专题01 全等三角形（专项训练）数学华东师大版2024八年级上册

专题01 全等三角形 目录 A题型建模・专项突破 题型一、全等三角形的性质 1 题型二、全等的依据 2 题型三、还原玻璃块 3 题型四、全等三角形的判定——SAS 5 题型五、全等三角形的判定——ASA 6 题型六、全等三角形的判定——AAS 8 题型七、全等三角形的判定——SSS 9 题型八、全等三角形的判定——HL 11 题型九、格点三角形 13 题型十、一线三等角 15 题型十一、倍长中线法 17 题型十二、全等的动点求t 19 B综合攻坚・能力跃升 题型一、全等三角形的性质 1．如图，，点、、、在同一直线上，与相交于点，，，则的长度是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形对应边相等是解题的关键． 根据得到，再根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 2．如图，，B、C、D在同一直线上，且，，则长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质得出，，根据线段的和差关系得出，即可得出． 【详解】解：∵， ∴，， ∵ ∴， ∴， 故答案为：6． 3．如图，已知，点在边上，与交于点． (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)22 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角、对应边相等，是解题的关键． （1）由全等三角形的对应边相等得出，结合即可求解； （2）由全等三角形的对应角相等，结合三角形内角和定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型二、全等的依据 1．如图，在和中，，，，则能直接判断的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题关键是理解并掌握全等三角形的判定定理：，，，，等．根据全等三角形的判定定理，即可获得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，即判断的依据是“”． 故选：A． 2．如图，与相交于点，，，不添加辅功线，判定的依据是 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，由题意可知，，，，即可证明． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为： 3．如图，点D，E分别在上，相交于点O，，求证：，小聪同学的证明过程如下： 证明：在和中， ∴（依据①： ） ∴（依据②： ） …… 任务： (1)小聪同学的证明过程中依据①是 ，依据②是 ； (2)按小聪同学的思路将证明过程补充完整； (3)图中共有 对全等三角形． 【答案】(1)，全等三角形的对应边相等 (2)见解析 (3)4 【分析】本题主要考查了全等三角形．熟练掌握全等三角形的判定和性质，是解题的关键． （1）成立的依据是，成立的依据是全等三角形的对应边相等； （2）证明，结合∠BOD=∠COE，，可得，即得； （3）根据，，可得，根据，，，可得，由结合（1）（2）中，，可得4对全等三角形． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴（）， ∴（全等三角形的对应边相等）． 故答案为：，全等三角形的对应边相等． （2）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）由（1）（2）知，，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴ 故共有4对全等三角形， 分别是，，，． 故答案为：4． 题型三、还原玻璃块 1．周末，小谦和弟弟在游玩时不慎将一块三角形玻璃摔成四块（如图中标有①②③④的四块），小明学了全等三角形的知识后，决定拿第④块碎片去配一块与原来大小和形状都一样的三角形玻璃，依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：，，，，做题时要根据已知条件进行选择运用． 【详解】解：④号玻璃，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，符合全等三角形判定． 故选：C． 2．如图，小明不慎将一块三角形的玻璃打碎为三块，他想只带其中一块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形玻璃，那么他应该带去的一块是 ． 【答案】③ 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，根据全等三角形的判定方法“角边角”可以判定应当带③去． 【详解】解：①只保留了一个角及部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃； ②则只保留了部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃； 而③不但保留了一个完整的边还保留了两个角，所以应该带去③，根据全等三角形判定可以配出一块和原来一样的三角形玻璃． 故答案为：③． 3．探究活动 （1）[知识回顾]如图，王芳不小心把一块三角形的玻璃打成三块碎片，现要配出与原来一样的玻璃，则应携带的玻璃碎片编号是（　　） A．①                  B．②                     C．③ （2）[直观感知]如图，李明不小心把一块四边形的玻璃打成四块碎片，现要配出与原来一样的玻璃，则应携带的玻璃碎片编号是（　　） A．① ②              B．① ③               C．① ④ D．② ③              E．② ④               F．③ ④ （3）[问题探究]在平面几何里，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．类似的，我们把能够完全重合的两个四边形叫全等四边形．也就是说四条边和四个角都分别相等的两个四边形全等． ① 已知：如图，在四边形与四边形中，，，，，． 