中，，，点F在上，，动点P从点F出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点C；动点E从点D出发，以每秒的速度沿运动，最终回到点D；过点P作垂直直线于点M，在整个运动过程中，若点P运动的时间为x，则当 秒时，与全等． 17．如图，点为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下四个结论①；②；③平分；④，其中正确结论的序号为 ． 18．已知，如图，长方形，，．N为上一点，，M为上一动点，将绕点N顺时针旋转得线段，连接，则当周长最小时，的度数为 ． 三、解答题（共7小题，共78分） 19．（10分）（1）如图，方格纸中有一条直线和一格点C．在直线上找一点N，使得最小； （2）如图，已知点是直线外一点，用尺规作直线，使． 20．（10分）周末，红红、青青与华华三人在公园玩荡秋千，发现荡秋千的过程中蕴含着很多数学知识，于是，三人把荡秋千的过程抽象为数学模型进行探讨．如图，红红坐在秋千的起始位置处，与地面垂直于，两脚在地面上用力一蹬，青青在距地面高的处接住红红后用力一推，华华在处接住红红，若青青与华华到的水平距离、分别为和， (1)与全等吗？请说明理由； (2)华华是在距离地面多高的地方接住红红的？ 21．（10分）如图，在中，，是角平分线，与相交于点F，，垂足分别为M，N． (1)求的度数； (2)求证：． 22．（12分）如图，一种地砖形如四边形，其中,．已知．E，F分别是上的点，连接恰好垂直平分． (1)求的度数． (2)用该型号地砖给长，宽的房间铺地面． ①能否实现无缝隙密铺？请说明理由； ②如果要用该型号地砖无缝隙密铺（可以切割铺设），请直接写出至少需要多少块． 23．（12分）【问题情境】在数学课上，同学们开展了探究两角之间数量关系的数学活动 点C为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作和，且，．，直线与交于点F． 【探索发现】如图1，若，则_______ 【深入探究】如图2，若，则的度数为多少？ 【拓展提升】将图2中的绕点C顺时针旋转任意角度，的延长线与交于点F，如图3，试探究与a的数量关系，并加以说明理由． 24．（12分）如图1，在与中，，，，，，点D在的延长线上，点E在的上方．现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为t秒． (1)如图1，请连接，当_______秒，． (2)如图2，若点Q是的中点，连接、，是否存在，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． (3)如图3，若点Q是动点，与P点同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止（点Q的速度小于点P的速度）．在两点运动过程中，若线段分割所形成的三角形恰好与全等，直接写出点Q的运动速度_______． 25．（12分）在学习等腰三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作理解 小明用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有___________；（填序号） (2)性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图1，四边形是邻等对补四边形，是它的一条对角线． 求证：平分； (3)拓展应用 如图2，在中，，分别在边上取点，使四边形是邻等对补四边形，则的大小为___________度． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第12章 全等三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列命题：①如果，那么；②同位角相等；③如果，那么；④平行于同一条直线的两条直线平行；其中假命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了真假命题的判断，逐一判断每个命题的真假，统计假命题的个数，即可解答． 【详解】解：命题①：若，那么． 反例：当时，，但． 故①是假命题． 命题②：同位角相等． 正确结论需前提“两直线平行”．若两直线不平行，同位角不一定相等． 故②是假命题． 命题③：若，那么． 反例：当时，成立，但，，． 故③是假命题． 命题④：平行于同一条直线的两条直线平行． 根据平行公理，平行于同一直线的两直线互相平行． 故④是真命题． 综上，假命题为①、②、③，共3个． 故选C． 2．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用． 图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：由图可知，可以通过画出与书上完全一样的三角形， 故选：A． 3．如图，在 中，，将 绕点 按逆时针方向旋转得到 ．若点 恰好落在 边上，且 ，则 的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，根据旋转的性质得出，，根据等边对等角可得：，，根据三角形外角的性质可得：，利用三角形内角和定理及等量代换求解即可． 【详解】解∶∵旋转， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选∶C． 4．如图，是的中线，下列说法错误的是（    ） A．和全等 B．若平分，则是等腰三角形 C．若，则是等腰三角形 D．若点到和的距离相等，则 【答案】A 【分析】仅根据无法证明和全等，选项说法错误；延长至点，使，连接，利用“边角边”证明，由全等三角形性质得到，，结合平分，可证是等腰三角形，则选项说法正确；利用“边角边”证明，由全等三角形性质即可证是等腰三角形，则选项说法正确；若点到和的距离相等，即平分，根据选项可得是等腰三角形，结合三线合一定理即可证，则选项说法正确． 