专题02 等腰三角形（专项训练）数学华东师大版2024八年级上册

专题02 等腰三角形 目录 A题型建模・专项突破 题型一、等腰三角形的性质 1 题型二、等边三角形的性质 2 题型三、角平分线的性质 3 题型四、线段垂直平分线的性质 5 题型五、等腰三角形的额判定 6 题型六、等边三角形的判定 8 题型七、角平分线的判定 9 题型八、线段垂直平分线的判定 11 题型九、尺规作图 13 题型十、无刻度尺作图 15 题型十一、等腰（边）三角形的手拉手 16 题型十二、角平分线与垂直平分线的结合求解 18 题型十三、等腰三角形的动点求t 19 题型十四、等腰三角形的新定义 21 B综合攻坚・能力跃升 题型一、等腰三角形的性质 1．等腰三角形的一个底角为，则其顶角为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的定义及三角形内角和定理，根据等腰三角形两底角相等，三角和为180度，即可求解． 【详解】解：等腰三角形的两个底角相等，已知一个底角为，则另一个底角也为． 顶角的度数为：， 故选C． 2．已知等腰三角形周长等于19，其中一边长7，那么该等腰三角形的底边等于 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；由于长为7的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论求出底边长即可． 【详解】解：当腰为7时，另一腰也为7，则底为， ∵，符合题意， 当底为7时，腰为，符合题意， ∴该三角形的底边长为或． 故答案为：或． 3．如图，在中，，，平分，交于点，过点作，交于点． (1)求的度数． (2)若与的周长分别为和，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质、等边三角形的判定和性质，证明是等边三角形是解题的关键． （1）由三角形内角和定理得到，由平分得到，由三角形外角的性质得到， （2）证明是等边三角形，则，由三角形周长得到，则，即可得到． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， （2）∵ ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∵与的周长分别为和， ∴， ∴， ∴． 题型二、等边三角形的性质 1．如图，把等边绕点顺时针旋转，得到，连接、交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形与等边三角形的性质，三角形外角的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转可得，都是等腰直角三角形，得到，又是等边三角形，得到，从而根据角的和差求出，，由三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：由旋转可得，，， ∴，都是等腰直角三角形， ∴， ∵是由等边旋转得到， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ， ∴． 故选：C 2．如图，在等边三角形中，，，交于点F，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，证明，得到，再根据即可得到答案． 【详解】解：在等边三角形中， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 3．如图1，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)________度； (3)如图2，连接，平分吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)平分．理由见解析 【分析】（1）根据旋转性质可得，，结合等边三角形的性质可证明即可得出结论； （2）过点作，，垂足分别为，，利用（1）中证得的全等得到； （3）利用面积相等求得，可证得，从而得到，则平分． 【详解】（1）证明：线段绕点逆时针旋转得到， ，， 为等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 故答案为：； （3）解：平分．理由如下， 如图，过点作，，垂足分别为，，   ， ， ， ， 在和中， ， ， ，平分． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，角平分线的判定，熟练掌握这些性质定理是解答本题的关键． 题型三、角平分线的性质 1．如图，是的角平分线，于点E，，，，则长是（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过D作于F，由角平分线的性质定理即可求出，再计算出，最后根据，即可求出的值． 【详解】解：过D作于F， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∵的面积为7， ∴ 即， 解得：， 故选：D． 2．如图，是的角平分线，若，，则点到的距离是 ． 【答案】2 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴的长为点到的距离， ∵是的角平分线， ∴点到的距离等于点到的距离，即为的长， ∵， ∴点到的距离等于2； 故答案为：2． 3．如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点E、F，，垂足为点G． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)54 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和，三角形面积，熟练掌握它们的性质是解题的关键； （1）先根据角平分线的性质得出，,再证，由对顶角相等可知，故可得出，那么，由此可得出结论； （2）先证，再根据即可解答； 【详解】（1）证明：∵是的平分线，，， ∴，, ,, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴ ． 题型四、线段垂直平分线的性质 1．如图，在中，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，与交于点，与交于点，连接．若的周长为10，，则的周长为（   ） A．17 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，由作图方法可知，是的垂直平分线，，则，根据三角形周长计算公式可推出，据此可得答案． 【详解】解：由作图知：是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为10， ∴， ∴， 又， ∴的周长为， 故选：B． 2．如图，在△中，的垂直平分线分别与、交于点、，的垂直平分线分别与、交于点，，若，则的周长是 ． 【答案】18 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 是的垂直平分线， ， 的周长， 故答案为：18． 3．如图，在中，垂直平分，连接，，延长交的延长线于点F，，过点D作于点E，． (1)请判定与是否相等？为什么？ (2)与互补吗？请说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)与互补，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，证明是解题的关键。 （1）由线段垂直平分线的性质得到，再证明，则可证明． （2）由全等三角形的性质可得，由平角的定义可得，则，即与互补． