专题02 乘法公式与因式分解（专项训练）数学华东师大版2024八年级上册

专题02 乘法公式与因式分解 目录 A题型建模・专项突破 题型一、公因式 1 题型二、完全平方公式运算 2 题型三、平方差公式运算 3 题型四、提公因式法分解因式 5 题型五、完全平方式 6 题型六、完全平方公式变形求值 8 题型七、因式分解中的简算 9 题型八、十字相乘法 11 题型九、分组分解法 13 题型十、配方法求最值 15 题型十一、平方差公式与几何图形 17 题型十二、完全平方公式与几何图形 19 题型十三、因式分解与结合图形 21 B综合攻坚・能力跃升 题型一、公因式 1．将多项式因式分解时，应提取的公因式是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查公因式的确定，在找公因式时，一找系数的最大公约数，二找相同字母的最低次幂，据此即可求解． 【详解】解：， 故因式分解时，应提取的公因式是， 故选：A． 2．多项式和的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的公因式，先分解因式，2对比两个多项式，找出共同的因式即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 故多项式和的公因式是， 故答案为：． 3．已知：，，，问多项式A、、是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由． 【答案】 【分析】先分别把代数式A，B，C分别分解因式，再确定公因式即可． 【详解】解：多项式A、、有公因式． ， ， ． 因此多项式A、、的公因式是： 【点睛】本题考查的是公因式的含义，因式分解的方法，掌握“利用提公因式，公式法分解因式”是解本题的关键． 题型二、完全平方公式运算 1．在下列多项式乘法中，可以用完全平方公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，完全平方公式的形式为，即两个相同二项式的乘积．需逐一分析选项，判断是否符合该形式． 【详解】A．原式，符合平方差公式，而非完全平方公式，故不符合题意； B．原式，符合完全平方公式，可用完全平方公式计算，故符合题意； C．原式，符合平方差公式，而非完全平方公式，故不符合题意； D．两括号中的项不同，既不符合平方差，也不符合完全平方公式的结构，故不符合题意． 故选B． 2．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，完全平方公式的应用，先根据完全平方公式将所求式子变形，再整体代入计算即可得解，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】，9 【分析】本题考查整式的混合运算，化简求值，利用完全平方公式和多项式乘以多项式的法则进行计算，合并同类项后，代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 题型三、平方差公式运算 1．下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式，掌握是解题关键．根据平方差公式的特点逐一判断即可． 【详解】解：A、，二项式中的两项均互为相反数，不符合平方差公式，符合题意； B、，能用平方差公式，不符合题意； C、，能用平方差公式，不符合题意； D、，能用平方差公式，不符合题意； 故选：A 2．已知，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了已知式子的值，求代数式的值，以及平方差公式，根据可变形为，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：1 3．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，涉及多项式乘法、平方差公式以及合并同类项，解题的关键是熟练运用相关运算算则逐步计算． （1）先运用多项式乘多项式法则展开，再与进行合并同类项运算即可； （2）先利用平方差公式计算，再展开，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型四、提公因式法分解因式 1．多项式用提公因式法分解因式时提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，解题关键是准确找出各项的公因式．根据提公因式法，找出各项的公因式即可． 【详解】解：， 应提取的公因式为， 故选：B． 2．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 3．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，掌握提公因式法和公式法分解因式是解题关键． （1）提公因式计算即可； （2）先利用完全平方公式分解，再根据平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型五、完全平方式 1．若是完全平方式，则的值是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．先根据完全平方式的结构特征，列出关于的方程，解方程求出即可． 【详解】解：是完全平方式，， ， 即或， 解得：或， 故选：A． 2．若多项式是一个完全平方式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，解题的关键是熟记完全平方公式，并根据平方项确定出这两个数．根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， 解得， 故答案为：． 3．若多项式是一个完全平方式，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方式的特点解答即可求解，掌握完全平方式的特点是解题的关键． 【详解】解：， ∵多项式是一个完全平方式， ∴， 即的值为． 题型六、完全平方公式变形求值 1．