【详解】解：是的中线， ， 此时，但不一定等于， 无法证明和全等， 选项说法错误，符合题意，选项正确； 平分， ， 延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即是等腰三角形， 选项说法正确，不符合题意，选项错误； ， ， 在和中， ， ， ，即是等腰三角形， 选项说法正确，不符合题意，选项错误； 若点到和的距离相等， 点在的角平分线上，平分， 则根据选项可得是等腰三角形， 结合三线合一定理即可证， 选项说法正确，不符合题意，选项错误． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、三线合一、角平分线的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形下的判定与性质． 5．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形中线的性质，一元一次方程的应用，根据题意先画出图形，设腰，由中线性质可得，再分和两种情况，列出方程解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，中，，为的中线， 设腰， ∵为的中线， ∴， ∵中线将它的周长分成和两部分, 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴等腰三角形的腰长为或， 故选：． 6．如图，在中，为内一点，平分，，垂足为，交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定是解题的关键． 根据平分，，证出，得到，即可． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ，， 又， ， ，， ， ， ， 故选：A． 7．如图，在长方形中，，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点匀速运动；点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点匀速运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动．连接，．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则的值为（    ） A．2或3 B．3或5.5 C．2或 D．2或 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边．分两种情况进行讨论：①当时，；②当时，，然后分别计算出t的值，进而得到a的值． 【详解】解：设点P的运动时间为t秒， 依题意，得，， ， ， ∵四边形是矩形， ， 如果与全等，那么可分两种情况： ①当时，， ， ； ②当时，， ，， ，， 的值为2或， 故选：D． 8．如图，点位于内部，点和分别在射线，上．若，，点到的距离为，到的距离为，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别作点关于、的对称点、，连接、、、、、、，当点、同时在上时，的周长最小． 【详解】解：分别作点关于、的对称点、，连接、、、、、、， ∵点关于的对称点为，，， ∴，，， ∵点关于的对称点为， ∴，，， ∴， ， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 当点、同时在上时取“”， 此时的值最小，即的周长最小，最小值为的长，为， ∴的周长的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题，考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，掌握两点之间线段最短是解题的关键． 9．如图，在锐角中，，的垂直平分线，相交于点O，连接，，，延长交于点D，于点E，交于点G．若，，则的长为 （    ） A． B．12 C． D．16 【答案】A 【分析】由线段垂直平分线的性质得出，，，，则可得出，，，设，，由三角形外角的定义和性质可得出，，由三角形内角和定理得出，证明，则得出，过点A作与点N，由等腰三角形三线合一的性质得出，再得出，即可得出，，再结合已知条件可得出答案． 【详解】解：∵，垂直平分，， ∴，，，， ∴，，， 设，， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， 则， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 过点A作与点N， 则， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的综合问题，三角形内角和定理以及外角的定义和性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 10．如图，，连接，且的延长线交于点F，连接，则下列说法中正确的有（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了多边形内角和、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定等知识，准确作出辅助线构造直角三角形逐项验证是解决问题的关键．根据，可得，易证，可得出①正确；由三角形全等的性质结合四边形内角和即可得出②正确；过点分别作于点，作交的延长线于点，根据证明得出，利用角平分线的判定定理可推出平分，可得出③正确，由已知无法确定④正确，即可得到答案． 【详解】解：， ∴， ∴， 又  ∵， ∴， ∴，故①正确； ， ∴， ， ∴， ， ∴，故②正确； 过点分别作于点，作交的延长线于点，如图所示： 由旋转性质知，， ， 又， ， ， 又，， 平分， ，故③正确； 由已知无法确定，则与不一定相等， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等， ∴不一定等于，故④错误， 故正确的有3个． 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．