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：与互补，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴，即与互补． 题型五、等腰三角形的额判定 1．如图，在四边形中，F是的延长线上一点，连接交于点E，，点G在边上，连接，平分．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定，先证明，结合，可得，从而可得结论． 【详解】证明：平分， ， ， ， ， 是等腰三角形． 2．如图，，的平分线交于点．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质，熟记等腰三角形的判定定理是解题的关键．根据平行线的性质求出，根据角平分线定义求出，则，根据“等角对等边”即可得证． 【详解】证明：， ， 平分， ， ， ， 是等腰三角形． 3．如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接． (1)判断并说明的形状； (2)若，求的度数． 【答案】(1)为等腰三角形，见解析 (2)的度数为． 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质． （1）根据旋转的性质可推出结论； （2）根据旋转的性质得出，根据平行线的性质得出，从而得出结果． 【详解】（1）解：∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴的形状为等腰三角形； （2）解：∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴ ． ． ∴， ∴的度数为． 题型六、等边三角形的判定 1．如图，已知点A、F、E、B在同一条直线上，与交于点M，，，，若，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定．先证明，得到，进而有，进而由即可得证． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 2．如图，在中，，是上的一点，过点作的垂线交于点，连接，交于点． (1)求证：平分； (2)若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，见解析 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）证明，得出，根据等腰三角形三线合一的性质即可求解． （2）根据，得出，结合，得出，结合，即可证明． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， 平分， 即平分． （2）解：是等边三角形，理由： ， ， ， ， ， ， ， 3．如图，在中，，在边上取点，连接，使．以为一边作等边，且使点与点位于直线的同侧，． (1)求的度数； (2)点在上，连接，请判断是否是等边三角形，并说明理由． 【答案】(1) (2)等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．灵活运用等边三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）利用等边三角形的性质求出的度数，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出，从而根据求解即可； （2）利用等腰三角形的性质求出，然后根据证明是等边三角形即可． 【详解】（1）解：在等边 中， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解： 是等边三角形． 理由如下： 由 （1）可得 ， ， ， ， ， 是等边三角形． 题型七、角平分线的判定 1．如图，在中，点D为下方一点，连接、、，，过点D作于点F，交的延长线于点G，．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等直角三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识点，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定定理． 根据条件证明，得出，最后根据角平分线的判定定理即可得出结论． 【详解】证明：，， ， 在和中， ， ， ，， 平分． 2．如图，，M是的中点，平分，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，作于，由角平分线性质定理可得，结合题意推出，再由角平分线的判定定理判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：如图，作于， ∵平分，，， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上， ∴平分． 3．【定理】如图1．因为于于，所以___________． 【运用】如图2，在四边形中，，求证：平分． 【答案】【定理】平分；【运用】证明见解析 【分析】本题考查角平分线的判定定理、全等三角形的判定及性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用角平分线的判定定理，通过于于，即可判定平分； （2）通过作垂线构造全等三角形，得，进而利用角平分线的判定定理，即可完成证明． 【详解】解：定理：于于， 平分， 故答案为：平分； 运用：如图所示，过点作于点，过点作交的延长线于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 平分． 题型八、线段垂直平分线的判定 1．如图，是内一点，的延长线交于点，连接，，且，． (1)请判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)试说明垂直平分线段． 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的判定，正确理解题意是解题的关键． （1）根据，得到，，进而得出结论 （2）根据垂直平分线的判定定理，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴； （2）∵ ∴垂直平分线段． 2．如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与交于点． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）根据证明，得出，，然后根据线段垂直平分线的判定即可得证； （2）根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴A、D都在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线； （2）解：∵，，， ∴ ． 3．已知，如图，，，点E、F分别为垂足，，． (1)证明：； (2)延长相交于点 D，联结．证明：垂直平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，等角对等边，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据等角对等边得到，再证明，即可证明； （2）证明，得到，则可证明，再根据线段垂直平分线的判定定理即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴垂直平分线． 