若，，则的值为（   ） A．4 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式，并能灵活运用公式进行变形计算是解题的关键．本题可利用完全平方公式，将已知条件代入公式，进而求出的值． 【详解】解：∵， ∴，即 ． 又∵， ∴把代入中，可得 ． ∴， 故选：C ． 2．若，，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据，代入数据求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 将两式相加可得：， 则， 故答案为：． 3．若，且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的乘法． （1）先由得到，再将代入计算即可； （2）根据完全平方公式得到，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即 ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 即， ∴． 题型七、因式分解中的简算 1．利用因式分解计算：的结果是（    ） A．44 B．800 C．2200 D．8800 【答案】D 【分析】先提出11，再根据平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了应用因式分解计算，掌握平方公式是解题的关键．即． 2．计算∶ ． 【答案】 【分析】本题考查的是利用平方差公式进行简便运算，把原式化为，再计算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 3．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用完全平方公式因式分解进行简便计算，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行因式分解后即可求解； （2）利用完全平方公式进行因式分解后即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 题型八、十字相乘法 1．因式分解：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解．利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：． 故选：A 2．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，注意计算的准确性即可； 【详解】解：， 故答案为： 3．因为，又因为整式乘法与因式分解互为逆运算，则 ．利用以上知识解答下面两题： (1)分解因式： ； (2)分解因式： ． 【答案】(1)) (2) 【分析】本题考查因式分解． （1）利用十字相乘法因式分解即可； （2）利用十字相乘法因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型九、分组分解法 1．请同学们将下列多项式①，②按要求进行计算：①－②，运算结果若能进行因式分解的，请将运算结果进行因式分解． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减和因式分解，先根据求出两个多项式的差，然后根据提取公因式法和十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解： ． 2．【材料阅读】利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解因式的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：， ④______． (2)如果，其中均为整数，求的值． 【答案】(1)；；3； (2)或 【分析】(1) 首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，写出结果即可． （2）根据前面计算方式，列式解答即可． 本题考查了因式分解的新方法，熟练掌握方法是解题的关键． 【详解】（1）解：把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，根据， 故． 故答案为：；；3；． （2）解：∵，把二次项系数1写成，，满足，或 故m的值为：或． 3．（阅读学习） 课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如： （1）； （2）． （学以致用） 请仿照上面的做法，将下列各式分解因式： （1）； （2）． （拓展应用） （3）已知：，．求：的值． 【答案】（1）；（2）；（3）55． 【分析】此题考查了因式分解所涉及的相关知识：完全平方公式，平方差公式，提取公因式法因式分解和分组结合等，也考查了学生对题文的理解能力． （1）把分组为，再提取公因式分解即可； （2）把分组为，再利用完全平方公式和平方差公式分解； （3）把分组为，再因式分解，整体代入求值即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； 当，时， 原式． 题型十、配方法求最值 1．先阅读材料，再回答问题． 将多项式分解因式． 解：因为，将看成整体，令，则原式，将还原，则原式．上述解题过程用到的是“整体思想”． 请用“整体思想”解决以下问题． (1)因式分解：_______． (2)因式分解：． (3)请说明为什么无论取何值，的值一定是非负数． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】此题考查了换元法因式分解和公式法因式分解，理解整体思想的运用是解答的关键． （1）设，则，进而利用平方差公式即可得到答案； （2）由．令，可得原式，将还原即可求解； （3）令，则可得原式，将还原，则原式，进而可得结论． 【详解】（1）解：设， 则 ， 将M还原，则原式； （2）解： ． 