求证：四边形与四边形是全等四边形． ② 请类比全等三角形的判定定理，用文字语言表述第① 题的题设与结论： ③ 请再写出一个判定四边形全等的真命题．（用符号语言表达，不必证明） 【答案】（1）C；（2）E（3）①见解析；②题设：四条边都相等，且有一对角对应相等；结论：这两个四边形全等；③在四边形与四边形中，，，，，． 则四边形与四边形是全等四边形； 【分析】（1）根据分析即可求解； （2）根据（1）的结论，找到能确定一条边2个角的三角形，即可求解； （3）①连接，证明，得出，证明，即可求解． ②根据①的命题，写出题设与结论即可求解． ③ 根据①结论写出真命题，进而根据全等三角形的方法进行证明即可求解． 【详解】（1）解：依题意，③玻璃碎片，含有条边，个角，依据可得两个三角形全等， 故选：C； （2）解：带②④，理由如下， 如图， ∵根据碎片的形状，可以确定长度的长度，且碎片②④保留了2个角，以为边的左右两边的两个三角形的两个角确定了， 根据（1）的结论可得出2对全等三角形， ∴带②④， 故选：E． （3）①证明：如图，连接 ∵在四边形与四边形中，，， ． ∴， ∴ 又，， ∴ ∴四边形与四边形是全等四边形； ②题设：四条边都相等，且有一对角对应相等； 结论：这两个四边形全等； ③如图，在四边形与四边形中，，，，，． 则四边形与四边形是全等四边形； 证明：如图， ∵，，， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴ ∴四边形与四边形是全等四边形； 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 题型四、全等三角形的判定——SAS 1．如图是雨伞在开合过程中的截面图．测得，点，分别是，的三等分点，．则的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用证明三角形全等，由已知条件可得出，再加上，即可得出． 【详解】解：∵，点，分别是，的三等分点， ∴， 又∵，， ∴， 故选：D 2．如图，中，于D，E是上一点，连接并延长交于F，若，，，．则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，通过证明三角形全等得出对应边相等，对应角相等是解决问题的关键．证明，可得，，然后证明，根据列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，已知点E，F是线段上的两点，且，，，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，先证明，，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】解：，理由如下： ， ， ， 在和中， ， ， ∴． 题型五、全等三角形的判定——ASA 1．如图，为了测量河两岸A，B两点的距离，过点B作，在上取两点C，D，使得，再过D点作的垂线，使得点E、C、A在同一直线上，若，，，则A，B两点的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用可证明，则 【详解】解：∵，， ∴， 在与中： ， ． ∴A，B两点的距离是． 故选：B． 2．如图，在与中，已知，，，若，，则 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，由平行线的性质可得，再证明，得到，据此根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：10． 3．如图，，与相交于点，且，那么与相等吗？请说明理由． 【答案】相等，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，由平行线的性质得，然后证明可得． 【详解】解：． 理由如下： ∵， ∴． 在和中， ∴ ∴． 题型六、全等三角形的判定——AAS 1．如图，中，是的平分线，，垂足为E．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，由角平分线的定义得到，证明，得到，则． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，先由平行线的性质得到，再证明得到，据此根据线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．和按如图位置放置，点D在上，，，，．线段与线段相等吗？为什么？ 【答案】，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟知边角边证明三角形全等是解题的关键． 首先得到，然后证明出，即可得到． 【详解】解：，理由如下： 因为，，， 所以， 所以，， 所以， 又因为， 所以， 所以． 题型七、全等三角形的判定——SSS 1．如图，在中，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以同样的长度（大于）为半径画弧，两弧相交于点，连接，则射线是的角平分线．连接，，可以先证明，进而推出是的角平分线．判定的依据（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键； 根据作图可得，，再根据，利用得到即可得到结论． 【详解】解：根据作图，可得，， 又∵， ， ∴， ∴是的角平分线； 故选：D． 2．如图，在四边形中，，，若线段，线段，则四边形的面积为 （用含有a、b的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，连接，证明得出，再由四边形的内角和求出，最后由面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 3．如图，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定、全等三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）先说明，再运用证明三角形全等即可； （2）由全等三角形的性质可得，再运用三角形外角的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即：． 