题型九、尺规作图 1．如图，在中，点在的延长线上，其中，． (1)在内部，求作射线，使得（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求的度数． 【答案】(1)作图见解析； (2)． 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，平行线的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． （）作，则，射线就是所求作的直线； （）依据平行线的性质，即可得到和的度数，进而得出的度数． 【详解】（1）解：如图，作，则， ∴射线即为所求； （2）解：由作图可知：， ∴， ∴， ∴． 2．如图，已知． (1)用直尺和圆规按下列要求作图：作交于点D，作的角平分线交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，求的度数． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图—作垂线和角平分线，三角形的内角和定理，三角形的外角，熟掌握尺规作图的方法，是解题的关键： （1）根据尺规作图—作垂线和作角平分线的方法作图即可； （2）三角形的外角的性质结合角平分线的定义求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 3．如图，在中，请解答下列问题： (1)请用尺规作图的方法作边的垂直平分线，交于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查尺规作图-线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）利用尺规作出线段的垂直平分线即可． （2）根据线段垂直平分线的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：线段的垂直平分线，如图所示： ； （2）解：垂直平分线段， ， ∴的周长． 题型十、无刻度尺作图 1．如图，所有的小正形的边长都是1，小正方形的顶点叫做格点．请仅用无刻度直尺完成画图(不写画法)． (1)在图1中，A、B、C均为格点，作； (2)在图2中A、C为格点，B、D不是格点，且D为中点．在线段上找一点E，连接，使得与面积相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平移作图，三角形的中线平分面积： （1）利用平移思想，格点向下平移1个单位，再向左平移2个单位得到格点，连接即可； （2）取的中点，连接该点与点形成一条中线，连接，连接与两条中线的交点并延长，交于点，则为的中线，即可得到与面积相等． 【详解】（1）解：如图 即为所求； （2）如图，为所求； 2．如图，所有的小正方形的边长都是都在格点上（小正方形的顶点叫做格点请仅用无刻度直尺完成画图（不要求写画法） (1)在图1中作线段，使，； (2)在图2中作线段于点A，交于点． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图， 对于（1），将线段向右平移6个单位长度，使点B与点C重合，点A与长为2，宽为1的对角线的顶点D，则即为所求作； 对于（2），连接点A和长为2，宽为1的长方形的对角线顶点E，可知，再根据，延长交于点H，则即为所求作. 【详解】（1）解：如图所示， （2）如图所示， 3．如图，将等边和的一边重合放置，其中为中点．请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，过点作于点． (2)如图2，过点作的平分线交于点． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，三角形的角平分线，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）延长交于点，连接，即为所求作，可以通过证明是等边三角形，证明点为中点，再利用三线合一即可证明； （2）在（1）的基础上，连接，交于点，连接并延长，交于点，则即为所求，可以通过证明平分，平分，得出是三条角平分线的交点，即可证明． 【详解】（1）解：如图，延长交于点，连接，即为所求作， 理由：∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵为中点，， ∴， 即点为中点， ∴； （2）解：如图，在（1）的基础上，连接，交于点，连接并延长，交于点，则即为所求作， 理由：由（1）可得， 又∵是等边三角形， ∴平分， ∵为中点， ∴平分， ∴是三条角平分线的交点， ∴是的角平分线． 题型十一、等腰（边）三角形的手拉手 1．在学习全等三角形知识时、教学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下探究： (1)如图1，两个等腰三角形和中，，，，连接、，如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是 ，此时和的数量关系是 ； (2)如图2，两个等腰直角三角形和中，，，，连接、，两线交于点，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图3，已知，请完成作图：以、为边分别向外作等边和等边（等边三角形三条边相等，三个角都等于），连接，，两线交于点，并直接写出线段和的数量关系及的度数． 【答案】(1)， (2)，，理由见解析 (3)图见解析，， 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的性质、三角形的外角性质等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键． （1）先证出，再利用定理可证出，根据全等三角形的性质即可得； （2），，理由：先证出，再利用定理可证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据直角三角形的性质可得，从而可得，最后根据三角形的内角和定理即可得； （3）先根据题意完成作图，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据三角形的外角性质可得，最后根据三角形的内角和定理即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）解：，，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． （3）解：完成作图如下： ∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ， ∴． 2．小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．       (1)【问题发现】如图1，若和均是顶角为的等腰三角形，，分别是底边，从图中找出一对全等三角形并说明理由； (2)【拓展探究】如图2，若和和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）先判断出，进而利用判断出，即可得出结论； （2）同（1）的方法判断出，得出，最后用角的差，即可得出结论； 【详解】（1）解：． 理由如下： 和均是顶角为的等腰三角形 ，，． ，即． ． （2）为等边三角形，点B、D、E在同一条直线上， ． ．     由（1）知，     为等边三角形， ．     ． 3．