令，则原式， 将还原，则原式； （3）解：令， 则原式 ， 将还原，则原式， 所以无论取何值，的值一定是非负数． 2．“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解的过程如下： 甲: （分成两组） （直接运用公式） = 乙 （分成两组） （提公因式） 请在他们解法的启发下，解答下列各题： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解，灵活运用分组分解法是解答本题的关键． （1）原式先进行分组，再提取公因式，最后运用平方差公式进行因式分解即可； （2）原式先进行分组，再运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 3．小华认为多项式不能因式分解，小明却认为可以，并且给出了三种因式分解的方法： 方法一： 方法二： 方法三： (1)请你用以上三种方法中的任意一种对进行因式分解； (2)小明认为用方法一不仅可以解决部分多项式的因式分解问题，还可以求这部分多项式的最值，如：，因为所以，因此多项式的最小值是．借助小明的做法，判断多项式有最值吗？如果有，请你求出为何值时取到最值；如果没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)有，多项式在当时取最大值为16 【分析】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式配方，再根据平方差公式因式分解即可求； （2）先利用完全平方公式配方变形，再利用非负数的性质即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解：多项式有最大值，理由如下： ， ． 当时，取到最大值为16， 多项式在当时取最大值为16． 题型十一、平方差公式与几何图形 1．阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ， 当时，的值最小，最小值为0， ， 当时，的值最小，最小值为1984， 代数式：的最小值是1984． 例如：分解因式： 解：原式 ． (1)分解因式； (2)若，求的最大值； 【答案】(1) (2)1314 【分析】本题考查了因式分解，准确理解题意是解题的关键． （1）根据题例进行配方，继而利用平方差公式因式分解即可； （2）根据题例进行配方，根据平方大于等于0的性质进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 的最大值1314． 2．教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等问题． 例如，分解因式：． 解：原式 再如，求代数式的最小值． 解：原式 可知，当时，有最小值，最小值是． 根据以上材料，运用配方法解决下列问题． (1)请用配方法把因式分解． (2)多项式有最大值吗？若有，请计算为何值时，此多项式有最大值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当时，有最大值，最大值为 【分析】本题考查了配方法因式分解，求多项式的最值，非负数的性质，理解题意、掌握配方法是解题的关键． （1）用配方法化为，再用平方差公式，即可求解； （2）用配方法化为，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； 故答案：； （2）解：原式 ， ∴当时，有最大值，最大值为． 3．根据以下素材，探索完成任务． “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式． 素材 如图，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等面积法，我们可以得到一个等式：． 问题解决 任务1 将大正方形通过剪、割、拼后形成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，给出的四种拼法中，其中能验证平方差公式的有：_____（只填序号）． 任务2 利用“平方差公式”计算：； 任务3 计算： 【答案】任务1：①②③；任务2：4；任务3： 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形面积，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 任务1：根据平行四边形及正方形，长方形的面积公式求解判定即可得解； 任务2：将原式化为，再用平方差公式求解； 任务3：先乘以，再连续运用平方差公式即可求解． 【详解】解：任务1： 图①中，左侧图形阴影部分的面积为，右侧图形阴影部分的面积为， ∴，可验证平方差公式； 图中，左侧图形阴影部分的面积为，右侧图形阴影部分的面积为， ∴，可验证平方差公式； 图中，左侧图形阴影部分的面积为，右侧图形阴影部分的面积为， ∴，可验证平方差公式； 图中，左侧图形阴影部分的面积为，右侧图形阴影部分的面积为， ∴，不可验证平方差公式， 故答案为：①②③； 任务2： ； 任务3： ． 题型十二、完全平方公式与几何图形 1．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作可以得到一个公式： ； (2)利用你得到的公式，计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，平方差公式的应用，用不同的方法表示图形的面积是得出正确答案的前提． （1）图1的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，图2矩形的长为，宽为，因此面积为，由图1和图2阴影部分的面积相等，即可得出等式； （2）将写为，利用平方差公式即可求解； （3）原式变形为，连续利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： 图1中阴影部分的面积为，图1中阴影部分的面积为， ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 2．