在与中， ， ∴． （2）解：∵ ∴， ∴． 题型八、全等三角形的判定——HL 1．如图所示，在和中，，点E在上，点D在上，与交于点O，，，则可判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握定理是关键．在和中，，，，即可根据定理证明． 【详解】解：在和中，，，， ∴， 故选：C 2．如图，，，点、、、分别在直线与上，点在上，，，，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质．先判定，从而得出，则． 【详解】解：，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 3．如图，点为外一动点，连接并延长至点，连接交于点．过点作的垂线于点，，已知．证明：为的平分线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的判定．过作于点，于点，利用定理证明，得到，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； 【详解】证明：如图，过作于点，于点， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为的平分线． 题型九、格点三角形 1．如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形．那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，按公共边的不同情况分类寻找全等格点三角形． 分别以、、为公共边，依据全等三角形判定条件，找出与全等的格点三角形，统计数量． 【详解】如图： 共7个点符合， 故选：C． 2．如图，在正方形网格内，有一个格点三角形（三个顶点都在正方形的格点上）；现需要在网格内构造一个新的格点三角形与全等，且有一条边与的一条边重合，这样的三角形可以构造出 个． 【答案】5 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据全等三角形的判定方法：三边分别对应相等的两个三角形全等，再依次确定第三个顶点即可． 【详解】解：如图满足条件的三角形如图所示，有5个． 故答案为：5． 3．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： （模型呈现） （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________， ________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （模型应用） （2）如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； （深入探究） （3）如图，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，则有________（填“、、”） 【答案】（1），，（2）见解析，（3），理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的两个锐角互余及等积法，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质可直接进行求解； （2）分别过点D和点E作于点H，于点Q，进而可得，然后可证，则有，进而可得，通过证明可求解问题； （3）过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于由题意易得，，然后可得，则有，，进而可得，通过证明及等积法可进行求解问题． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为， （2）分别过点D和点E作于点H，于点Q，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可知， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即点是的中点； （3），理由如下： 如图所示，过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于 ∵四边形与四边形都是正方形 ∴，， ∵，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，， 同理可以证明， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴即， 故答案为：． 题型十、一线三等角 1．如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C均在格点上，且是格点三角形，按下列要求画图，并保留作图痕迹． (1)在图1中，画出与全等的格点三角形；（找到一个即可） (2)在图2中，的面积为______，在网格内找出满足和面积相等的所有格点E；（点E不与已知的三个点重合） (3)在图3中，只用无刻度的直尺作出中边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)6，见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了网格作图，熟练掌握平行线的性质，全等三角形的性质与判定，三角形面积公式，是解题的关键． （1）如图所示，取格点D，根据网格的特点可证明和全等； （2）利用网格的特点和三角形面积公式求出的面积，再根据平行线的性质，只需要满足点E在过点B且平行于的直线的格点上即可； （3）根据三角形全等，判定，即为所求 【详解】（1）如图，取格点D，连接，即为所求（答案不唯一）． （2）． 如图，，即为满足和面积相等的格点． （3）如图，取格点G，连接并延长交于点H，即为所求． 证明： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 【模型应用】 （2）如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为 ． A．