在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作： (1)如图1，在和中，，，，连接，，当点落在边上，且，，三点共线时，则在这个“手拉手模型”中，和全等的三角形是____________，的度数为____________． (2)如图2，已知，分别以、为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，连接、，线段和交于点． ①证明：且； ②若与在同一直线上，如图3，延长与交于点，连接并延长，的延长线与边交于点，且，若和的面积之和为20，的面积为6，求线段的长． 【答案】(1)，； (2)①证明见解析；②4 【分析】（1）利用证明，得出，结合三角形外角的性质即可得出，即可求解； （2）①利用证明，得出，，然后利用三角形外角的性质即可得出； ②利用①中，得出，则可求，利用等角对等边得出，可得出，由的面积可求，由和的面积之和为20，可求，利用完全平方公式变形求出，，求出、，进而求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图1中， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：①和均为等腰直角三角形，， ，， ， ， 在和中， ， ，， ， ； ②和的面积之和为20，和均为等腰直角三角形， ，，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积为6，， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质等知识，明确题意，寻找出全等三角形是解题的关键． 题型十二、角平分线与垂直平分线的结合求解 1．如图，在中，直线是边的垂直平分线，点D是直线上一点，连接，，满足，求证：为的外角的角平分线．    【答案】见详解 【分析】连接交于O，过D作于L，于K，由线段垂直平分线的性质推出，由等腰三角形的性质得到，而，因此，由三角形内角和定理得到，又，，判定，推出，即可求证． 【详解】证明：连接交于O，过D作于L，于K，    ∵直线是边的垂直平分线， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ，且， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵于L，于K， ∴为的外角的角平分线． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，关键是由等腰三角形的性质得到，判定，推出． 2．已知：如图，在 中，的角平分线与的垂直平分线交于点D， 垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若 求 的周长． 【答案】(1)详见解析 (2)17 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，即可得到结论； （2）证明，则，由（1）可知，即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接． ∵D在的中垂线上 ∴ ∵．平分 ∴ ∴   ∴ （2）∵平分 ∴ ∵ ∴   又∵． ∴ ∴ 由 (1) 可知    ∴的周长为： 3．已知是边的垂直平分线，是的外角的角平分线，两线交于点，，垂足为，，垂足为．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质证明，可得； （2）证明，可得，然后利用线段的和差即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键． 题型十三、等腰三角形的动点求t 1．如图1，在等边中，，点O在边上，且，动点P从点A出发沿射线以的速度运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，设点运动的时间为．． (1)用含t的代数式表示的长； (2)如图2，当点D落在边上时，求证：； (3)当平行于的一边时，直接写出t的值； (4)作点D关于点O的对称点E，经过 ，点E恰好落在射线上． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的值为4或6 (4)10 【分析】本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质及动点问题等，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1），当时，，当时，； （2）由线段绕点顺时针旋转得到线段，得，，可得，而是等边三角形，有，故，即得，由可证； （3）当时，是等边三角形，可得，；当时，可得，重合，，故； （4）由线段绕点顺时针旋转得到线段，得，，又关于点的对称点，有，故，再证，，即可得，，可得，，从而． 【详解】（1）解：由已知得，， 当时，， 当时，； ； （2）证明：线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ； （3）解：当时，如图： ， ， ， 是等边三角形， ， ， ； 当时，如图： ， ， ，重合， ， ， 综上所述，的值为4或6； （4）解：如图： 线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， 关于点的对称点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：10． 2．如图，在长方形中，，，点P以的速度从点A出发，沿运动，同时点Q以的速度从点A出发，沿运动，当P、Q两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为． (1)当点P在运动的过程中，用含t的代数式表示和的长； (2)①用含t的代数式表示的面积； ②当是以为底的等腰三角形时，求t的值及此时的面积； (3)在整个运动过程中（点P与点B、C重合时除外），当点P到长方形的相邻两边的距离相等时，直接写出t的值． 【答案】(1)， (2)①；②， (3)或2 【分析】本题主要考查了列代数式，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，注意分类讨论． （1）根据点P运动的速度和时间即可表示出，然后根据即可表示出； （2）①根据题意分三种情况：点P在上运动和点P在上运动，以及点在上，然后根据三角形面积公式求解即可； ②首先画出图形，然后根据题意得到，，然后根据题意列方程求出，然后根据三角形面积求出的面积为； （3）根据题意分三种情况讨论：点P在上时，点P在上和点P在上，经分析排除点P在上和点P在上，然后列方程求解． 【详解】（1）解：∵点以的速度从点出发，沿运动， ∴， ∵， ∴； （2）解：①当点P在上运动时，如图： ∵，， ∴； 当点P在上运动时，如图： ∵，， ∴； 当点P在上运动时，如图： 此时， ∴ 综上所述，； ②如图所示，过点P作交于点E，则，    ∵是以为底的等腰三角形， ∴ ∵， ∴， 可得四边形是长方形， ∴ ∵， ∴ 解得 ∴ ∴； （3）解：当点P在上时，即， ∵点P到的距离，点P到的距离，点P到的距离， ∴点P到的距离点P到的距离，点P到的距离点P到的距离， ∴不符合题意； 当点P在上时，即， ∵点P到的距离，点P到的距离，点P到的距离 根据题意得，或 解得或； 当点P在上时，即， ∵，故点P到和的距离均小于点P到的距离为长， ∴不符合题意； 综上：点P到长方形的相邻两边的距离相等时，或2． 3．如图，是边长为的等边三角形，动点P从点B出发以的速度沿着路线向终点B运动，同时动点Q从点C出发以的速度沿着路线向终点C运动，设运动的时间为． (1)当P在边上运动时，______，______； (2)当是等边三角形时，求t的值． 