如图1，一个边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2所示． (1)上述操作能验证的等式是________； (2)应用所得的公式计算：； (3)试利用这个公式化简：． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提． （1）分别表示图1和图2中阴影部分的面积即可得出答案； （2）变形后利用平方差公式求解即可； （3）变形后利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即； 图2中的阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为； ∴； （2） ； （3） ． 3．【阅读理解】 若x满足，求的值． 解：设，， 则，， 所以． （注：   ） 【迁移运用】 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若满足，求的值； (2)如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是，上的点，且，，长方形的面积是35，分别以，为边作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)6 (2)24 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式，理解完全平方公式和平方差公式的结构特征是解决问题的关键． （1）设，则，由得，根据求出的值即可； （2）设正方形的边长为可得，进而得出阴影部分的面积，设，进而得出，根据求出的值，再求出的结果即可． 【详解】（1）解：设，则， 由得， 由得，， ， 即； （2）解：因为正方形的边长为． 所以， 所以． 而， 所以阴影部分的面积． 设， 则， 所以， 因为，所以， 从而， 所以． 即阴影部分的面积是24． 题型十三、因式分解与结合图形 1．我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的图形． (1)【探索】观察图形，写出一个三者之间的等量关系式：_________； (2)【应用】运用（1）中的结论，当时，求的值； (3)【拓展】若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查完全平方公式与几何图形的关系，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据两个图形中四个长方形的面积之和相等，即可得出答案； （2）根据（1）中结论可进行求解； （3）根据（1）中结论及整体思想可进行求解． 【详解】（1）解：∵一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形， ∴图中阴影部分的面积， ∴． 故答案为： （2）解：∵， ∴， ∴． （3）若，求 设，， ∵， ∴，， ∴， ∴． 2．在一次数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，甲是边长为的正方形，乙是长为，宽为的长方形，丙是边长为的正方形．现用甲纸片一张，乙纸片两张，丙纸片一张，拼成了如图2所示的大正方形． (1)用含的代数式表示图2中的面积应为___________；根据图1与图2的图形与面积的关系，直接写出等式； (2)利用（1）中的等式计算： ①若，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)或； (2)①14；②2025 【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，熟悉掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用面积法进行计算，即可解答； （2）①利用完全平方公式的变形求解即可； ②利用完全平方公式的变形求解即可． 【详解】（1）用含的代数式表示图2中的面积应为，还可以表示为 ∴； （2）①由（1），得． ． 把 代入上式，得． ． ②根据题意，得 ． 3．将因式分解． 经过独立思考，合作交流，小明所在小组得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 上述方法被称为分组分解法，请根据以上方法回答下列问题： (1)请用分组分解法将因式分解； (2)如图1，小长方形的长为，宽为，用5个图1中的小长方形按照图2的方式不重叠地放在大长方形ABCD中，且大长方形ABCD的周长为16．根据以上信息，先将多项式因式分解，再求值． 【答案】(1) (2)，25 【分析】本题主要考查因式分解的应用，多项式乘多项式与图形面积，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键． （1）根据题意用分组分解法因式分解即可； （2）将原式变形为，将看作整体，利用完全平方公式因式分解，根据图形中边关系得：，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， 根据图形中各边关系得：，即， 原式． 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算相关知识，熟练掌握运算法则是解题的关键； 可根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式、单项式乘法的运算法则，对选项逐一分析： 【详解】A．与不是同类项，不能合并，所以，该选项错误，不符合题意； B．根据幂的乘方法则，该选项错误，不符合题意； C．根据完全平方公式，该选项错误，不符合题意； D．根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘，，该选项正确，符合题意； 故选：D． 2．