68 B．70 C．98 D．168 【深入探究】 （3）如图3，在中，，，点D在边上，点E，F在线段上，， ①试证明． ②若，的面积为1，的面积为12，则的面积为 ． 【答案】[模型呈现] ；[模型应用]C； [深入探究] ①见详解，②5． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质， [模型呈现]根据全等三角形的性质即可知，即可； [模型应用]由“K字”模型可知，，，则，，，，即可求得，结合图中实线所围成的图形的面积为； [深入探究] ①根据题意得，，则，即可证明；②利用三角形面积公式得，，由①知，则，结合求解即可． 【详解】解：[模型呈现]：， ∴， 故答案为：； [模型应用] 由“K字”模型可知，，， ∴，，，， ∴， ∴图中实线所围成的图形的面积 ， 故选：C； [深入探究] ①证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴； ②设点B到线段的距离为h， ∵，的面积为1， ∴，， 由①知，则 ∵的面积为12， ∴ ， 故答案为：5． 3．【方法呈现】 如图：在中，若，，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围为_________________，这种方法我们称为倍长中线法； 【问题背景】 在中，，垂足为M，，点D是线段上一动点． （1）如图1，点C是延长线上一点，，连接，若，求的长； 【构建联系】 （2）如图2，在（1）的条件下，点E是外一点，，连接并延长交于点F，且点F是线段的中点，求证：． 【答案】方法呈现：；问题背景（1）17；构建联系：（2）见解析 【分析】方法呈现：由已知得出，即，为的一半，即可得出答案； 问题背景：（1）证明，得出即可； 构造联系：（2）延长，截取，连接，证明，得出，，证明，根据等腰三角形的性质得出，即可得出结论． 【详解】解：方法呈现：如图，延长到点，使，连接， 是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：； 问题背景：（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 构造联系：（2）延长，截取，连接，如图所示： ∵点F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 根据解析（1）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形三边关系的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，作出辅助线． 题型十一、倍长中线法 1．【新知情境】如图1，在中，，点分别在上．若边上存在一点，满足，则称点是的“一线三等角点”．    【理解新知】 （1）如图2，在中，，是边上的高，是中边上的高．求证：点是的“一线三等角点”； （2）如图1，在“新知情境”的条件和结论下，求证：； 【操作探究】 （3）如图3，在中，，点分别在上．点在内，且．    ①由于点不在上，所以点不是的一个“一线三等角点”．小明想沿着方向，将平移到上，使得点的对应点为点，平移后的的边与的交点为点．请用无刻度的直尺和圆规作出；（不写作法，保留清晰的作图痕迹，标明字母） ②如图4，若，与的角平分线所在直线交于点．直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；② 【分析】（1）根据高线的定义可得，，证明即可得出结论； （2）根据三角形内角和定理和平角的概念可得，，等量代换可得结论； （3）①延长交于，然后作等于，与的交点为即可；②如图④，连接并延长至F，根据三角形外角的性质求出，再根据对顶角相等和角平分线的定义证明，，进而求出，然后根据四边形的内角和定理列式整理即可． 【详解】解：（1）∵是边上的高，是中边上的高， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴点是的“一线三等角点” （2）∵在中，， 又∵，， ∴； （3）①如图所示：    ②如图④，连接并延长至F，      ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵与的角平分线分别是，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了三角形高线的定义，三角形内角和定理，尺规作一个角等于已知角，角平分线的定义，三角形外角的性质，四边形的内角和定理等知识，正确理解新定义，准确识别各角之间的关系是解题的关键． 2．【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．（注：等腰三角形两个底角相等，三个内角为的三角形为等边三角形） （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：平分． 小明是这么想的：延长至点G，使，连接，即可证明，并根据全等三角形的性质继续解题，请根据小明的想法，完整的写出证明过程． 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点E是边的中点，点F在上，， ，若，面积为16.8，求点F到的距离． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3） 【分析】（1）①由中线性质可得，证明即可得知依据； ②由可得，又，在中，由三边关系可得答案； （2）延长至F，使，证明，则，，求得，从而．由等腰三角形性质和外角定理可得，再证明，即可得到，从而得证结论； （3）倍长，使延长至点G，使得，证明．，，．得，再根据为等边三角形，可得，证明，，再证明，可得为等边三角形，从而，再根据面积即可求解． 【详解】解：（1）①∵是的中线， ∴， 在和中， ∵， ∴， 故答案为：； ②由可得， 又， ∴在中，由三边关系可得： ，即， 又， 故． 故答案为：． （2）证明：如图2所示，延长至F，使． 在和中， ∵， ∴． ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ∵， ∴． ∴． 