【答案】(1)； (2)2或8 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，再进一步可得到结论； （2）当点P在边上运动时，当点P在边上时，根据等边三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形， ∴， 由题意可得：，， ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴． 当点在边上时（此时点在边上）， 有，解得； 当点在边上时（此时点在边上）， 有，解得． 综上所述，当是等边三角形时，的值为2或8． 题型十四、等腰三角形的新定义 1．综合与实践：在学习特殊三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“兄弟三角形”进行研究，新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)操作判断： 如图1，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点．请直接写出线段与之间的数量关系：______． (2)性质探究： 如图2，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，，均在外，连结、，试说明（1）中和之间的数量关系是否还成立？若成立，给出证明过程． (3)拓展应用： 如图3，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，，点，，在同一条直线上，为的高，连结，请直接写出线段，，之间的数量关系： ． 【答案】(1) (2)成立；见解析 (3) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）通过和互为“兄弟三角形”，得出，，，从而证明，即可得出答案； （2）通过和互为“兄弟三角形”，得出，，，从而证明，即可完成证明； （3）通过已知条件，证明，得出，在等腰中，由为的高，得为的中点，即，根据，即可完成证明． 【详解】（1）解：和互为“兄弟三角形”， ，，， ， 即， ， ， 故答案为：； （2）依然成立，理由如下： 和互为“兄弟三角形”， ，，， ， 即， ， ； （3）和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，， ，， ， ， ； 在等腰中，， 为的中点， ， ， ． 2．定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分割成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，线段将顶角为的等腰三角形分成了两个等腰三角形，则线段是的“双等腰线”；线段，将顶角为的等腰三角形分成了三个等腰三角形，则线段是的“三等腰线”． (1)请在图2中，作出的“双等腰线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数： ①，； ②． (2)请在图3中，画出顶角为的等腰三角形的“三等腰线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种即可）； (3)画图和计算：在中，，点在边上，点在边上，和是的“三等腰线”，且，请试画出示意图，并求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查三角形的综合应用，结合材料和所学知识进行分析解题． （1）根据“双等腰线”的定义，作图即可； （2）根据“三等腰线”的定义，作图即可； （3）由题意设，分情况讨论：①当时，②当时，③当时，利用三角形内角和定理，列式求解即． 【详解】（1）①如图1所示： ； ②如图2所示： （2）如图3所示： （3）设， ①当时，如图， ② 当时，如图， ③当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此时不存在，应舍去． 综合上述，的度数为或． 3．能够完全重合的两个图形叫做全等形． （1）下列图形：①边长都为的两个正方形；②边长都为的两个四边形；③边长都为的两个三角形；④半径都是的两个圆．其中是全等图形的有______（填序号）； （2）数学课上，我们学习了直角三角形全等的判定（即“”）后，好学的小明继续对直角三角形全等判定进行研究，如图①，在和中，，，和的周长相等．求证：． 证明：如图②，在和中，分别延长至G，H，使得，，连接．根据小明的思考，请继续完成小明的证明； （3）根据全等多边形的定义，我们把四个角，四条边分别相等的两个凸四边形叫做全等四边形，记作：四边形四边形．如图③，若，，，，，求证：四边形四边形，并用一句话概括第（3）问中四边形全等的判定方法． 【答案】（1）①④；（2）见解析；（3）证明见解析；有三个角以及两条邻边分别对应相等的两个四边形全等 【分析】（1）根据全等多边形的定义，即可求解； （2）在和中，分别延长至G，H，使得，，连接，根据和的周长相等，可得，可证明，从而得到，再由等腰三角形的性质可得，然后根据三角形外角的性质可得，即可求证； （3）连接，证明，可得，，再证明，可得，即可求证． 【详解】解：（1）①边长都为的两个正方形；②边长都为的两个四边形；③边长都为的两个三角形；④半径都是的两个圆．其中是全等图形的有①④； 故答案为：①④ （2）证明：如图②，在和中，分别延长至G，H，使得，，连接． ∵和的周长相等， ∴， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴； （3）如图，连接， 在四边形和四边形中， ∵四边形的内角和等于360度，，，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ， ∴， ， 在和中， ∵， ，， ∴， ∴， 在四边形和四边形中， ∵，，，，， ，， ∴四边形四边形． 判定方法：有三个角以及两条邻边分别对应相等的两个四边形全等 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，并灵活做辅助线构造全等三角形是解题的关键． 1．如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 连接，则由作图可得，那么为等边三角形，可证明，再根据全等三角形性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由作图可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 2．如图，，点E在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等边对等角，先证明，再利用可证明得到，利用三角形内角和定理可证明，据此根据等边对等角和三角形内角和定理可求出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 如图所示，设交于O， ∵，， ， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 3．如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据等边三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，，与交于点， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形内角问题，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据正多边形内角计算公式求出，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，最后根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵八边形是正八边形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：． 