我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式： ①   ②       ③   ④   其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案． 【详解】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④， 故选：． 【点睛】本题考查用图形面积解释代数恒等式，解题的关键是用两种不同的方法表示同一个图形的面积． 3．已知 ，代数式 ，则的值是 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知完全平方公式的变形运用． 先把进行平方，再根据，得到的值． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， 故． 故答案为：2. 4．已知是完全平方式，则m的值是 ． 【答案】 【分析】利用完全平方式的结构特征判断即可确定出的值． 【详解】解：代数式是一个完全平方式， 即， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 5．小明学完因式分解后，联想到利用长方形和正方形的面积来解释因式分解的意义． (1)如图1，小明把左侧两个正方形和两个长方形，拼接为右边的一个大正方形，计算发现：左侧四个图形的面积和为___________，右侧大正方形的面积为___________，根据题意可得到一个多项式的因式分解为：___________； (2)按照小明的思路，图2的四个图形也可以拼成一个大长方形． ①拼成的大长方形的长为___________，宽为___________； ②根据图2的拼接，写出该多项式的因式分解． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题考查了多项式的乘法与图形面积，因式分解的应用； （1）观察图象可知大正方形面积等于两个小正方形的面积和加上两个长方形面积和，即可得到结论； （2）观察图象可知大长方形面积等于1个正方形面积加上3个长方形面积，即可得到结论； 【详解】（1）左侧四个图形的面积和为，右侧大正方形的面积为，根据题意可得到一个多项式的因式分解为：； 故答案为：； （2）解：①拼成的大长方形的长为，宽为， 故答案为： ； ②依题意，． 6．阅读下面的材料： 我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解． 例如：，，都把一个多项式进行了因式分解． 现有图1中的A、B、C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解． 例如：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式，即多项式因式分解的结果为． 请回答下列问题： 【小试牛刀】 （1）根据图3拼图，多项式因式分解的结果是 ． 【自主探索】 （2）请利用图1中三种型号的卡片若干张，拼出一个面积为的长方形（无空隙，不重叠），在图4虚线框内画出你的拼接示意图，并根据拼图直接写出多项式因式分解的结果； 【拓展应用】 （3）①某草坪草皮铺设完工后，由于维护不当，草坪被走出了一条宽为的均匀泥路（如图5），你能求出剩余草皮面积吗？ ②公园为了更美观，打算购买一些新的草皮与剩余的草皮重新切割，设计成一个全新的正方形草坪，现有A、B、C三种型号的草皮可以购买（如图1），在不浪费草皮的情况下，请设计一种购买方案，并求出此时的正方形边长（边长必须为整式）． 【答案】（1）；（2）见解析，；（3）①；②见解析 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，因式分解的应用，解题关键是灵活运用因式分解的方法解决问题． （1）根据图形可得计算即可； （2）由题意可得图，再根据图可分解因式； （3）①②计算出剩余草皮面积，根据题意分情况分析即可． 【详解】解：（1）由图可知，图3是由1张A卡片，3张B卡片，2张C卡片拼成的， ∴图3的面积为， 又∵图3的面积又等于一个长为，宽为的长方形面积， ； （2）图形如下： ， （3）①由图可知：剩余草皮面积为 ， ②设计方案不唯一： 剩余草皮的面积为，设计成一个全新的正方形草坪， 草坪的长宽需要一样长， 方案一：购买4块C型，则， 正方形边长a，； 方案二：购买2块B型，5块C型， 正方形边长为， 方案三：购买3块A型，4块B型，5块C型， 正方形边长为． 7．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算及其求值，先根据整式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 8．现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为． (1)请用含a的式子分别表示；当时，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)，，当时， (2)，理由见解析 【分析】（1）根据题意求出三种矩形卡片的面积，从而得到，，将代入用a表示的等式中求值即可； （2）利用（1）的结果，使用作差比较法比较即可． 【详解】（1）解：依题意得，三种矩形卡片的面积分别为：， ∴，， ∴， ∴当时，； （2），理由如下： ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查列代数式，整式的加减，完全平方公式等知识，会根据题意列式和掌握做差比较法是解题的关键． 9．如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为，的正方形秧田，，其中不能使用的面积为． (1)用含，的代数式表示中能使用的面积___________； (2)若，，求比多出的使用面积． 【答案】(1) (2)50 【分析】（1）利用正方形秧田的面积减去不能使用的面积即可得； （2）先求出中能使用的面积为，再求出比多出的使用面积为，利用平方差公式求解即可得． 