故平分． （3）如图3，延长至点，使得， 在和中， ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． 又， ∴， 又∵， ∴为等边三角形，， 从而， ∴， 在和中， ∵， ∴． ∴， 又∵， ∴， 故为等边三角形， ∴． 设点F到的距离为， ∵面积为16.8， ∴， ∴，即点F到的距离为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，等边三角形的判定和性质，倍长中线的运用．根据倍长中线作出正确的辅助线是解题关键． 3．如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当时，________cm，当时，________cm． (2)如图①，求当为何值时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发．沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好，直接写出点的运动速度． 【答案】(1)； (2)或 (3)运动的速度为或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点P在线段上；当时，，点在线段上，分别求解即可； （2）分两种情况讨论：①点P在上；②点P在上，利用三角形面积分别求解即可； （3）根据题意分两种情况进行分析，利用全等三角形的判定与性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可． 【详解】（1）解：当时，点在线段上， ∵点速度为， ∴． 当时，， 点在线段上， ∴． 故答案为：；； （2）解：∵，， ∴， ∵的面积等于面积的一半， ∴． ①当点在上时， ， ∴， ． ②当点在上时，    过点作于点D， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：或； （3）解：①当点在上，点在上，时， ， ∴； ②当点P在上，点Q在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴． ∴运动的速度为或． 题型十二、全等的动点求t 1．【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，求证：平分； 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点E是边的中点，点F 在上，，若，求的长． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3）4． 【分析】（1）①由中线性质可得，证明即可得知依据； ②由可得，又，在中，由三边关系可得答案； （2）延长至F，使，证明，则，又，从而．由等腰三角形性质和外角定理可得，再证明，即可得到结论； （3）倍长，使延长至点G，使得，证明，．得，再根据为等边三角形，可得，证明，再证明，可得为等边三角形，从而，即可求解． 【详解】解：（1）①解：∵是的中线， ∴， 在和中， ∵， ∴， 故答案为：； ②由可得， 又， ∴在中，由三边关系可得： ，即， 又， 故． 故答案为：． （2）证明：如图，延长至点F，使，连接． 同法（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 即平分； （3）延长至，使得，连接， ∵是的中点 ∴ ∵， ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴等边三角形， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即：， ∴为等边三角形， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，等边三角形的判定和性质，倍长中线的运用．根据倍长中线作出正确的辅助线是解题关键． 2．如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿直线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)若，试求动点的运动时间的值； (2)试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 【答案】(1)动点的运动时间或； (2)或时，与全等． 【分析】本题是三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题． （1）作，则，根据可得的值，分别用表示，即可求得的值，即可解题； （2）当点在点上方时，易得时，，分别用表示，即可求得的值；当点在点下方时，进行求解即可． 【详解】（1）解：作，，则， ， ， 当点在点左侧时， ∴, 即， 解得：； 当点在点右侧时，， ∴，解得， 综上动点的运动时间或； （2）当点在点上方时， ，， ∴当时，， 即或， 解得：或（舍去）， 当点在点下方时， ， ∴， ， ∴； 答：或时，与全等． 3．如图所示，和都是边长为厘米等边三角形，两个动点，同时从点出发，点以厘米秒的速度沿的方向运动，点以厘米秒的速度沿的方向运动，当点P到达点B时，、两点同时停止运动．设、运动的时间为秒． (1)点、从出发到相遇所用时间是 秒； (2)当取何值时，也是等边三角形？请说明理由； (3)是否存在t的值，使，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)不存在，理由见解析． 【分析】设点、从出发到相遇所用时间是，根据点、的运动速度把点、运动的路程表示出来，根据点、相遇时所走的路程和等于的周长可列关于的方程，解方程即可； 假设是等边三角形，则有，，从而可证，根据全等三角形对应边相等可知，从而可列关于的方程，解方程即可求出运动的时间； 若，可得为等边三角形，根据等边三角形的性质可得，可得方程，解方程可得：，此时点从点出发运动的路程为厘米，已经到达线段上，所以不成立，可知不存在的值，使． 【详解】（1）解：设点、从出发到相遇所用时间是， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：； （2）解：当时，是等边三角形． 