5．等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 ． 【答案】/100度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，掌握等腰三角形两底角相等是解题的关键．根据三角形内角和定理结合等腰三角形两底角相等，求出它的顶角度数即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个底角的度数为， ∴它的顶角度数为：． 故答案为：． 6．如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；作点P关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，根据对称的性质结合等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：作关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，连接， 关于对称， ∴， 同理，，， ，， 是等腰三角形． ， 故答案为：． 7．用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：． 求作：点P，使，且点P在边的高上．    【答案】见解析 【分析】作的垂直平分线和边上的高，它们的交点为P点． 【详解】解：如图，点P为所作．    【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质． 8．如图，是五边形的一边，若垂直平分，垂足为，且____________，____________，则____________． 给出下列信息：①平分；②；③．请从中选择适当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明．    【答案】②③，①或①②，③；证明见详解 【分析】情况一：根据题意补全图形，连接、，根据线段垂直平分线的性质可得出，最后利用全等三角形的判定与性质即可解答； 情况二：根据题意补全部图形，连接、，根据线段垂直平分线的性质可得出，再利用全等三角形的判定与性质可知，最后利用角平分线的定义及全等三角形的判定与性质即可解答． 【详解】情况一：，， 证明：根据题意补全图形如图所示：   ∵垂直平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴平分； 故答案为：． 情况二：，， 证明：根据题意补全图形如图所示： ∵垂直平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：②③，①或①②，③ 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定与性质，角平分线的定义，角的和差关系，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 9．小明正在进行探究活动：分割梯形并将其拼成等腰三角形，请你帮他一起探究． (1)如图（1）所示，在梯形中，，．设为边中点，将绕点旋转，点旋转至点的位置，得到的是等腰三角形，其中，设，求边的长（用表示）； (2)如图（2）所示，已知梯形中，，且，．请设计一种方案，用一条或两条直线将梯形分割，并使得分割成的几个部分可以通过图形运动拼成与剩余部分不重叠无缝隙的等腰三角形．请写出两腰的线段，以及这两条或一条直线与梯形的交点的位置．（模仿（1）中的论述语言：为边中点，是梯形的顶点）． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了变换：旋转、平移与轴对称，等腰三角形的性质等知识； （1）过点D作于H，则由等腰三角形的性质得；证明四边形是矩形，则有；再由旋转知，则可求得的长，最后求得结果； （2）连接，把通过平移变换，再轴对称变换得到，则为满足条件的等腰三角形． 【详解】（1）解：如图，过点D作于H， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 由旋转知， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图（2），连接，把沿平移使M与P对应，得到；再把沿对折，得到，H与N是对应点，则是等腰三角形，其中两腰分别为，点N、Q分别是梯形的顶点． 10．1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点） 当的三个内角均小于时， 如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，      由，可知为 ① 三角形，故，又，故， 由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ； 已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点． (2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；    (3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示） 【答案】(1)①等边；②两点之间线段最短；③；④A． (2) (3) 【分析】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论； （2）根据（1）的方法将绕，点C顺时针旋转得到，即可得出可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，在根据可证明，由勾股定理求即可， （3）由总的铺设成本，通过将绕，点C顺时针旋转得到，得到等腰直角，得到，即可得出当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，然后根据已知和旋转性质求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴为等边三角形； ∴，， 又，故， 由两点之间线段最短可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值， 最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴，， ∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小． 又∵已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点． ∴该三角形的“费马点”为点A， 故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③；④． （2）将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由（1）可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，    ∵， ∴， 又∵ ∴， 由旋转性质可知：， ∴， ∴最小值为， （3）∵总的铺设成本 ∴当最小时，总的铺设成本最低， 将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由旋转性质可知：，，，， ∴， ∴， 当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，    过点作，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 的最小值为 总的铺设成本（元） 故答案为： 【点睛】本题考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键． 