【详解】（1）解：中能使用的面积为， 故答案为：． （2）解：中能使用的面积为， 则比多出的使用面积为， ，， ， 答：比多出的使用面积为50． 【点睛】本题考查了列代数式、平方差公式与图形面积，熟练掌握平方差公式是解题关键． 10．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 【答案】(1)（），；（）； (2) 【分析】（）（）根据规律即可求解；（）根据规律即可求解； （）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可； 本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键． 【详解】（1）（）由规律可得，， 故答案为：，； （）由规律可得，， 故答案为：； （2）解：假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 故答案为：． 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 乘法公式与因式分解 目录 A题型建模・专项突破 题型一、公因式 1 题型二、完全平方公式运算 2 题型三、平方差公式运算 3 题型四、提公因式法分解因式 5 题型五、完全平方式 6 题型六、完全平方公式变形求值 8 题型七、因式分解中的简算 9 题型八、十字相乘法 11 题型九、分组分解法 13 题型十、配方法求最值 15 题型十一、平方差公式与几何图形 17 题型十二、完全平方公式与几何图形 19 题型十三、因式分解与结合图形 21 B综合攻坚・能力跃升 题型一、公因式 1．将多项式因式分解时，应提取的公因式是 A． B． C． D． 2．多项式和的公因式是 ． 3．已知：，，，问多项式A、、是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由． 题型二、完全平方公式运算 1．在下列多项式乘法中，可以用完全平方公式计算的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为 ． 3．先化简，再求值：，其中． 题型三、平方差公式运算 1．下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 2．已知，则的值为 ． 3．化简： (1)； (2)． 题型四、提公因式法分解因式 1．多项式用提公因式法分解因式时提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 2．分解因式： ． 3．因式分解： (1)； (2)． 题型五、完全平方式 1．若是完全平方式，则的值是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 2．若多项式是一个完全平方式，则的值为 ． 3．若多项式是一个完全平方式，求的值． 题型六、完全平方公式变形求值 1．若，，则的值为（   ） A．4 B． C． D．2 2．若，，则 ． 3．若，且． (1)求的值； (2)求的值． 题型七、因式分解中的简算 1．利用因式分解计算：的结果是（    ） A．44 B．800 C．2200 D．8800 2．计算∶ ． 3．用简便方法计算： (1)； (2)． 题型八、十字相乘法 1．因式分解：（   ） A． B． C． D． 2．分解因式： ． 3．因为，又因为整式乘法与因式分解互为逆运算，则 ．利用以上知识解答下面两题： (1)分解因式： ； (2)分解因式： ． 题型九、分组分解法 1．请同学们将下列多项式①，②按要求进行计算：①－②，运算结果若能进行因式分解的，请将运算结果进行因式分解． 2．【材料阅读】利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解因式的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：， ④______． (2)如果，其中均为整数，求的值． 3．（阅读学习） 课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如： （1）； （2）． （学以致用） 请仿照上面的做法，将下列各式分解因式： （1）； （2）． （拓展应用） （3）已知：，．求：的值． 题型十、配方法求最值 1．先阅读材料，再回答问题． 将多项式分解因式． 解：因为，将看成整体，令，则原式，将还原，则原式．上述解题过程用到的是“整体思想”． 请用“整体思想”解决以下问题． (1)因式分解：_______． (2)因式分解：． (3)请说明为什么无论取何值，的值一定是非负数． 2．“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解的过程如下： 甲: （分成两组） （直接运用公式） = 乙 （分成两组） （提公因式） 请在他们解法的启发下，解答下列各题： (1)； (2) 3．小华认为多项式不能因式分解，小明却认为可以，并且给出了三种因式分解的方法： 方法一： 方法二： 方法三： (1)请你用以上三种方法中的任意一种对进行因式分解； (2)小明认为用方法一不仅可以解决部分多项式的因式分解问题，还可以求这部分多项式的最值，如：，因为所以，因此多项式的最小值是．借助小明的做法，判断多项式有最值吗？如果有，请你求出为何值时取到最值；如果没有，请说明理由． 题型十一、平方差公式与几何图形 1．阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ， 当时，的值最小，最小值为0， ， 当时，的值最小，最小值为1984， 代数式：的最小值是1984． 例如：分解因式： 解：原式 ． (1)分解因式； (2)若，求的最大值； 2．教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等问题． 例如，分解因式：． 解：原式 再如，求代数式的最小值． 解：原式 可知，当时，有最小值，最小值是． 根据以上材料，运用配方法解决下列问题． (1)请用配方法把因式分解． (2)多项式有最大值吗？