如图，在中，点D在边上，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边对等角、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，先由等边对等角结合三角形内角和定理计算即可得出，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．如图，平分，，若，则的度数是 【答案】/132度 【分析】本题考查了等边对等角，角平分线的定义，三角形内角和定理．根据角平分线的定义求得，由等边对等角求得，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，，若和分别垂直平分和，则 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理求出的度数，根据线段的垂直平分线的性质得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， 和分别垂直平分和， ， ， ， ． 故答案为：． 14．如图，在中，，，，平分，平分，将平移使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形的内角平分线的含义，平移的性质及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握三角形的三条角平分线的交于一点是解题的关键．连接，证明平分，则，由平移得，则，推出，得出，同理可得的周长，即可得出结果． 【详解】解：连接，如图所示， ∵平分平分， ∴平分， ∴， 由平移得， ， ， ， 同理可得； ∴的周长， 即图中阴影部分的周长为 8 ； 故答案为：8． 15．在中，是边上的两点，且，有下列四个推断： ①若是的高，则可能是的中线； ②若是的中线，则可能是的高； ③若是的角平分线，则可能是的中线； ④若是的高，则不可能是的角平分线． 上述推断中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②④ 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质、三角形的中线与高等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．证出，从而可得，则，由此即可判断①错误；延长至点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出，根据可得有可能等于，由此即可判断②正确；过点作于点，先求出，利用三角形的面积公式可得，则，由此即可判断③错误；先得出，再得出，由此即可判断④正确． 【详解】解：如图1，是的高，    ∴， ∵在中，， ∴， ∴，即， ∴， ∵是边上的两点，且， ∴， ∴不可能是的中线，则结论①错误； 如图2，是的中线， 延长至点，使得，连接，    ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∵， ∴，有可能等于， ∴可能是的高，结论②正确； 如图3，是的角平分线， 过点作于点，    由角平分线的性质定理得：的边上的高与的边上的高相等， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴不可能是的中线，则结论③错误； 如图4，是的高，    ∴， ∵在中，， ∴， ∴，即， ∵是边上的两点，且， ∴，， ∴， ∴不可能是的角平分线，则结论④正确； 综上，上述推断中所有正确结论的序号是②④， 故答案为：②④． 16．如图，在长方形中，，，点F在上，，动点P从点F出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点C；动点E从点D出发，以每秒的速度沿运动，最终回到点D；过点P作垂直直线于点M，在整个运动过程中，若点P运动的时间为x，则当 秒时，与全等． 【答案】 【分析】本题考查三角形全等的判定与动态问题，根据长方形得到，结合垂直得到，即可根据与全等得到，列式求解即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ①当点在上，点在上时， ∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵与全等， ∴， ∵动点P从点F出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点C；动点E从点D出发，以每秒的速度沿运动，最终回到点D， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ②当点在上，点在上时， ∵与全等， ∴，， ∵动点P从点F出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点C；动点E从点D出发，以每秒的速度沿运动，最终回到点D， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 无解， 故答案为：． 17．如图，点为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下四个结论①；②；③平分；④，其中正确结论的序号为 ． 【答案】①②③④ 【分析】首先结合等边三角形的性质证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，易得，结合“有一个角为60度的等腰三角形为等边三角形”可得为等边三角形，进一步可知，可证明，即可判定结论②；证明，易得，结合三角形外角的定义性质可得，即可判定结论①；过作，垂足分别为，利用面积法证明，证明平分，即可判断结论③；在上取点，使得，证明为等边三角形，进一步证明，可知，进一步可得，即可判断结论④． 【详解】解：∵，均为等边三角形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，故结论②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； 如图，过作，垂足分别为， ∵，， ∴，即， ∴， ∴平分，故结论③正确； 如图，在上取点，使得， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故结论④正确． 