58 / 58 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 等腰三角形 目录 A题型建模・专项突破 题型一、等腰三角形的性质 1 题型二、等边三角形的性质 2 题型三、角平分线的性质 3 题型四、线段垂直平分线的性质 5 题型五、等腰三角形的额判定 6 题型六、等边三角形的判定 8 题型七、角平分线的判定 9 题型八、线段垂直平分线的判定 11 题型九、尺规作图 13 题型十、无刻度尺作图 15 题型十一、等腰（边）三角形的手拉手 16 题型十二、角平分线与垂直平分线的结合求解 18 题型十三、等腰三角形的动点求t 19 题型十四、等腰三角形的新定义 21 B综合攻坚・能力跃升 题型一、等腰三角形的性质 1．等腰三角形的一个底角为，则其顶角为（    ） A． B． C． D．或 2．已知等腰三角形周长等于19，其中一边长7，那么该等腰三角形的底边等于 ． 3．如图，在中，，，平分，交于点，过点作，交于点． (1)求的度数． (2)若与的周长分别为和，求的长． 题型二、等边三角形的性质 1．如图，把等边绕点顺时针旋转，得到，连接、交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在等边三角形中，，，交于点F，则 ． 3．如图1，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)________度； (3)如图2，连接，平分吗？请说明理由． 题型三、角平分线的性质 1．如图，是的角平分线，于点E，，，，则长是（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 2．如图，是的角平分线，若，，则点到的距离是 ． 3．如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点E、F，，垂足为点G． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 题型四、线段垂直平分线的性质 1．如图，在中，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，与交于点，与交于点，连接．若的周长为10，，则的周长为（   ） A．17 B．19 C．20 D．21 2．如图，在△中，的垂直平分线分别与、交于点、，的垂直平分线分别与、交于点，，若，则的周长是 ． 3．如图，在中，垂直平分，连接，，延长交的延长线于点F，，过点D作于点E，． (1)请判定与是否相等？为什么？ (2)与互补吗？请说明理由． 题型五、等腰三角形的额判定 1．如图，在四边形中，F是的延长线上一点，连接交于点E，，点G在边上，连接，平分．求证：是等腰三角形． 2．如图，，的平分线交于点．求证：是等腰三角形． 3．如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接． (1)判断并说明的形状； (2)若，求的度数． 题型六、等边三角形的判定 1．如图，已知点A、F、E、B在同一条直线上，与交于点M，，，，若，求证：是等边三角形． 2．如图，在中，，是上的一点，过点作的垂线交于点，连接，交于点． (1)求证：平分； (2)若，试判断的形状，并说明理由． 3．如图，在中，，在边上取点，连接，使．以为一边作等边，且使点与点位于直线的同侧，． (1)求的度数； (2)点在上，连接，请判断是否是等边三角形，并说明理由． 题型七、角平分线的判定 1．如图，在中，点D为下方一点，连接、、，，过点D作于点F，交的延长线于点G，．求证：平分． 2．如图，，M是的中点，平分，求证：平分． 3．【定理】如图1．因为于于，所以___________． 【运用】如图2，在四边形中，，求证：平分． 题型八、线段垂直平分线的判定 1．如图，是内一点，的延长线交于点，连接，，且，． (1)请判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)试说明垂直平分线段． 2．如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与交于点． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，，求的面积． 3．已知，如图，，，点E、F分别为垂足，，． (1)证明：； (2)延长相交于点 D，联结．证明：垂直平分线． 题型九、尺规作图 1．如图，在中，点在的延长线上，其中，． (1)在内部，求作射线，使得（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求的度数． 2．如图，已知． (1)用直尺和圆规按下列要求作图：作交于点D，作的角平分线交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，求的度数． 3．如图，在中，请解答下列问题： (1)请用尺规作图的方法作边的垂直平分线，交于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求的周长． 题型十、无刻度尺作图 1．如图，所有的小正形的边长都是1，小正方形的顶点叫做格点．请仅用无刻度直尺完成画图(不写画法)． (1)在图1中，A、B、C均为格点，作； (2)在图2中A、C为格点，B、D不是格点，且D为中点．在线段上找一点E，连接，使得与面积相等． 2．如图，所有的小正方形的边长都是都在格点上（小正方形的顶点叫做格点请仅用无刻度直尺完成画图（不要求写画法） (1)在图1中作线段，使，； (2)在图2中作线段于点A，交于点． 3．如图，将等边和的一边重合放置，其中为中点．请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，过点作于点． (2)如图2，过点作的平分线交于点． 题型十一、等腰（边）三角形的手拉手 1．在学习全等三角形知识时、教学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下探究： (1)如图1，两个等腰三角形和中，，，，连接、，如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是 ，此时和的数量关系是 ； (2)如图2，两个等腰直角三角形和中，，，，连接、，两线交于点，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图3，已知，请完成作图：以、为边分别向外作等边和等边（等边三角形三条边相等，三个角都等于），连接，，两线交于点，并直接写出线段和的数量关系及的度数． 2．小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．       (1)【问题发现】如图1，若和均是顶角为的等腰三角形，，分别是底边，从图中找出一对全等三角形并说明理由； (2)【拓展探究】如图2，若和和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，求的度数． 3．