理由如下： 如图所示，若是等边三角形， 此时点在上，点在上，且，， ， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 解得：；         （3）解：不存在的值，使． 理由如下： 如图所示：若， ，  ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， 解得：, 又， 不存在的值，使． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、一元一次方程的应用、动点问题，解决本题的关键是点运动的时间和速度把线段的长度用含的代数式表示出来，再根据线段之间的相等关系列方程． 1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：∵，， A、在和中， ， ∴，故选项A不符合题意； B、由，根据能判定，故选项B不符合题意； C、由，根据能判定，故选项C不符合题意； D、由，不能判定，故选项D符合题意； 故选：D． 2．如图，已知，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的对应角相等成为解题的关键． 先根据三角形内角和定理求得，然后根据全等三角形的对应角相等即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 故选C． 3．工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，是一个任意角，在边，上分别取（，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．你认为工人师傅在此过程中用到的三角形全等的判定方法是这种作法的道理是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质．熟练掌握确定三角形的判定方法是解题的关键． 由三边对应相等得，即由判定两个三角形全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证． 【详解】解：依题意知， 在与中， ， ， ， 即即是的平分线． 故选：D． 4．如图，C是的中点，，请添加一个条件 ，使． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理，是解决问题的关键． 要使，已知，，则可以添加一对边，从而利用来判定其全等，或添加一对夹角，从而利用来判定其全等（填一个即可，答案不唯一）． 【详解】解：∵C是的中点， ∴， ∵， ∴添加或， 可分别根据判定（填一个即可，答案不唯一）． 故答案为：或． 5．如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可） 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一． 【详解】解：∵ ∴，， ∴添加条件，可以使得， 添加条件，也可以使得， ∴； 故答案为：或（答案不唯一）． 6．如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．      【答案】3 【分析】证明，得到，即可得解． 【详解】解： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中： ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．利用同角的余角相等和等腰三角形的两腰相等证明三角形全等是解题的关键． 7．如图，与相交于点，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用证明即可． 【详解】证明；在和中， ， ∴． 8．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)11 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得到，再由“”直接证明即可； （2）由，，再由线段和差即可得到，最后由即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．如图，在和中，延长交于，，，．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 由，，可得，证明，进而结论得证． 【详解】证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 10．如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线EG交AB于点E，交AB的平行线CG于点G，DF⊥EG，交AC于点F． (1)求证：BE＝CG； (2)判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)BE+CF＞EF，见解析 【分析】（1）根据题中条件，证得△BDE≌△CDG（ASA），可证得BE＝CG； （2）先连接AG，再利用全等的性质可得 DE＝DG，再根据DF⊥GE，从而得出 FG＝EF，依据三角形两边之和大于第三边得出 BE+CF>EF， 【详解】（1）解：∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∵AB∥CG， ∴∠B＝∠DCG， 在△BDE和△CDG中， ∵∠BDE＝∠CDG，BD＝CD，∠DBE＝∠DCG， ∴△BDE≌△CDG（ASA）， ∴BE＝CG； （2）BE+CF＞EF．理由：如图，连接FG， ∵△BDE≌△CDG， ∴DE＝DG， 又∵FD⊥EG， ∴FD垂直平分EG， ∴EF＝GF， 又∵△CFG中，CG+CF＞GF， ∴BE+CF＞EF． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及三角形三边关系的运用，本题中求证△BDE≌△CDG，得出BE＝CG是解题的关键． 