若有，请计算为何值时，此多项式有最大值；若没有，请说明理由． 3．根据以下素材，探索完成任务． “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式． 素材 如图，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等面积法，我们可以得到一个等式：． 问题解决 任务1 将大正方形通过剪、割、拼后形成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，给出的四种拼法中，其中能验证平方差公式的有：_____（只填序号）． 任务2 利用“平方差公式”计算：； 任务3 计算： 题型十二、完全平方公式与几何图形 1．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作可以得到一个公式： ； (2)利用你得到的公式，计算：； (3)计算：． 2．如图1，一个边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2所示． (1)上述操作能验证的等式是________； (2)应用所得的公式计算：； (3)试利用这个公式化简：． 3．【阅读理解】 若x满足，求的值． 解：设，， 则，， 所以． （注：   ） 【迁移运用】 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若满足，求的值； (2)如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是，上的点，且，，长方形的面积是35，分别以，为边作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 题型十三、因式分解与结合图形 1．我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的图形． (1)【探索】观察图形，写出一个三者之间的等量关系式：_________； (2)【应用】运用（1）中的结论，当时，求的值； (3)【拓展】若，求的值． 2．在一次数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，甲是边长为的正方形，乙是长为，宽为的长方形，丙是边长为的正方形．现用甲纸片一张，乙纸片两张，丙纸片一张，拼成了如图2所示的大正方形． (1)用含的代数式表示图2中的面积应为___________；根据图1与图2的图形与面积的关系，直接写出等式； (2)利用（1）中的等式计算： ①若，求的值； ②已知，求的值． 3．将因式分解． 经过独立思考，合作交流，小明所在小组得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 上述方法被称为分组分解法，请根据以上方法回答下列问题： (1)请用分组分解法将因式分解； (2)如图1，小长方形的长为，宽为，用5个图1中的小长方形按照图2的方式不重叠地放在大长方形ABCD中，且大长方形ABCD的周长为16．根据以上信息，先将多项式因式分解，再求值． 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式： ①   ②       ③   ④   其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知 ，代数式 ，则的值是 ． 4．已知是完全平方式，则m的值是 ． 5．小明学完因式分解后，联想到利用长方形和正方形的面积来解释因式分解的意义． (1)如图1，小明把左侧两个正方形和两个长方形，拼接为右边的一个大正方形，计算发现：左侧四个图形的面积和为___________，右侧大正方形的面积为___________，根据题意可得到一个多项式的因式分解为：___________； (2)按照小明的思路，图2的四个图形也可以拼成一个大长方形． ①拼成的大长方形的长为___________，宽为___________； ②根据图2的拼接，写出该多项式的因式分解． 6．阅读下面的材料： 我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解． 例如：，，都把一个多项式进行了因式分解． 现有图1中的A、B、C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解． 例如：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式，即多项式因式分解的结果为． 请回答下列问题： 【小试牛刀】 （1）根据图3拼图，多项式因式分解的结果是 ． 【自主探索】 （2）请利用图1中三种型号的卡片若干张，拼出一个面积为的长方形（无空隙，不重叠），在图4虚线框内画出你的拼接示意图，并根据拼图直接写出多项式因式分解的结果； 【拓展应用】 （3）①某草坪草皮铺设完工后，由于维护不当，草坪被走出了一条宽为的均匀泥路（如图5），你能求出剩余草皮面积吗？ ②公园为了更美观，打算购买一些新的草皮与剩余的草皮重新切割，设计成一个全新的正方形草坪，现有A、B、C三种型号的草皮可以购买（如图1），在不浪费草皮的情况下，请设计一种购买方案，并求出此时的正方形边长（边长必须为整式）． 7．先化简，再求值：，其中． 8．现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为． (1)请用含a的式子分别表示；当时，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 9．如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为，的正方形秧田，，其中不能使用的面积为． (1)用含，的代数式表示中能使用的面积___________； (2)若，，求比多出的使用面积． 10．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$