在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作： (1)如图1，在和中，，，，连接，，当点落在边上，且，，三点共线时，则在这个“手拉手模型”中，和全等的三角形是____________，的度数为____________． (2)如图2，已知，分别以、为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，连接、，线段和交于点． ①证明：且； ②若与在同一直线上，如图3，延长与交于点，连接并延长，的延长线与边交于点，且，若和的面积之和为20，的面积为6，求线段的长． 题型十二、角平分线与垂直平分线的结合求解 1．如图，在中，直线是边的垂直平分线，点D是直线上一点，连接，，满足，求证：为的外角的角平分线．    2．已知：如图，在 中，的角平分线与的垂直平分线交于点D， 垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若 求 的周长． 3．已知是边的垂直平分线，是的外角的角平分线，两线交于点，，垂足为，，垂足为．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型十三、等腰三角形的动点求t 1．如图1，在等边中，，点O在边上，且，动点P从点A出发沿射线以的速度运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，设点运动的时间为．． (1)用含t的代数式表示的长； (2)如图2，当点D落在边上时，求证：； (3)当平行于的一边时，直接写出t的值； (4)作点D关于点O的对称点E，经过 ，点E恰好落在射线上． 2．如图，在长方形中，，，点P以的速度从点A出发，沿运动，同时点Q以的速度从点A出发，沿运动，当P、Q两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为． (1)当点P在运动的过程中，用含t的代数式表示和的长； (2)①用含t的代数式表示的面积； ②当是以为底的等腰三角形时，求t的值及此时的面积； (3)在整个运动过程中（点P与点B、C重合时除外），当点P到长方形的相邻两边的距离相等时，直接写出t的值． 3．如图，是边长为的等边三角形，动点P从点B出发以的速度沿着路线向终点B运动，同时动点Q从点C出发以的速度沿着路线向终点C运动，设运动的时间为． (1)当P在边上运动时，______，______； (2)当是等边三角形时，求t的值． 题型十四、等腰三角形的新定义 1．综合与实践：在学习特殊三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“兄弟三角形”进行研究，新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)操作判断： 如图1，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点．请直接写出线段与之间的数量关系：______． (2)性质探究： 如图2，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，，均在外，连结、，试说明（1）中和之间的数量关系是否还成立？若成立，给出证明过程． (3)拓展应用： 如图3，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，，点，，在同一条直线上，为的高，连结，请直接写出线段，，之间的数量关系： ． 2．定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分割成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，线段将顶角为的等腰三角形分成了两个等腰三角形，则线段是的“双等腰线”；线段，将顶角为的等腰三角形分成了三个等腰三角形，则线段是的“三等腰线”． (1)请在图2中，作出的“双等腰线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数： ①，； ②． (2)请在图3中，画出顶角为的等腰三角形的“三等腰线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种即可）； (3)画图和计算：在中，，点在边上，点在边上，和是的“三等腰线”，且，请试画出示意图，并求的度数． 3．能够完全重合的两个图形叫做全等形． （1）下列图形：①边长都为的两个正方形；②边长都为的两个四边形；③边长都为的两个三角形；④半径都是的两个圆．其中是全等图形的有______（填序号）； （2）数学课上，我们学习了直角三角形全等的判定（即“”）后，好学的小明继续对直角三角形全等判定进行研究，如图①，在和中，，，和的周长相等．求证：． 证明：如图②，在和中，分别延长至G，H，使得，，连接．根据小明的思考，请继续完成小明的证明； （3）根据全等多边形的定义，我们把四个角，四条边分别相等的两个凸四边形叫做全等四边形，记作：四边形四边形．如图③，若，，，，，求证：四边形四边形，并用一句话概括第（3）问中四边形全等的判定方法． 1．如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．如图，，点E在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，，与交于点， ． 5．等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 ． 6．如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ． 7．用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：． 求作：点P，使，且点P在边的高上．    8．如图，是五边形的一边，若垂直平分，垂足为，且____________，____________，则____________． 给出下列信息：①平分；②；③．请从中选择适当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明．    9．小明正在进行探究活动：分割梯形并将其拼成等腰三角形，请你帮他一起探究． (1)如图（1）所示，在梯形中，，．设为边中点，将绕点旋转，点旋转至点的位置，得到的是等腰三角形，其中，设，求边的长（用表示）； (2)如图（2）所示，已知梯形中，，且，．请设计一种方案，用一条或两条直线将梯形分割，并使得分割成的几个部分可以通过图形运动拼成与剩余部分不重叠无缝隙的等腰三角形．请写出两腰的线段，以及这两条或一条直线与梯形的交点的位置．（模仿（1）中的论述语言：为边中点，是梯形的顶点）． 10．1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点） 当的三个内角均小于时， 如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，      由，可知为 ① 三角形，故，又，故， 由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ； 已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点． (2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；    (3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示） 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$