1 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 全等三角形 目录 A题型建模・专项突破 题型一、全等三角形的性质 1 题型二、全等的依据 2 题型三、还原玻璃块 3 题型四、全等三角形的判定——SAS 5 题型五、全等三角形的判定——ASA 6 题型六、全等三角形的判定——AAS 8 题型七、全等三角形的判定——SSS 9 题型八、全等三角形的判定——HL 11 题型九、格点三角形 13 题型十、一线三等角 15 题型十一、倍长中线法 17 题型十二、全等的动点求t 19 B综合攻坚・能力跃升 题型一、全等三角形的性质 1．如图，，点、、、在同一直线上，与相交于点，，，则的长度是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，，B、C、D在同一直线上，且，，则长为 ． 3．如图，已知，点在边上，与交于点． (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 题型二、全等的依据 1．如图，在和中，，，，则能直接判断的依据是（   ） A． B． C． D． 2．如图，与相交于点，，，不添加辅功线，判定的依据是 ． 3．如图，点D，E分别在上，相交于点O，，求证：，小聪同学的证明过程如下： 证明：在和中， ∴（依据①： ） ∴（依据②： ） …… 任务： (1)小聪同学的证明过程中依据①是 ，依据②是 ； (2)按小聪同学的思路将证明过程补充完整； (3)图中共有 对全等三角形． 题型三、还原玻璃块 1．周末，小谦和弟弟在游玩时不慎将一块三角形玻璃摔成四块（如图中标有①②③④的四块），小明学了全等三角形的知识后，决定拿第④块碎片去配一块与原来大小和形状都一样的三角形玻璃，依据是（    ） A． B． C． D． 2．如图，小明不慎将一块三角形的玻璃打碎为三块，他想只带其中一块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形玻璃，那么他应该带去的一块是 ． 3．探究活动 （1）[知识回顾]如图，王芳不小心把一块三角形的玻璃打成三块碎片，现要配出与原来一样的玻璃，则应携带的玻璃碎片编号是（　　） A．①                  B．②                     C．③ （2）[直观感知]如图，李明不小心把一块四边形的玻璃打成四块碎片，现要配出与原来一样的玻璃，则应携带的玻璃碎片编号是（　　） A．① ②              B．① ③               C．① ④ D．② ③              E．② ④               F．③ ④ （3）[问题探究]在平面几何里，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．类似的，我们把能够完全重合的两个四边形叫全等四边形．也就是说四条边和四个角都分别相等的两个四边形全等． ① 已知：如图，在四边形与四边形中，，，，，． 求证：四边形与四边形是全等四边形． ② 请类比全等三角形的判定定理，用文字语言表述第① 题的题设与结论： ③ 请再写出一个判定四边形全等的真命题．（用符号语言表达，不必证明） 题型四、全等三角形的判定——SAS 1．如图是雨伞在开合过程中的截面图．测得，点，分别是，的三等分点，．则的依据是（　　） A． B． C． D． 2．如图，中，于D，E是上一点，连接并延长交于F，若，，，．则的面积是 ． 3．如图，已知点E，F是线段上的两点，且，，，试判断与的数量关系，并说明理由． 题型五、全等三角形的判定——ASA 1．如图，为了测量河两岸A，B两点的距离，过点B作，在上取两点C，D，使得，再过D点作的垂线，使得点E、C、A在同一直线上，若，，，则A，B两点的距离是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在与中，已知，，，若，，则 ． 3．如图，，与相交于点，且，那么与相等吗？请说明理由． 【答案】相等，理由见解析 题型六、全等三角形的判定——AAS 1．如图，中，是的平分线，，垂足为E．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 2．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，，若，，则的长为 ． 3．和按如图位置放置，点D在上，，，，．线段与线段相等吗？为什么？ 题型七、全等三角形的判定——SSS 1．如图，在中，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以同样的长度（大于）为半径画弧，两弧相交于点，连接，则射线是的角平分线．连接，，可以先证明，进而推出是的角平分线．判定的依据（   ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，，若线段，线段，则四边形的面积为 （用含有a、b的代数式表示）． 3．如图，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型八、全等三角形的判定——HL 1．如图所示，在和中，，点E在上，点D在上，与交于点O，，，则可判定的依据是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，，点、、、分别在直线与上，点在上，，，，则 ． 3．如图，点为外一动点，连接并延长至点，连接交于点．过点作的垂线于点，，已知．证明：为的平分线． 题型九、格点三角形 1．如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形．那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 2．如图，在正方形网格内，有一个格点三角形（三个顶点都在正方形的格点上）；现需要在网格内构造一个新的格点三角形与全等，且有一条边与的一条边重合，这样的三角形可以构造出 个． 3．