综上所述，结论正确的有①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、角平分线的判定等知识，综合性较强，熟练运用相关知识是解题关键． 18．已知，如图，长方形，，．N为上一点，，M为上一动点，将绕点N顺时针旋转得线段，连接，则当周长最小时，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，轴对称的性质，旋转的性质，过点P作于Q，可证明得到，则点P在平行于的直线上，且该直线到的距离为1，过点P作交于H，交于T，作点A关于的对称点G，连接，连接交于，可证明当P、D、G三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，此时点P与点重合，证明，得到，再证明，即可得到． 【详解】解：如图所示，过点P作于Q， 由长方形的性质可得， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴点P在平行于的直线上，且该直线到的距离为1， 如图所示，过点P作交于H，交于T，作点A关于的对称点G，连接，连接交于， ∴， ∴的周长， ∴当P、D、G三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，此时点P与点重合， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共7小题，共78分） 19．（10分）（1）如图，方格纸中有一条直线和一格点C．在直线上找一点N，使得最小； （2）如图，已知点是直线外一点，用尺规作直线，使． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，平行线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． （1）取格点E，D，连接，交于N，点N即为所求； （2）过点C任作一条直线交直线于E，再作即可． 【详解】解：（1）如图所示，取格点E，D，连接，交于N，点N即为所求； 由网格的特点可得，则，由垂线段最短可得，点N即为所求； （5分） （2）如图所示，过点C任作一条直线交直线于E，再作即可． （10分） 20．（10分）周末，红红、青青与华华三人在公园玩荡秋千，发现荡秋千的过程中蕴含着很多数学知识，于是，三人把荡秋千的过程抽象为数学模型进行探讨．如图，红红坐在秋千的起始位置处，与地面垂直于，两脚在地面上用力一蹬，青青在距地面高的处接住红红后用力一推，华华在处接住红红，若青青与华华到的水平距离、分别为和， (1)与全等吗？请说明理由； (2)华华是在距离地面多高的地方接住红红的？ 【答案】(1)与全等．理由见解析 (2)华华是在距离地面的地方接住红红的． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． （1）根据证明与全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，求出，据此求出结果即可． 【详解】（1）解：与全等． 理由如下： 由题意可知，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴；（5分） （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 答：华华是在距离地面的地方接住红红的．（10分） 21．（10分）如图，在中，，是角平分线，与相交于点F，，垂足分别为M，N． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）求出，根据角平分线定义，得，，得，； （2）连接，判定也是角平分线，∴，证明 ，得，即得． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵分别是的平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数为；（5分） （2）证明：如图，连接， ∵F是角平分线交点， ∴也是角平分线， ∴， ∵ 由（1）知，， ，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴．（10分） 【点睛】本题考查了三角形角平分线．熟练掌握角平分线定义和性质，三角形内角和定理，直角三角形角性质，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，是解题关键． 22．（12分）如图，一种地砖形如四边形，其中,．已知．E，F分别是上的点，连接恰好垂直平分． (1)求的度数． (2)用该型号地砖给长，宽的房间铺地面． ①能否实现无缝隙密铺？请说明理由； ②如果要用该型号地砖无缝隙密铺（可以切割铺设），请直接写出至少需要多少块． 【答案】(1) (2)①能密铺，理由见解析；②至少需要块 【分析】（1）先利用平行线的性质得出．再证明是等腰直角三角形，从而可得，再利用垂直平分的性质，得出，进而求得的度数； （2）①先判断能密铺，再说理，根据每块砖的四个角分别为， 相邻砖可交替拼接，正好满足密铺条件，从而可得能够密铺； ②先说明四边形是梯形，且是梯形的高，再利用梯形面积求得，并求得长，宽的房间面积，房间面积除以梯形面积即可求解． 【详解】（1）解：， ． 又， ， ， 是等腰直角三角形， ． 垂直平分， ∴ ， ．（6分） （2）①能密铺． 理由是：由（1）可知，每块砖的四个角分别为， 相邻砖可通过交替拼接，正好满足密铺条件， ∴能够密铺；（9分） ②∵， ∴四边形是梯形，且是梯形的高， ∴． ∵长，宽的房间面积 ， ∵地砖取整数， ∴至少需要块．（12分） 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质，垂直平分的性质，求梯形的面积，等边对等角，多边形密铺问题，解题关键掌握上述知识点，并能熟练运用求解． 23．（12分）【问题情境】在数学课上，同学们开展了探究两角之间数量关系的数学活动 点C为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作和，且，．，直线与交于点F． 【探索发现】如图1，若，则_______ 【深入探究】如图2，若，则的度数为多少？ 【拓展提升】将图2中的绕点C顺时针旋转任意角度，的延长线与交于点F，如图3，试探究与a的数量关系，并加以说明理由． 【答案】[初步思考]；[深入探究]；[拓展提升]； 【分析】（1）根据 证明，得出，根据三角形的内角和定理即可得到，进而可得答案； （2）根据证明，得出，根据三角形的内角和定理即可得到，进而可得答案； （3）当交点F在线段上，结合图形，仿照（2）小题的证明解答即可． 【详解】解：【探索发现】∵ ∴ 在和 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：；（4分） 【深入探究】∵ ∴ 在和 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：；（8分） 【拓展提升】①当交点F在线段上时，如图， ∵ ∴ 在和 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 综上，．（12分） 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、三角形的内角和定理等知识，正确分类、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 24．（12分）如图1，在与中，，，，，，点D在的延长线上，点E在的上方．现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为t秒． (1)如图1，请连接，当_______秒，． (2)如图2，若点Q是的中点，连接、，是否存在，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． (3)如图3，若点Q是动点，与P点同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止（点Q的速度小于点P的速度）．在两点运动过程中，若线段分割所形成的三角形恰好与全等，直接写出点Q的运动速度_______． 【答案】(1)或 (2)存在， (3)或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，垂线段最短，一元一次方程的应用，运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）分三种情况讨论，根据线段和差以及速度路程的关系建立方程求解即可； （2）设，当时，则，由三角形内角和定理表示出，则，由邻补角可得，再分三种情况讨论，当点在上时，不存在；当点在上时，证明，则，则，即可求解； （3）设点的速度为，分四种情况讨论，根据全等三角形的性质建立方程求解，注意点Q的速度小于点P的速度． 【详解】（1）解：如图， ∵，，， ∴， 当点在上时， 根据垂线段最短可得， ∴点在上时不成立； 当点在上时，， ∵， ∴， 解得：； 当点在上时，， ∵， ∴， 解得：， 综上：当或秒时，， 故答案为：或．（4分） （2）解：存在，理由如下： 设， 当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ①当点在上时，， ∵， ∴， 故不成立， ∴不存在； 当点在上时，如图： ∵，， ∴， ∵点Q是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 当点在上时，显然不成立， ∴综上，存在，．（8分） （3）解：设点的速度为， 当点在上，在上，时，如图： 则， ∴， 解得：（舍）； 当点在上，在上，时，如图： 则， ∴， 解得：； 当点在上，在上，时，如图： 则， ∴点运动的路程为，点运动的路程为， ∴， 解得：； 当点在上，在上，时，如图： 则， ∴点运动的路程为，点运动的路程为， ∴， 解得：（舍）， 综上所述：线段分割所形成的三角形恰好与全等，点Q的运动速度为或． 故答案为：或．（12分） 25．（12分）在学习等腰三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作理解 小明用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有___________；（填序号） (2)性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图1，四边形是邻等对补四边形，是它的一条对角线． 求证：平分； (3)拓展应用 如图2，在中，，分别在边上取点，使四边形是邻等对补四边形，则的大小为___________度． 【答案】(1)② (2)证明见解析 (3)，或 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用相关性质进行推理证明，利用分类讨论的思想求角的大小． （1）根据邻等对补四边形的定义，从对角是否互补，是否有一组邻边相等逐个验证，可得结果； （2）过点A作于E，作，交延长线于F，先后证明，，可得，所以平分； （3）先根据邻等对补四边形的对角互补，推出，，再根据邻等对补四边形有一组邻边相等，分类讨论，求出每一种情况下的度数，综合可得结果． 【详解】（1）解：①，不满足对角互补，所以该四边形不是邻等对补四边形； ②，，满足对角互补，且有两组邻边相等，所以该四边形是邻等对补四边形； ③，不满足对角互补，所以该四边形不是邻等对补四边形； ④该四边形没有相等的两条邻边，所以不是邻等对补四边形； 综上可知，是邻等对补四边形的有②．（4分） （2）证明：过点A作于E，作，交延长线于F，如图1.1所示： 则， 四边形是邻等对补四边形， ， 又， ， 又由题知， ， ， 又， ， ， 平分．（8分） （3）解：在中，， ∴， 四边形是邻等对补四边形， ，， ，． 根据邻等对补四边形至少有一组邻边相等，可得 当时，如图2.1： 结合，可得， ． 当时，如图2.2： ， ， ． 当时，如图2.3： ， ． 当时，如图2.4： 结合，可得， ． 综上可知，大小为或或．（12分） 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