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： （模型呈现） （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________， ________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （模型应用） （2）如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； （深入探究） （3）如图，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，则有________（填“、、”） 题型十、一线三等角 1．如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C均在格点上，且是格点三角形，按下列要求画图，并保留作图痕迹． (1)在图1中，画出与全等的格点三角形；（找到一个即可） (2)在图2中，的面积为______，在网格内找出满足和面积相等的所有格点E；（点E不与已知的三个点重合） (3)在图3中，只用无刻度的直尺作出中边上的高． 2．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 【模型应用】 （2）如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为 ． A．68 B．70 C．98 D．168 【深入探究】 （3）如图3，在中，，，点D在边上，点E，F在线段上，， ①试证明． ②若，的面积为1，的面积为12，则的面积为 ． 3．【方法呈现】 如图：在中，若，，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围为_________________，这种方法我们称为倍长中线法； 【问题背景】 在中，，垂足为M，，点D是线段上一动点． （1）如图1，点C是延长线上一点，，连接，若，求的长； 【构建联系】 （2）如图2，在（1）的条件下，点E是外一点，，连接并延长交于点F，且点F是线段的中点，求证：． 题型十一、倍长中线法 1．【新知情境】如图1，在中，，点分别在上．若边上存在一点，满足，则称点是的“一线三等角点”．    【理解新知】 （1）如图2，在中，，是边上的高，是中边上的高．求证：点是的“一线三等角点”； （2）如图1，在“新知情境”的条件和结论下，求证：； 【操作探究】 （3）如图3，在中，，点分别在上．点在内，且．    ①由于点不在上，所以点不是的一个“一线三等角点”．小明想沿着方向，将平移到上，使得点的对应点为点，平移后的的边与的交点为点．请用无刻度的直尺和圆规作出；（不写作法，保留清晰的作图痕迹，标明字母） ②如图4，若，与的角平分线所在直线交于点．直接写出与之间的数量关系． 2．【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．（注：等腰三角形两个底角相等，三个内角为的三角形为等边三角形） （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：平分． 小明是这么想的：延长至点G，使，连接，即可证明，并根据全等三角形的性质继续解题，请根据小明的想法，完整的写出证明过程． 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点E是边的中点，点F在上，， ，若，面积为16.8，求点F到的距离． 3．如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当时，________cm，当时，________cm． (2)如图①，求当为何值时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发．沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好，直接写出点的运动速度． 题型十二、全等的动点求t 1．【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，求证：平分； 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点E是边的中点，点F 在上，，若，求的长． 2．如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿直线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)若，试求动点的运动时间的值； (2)试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 3．如图所示，和都是边长为厘米等边三角形，两个动点，同时从点出发，点以厘米秒的速度沿的方向运动，点以厘米秒的速度沿的方向运动，当点P到达点B时，、两点同时停止运动．设、运动的时间为秒． (1)点、从出发到相遇所用时间是 秒； (2)当取何值时，也是等边三角形？请说明理由； (3)是否存在t的值，使，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 3．工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，是一个任意角，在边，上分别取（，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．你认为工人师傅在此过程中用到的三角形全等的判定方法是这种作法的道理是（　　） A． B． C． D． 4．如图，C是的中点，，请添加一个条件 ，使． 5．如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可） 6．如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．      7．如图，与相交于点，．求证：． 8．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 9．如图，在和中，延长交于，，，．求证：． 10．如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线EG交AB于点E，交AB的平行线CG于点G，DF⊥EG，交AC于点F． (1)求证：BE＝CG； (2)判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$